概率论与数理统计01-第一节-随机变量的数学期望

第三章 随机变量的数字特征

前面讨论了随机变量的分布函数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.

但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的某些数字特征即可.

例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量;

又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等

实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.

本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩.

第一节 随机变量的数学期望

内容要点：

一、离散型随机变量的数学期望

平均值是日常生活中最常用的一个数字特征, 它对评判事物、作出决策等具有重要作用. 定义 设X 是离散型随机变量的概率分布为

,2,1,}{===i p x X P i i

如果

∑∞=1i i

i p x 绝对收敛, 则定义X 的数学期望(又称均值)为 .)(1

∑∞

==i i

i p x X E

二、连续型随机变量的数学期望

定义 设X 是连续型随机变量, 其密度函数为)(x f ,如果

⎰

∞

∞

-dx x xf )(

绝对收敛, 定义X 的数学期望为 .)()(⎰

∞

∞

-=

dx x xf X E

三、 随机变量函数的数学期望

设X 是一随机变量, )(x g 为一实函数,则)(X g Y =也是一随机变量, 理论上, 虽然可通过X 的分布求出)(X g 的分布, 再按定义求出)(X g 的数学期望)]([X g E . 但这种求法一般比较复杂. 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.

定理1 设X 是一个随机变量, )(X g Y =,且)(Y E 存在, 则

（1） 若X 为离散型随机变量, 其概率分布为

,2,1,}{===i p x X P i i

则Y 的数学期望为

.)()]([)(1

∑∞

===i i i p x g X g E Y E

（2） 若X 为连续型随机变量, 其概率密度为)(x f , 则Y 的数学期望为

.)()()]([)(⎰∞

∞-==dx x f x g X g E Y E

注: (i)定理的重要性在于:求)]([X g E 时, 不必知道)(X g 的分布, 只需知道X 的分布即可. 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便;

(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形, 即有

定理2 设),(Y X 是二维随机向量, ),(Y X g Z =,且)(Z E 存在, 则 （1）若),(Y X 为离散型随机向量, 其概率分布为

),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i

则Z 的数学期望为

,),()],([)(11∑∑∞

=∞

===j i ij j i p y x g Y X g E Z E

（2） 若),(Y X 为连续型随机向量, 其概率密度为),(y x f 则Z 的数学期望为

.),(),()],([)(⎰

⎰

∞∞-∞

∞

-==dx y x f y x g Y X g E Z E

四、数学期望的性质

1. 设C 是常数, 则;)(C C E =

2．若k 是常数，则);()(X kE kX E =

3. );()()(2121X E X E X X E +=+

4. 设Y X ,独立, 则)()()(Y E X E XY E =;

注: (i) 由)()()(Y E X E XY E =不一定能推出Y X ,独立，例如，在例10中，已计算得 4

9)()()(=

=Y E X E XY E ， 但 8

1

}0{},431{,0}0,1{=======Y P X P Y X P ，显然

}0{}1{}0,1{=⋅=≠==Y P X P Y X P 故X 与Y 不独立

(ii) 这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形.

例题选讲：

离散型随机变量的数学期望

例1 (讲义例1) 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为21,X X , 它们的分布律分别为

,8

.02.002

101i

p X

1

.03.06.02

102i

p X

试评定他们的成绩的好坏.

解

我们来计算1X 的数学期望, 得8.18.022.0100)(1=⨯+⨯+⨯=X E (分).

这意味着, 如果甲进行很多次的射击, 那么, 所得分数的算术平均就接近1.8, 而乙所得

分数的数学期望为).(5.01.023.016.00)(2分=⨯+⨯+⨯=X E

很明显, 乙的成绩远不如甲的成绩.

例2 (讲义例2) 某种产品的每件表面上的疵点数服从参数8.0=λ的泊松分布, 若规定疵点数不超过1个为一等品, 价值10元; 疵点数大于1个不多于4个为二等品, 价值8元; 疵点数超过4个为废品. 求:

(1) 产品的废品率; (2) 产品价值的平均值.

解 设X 代表每件产品上的疵点数, 由题意知.8.0=λ

)1( 因为∑

=--

=≤-=>4

8

.0!8.01}4{1}4{k k e k X P X P ,411001.0= 所以产品的废品率为.411001.0

)2( 设Y 代表产品的价值, 那么Y 的概率分布为:

}

4{}41{}1{0

810>≤<≤X P X P X P P Y

所以产品价值的平均值为

}41{8}1{10)(≤<⨯+≤⨯=X P X P Y E }4{0>⨯+X P

0!8.08!8.0104

2

8

.01

08.0+⨯+⨯=∑

∑

=-=-k k k k e k e k ).(61.9元=

例3 按规定，某车站每天8:00~9:00和9:00~10:00之间都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立. 其规律为

一旅客8:20解 设旅客的候车时间为X (以分计). 的分布律为

6

2616

3616

1

6162639070503010⨯⨯⨯

i

p X 在上表中, 例如,6

3

61)()()(}70{⨯=

===B P A P AB P X P 其中A 为事件 “第一班车在10:8到站”, B 为 “第二班车在30:9到站”. 候车时间的数学期望为

362

90363703615062306310)(⨯

+⨯+⨯+⨯+⨯=X E ).(22.27分=

连续型随机变量的数学期望

例4 (讲义例3) 已知随机变量X 的分布函数 ⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤<≤=4,140,4/0,0)(x x x x x F , 求).(X E