2020届高考物理总复习讲义： 电磁感应中的动力学、能量和动量问题

第4节电磁感应中的动力学、能量和动量问题

高考对本节内容的考查常以压轴计算题的形式呈现，即便以选择题的形式考查，通常题目难度也较大，因为这类题目可以说是以电磁感应为载体，把直线运动、相互作用、牛顿运动定律、机械能、动量、电路、磁场，甚至包括电场和交变电流等力学、电学知识全部综合到一起进行考查。

考点一电磁感应中的动力学问题[多维探究类]

1．两种状态及处理方法

2．抓住力学对象和电学对象间的桥梁——感应电流I、切割速度v，“四步法”分析电磁感应中的动力学问题

考法(一)导体棒在磁场中静止

[例1](2017·天津高考)如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电

阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强

磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀

减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是()

A．ab中的感应电流方向由b到a

B．ab中的感应电流逐渐减小

C．ab所受的安培力保持不变

D．ab所受的静摩擦力逐渐减小

[解析]根据楞次定律，可判断ab中感应电流方向从a到b，A错误；磁场变化是均匀的，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势恒定不变，感应电流I恒定不变，B错误；安培力F＝BIL，由于I、L不变，B减小，所以ab所受的安培力逐渐减小，根据力的平衡条件，静摩擦力逐渐减小，C错误，D正确。

[答案] D

考法(二)导体棒在磁场中做匀速运动

[例2](2016·全国卷Ⅱ)如图，水平面(纸面)内间距为l的平行金属导

轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上。t＝0时，金属

杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。t0时刻，金

属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求：

(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；

(2)电阻的阻值。

[思路点拨]

分别画出金属杆进入磁场前、后的受力示意图，有助于快速准确的求解问题。

[解析](1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得

ma＝F－μmg①

设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有

v＝at0②

当金属杆以速度v在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律，杆中的电动势为

E ＝Blv ③ 联立①②③式可得 E ＝Blt 0????F

m －μg 。④

(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I ，根据欧姆定律 I ＝E

R ⑤

式中R 为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为 F 安＝BlI ⑥

因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得 F －μmg －F 安＝0⑦ 联立④⑤⑥⑦式得 R ＝B 2l 2t 0m

。⑧

[答案] (1)Blt 0????F m －μg (2)B 2l 2

t 0m 考法(三) 导体棒在磁场中做加速运动

[例3] (2018·江苏高考)如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为θ，间距为d 。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向与导轨平面垂直。质量为m 的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s ，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。金属棒被松开后，以加速度a 沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g 。求下滑到底端的过程中，金属棒

(1)末速度的大小v ； (2)通过的电流大小I ； (3)通过的电荷量Q 。

[解析] (1)金属棒做匀加速直线运动， 根据运动学公式有v 2＝2as 解得v ＝2as 。

(2)金属棒所受安培力F 安＝IdB 金属棒所受合力F ＝mg sin θ－F 安 根据牛顿第二定律有F ＝ma 解得I ＝m g sin θ－a

dB 。

(3)金属棒的运动时间t ＝v

a ，

通过的电荷量Q ＝It

解得Q ＝m g sin θ－a

2as

dBa

。

[答案] (1)2as (2)m (g sin θ－a )

dB

(3)m (g sin θ－a )2as dBa

[易错提醒]

导体棒或线框做匀变速直线运动时，才能应用牛顿第二定律和运动学公式解题，如果是加速度变化的问题，一般要应用能量或动量观点。

考点二电磁感应中的能量与动量问题[多维探究类] 考法(一)电磁感应中的能量问题

[例1]如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.4 m，导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN。Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B＝0.5 T。在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1 kg、电阻R1＝0.1 Ω的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4 kg、电阻R2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2，问：

(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向；

(2)ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大？

(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8 m，此过程中ab 上产生的热量Q是多少？

[解析](1)由右手定则可判断出cd中的电流方向为由d到c，则

ab中电流方向为由a流向b。

(2)开始放置时ab刚好不下滑，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，

设其为F max，有F max＝m1g sin θ①

设ab刚要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有E＝BL v②

设电路中的感应电流为I ，由闭合电路欧姆定律有 I ＝

E

R 1＋R 2

③ 设ab 所受安培力为F 安，有F 安＝BIL ④ 此时ab 受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下， 由平衡条件有F 安＝m 1g sin θ＋F max ⑤ 综合①②③④⑤式，代入数据解得v ＝5 m/s 。

(3)设cd 棒运动过程中在电路中产生的总热量为Q 总，由能量守恒定律有m 2gx sin θ＝Q

总

＋1

2m 2v 2 又Q ＝

R 1

R 1＋R 2

Q 总 解得Q ＝1.3 J 。

[答案] (1)由a 流向b (2)5 m/s (3)1.3 J [题型技法]

电磁感应问题中的能量转化及焦耳热的求法

(1)能量转化

其他形式的能量――→克服安培力做功电能――→电流做功 焦耳热或其他

形式的能量 (2)求解焦耳热Q 的三种方法

考法(二) 电磁感应中的动量问题

[例2] (多选)如图，在水平面内固定有两根相互平行的无限长光

滑金属导轨，其间距为L ，电阻不计。在虚线l 1的左侧存在竖直向上

的匀强磁场，在虚线l2的右侧存在竖直向下的匀强磁场，两部分磁场的磁感应强度大小均为B。ad、bc两根电阻均为R的金属棒与导轨垂直，分别位于两磁场中，现突然给ad棒一个水平向左的初速度v0，在两棒达到稳定的过程中，下列说法正确的是()

A．两金属棒组成的系统的动量守恒

B．两金属棒组成的系统的动量不守恒

C．ad棒克服安培力做功的功率等于ad棒的发热功率

D．ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和

[解析]开始时，ad棒以初速度v

切割磁感线，产生感应电动势，在回路中产生顺时针方向(俯视)的感应电流，ad棒因受到向右的安培力而减速，bc棒受到向右的安培力而向右加速；当两棒的速度大小相等，即两棒因切割磁感线而产生的感应电动势相等时，回路中没有感应电流，两棒各自做匀速直线运动；由于两棒所受的安培力都向右，两金属棒组成的系统所受合外力不为零，所以该系统的动量不守恒，选项A错误，B正确。根据能量守恒定律可知，ad棒动能的减小量等于回路中产生的热量和bc棒动能的增加量，由动能定理可知，ad棒动能的减小量等于ad棒克服安培力做的功，bc棒动能的增加量等于安培力对bc棒做的功，所以ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和，选项C错误，D正确。

[答案]BD

[延伸思考]

(1)双棒稳定时，是否还受安培力？

(2)若ad、bc棒的质量分别为m、2m，则两棒达到稳定时的速度为多大？

(3)接(2)问中，ad棒向左运动的过程中，ad棒产生的总焦耳热是多少？

提示：(1)稳定时，产生电动势相等，回路中无感应电流，不受安培力。

(2)稳定时，v a＝v b，由动量定理

对ad棒：－B I Lt＝m v a－m v0

对bc棒：B I Lt＝2m v b－0

得v a＝v b＝1 3 v0

(3)对系统应用能量守恒定律

Q总＝1

2m v0

2－1

2m v a

2－1

2×2m v b

2

由公式Q＝I2Rt得：Q a

Q总

＝

R

2R＝

1

2

则Q a＝1

6m v0

2。

[一题悟通]

例题及相关延伸思考旨在让考生掌握利用动量、能量的观点解决电磁感应问题，会根据相关条件分析双杆切割磁感线运动问题，会用“三大力学观点”解决此类问题。

[例3]如图所示，在大小为B的匀强磁场区域内，垂直磁场方向的

水平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导

体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为l，导体棒

的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽略不计。设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速v0，求：

(1)当cd棒速度减为0.8v0时的加速度大小；

(2)从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能为多大？

(3)两棒之间距离增长量x的上限。

[解析] (1)设当cd 棒速度减为0.8v 0时ab 棒的速度为v ′，由动量守恒定律得 m v 0＝0.8m v 0＋m v ′① 解得：v ′＝0.2v 0 此时回路的电流是I ＝

Bl (0.8－0.2)v 0

2R

②

cd 棒的加速度为a ＝BIl m

③ 解得：a ＝3B 2l 2v 0

10mR

。

(2)设两棒稳定时共同的末速度为v ，据动量守恒定律得 m v 0＝(m ＋m )v ④ 解得：v ＝1

2

v 0⑤

由能量守恒定律得，最终稳定后电路中产生的电能为 Q ＝12m v 02－12(m ＋m )v 2＝1

4

m v 02。

(3)由法拉第电磁感应定律得，电路中产生的感应电动势 E ＝

ΔΦΔt ＝Bl Δx Δt

⑥ 这段时间内回路的电流为I ＝

E

2R

⑦ 对cd 棒由动量定理得：－B I l Δt ＝m v －m v 0⑧

由⑤～⑧解得Δx ＝

mR v 0

B 2l 2

。⑨ [答案] (1)3B 2l 2v 010mR (2)1

4m v 02 (3)mR v 0B 2l 2

“融会贯通”归纳好——“杆＋导轨＋电阻”四种模型剖析

1.如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd 由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求：

(1)杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。

解析：(1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ，则杆产生的感应电动势E ＝BL v ，回路中的感应电流I ＝

E

R ＋R

杆所受的安培力F ＝BIL

根据牛顿第二定律有mg sin θ－B 2L 2v

2R

＝ma

当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下 当杆的加速度a ＝0时，速度最大， 最大速度v m ＝

2mgR sin θ

B 2L 2

，方向沿导轨平面向下。

(2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋12

m v m 2

又Q杆＝1

2Q总

所以Q杆＝1

2mgx sin θ－

m3g2R2sin2θ

B4L4。

答案：(1)g sin θ2mgR sin θ

B2L2(2)

1

2mgx sin θ－

m3g2R2sin2θ

B4L4

2．如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层。匀强磁场的磁感应

强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨

的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀

速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，

接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度

为g。求：

(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；

(2)导体棒匀速运动的速度大小v；

(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。

解析：(1)在绝缘涂层上导体棒受力平衡，有

mg sin θ＝μmg cos θ

解得μ＝tan θ。

(2)在光滑导轨上

感应电动势E＝BL v

感应电流I＝E R

安培力F安＝BIL

导体棒受力平衡有F安＝mg sin θ

联立解得v＝mgR sin θB2L2。

(3)摩擦生热Q ′＝μmgd cos θ

由能量守恒定律有3mgd sin θ＝Q ＋Q ′＋1

2m v 2

联立解得Q ＝2mgd sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ

2B 4L 4。

答案：(1)tan θ (2)mgR sin θ

B 2L 2

(3)2mgd sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ

2B 4L 4

[反思领悟]

“杆＋导轨＋电阻”模型是电磁感应中的常见模型，选择题和计算题均有考查。该模型以单杆或双杆在导体轨道上做切割磁感线运动为情景，综合考查电路、动力学、功能关系等知识。在处理该模型时，要以导体杆切割磁感线的速度为主线，由楞次定律、法拉第电磁感应定律和欧姆定律分析电路中的电流，由牛顿第二定律分析导体杆的加速度及速度变化，由能量守恒分析系统中的功能关系。