算法第5章-第2讲-回溯算法2递归形式

第2讲 回溯法
算法3递归回溯：
output( ) { t=t+1;//这里的t只是用来统计满足条件的解 的个数 print(t,' '); for( k=1;k<=n;k++) print(a[k],' '); print(“ 换行符”); }
第2讲 回溯法
递归回溯算法说明
递归算法的回溯是由函数调用结束自动完成的，也 不需要指出回溯点，（类似算法2中的k=k-1）,但需要 “清理现场”——将当前点占用的位置释放，也就是 算法try( )中的后三个赋值语句。
a[xx,yy]=0;
//回溯,恢复未走标志 }
第2讲 回溯法
output( ) { count=count+1;//count用来记录满足约束的解个数 print(“换行符”); print('count=',count); for y=1 to n do {print(“换行符”); for x=1 to m do print(a[y,x]); } }
第2讲 回溯法
基本的回溯搜索 例2：马的遍历问题
在n×m的棋盘中，马只能走日字。马从位置(x,y) 处出发，把棋盘的每一格都走一次，且只走一次。找出 所有路径。
第2讲 回溯法
认识象棋 每步棋先横走或竖走一格，然后再斜走一格，没有蹩马 腿的限制，每次均走“日”字型
第2讲 回溯法
1、问题分析 马是在棋盘的点上行走的，所以这里的棋盘是指 行有Ｎ条边、列有Ｍ条边。而一个马在不出边界的情 况下有八个方向可以行走，如当前坐标为(x,y）则行 走后的坐标可以为： (x-1,y+2) (x+1,y+2) (x+1,y+2) , (x+1, y-2) (x+2,y+1) , (x+2, y-1) (x-1 ,y- 2) , (x -1, y+2) (x-2 ,y- 1) , (x -2, y+1)
1 6 2 7 3 8 4
第2讲 回溯法
try(int i)
{ int j; for(j=1;j<=n;j++) //j表示列号，第i个皇后有n种可能位置 if (b[j]=0) and (c[i+j]=0) and (d[i-j+n]=0)//判断位置是否冲突
{a[i]=j;
//第i行第j列可以摆放编号为i的皇后
x4=4 x4=3 5 7 10 12 15 17 21 23 26 28 31 33 37 39 42 44 47 49 53 55 58 60 63 65
四皇后问题的解空间树
4!=24 leaves
第2讲 回溯法
算法设计过程 确定问题的解空间 在应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空 间。问题的解空间应至少包含问题的一个解。 确定结点的扩展规则 如：每个皇后在一行中的不同位置移动，而象棋中 的马只能走“日”字等。 搜索解空间 回溯算法从开始节点(根节点)出发，以深度优先的方 式搜索整个解空间。
1 6 2 7 3 8 4
第2讲 回溯法
递归回溯算法
int a[20],b[20],c[40],d[40]; int n,t,i,j,k; //t记录解的个数，i控制行，j控制列 main( ) 2 5 { int i, 3 input(n); //输入皇后的个数 6 4 初 for(i=1;i<=n;i++) 7 { b[i]=0;//记录棋盘n个列 始 5 c[i+1]=0; c[n+i]=0;//记录棋盘负对角线 化 d[i]=0; d[n+i-1]=0;//记录棋盘主对角线 b[1] b[2] b[3] b[4] } try（1）; }
第2讲 回溯法
xi表示第i个皇后所在位置的列号 1 34 1 35 50
x1=1
2 x2=2 3 x3=3 18
3
8
4
13
1 19
3 4 24 29
2
40
4
45
1 51
2 56
3 61
x3=4 4 6 9 11 14 16 20 22 25 27 30 32 36 38 41 43 46 48 52 54 57 59 62 64
第 2讲
回溯算法思想与框架
回溯法
回溯法基本思想 算法设计过程 算法框架
第2讲 回溯法
回溯法基本思想
回溯法是在包含问题的所有解的解空间树(或森林) 中.按照深度优先的策略,从根结点出发搜索解空间 树.算法搜索至解空间树的任一结点时,总是先判断 该结点是否满足问题的约束条件。如果满足则进入 该子树,继续按深度优先的策略进行搜索.否则，不 去搜索以该结点为根的子树，而是逐层向其祖先结 点回溯。 回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法.(隐式图 指问题的解空间多是树形或图形结构，并没有显式 给出)
第五章
每节一经典
回溯法
掉头！退回到前一步
第2讲 回溯法
算法设计3：递归算法 对于回溯算法，更方便的是用递归控制方式实现，这 种方式也可以解决任意的n皇后问题，算法的思想同样用 深度优先搜索，在不满足约束条件时及时回溯。 这里，我们 “利用数组记录状态信息”的技巧，用三 个数组c,b,d分别记录棋盘上的n个列、2n-1个主对角线和 2n-1个负对角线的占用情况。
第2讲 回溯法
3、数据结构设计 1）用一个变量dep记录递归深度，也就是走过的
点数，当dep=n×m时，找到一组解。
2）用n×m的二维数组记录马行走的过程，初始 值为0表示未经过。搜索完毕后，起点存储的是“1” ，终点存储的是 “n×m”。 例如：a[1,1]=1
4、算 法
第2讲 回溯法
int n=5 , m=4, dep , i, x , y , count; int fx[8]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1} , (x,y)处y的8个方向 fy[8]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2} , a[n,m];//点被马经过与否的标记，未：a[xx][yy]=0 初 否则： a[xx][yy]=dep //当前所走步数 始 main( ) 化 {count=0; dep=1; print('input x,y'); input(x,y); if (y>n or x>m or x<1 or y<1) { print('x,y error!'); return;} for(i=1;i<=;i++) for(j=1;j<=;j++) a[i][j]=0; a[x][y]=1; find(x,y,2); //2为深度dep if (count=0 ) print(“No answer!”); else print(“count=!”,count); }
b[j]=1; //占领第j列 c[i+j]=1; d[i-j+n]=1; //占领两个对角线 if (i<n) try(i+1); //n个皇后没有摆完， 递归摆放下一皇后 else
5
6 7
2 3
4 5
1 6 2 7 3 8 4
output( ); //完成任务，打印结果 b[1] b[2] b[3] b[4] b[j]=0; c[i+j]=0; d[i-j+n]=0; //回溯，清理现场，从低向上回溯 } }
第2讲 回溯法
排列及排列树的回溯搜索 例3: 输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全
排列
如：n=3则n的全排列为： 123 132 213 231 312 321
第2讲 回溯法
1、算法设计 n的全排列是一组n元一维向量:(x1,x2,x3,……,xn),搜索 空间是:1≤xi≤n,i=1,2, 3,……n,约束条件很简单,xi互不相同 。 这里我们采用第三章“3.2.3利用数组记录状态信息 ”的技巧,设置n个元素的数组d,其中的n个元素用来记 录数据1--n的使用情况,已使用置1,未使用置0.
第2讲 回溯法
1 x1=1 2 18 4 1 19 3 4 24 29 34 50
活节点(扩展结点)
死结点 2 3
3 2
8
13
2 4
1
……
……
……
4 6 9 11 14 16 20 22 25 27 30 32
2
3
5 7 10 12 15 17 21 23 26 28 31 33 请同学们找出另一个合理解
第2讲 回溯法
find(int y,int x,int dep) { int i , xx , yy ; for i=1 to 8 do //加上方向增量,形成新的坐标 {xx=x+fx[i]; yy=y+fy[i]; if (check(xx,yy)=1) //判断新坐标是否出界,是否已走过? {a[xx,yy]=dep; //走向新的坐标 if (dep=n*m) output( ); else find(xx,yy,dep+1); } //从新坐标出发,递归下一层 }
非递归回溯框架
int a[n]，i; 初始化数组a[ ]； i=1; While (i>0(有路可走))and ([未达到目标]) //还未回溯到头 { if (i>n) //搜索到叶节点 搜索到一个解，输出; else //正在处理第i个元素 { a[i]第一个可能的值； while (a[i]不满足约束条件 且 在搜索空间内) a[i]下一个可能的值； if (a[i]在搜索空间内) {标识占用的资源; i=i+1;} // 扩展下一个结点 else {清理所占的状态空间；i=i-1; } //回溯 }}
第2讲 回溯法
1、算法描述
• 算法描述 – 初始化空排列，开始逐位进行排列； – 循环，直到第一位出现回溯 – 寻找当前位的下一个可排列数字； – 若存在可排列数字 – 排列 – 若已排列满，则 – 输出一个排列，并删除该位（准备下一个排列） – 否则 – 准备排列下一位 – 退回上一位，并删除所排列数字
第2讲 回溯法
算法设计过程
搜索解空间 搜索开始的结点就成为一个活结点，同时也成为当 前的扩展结点。在当前的扩展结点处，以深度优先方式 移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点， 并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再 向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时 ，应往回移动至最近的一个活结点处，并使这个活结点 成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归wk.baidu.com 在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没 有活结点时为止。
(x-2,y+1) (x+2,y+1)
(x,y)
(x-2,y-1) (x+2,y-1) (x-1,y-2) (x+1,y-2)
2、算法设计
第2讲 回溯法
搜索空间是整个n×m个棋盘上的点。约束条件是不出 边界且每个点只经过一次。结点的扩展规则如问题分 析中所述。 搜索过程是从任一点(x,y)出发，按深度优先的原则, 从八个方向中尝试一个可以走的点,直到走过棋盘上 所有n×m个点。用递归算法易实现此过程。 注意问题要求找出全部可能的解，就要注意回溯过程 的清理现场工作，也就是置当前位置为未经过。
第2讲 回溯法
算法框架 问题框架
设问题的解是一个n维向量(a1,a2,……,an),约束条件
是ai(i=1，2，3……n),之间满足某种关系,记为f(ai) 例如：n皇后问题中，第i个皇后所在的位置和其它 皇后所在的位置，不能在同一行或者同一列，或者同一 对角线。
非递归回溯算法框架
第2讲 回溯法
第2讲 回溯法
递归算法框架
int a[n]; try(int i) {if （i>n） 输出结果; else for（ j=下界 ; j<=上界; j++） //枚举i所有可能的路径 { if （ f(j) ） //满足限界函数和约束条件 { a[i]=j; …… //其它操作 try(i+ 1);} } 回溯前的清理工作(如a[i]置空值等)； }} 一般情况下用递归函数来实现回溯法比较简单,其中i为搜索 深度。
第2讲 回溯法
以四阶棋盘为例，如图，当n=4时，共有2n-1=7个 主对角线，对应地也有7个负对角线。
n条
n-1条
四皇后棋盘示意图
第2讲 回溯法
用i，j分别表示皇后所在的行和列(即:i号皇后所在的列为j) ，同一主对角线上的行列下标的差一样.表达式i-j范围为-n+1～ n-1，为理解简便，我们对-n+1～n-1两边同时增加n, 则i-j变为ij+n，其取值范围为1～2n-1，用i-j+n对主对角线进行编号。同 样地，负对角线上行列下标的和一样，用表达式i+j编号，则范 围为2～2n。 5 6 7 2 3 4 5