数列极限收敛准则(单调有界收敛准则)

再证数列有上界: 利用二项式公式 , 有 n n ( n 1 ) n ( n 1)( n 2 ) 1 1 n 1 1 a n (1 ) 1 2 3 n 2! n 1! n 3! n
n ( n 1) ( n n 1) 1 n n! n 1 1 1 1 1 (n 2) 2! 3! n! 1 1n 2 1 1 1 1 12 13 1 2 2 2 2 n 1 1 1 2 1 1 2 n 1 3 即 a n 3 则数列有上界. 2
a n 时, 下述作法是否正确? 不正确! 求 lim n
设 lim a n a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
此处
a 1
3 , 7 , 15 , 31,
发散！
a n : 1,
能假设极限式成立的前提：已证明极限存在!
利用单调有界准则求极限的方法 证明极限存在
均值不等式 几何平均 算术平均
例8. 的极限存在.
求证:数列
证: 利用单调有界定理证. 先证数列递增: 由均值不等式,
n 1 (1 ) n 1 (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) 1 n n n n n (1 1 ) 1 n 1 1 n 1 n 1 a n (1 1 ) n (1 1 ) n 1 a n 1 n 1 n 即 a n a n 1 ( n 1, 2 , ), 则数列递增. n 1
对 0 , N 0 , 使 a N a , 当n >N 时, 有
a a N a n a a , 即 an a .
则 lim a n a M
n
a1 a aN an a M
二项式公式（其中 n 为正整数）
特别地
c 1 c 即 ( a 1) c 0 a
k n 则 lim n 0 ( a 1, k 常数 ) n a
c 0
常用极限
1 lim k 0 n n
lim q n 0
n
k 0
n lim (1 1 ) e n
q
1
lim
n
k 1 1 (1 ) x n a n
(*) 递推公式
例10. 利用单调有界准则求证: lim n n 0 ( a 1, k 常数 ) n a
k
证:
x n 1
k 1 1 (1 ) x n (*) 设 lim x n c a n n
(*)式两边取极限,有
k n 例10. 利用单调有界准则求证: lim n 0 ( a 1, k 常数 ) n a
k k k ( n 1 ) ( n 1 ) n n 1 (1 1 ) k x 1 证: 设 x n n , xn 1 n 1 n a a nk an a n a
n

n
a 1
a0
lim
n
n
n 1
n lim (1 1 ) 1 ( 常数 ) n n k lim n n 0 ( a 1, k 常数 ) n a n a lim 0 a 0 n n!
例11
已知 a 1 1 , a n 1 1 2 a n ( n 1 , 2 , )
n
数列单调递增有上界,
lim a n a 3 .
n 1 lim (1 ) e n n
lim (1 1 ) 1 ( 常数 ) n n
其中e 为无理数 , 其值为 e 2 .718281828459045
1 )n 3 lim ( 1 例9. n n lim [(1 1 ) n (1 1 ) 3 ] e 1 e n n n 1 n 1 1 lim (1 ) lim n n n e (1 1 ) n n lim (1 1 ) n lim [(1 1 ) n 3 (1 1 ) 3 ] e n n3 n n3 n3
b
定理5（单调有界准则） 单调有界数列必有极限
{a n }
单调递增有上界M 单调递减有下界N
lim a n a ( M )
n
lim a n a ( N )
n
证: 设数列{a n }递增有上界M, a1 a 2 a n M , 由确界原理知必存在上确界设为a, 故 a n a M .
{a n }
lim a n a ( M )
n
lim a n a ( N )
n
a1 a 2 a n a n 1 M
(单调递增有上界)
lim a n a M
n
a1 a2
an a n 1 a
n
M
lim a n b N
(单调递减有下界)
§2
数列极限
§2.1 数列极限的定义 §2.2 收敛数列的性质
§2.3 极限存在准则
§2.3
数列极限存在的准则
夹逼准则
2 3
单调有界准则
数列及子数列
1
收敛准则
1 lim 1 e n n
n
定理5（单调有界准则） 单调有界数列必有极限
{a n }
单调递增有上界M 单调递减有下界N
k
x n 1
x n 1 lim lim 1 (1 1 ) k 1 1, 由不等式性质, n x n a n a n xn 1 N 0 0 , 当 n N 0时 , 1, 即 x n 1 x n , 又 x n 0， xn
故xn 递减有下界, 则数列收敛. 设 lim x n c