晶体中电子能带理论和模型

H ) V((r v R )v n rv 2 h )m 2 V 2 (V rv)r v (r v)E (r v)
二、布洛赫定理
1. 定理描述：对于周期性势场
v R2n.
为任意格矢，单电子s. 方程：
H )(rv) 2 hm 2 2Vrv (rv)E(rv)
V(R vnrv)V(rv)
v
则系统的哈密顿为：
)
H
NZ i 1
h2 2m
2 i
1 2
i, j
/1 4 0
e2 rvi rvj
NZ个电子的动能和库仑势
N n 1
h2 2M
2 n
1 2
n,m
/
1 4 0
(Ze)2 vv Rn Rm
N个离子实的动能和库仑势
NZ N
1
i1 n1 4 0
Ze2
rvi
v Rn
电子和离子实之间的库仑势
要和外层电子有关，把内层电子和原子核看成一个离子实，那么晶体 就是由离子实和外层电子组成的系统。
假定晶体体积 V L3 ， 含有N个带正电荷Ze的离子实，Z为
单原子的价电子数目，因而，晶体中有NZ个价电子。v 即： N个离子实，每个离子实带正电荷Ze，其位矢用 R n 表示；
NZ个价电子，简称为电子，其位矢用 rv i 表示。
2. 单电子近似（平均场近似） （多电子问题单电子问题）
多电子问题中任何一个电子的运动不仅与自己 的位置有关，还与其他电子的位置有关，即所有电 子都是关联的，不能精确求解。
为此，用平均场代替价电子的相互作用，即 假定每个电子的库仑势相等，仅与该电子位置有 关，而与其他电子位置无关。
Vee(rv i,rvj)1 2iN Z 1
ji
1 40
rv ie2rvj iN Z 1ve(rv i)
此时体系的哈密顿
H ˆeiN 12 hm 2i2ve(rv i)R vn
1
40
e2 rv iR vn
H取ˆ e Z=1，这样总的 为N个单电子H之和，多电
子问题单电子问题，每个电子
H ˆi 2 hm 2i2ve(rvi)R vn
1
2. 由于电子质量远小于离子实的质量，电子速 度
3. 远大于离子实的速度，可认为离子实固定在瞬 时的
4). 位置上，只关注电子体系的运动，这种近似为
He绝e热Ee e
H 5) . e 近 似T ) e 。 此V e 时e ( 电r v i, 子r v j 系)统 V 的e n 薛( r 定v i,谔R v n 方) 程
H )( r v )fr v R v n H ˆ ( r v ) T )R v n f( r v )
[T )R vn,H ˆ]0
2）定理证明：
Tˆ设 Rvn 和 的共H ˆ同的本征函数
rv
H )(rv)E(rv)
( r v R v n ) T )R v n ( r v ) R v n ( r v )
3.
4.
的 面本 波征 ，k函 即v(rv数)是e按ikvgrv布ukv拉(rv非) 且格子ukv周rv期u性kv调rv幅Rvn的平
R n 5. 对 取布拉非格子的所有格矢都成立。
6. 推论：Bloch定理也可以表述为对于上述s.方 v
k(r v 78R ..v n )程 e 的ik v g R v 每n 一k(r v 个)本征解对，于存任在意一格个矢波矢都成，立使。
说明： H ˆ(r v ) T )R v n (r v )r v R v n
H ) ( r v ) T ) R v n ( r v ) T ) R v n H ˆ ( r v ) ( r v ) T ) R v n E ( r v ) E r v R v n
kv
Rn
证：
kv(rvR vn)eikv•(rvR vn)ukv(rvR vn)
eikv•R vneikv•rvuv(rv)eikv•R vn v(rv)
k
k
2. 定理证明
T1ˆ ）Rvn 引 入平移对称算符
rv T 定使ˆR v 义n平：f移(r v )，f(r v R则v n R 单v n)将电子的作周用期于T 性任ˆ Tˆ 势R 意v Rvn n场函V ( 满数r v ) 足 V ( r v R v n ) V f(r v rv)
晶体中电子能带理论和模型
5.1 布洛赫定理 5.2 克龙尼克—潘纳模型 5.3 近自由电子近似（弱周期场近似） 5.4 紧束缚近似 5.5 电子在晶体中速度、加速度、有效质量 5.6 导体 半导体和绝缘体
5.1 布洛赫定理
一、能带理论的基本假设（3个近似） 实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系，但晶体性能主
40
e2 rviR vn
3. 周期场近似
V令(rv)ve(rv)v Rn
1
40
e2 rvRvn
]
假设它具有与晶格同样的晶格对称性，即对
V(R vR nn rvn )1 a v 1 V （n (r2 v 平a v )2 移 n 矢3 a v 量3）而言，有
总结：采用3种近似后，晶体中单电子状态描述
性质① 证明：
T )R vn,T ˆR vm0
T)RvnTˆRvm f (rv)T)Rvn f (rvRvm)
f
(rvRvmRvn)
f
(rvRvn
v Rm)
T)RvnTˆRvm
f
(rv)T)
v Rn
v
Rm
f
(rv)
② [T)Rvn,它Hˆ]们有0共同本征函数
H )(rv)H ˆ(rvR vn)
2 rvx22
T ) e V e e ( r v i , r v j ) T ) n V n m ( R v n , R v m ) V e n ( r v i , R v n )
则体系的薛定谔方程
H )(r v ,R v ) E (r v ,R v )
这是一个NZ+N的多体问题。
1. 绝热近似（多体问题多电子问题）
2 y2
2 z2
2 rvR vn
(x n 21a1)2(y n 22a2)2(z n 23a3)2
H ˆ( r v R v n ) 2 h m 2 2 r v R v n V ( r v R v n ) 2 h m 2 2 r v V ( r v ) H ˆ( r v )
③ 证明：T ) ( R v n ) H ˆ ( r v ) f( r v ) H ( r v R v n ) f( r v R v n )