五年级奥数 容斥原理
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容斥原理
主讲：刘文峰Biblioteka Baidu
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合， 0、1、2、3、4、 5 、6 、7 、8 、9 便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为
这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10 个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合 A、B 合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把 A 、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B 两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A ＋B －AB 。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意， 搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了 适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
实战演练 1
? 1，一个班的 52 人都在做语文和数学作业。有 32 人 做完了语文作业，有 35 人做完了数学作业。语文、 数学作业都做完的有多少人？
? 2，五年级有 122 人参加语文、数学考试，每人至少 有一门功课得优。其中语文得优的有 65 人，数学得 优的有87 人。语文、数学都得优的有多少人？
? 把懂英语和懂日语的人数加起来得
? 35＋34=69人， ? 但是，两种语言都懂的21人被统计过两
次，应该从69里去掉一个21才能得出这 个地区外语教师的总人数：
? 69－21=48人。
实战演练 2
? 1，某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。 已知有900 人爱好体育活动，有 850 人爱好文娱活动， 其中260 人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少 人？
? 3，老师在统计考试成绩，数学得 90 分以上的有 25 人，语文得 90 分以上的有 21 人，两科中至少有一科 在90 分以上的有 38 人。两科都在 90 分以上的有多少 人？
? 实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
实战演练 5
? 1，40 人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中 的一题。已知做对第一题的有 30 人，做对第二题的 有21 人。只做对第一题的有多少人？
实战演练4
? 1，五一小学举行小学生田径运动会，其中 24 名运 动员不是六年级的， 28 名运动员不是五年级的，已 知五、六年级运动员共有 32 名，求五、六年级和中 低年级运动员各有多少名？
? 2，少年乐团学生中有 170 人不是五年级的，有 135 人不是六年级的，已知五、六年级的共有 205 人， 求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？
? 3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有 24 朵不是 红色的，有 20 朵不是黄色的，已知红花和黄花一共 有18 朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
? 在100 个外语教师中，懂英语的有75 人， 懂日语的有45 人，其中必然有既懂英语 又懂日语的老师。问：只懂英语的老师 有多少人？
分析与解答
? 显然，两种语言都懂的人在懂英语的 75 人中统计 过一次，在懂日语的 45 人中又统计过一次。因此， 75 ＋45=120 人，比100 多出的20 人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的 75 人中减去两 种语言都懂的 20 人，就是只懂英语的人数了： 75 －20=55 人。
五年级96 名学生都订了报纸，有64 人订了 少年报，有48 人订了小学生报。两种报纸
都订的有多少人？
分析与解答
? 用左边的圆表示订少年报的64人，右边 的圆表示订小学报的48人，中间重叠部 分表示两种报刊都订的人数。显然，两 种报刊都订的人数被统计了两次：
? 64＋48=112人， ? 比总人数多112 －96=16 人， ? 这16人就是两种报刊都订的人数。
? 2，某班在一次测验中有 26 人语文获优，有 30 人数 学获优，其中语文、数学双优的有 12 人，另外还有 8 人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？
? 3，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对 第一题的有 15 人，做对第二题的有 10 人，两题都做 对的有7 人，两题都做错的有 2 人。第一小组共有多 少人？
? 84＋86－25=144人， ? 所以，这两个小组都不参加的人数是： ? 250－144=106人。
实战演练 3
? 1，五年级有 250 人，其中参加象棋组的有 83 人，参 加乒乓球组的有 86 人，这两个小组都参加的有 25 人。 两个小组都不参加的有多少人？
? 2，五（1）班有50 人，在一次测试中，语文 90 分以 上的有30 人，数学 90 分以上的 35 人，语文和数学都 在90 分以上的有 20 人。两科都在 90 分以下的有多少 人？
分析与解答
? 由“16 人不是四年级的”可知：16 人是五年级和其他年级 的；由“12 人不是五年级的”可知：12 人是四年级和其它 年级的。用16 ＋12 可算出四年级加五年级以及两个其它年 级的人数和，再减去20 就得两个其他年级的人数，这样其他 年级的人数是：
? （16 ＋12 －20 ）÷2=4 人， ? 该校参加书法比赛获奖的总人数是: ? 4＋20=24 人。
? 3，某班有 50 名学生，在一次测验中有 26 人满分， 在第二次测验中有 21 人满分。如果两次测验都没得 过满分的学生有 17 人，那么，两次测验都得满分的 有多少人？
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35 人懂 英语，34 人懂日语，两种语言 都懂的有21 人。这个学校共有 多少名教师？
例3、
? 学校开展课外活动，共有250人参加。其中 参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动， 参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86 人，这两个小组都参加的有25人。问这250 名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有 多少人？
分析与解答
? 两个小组都参加的有25人，因此，至少参 加这两种小组的一个小组的人数是：
主讲：刘文峰Biblioteka Baidu
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合， 0、1、2、3、4、 5 、6 、7 、8 、9 便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为
这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10 个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合 A、B 合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把 A 、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B 两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A ＋B －AB 。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意， 搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了 适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
实战演练 1
? 1，一个班的 52 人都在做语文和数学作业。有 32 人 做完了语文作业，有 35 人做完了数学作业。语文、 数学作业都做完的有多少人？
? 2，五年级有 122 人参加语文、数学考试，每人至少 有一门功课得优。其中语文得优的有 65 人，数学得 优的有87 人。语文、数学都得优的有多少人？
? 把懂英语和懂日语的人数加起来得
? 35＋34=69人， ? 但是，两种语言都懂的21人被统计过两
次，应该从69里去掉一个21才能得出这 个地区外语教师的总人数：
? 69－21=48人。
实战演练 2
? 1，某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。 已知有900 人爱好体育活动，有 850 人爱好文娱活动， 其中260 人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少 人？
? 3，老师在统计考试成绩，数学得 90 分以上的有 25 人，语文得 90 分以上的有 21 人，两科中至少有一科 在90 分以上的有 38 人。两科都在 90 分以上的有多少 人？
? 实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
实战演练 5
? 1，40 人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中 的一题。已知做对第一题的有 30 人，做对第二题的 有21 人。只做对第一题的有多少人？
实战演练4
? 1，五一小学举行小学生田径运动会，其中 24 名运 动员不是六年级的， 28 名运动员不是五年级的，已 知五、六年级运动员共有 32 名，求五、六年级和中 低年级运动员各有多少名？
? 2，少年乐团学生中有 170 人不是五年级的，有 135 人不是六年级的，已知五、六年级的共有 205 人， 求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？
? 3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有 24 朵不是 红色的，有 20 朵不是黄色的，已知红花和黄花一共 有18 朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
? 在100 个外语教师中，懂英语的有75 人， 懂日语的有45 人，其中必然有既懂英语 又懂日语的老师。问：只懂英语的老师 有多少人？
分析与解答
? 显然，两种语言都懂的人在懂英语的 75 人中统计 过一次，在懂日语的 45 人中又统计过一次。因此， 75 ＋45=120 人，比100 多出的20 人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的 75 人中减去两 种语言都懂的 20 人，就是只懂英语的人数了： 75 －20=55 人。
五年级96 名学生都订了报纸，有64 人订了 少年报，有48 人订了小学生报。两种报纸
都订的有多少人？
分析与解答
? 用左边的圆表示订少年报的64人，右边 的圆表示订小学报的48人，中间重叠部 分表示两种报刊都订的人数。显然，两 种报刊都订的人数被统计了两次：
? 64＋48=112人， ? 比总人数多112 －96=16 人， ? 这16人就是两种报刊都订的人数。
? 2，某班在一次测验中有 26 人语文获优，有 30 人数 学获优，其中语文、数学双优的有 12 人，另外还有 8 人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？
? 3，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对 第一题的有 15 人，做对第二题的有 10 人，两题都做 对的有7 人，两题都做错的有 2 人。第一小组共有多 少人？
? 84＋86－25=144人， ? 所以，这两个小组都不参加的人数是： ? 250－144=106人。
实战演练 3
? 1，五年级有 250 人，其中参加象棋组的有 83 人，参 加乒乓球组的有 86 人，这两个小组都参加的有 25 人。 两个小组都不参加的有多少人？
? 2，五（1）班有50 人，在一次测试中，语文 90 分以 上的有30 人，数学 90 分以上的 35 人，语文和数学都 在90 分以上的有 20 人。两科都在 90 分以下的有多少 人？
分析与解答
? 由“16 人不是四年级的”可知：16 人是五年级和其他年级 的；由“12 人不是五年级的”可知：12 人是四年级和其它 年级的。用16 ＋12 可算出四年级加五年级以及两个其它年 级的人数和，再减去20 就得两个其他年级的人数，这样其他 年级的人数是：
? （16 ＋12 －20 ）÷2=4 人， ? 该校参加书法比赛获奖的总人数是: ? 4＋20=24 人。
? 3，某班有 50 名学生，在一次测验中有 26 人满分， 在第二次测验中有 21 人满分。如果两次测验都没得 过满分的学生有 17 人，那么，两次测验都得满分的 有多少人？
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35 人懂 英语，34 人懂日语，两种语言 都懂的有21 人。这个学校共有 多少名教师？
例3、
? 学校开展课外活动，共有250人参加。其中 参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动， 参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86 人，这两个小组都参加的有25人。问这250 名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有 多少人？
分析与解答
? 两个小组都参加的有25人，因此，至少参 加这两种小组的一个小组的人数是：