八年级数学课件 菱形
合集下载
第2课时菱形的判定课件(共24张PPT)2023-2024学年北师大版八年级数学下册
点 O ，点 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中
点. 求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD ∥
= CB，AC⊥BD.
又点E，F，G，H 分别为 OA，OB，OC，OD 的中点，
1
1
∴HE∥AD且 HE= 2 AD，FG∥BC且 FG = 2 BC，
做成一个平行四边形. 转动木条，这个平行四边形什么
时候变成菱形?
你能证明这个猜想吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是
菱形.
证明
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD
相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
B
∴OA=OC.
又∵ AC⊥BD，
O
D
C
随堂练习
抢答
2.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．
添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(
A．AC⊥BD
C．AC=BD
B．AB=AD
C)
A
D
D．∠ABD=∠CBD
O
分析
由题知四边形ABCD是平行四边形
A．依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
B．依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
菱形的判定
边
对角线
几何语言
如：四边相等的
四边形是菱形
如图, ∵ = , = ,
∴ 四边形 是平行四边形.
又 ∵ = ,
∴ 四边形 是菱形.(菱形的定义)
如：对角线互相垂直的
平行四边形是菱形．
如图, ∵ 四边形 是平行四边形,
点. 求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD ∥
= CB，AC⊥BD.
又点E，F，G，H 分别为 OA，OB，OC，OD 的中点，
1
1
∴HE∥AD且 HE= 2 AD，FG∥BC且 FG = 2 BC，
做成一个平行四边形. 转动木条，这个平行四边形什么
时候变成菱形?
你能证明这个猜想吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是
菱形.
证明
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD
相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
B
∴OA=OC.
又∵ AC⊥BD，
O
D
C
随堂练习
抢答
2.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．
添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(
A．AC⊥BD
C．AC=BD
B．AB=AD
C)
A
D
D．∠ABD=∠CBD
O
分析
由题知四边形ABCD是平行四边形
A．依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
B．依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
菱形的判定
边
对角线
几何语言
如：四边相等的
四边形是菱形
如图, ∵ = , = ,
∴ 四边形 是平行四边形.
又 ∵ = ,
∴ 四边形 是菱形.(菱形的定义)
如：对角线互相垂直的
平行四边形是菱形．
如图, ∵ 四边形 是平行四边形,
八年级数学下册教学课件《菱形的判定》
第十八章 平行四边形
菱形的判定
类比导入
前面我们学习平行四边形和矩形时,都可以用性 质得出相应的判定,那么我们学习菱形的判定时是否 也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢? 我们大家 一起来尝试一下吧!
类比导入
图形 性质定理
判定定理
对边平行
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行 对边相等 四边 对角相等
A
D
F B EC
∴∠B=∠D. 又∠AEB=∠AFD=90°，AE=AF，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.
例题精析
例2 如图，在▱ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点
F,AE⊥BF于点O,
A
F
D
交BC于点E,连接EF.
O
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
B
E
解：如图，由题意得：AB=9, AC= 6 5, BD=12. A
O
C
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=
1 2
AC=
3
5
,BO=
1
2 BD=6.
∴ AB2 AO2 BO2 .
∴△OAB是直角三角形.
B
∴AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形.
∴
S菱形ABCD
=
1 2
AC
BD
36
5.
新知探究
探究点2 四条边相等的四边形是菱形.
∵BE∥AF,∴四边形ABEF是平行四边形．
又AB=AF,∴▱ABEF是菱形．
例题精析
(2)解：如图，过点F作FG⊥BC于点G．
∵四边形ABEF是菱形, AE=6, BF=8,
菱形的判定
类比导入
前面我们学习平行四边形和矩形时,都可以用性 质得出相应的判定,那么我们学习菱形的判定时是否 也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢? 我们大家 一起来尝试一下吧!
类比导入
图形 性质定理
判定定理
对边平行
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行 对边相等 四边 对角相等
A
D
F B EC
∴∠B=∠D. 又∠AEB=∠AFD=90°，AE=AF，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.
例题精析
例2 如图，在▱ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点
F,AE⊥BF于点O,
A
F
D
交BC于点E,连接EF.
O
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
B
E
解：如图，由题意得：AB=9, AC= 6 5, BD=12. A
O
C
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=
1 2
AC=
3
5
,BO=
1
2 BD=6.
∴ AB2 AO2 BO2 .
∴△OAB是直角三角形.
B
∴AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形.
∴
S菱形ABCD
=
1 2
AC
BD
36
5.
新知探究
探究点2 四条边相等的四边形是菱形.
∵BE∥AF,∴四边形ABEF是平行四边形．
又AB=AF,∴▱ABEF是菱形．
例题精析
(2)解：如图，过点F作FG⊥BC于点G．
∵四边形ABEF是菱形, AE=6, BF=8,
华东师大版八年级数学下册19.菱形的判定课件
几何语言:∵ 四边形ABCD是平行四边形,AB=BC, A D ∴ 四边形ABCD是菱形.
B
C
方法二(判定定理1):四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA, ∴ 四边形ABCD是菱形.
方法三(判定定理2):对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴ 四边形ABCD是菱形.
D
C
O
A
B
随堂练习
1.判断下列说法是否正确：
有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角的四边形是 菱形.
对角线相等且互相平分的四边形是菱形. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
矩形
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为
菱形，那么需要添加的条件可以是（A ）.
几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴ 四边形ABCD是菱形.
例题精析
例1 如图,□ABCD的对角线AC与BD相交于点O: 若AB=AD，则□ABCD是 菱形； 若AC=BD，则□ABCD是 矩形； 若∠ABC是直角，则□ABCD是 矩形; 若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱形; 若AC⊥BD，则□ABCD是____菱_形.
∴ 四边形ABCD是菱形.
A
D
B
C
方法二(判定定理1):四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA,
∴ 四边形ABCD是菱形.
巩固练习
1.如图,要使□ ABCD成为菱形,需添加一个条件是( A ).
A. AB＝BC
B．AC＝BD
C. ∠ABC＝90°
B
C
方法二(判定定理1):四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA, ∴ 四边形ABCD是菱形.
方法三(判定定理2):对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴ 四边形ABCD是菱形.
D
C
O
A
B
随堂练习
1.判断下列说法是否正确：
有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角的四边形是 菱形.
对角线相等且互相平分的四边形是菱形. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
矩形
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为
菱形，那么需要添加的条件可以是（A ）.
几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴ 四边形ABCD是菱形.
例题精析
例1 如图,□ABCD的对角线AC与BD相交于点O: 若AB=AD，则□ABCD是 菱形； 若AC=BD，则□ABCD是 矩形； 若∠ABC是直角，则□ABCD是 矩形; 若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱形; 若AC⊥BD，则□ABCD是____菱_形.
∴ 四边形ABCD是菱形.
A
D
B
C
方法二(判定定理1):四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA,
∴ 四边形ABCD是菱形.
巩固练习
1.如图,要使□ ABCD成为菱形,需添加一个条件是( A ).
A. AB＝BC
B．AC＝BD
C. ∠ABC＝90°
华东师大版八年级下册数学19.菱形的判定课件
∴ ABCD是菱形.（菱形的定义）
如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E， DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形。
A
E F
B
D
C
总结梳理 内化目标
三个角是直角
四边形
一组对边平行且相等 两组对边分别相等
两组对边分别平行
两组对角分别相等 对角线互相平分
平行四边形
四条边都相等
矩形 菱形
菱形的判定
创设情景 明确目标
我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表 ．你 能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗？
矩形的 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
A
D
具有平行四边形的所有性质
矩形的 对角线相等
O
性质 四个角都是直角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
B
C 矩形的
判定 对角线相等的平行四边形是矩形
如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA． 求证：四边形ABCD是菱形．
B
A
C
D
菱形的
D
定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质 菱形的 对角线互相垂直且平分每一组对角 A O C 性质 菱形的四条边都相等
一组邻边相等的平行四边形是菱形
B
？ 菱形的 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定
2．经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想， 体会研究图形判定的一般思路．
பைடு நூலகம்
探究点一 菱形的判定
定求理证1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 AC⊥BD．求证： ABCD是菱形。
湘教版八年级数学下册.2菱形的判定课件
菱形的判定
复习思考
1 看图说定义
平行四边形
矩形
菱形
2 把矩形和菱形的性质填入下表：
图形 项目 边和角 对角线
对称性
A
D
D
矩形
O
菱形 A O C
B
C
B
对边平行且相等，对角相等
四个角都是直角
四条边都相等
对角线互相平分
对角线相等
对角线互相垂直
既是中心对称图形，也是轴对称图形 对称轴为经过两组 对称轴为两条对角 对边中点的直线. 线所在的直线.
3 矩形的判定方法有哪些？
四边形
三个角是直角
+
对角线互相平分且相等
矩
平行四边形
一个角是直角
形
+
对角线相等
学
习
新
课
怎样判定一个四边形是菱形呢？ 动脑筋①
如图2-52，用4支长度相等的铅笔能摆成菱 形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等 的四边形是菱形吗？
图2-52
下面我们来证明这个结论. 如图2-53，在四边形ABCD中， A∵BA=DB=CB=CC，D=ADBA=.DC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又 AB=AD，
∴ 四边形ABCD是菱形.
图2-53
由此得到菱形的判定定理1：
四条边都相等的四边形是菱形.
例6 已知：如图2-54，在四边形ABCD中， 线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1 =∠2. 求证：四边形ABCD是菱形.
图2-54
证明 ∵线段BD垂直平分AC ，
∴ BA=BC，DA=DC， 在OA△A=OOBC和. △COD中， ∵ ∠1 =∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC. ∴ △OAB≌△OCD.
复习思考
1 看图说定义
平行四边形
矩形
菱形
2 把矩形和菱形的性质填入下表：
图形 项目 边和角 对角线
对称性
A
D
D
矩形
O
菱形 A O C
B
C
B
对边平行且相等，对角相等
四个角都是直角
四条边都相等
对角线互相平分
对角线相等
对角线互相垂直
既是中心对称图形，也是轴对称图形 对称轴为经过两组 对称轴为两条对角 对边中点的直线. 线所在的直线.
3 矩形的判定方法有哪些？
四边形
三个角是直角
+
对角线互相平分且相等
矩
平行四边形
一个角是直角
形
+
对角线相等
学
习
新
课
怎样判定一个四边形是菱形呢？ 动脑筋①
如图2-52，用4支长度相等的铅笔能摆成菱 形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等 的四边形是菱形吗？
图2-52
下面我们来证明这个结论. 如图2-53，在四边形ABCD中， A∵BA=DB=CB=CC，D=ADBA=.DC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又 AB=AD，
∴ 四边形ABCD是菱形.
图2-53
由此得到菱形的判定定理1：
四条边都相等的四边形是菱形.
例6 已知：如图2-54，在四边形ABCD中， 线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1 =∠2. 求证：四边形ABCD是菱形.
图2-54
证明 ∵线段BD垂直平分AC ，
∴ BA=BC，DA=DC， 在OA△A=OOBC和. △COD中， ∵ ∠1 =∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC. ∴ △OAB≌△OCD.
1.1菱形的性质课件数学华师大版八年级下册
22
A E A 2 D D 2 1 E 2 5 3 2 1 c 2 .m
∴AC=2AE=2×12=24(cm). 菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积 21BD AE
2
2 1 1 0 1 2 12 c0 2 m . 2
A
BE
D
C
当堂训练
1.一个菱形的周长为8cm,一条对角线长为2 cm.则这个菱
AB=AD=BD 即 △ABD是等边三角形
∴∠ABD=60° ∴ ∠ABC=2∠ABD=120°（菱形对角线平分对角）
②∵菱形ABCD ∴AB=BC=CD=DA ∴菱形ABCD的周长 = 2×4 = 8 cm
例3 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点 O,AB＝5，OA＝4，求这一菱形的周长与两条对角 线的长度。
A
B
O
EC
D
S菱形ABCD SABD SBCD
【菱形的面积公式】 S菱形 = 底×高 = 对角线乘积的一半
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长 10cm.
求:.对角线AC的长度; .菱形的面积
解: ∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=900, D E 1B D 1 1 05 cm .
形的四个内角的度数为 60°、120°。、60°、120°
2.菱形具有而平行四边形不一定具有的特征是（ C）
A、对角线互相平分 B、对边相等且平行 C、对角线平分一组对角 D、对角相等
课堂小结
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的性质:
1.对边平行，且四边都相等;
2.对角相等; 3.对角线互相平分且互相垂直 ．
A E A 2 D D 2 1 E 2 5 3 2 1 c 2 .m
∴AC=2AE=2×12=24(cm). 菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积 21BD AE
2
2 1 1 0 1 2 12 c0 2 m . 2
A
BE
D
C
当堂训练
1.一个菱形的周长为8cm,一条对角线长为2 cm.则这个菱
AB=AD=BD 即 △ABD是等边三角形
∴∠ABD=60° ∴ ∠ABC=2∠ABD=120°（菱形对角线平分对角）
②∵菱形ABCD ∴AB=BC=CD=DA ∴菱形ABCD的周长 = 2×4 = 8 cm
例3 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点 O,AB＝5，OA＝4，求这一菱形的周长与两条对角 线的长度。
A
B
O
EC
D
S菱形ABCD SABD SBCD
【菱形的面积公式】 S菱形 = 底×高 = 对角线乘积的一半
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长 10cm.
求:.对角线AC的长度; .菱形的面积
解: ∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=900, D E 1B D 1 1 05 cm .
形的四个内角的度数为 60°、120°。、60°、120°
2.菱形具有而平行四边形不一定具有的特征是（ C）
A、对角线互相平分 B、对边相等且平行 C、对角线平分一组对角 D、对角相等
课堂小结
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的性质:
1.对边平行，且四边都相等;
2.对角相等; 3.对角线互相平分且互相垂直 ．
浙教版数学八年级下册 5.2.1 菱形 说课课件(共27张PPT)
关系.
2.探索并证明菱形的性质定理： 符号语言）.
2.探索并证明菱形的性质 菱形的四条边相等．
2.学生能说出菱形的四条边相等，并
定理：菱形的四条边相等, 3.探索并证明菱形的性质定理： 给出证明.
对角线互相垂直.
对角线互相垂直，并每条对角 3. 猜想、验证、证明、归纳出菱形
3.探索菱形的轴对称性. 线平分一组对角．
对角线互相垂直，并每条对角线平分
4.探索菱形的轴对称性.
一组对角.
4.学生通过折、剪、拼明确菱形是轴
对称图形，并能说出它的对称轴.
03 教 学 问 题 诊 断 分 析
已经具备的基础
三角形的分类 和特殊三角形
的性质
平行四边形和 矩形的性质、 判定、应用
能够从边和角 考虑图形的特 殊化，知道从 边、角、对角 线和对称性研 究图形性质．
线平分一组对角．
分一组对角.
4.探索菱形的轴对称性.
菱形轴对称性难以理解
课时目标
1.理解菱形的概念， 以及菱形与平行四边 形的关系.
2.探索并证明菱形的 性质定理：菱形的四 条边相等．
3.探索并证明菱形的 性质定理：对角线互 相垂直，并且每条对 角线平分一组对角．
可能问题
教师引导
忽视菱形作为平 行四边形所具备 的一般性质.
Байду номын сангаас定性判 应 义质定 用
菱形
本节课的教学重点：探索并证明菱形的性质
02目标及目标解析
对照 课标 要求
目标确定
课标要求
课时目标
目标解析
1.理解菱形的概念，以及 1.理解菱形的概念，以及菱形 1.学生能说出菱形与平行四边形的关
菱形与平行四边形之间的 与平行四边形的关系．
初中数学华东师大版八年级下册19.第1课时菱形的性质课件
第19章 矩形、菱形和正方形 19.2.1 菱形的性质 第1课时 菱形的性质
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
1.知道菱形的概念及其与平行四边形的关系 2.掌握菱形的性质定理的简单应用
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
做一做：将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开， 你发现这是一个什么样的图形？
该四边形的四 条边相等
这种特殊的平行四边形是菱形. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
几何语言：如图，对于平行四边形ABCD，若AB=BC，则这个平行四边形叫做
菱形.
A
D
B
C
作为一种特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质，同时 也具有一些特殊的性质.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠AFC=90°.
又∵AC=AC，
归纳：菱形是轴对称图形，它的对
∴△ACE≌△ACF.
角线所在的直线都是它的对称轴，
∴AE＝AF.
每条对角线平分一组对角．
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
3.如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OB=OD．
求证：OA=EB.
证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD=BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ， ∴∠DAE＝∠AEB，
A
D
O
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE，
B
EC
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
1.知道菱形的概念及其与平行四边形的关系 2.掌握菱形的性质定理的简单应用
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
做一做：将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开， 你发现这是一个什么样的图形？
该四边形的四 条边相等
这种特殊的平行四边形是菱形. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
几何语言：如图，对于平行四边形ABCD，若AB=BC，则这个平行四边形叫做
菱形.
A
D
B
C
作为一种特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质，同时 也具有一些特殊的性质.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠AFC=90°.
又∵AC=AC，
归纳：菱形是轴对称图形，它的对
∴△ACE≌△ACF.
角线所在的直线都是它的对称轴，
∴AE＝AF.
每条对角线平分一组对角．
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
3.如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OB=OD．
求证：OA=EB.
证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD=BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ， ∴∠DAE＝∠AEB，
A
D
O
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE，
B
EC
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
八年级数学下册_18章课件9菱形的定义、性质_课件新人教版
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
求证：AC⊥BD ；
AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
A
D
BO=CO( 菱形的对 角线互相平分) ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B 同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
O
C
D
边
菱形的两组对边平行且相等 A
O B 数学语言
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形
角
菱形的邻角互补
DCA= ∠ BCA ∠∠ ADC= ∠ ABC ∥ CD AB ∠ADB= ∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =
A
C
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD， E、F分别为BC，CD的中点，那么 B ∠EAF的度数是（ ）B
A.75°B.60°C.45°D.30°
E
B
D F
C
5、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角 线BD的长。 D
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O C
三、课堂练习（复习巩固） 1、菱形的两条对角线长分别是6cm和 8cm，则菱形 的周长 ，面积 。 2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的 长为6cm，则另一条对角线长为 ；边 长为 。 3、已知菱形的两个邻角的比是1：5，高 是 8cm，则菱形的周长为 。 4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的 比为3：4，则两对角线的长分别 是 。
求证：AC⊥BD ；
AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
A
D
BO=CO( 菱形的对 角线互相平分) ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B 同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
O
C
D
边
菱形的两组对边平行且相等 A
O B 数学语言
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形
角
菱形的邻角互补
DCA= ∠ BCA ∠∠ ADC= ∠ ABC ∥ CD AB ∠ADB= ∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =
A
C
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD， E、F分别为BC，CD的中点，那么 B ∠EAF的度数是（ ）B
A.75°B.60°C.45°D.30°
E
B
D F
C
5、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角 线BD的长。 D
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O C
三、课堂练习（复习巩固） 1、菱形的两条对角线长分别是6cm和 8cm，则菱形 的周长 ，面积 。 2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的 长为6cm，则另一条对角线长为 ；边 长为 。 3、已知菱形的两个邻角的比是1：5，高 是 8cm，则菱形的周长为 。 4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的 比为3：4，则两对角线的长分别 是 。
湘教版八年级数学下册课件.2菱形的判定
证明： ∵ ∠1= ∠2 , 又∵AE=AC , AD=AD, ∴ △ACD ≌ △AED (SAS) , 同理△ACF ≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED , CF=EF.
A
21
F
E
CD
B
又∵EF=ED ,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
课堂小结
定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
新知探究
议一议：已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD,使AB为菱形的一条对角线？
B A
D
小刚：分别以A , C为圆心 , 以大于
1 AC的长为半径作弧 , 两条
2
C
弧分别相较于点B , D,依次
连接A , B , C , D四点.
想一想：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？ 2.怎么验证四边形ABCD是菱形？ 提示：AB = BC平行四边形 是菱形.
定理2：四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明.
课堂小测
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（ C ）． A. AC⊥BD , AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC, AD=CD, AC ⊥BD D. AB=CD, AD=BC, AC ⊥BD
于点O ,AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
B
∴OA=OC.
O
又∵AC⊥BD ,
A
C
∴BD是线段AC的垂直平分线 ,
D
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
新知探究
人教版八年级下册数学菱形的判定课件
辨一辨
判断下列说法是否正确？为什么？ （1）两条对角线互相垂直的四边形是菱形.
(× )
（2）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形.( √ )
（3）对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四
边形是菱形.
(× )
辨一辨
D A
C O
B
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 菱形； （2）若AC=BD，则□ABCD是 矩 形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是矩 形； （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是菱形。
求证：□ABCD 是菱形
动脑筋
新知探究
如图，用4 支长度相等的铅笔能摆 成菱形吗？
把上述问题抽象出来就是：四条边 都相等的四边形是菱形吗？
判定2：四条边相等的四边形是菱形.
A
D
A
D
AB=BC=CD=DA
B C
B
C
四边形ABCD
菱形ABCD
证明： ∵AB=BC=CD=DA
∴AB=CD，DA=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
课堂小结
本节课我们学到了什么
数学题，始于你想 成于你做
能力提升
如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分 ∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P(A点除外)， 过P点作EF∥AB，分别交AC、BC于E、F点， 作PM∥AC，交AB于M点，连接ME.
（1）求证：四边形AEPM为菱形. （2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形 EFBM面积的一半？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC ∵BD⊥AC
判定1
∴BD是AC的垂直平分线.
菱形菱形的判定课件人教版数学八年级下册
所以CE＝AE＝AC．
又因为AF＝CE，所以AF＝AE＝AC．
7.(丹东)如图，在▱ABCD中，O是AD的中点，连接CO并延长，交BA的延长线于 点E，连接AC，DE.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形. (2)若AB＝AC，判断四边形ACDE的形状，并说明理由.
8.(滨州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC， AE∥BD.
第4题图
5.如图，过▱ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG，FH，
与AD，AB，BC，CD分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是
菱形.
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，OB＝OD．
所以∠ODE＝∠OBG，∠OED＝∠OGB．
所以△EOD≌△GOB．
所以OE＝OG．
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
菱形——菱形的判定
自主导学
菱形的判定方法： 方法1(定义法)：有一组___邻__边___相等的平行四边形是菱形. 方法2：对角线__互__相__垂__直____的平行四边形是菱形. 方法3：四条边___相__等___的四边形是菱形.
探究学习
对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【例1】如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与 边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱 形.
(1)求证：AE＝DF.
(2)四边形AEFD能成为菱形吗?若能，求出相应的t值；若不能，请说 明理由.
解：能. 因为∠B＝∠DFC＝90°， 所以DF∥AB. 又DF＝AE， 所以四边形AEFD是平行四边形. 当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，即60－4t＝2t，解得t＝10. 所以当t＝10时，四边形AEFD是菱形.
华东师大版数学八年级下册19.菱形的判定课件
二.探究新知 （一）探究：菱形的判定1(四边相等的四边形是菱形)
已知：如图，四边形ABCD的边长，AB=BC=CD=AD
求证：四边形ABCD是菱形
A
证明： ∵AB=BC=CD=AD 即AB=DC,BC=AD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
BБайду номын сангаас
D
∴四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
2
2
4
三.课堂小结
菱形的判定：间接判定
有一组邻边相等的平行四边形为菱形 对角线互相垂直的平行四边形为菱形
直接判定
四条边相等的四边形为矩形
对角线互相垂直、平分的四边形为菱形（简答题不能直接使用）
解: ∵AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F
A
∴AE=DE ,AF=DF 即∠EAD= ∠EDA, ∠FAD =∠ FDA
又∵AD平分∠BAC
E
∴ ∠EAD= ∠FAD, ∠EDA =∠ FDA
F
∴△AED全等于△AFD(ASA)
∴AE=AF=DF=DE
B
D
C ∴四边形ABED为菱形（四条边相等的四边形为菱形）
∵AC+BD=q
O
∴ AO+DO=0.5q
C
A
∴ 有勾股定理得：（ AO DO）2 AO2 DO 2 2AO • DO AD2 2AO • DO p2 2AO • DO q2
4
4
即2 AO • DO q2 - p2
B
4
∴ S菱形 1 AC • BD 1 2AO 2DO 2AO • DO q2 - p2
第19章 矩形、菱形与正方形
19.2.2 菱形的判定
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3）菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组 对角；
（4）菱形是轴对称图形.
【菱形的面积公式】
A
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形的
O菱形
面积公式计算菱形的面积?
B
D
E
C
S S菱形=BC× AE
想一想:已知菱形的两条对角线的长，能求出它
的面积吗?
S菱形ABCD
SABD SBCD
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
□ABCD
四边形ABCD是菱形
AB=BC
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形 的纸片？
请同学们拿出准备好的矩形纸片按照下图对折、
再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可得到一 个菱形。
D
O
A
C
菱形的性质：
B
（1）菱形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边都相等；
四边形ABCD
AB=BC=CD=DA ∵AB=BC=CD=DA
B
C
菱形ABCD
∴四边形ABCD是菱形
文字语言
判定 四边相等的四 法一 边形是菱形
判定 对角线互相垂
法二
直的平行四边 形是菱形
判定 法三
一组邻边相等 的平行四边形 是菱形
图形语言
A
D
B
C
符号语言
∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
1 AC BD 2
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
例1. 如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝60 度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两 条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m ）
A
B
O
D
C
想一想（1）
如图，当木条AC、BD转动时，什么时候 平行四边形变成菱形？
A O
B
A
B
D C
D C
∵□ABCD
AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
∵□ABCD
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
例2. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于 O，AB=5，AO=4，BO=3。 求证：平行四边形ABCD是菱形。
D
A
O
பைடு நூலகம்
C
B
选择：菱形具有而矩形不一定具有的特征是（ B ）
A、对边相等
B、对角线互相垂直
C、对角线互相平分
D、对角相等
如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于O，且AC=8， BD=6，求菱形的高。
D
A O
C
B
你能告诉我这节课的收获吗？
D
A
C
B
菱形的判别
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
D
A
D
AC⊥BD
B
C
□ABCD
B
C
菱形ABCD
∵□ABCD，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
想一想（2）
把一个一般的四边形作如下变化，请问得到的四边形是菱 形吗？
菱形的判别：四条边都相等的四边形是菱形.
A D
A
D
B C
（4）菱形是轴对称图形.
【菱形的面积公式】
A
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形的
O菱形
面积公式计算菱形的面积?
B
D
E
C
S S菱形=BC× AE
想一想:已知菱形的两条对角线的长，能求出它
的面积吗?
S菱形ABCD
SABD SBCD
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
□ABCD
四边形ABCD是菱形
AB=BC
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形 的纸片？
请同学们拿出准备好的矩形纸片按照下图对折、
再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可得到一 个菱形。
D
O
A
C
菱形的性质：
B
（1）菱形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边都相等；
四边形ABCD
AB=BC=CD=DA ∵AB=BC=CD=DA
B
C
菱形ABCD
∴四边形ABCD是菱形
文字语言
判定 四边相等的四 法一 边形是菱形
判定 对角线互相垂
法二
直的平行四边 形是菱形
判定 法三
一组邻边相等 的平行四边形 是菱形
图形语言
A
D
B
C
符号语言
∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
1 AC BD 2
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
例1. 如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝60 度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两 条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m ）
A
B
O
D
C
想一想（1）
如图，当木条AC、BD转动时，什么时候 平行四边形变成菱形？
A O
B
A
B
D C
D C
∵□ABCD
AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
∵□ABCD
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
例2. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于 O，AB=5，AO=4，BO=3。 求证：平行四边形ABCD是菱形。
D
A
O
பைடு நூலகம்
C
B
选择：菱形具有而矩形不一定具有的特征是（ B ）
A、对边相等
B、对角线互相垂直
C、对角线互相平分
D、对角相等
如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于O，且AC=8， BD=6，求菱形的高。
D
A O
C
B
你能告诉我这节课的收获吗？
D
A
C
B
菱形的判别
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
D
A
D
AC⊥BD
B
C
□ABCD
B
C
菱形ABCD
∵□ABCD，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
想一想（2）
把一个一般的四边形作如下变化，请问得到的四边形是菱 形吗？
菱形的判别：四条边都相等的四边形是菱形.
A D
A
D
B C