第7章卡方检验

(2) 当n≥40，有任一格1≤T＜5时，可用Yates校正公式；
(3) 当n＜40或有T＜1时，用Fisher’s exact probability。
7.2 配对四格表资料的χ2检验
配对设计包括：（1）同一批样品用两种不同的处理方法；（2）观察 对象根据配对条件配成对子，同一对子内不同的个体分别接受不同的处理； （3）在病因和危险因素的研究中，将病人和对照按配对条件配成对子， 研究是否存在某种病因或危险因素。
合计
282
44
326
二、各实验组与同一对照组比 关键是检验水平的校正
'
2k 1
自学
7.6 双向有序分组资料的线性趋势检验
表7-13年龄与冠状动脉硬化的关系（P125） 不作要求
年龄(岁） （X）
20～ 30～ 40～
≥50 合计
冠状动脉硬化等级（Y）
0
自由度＝1 自由度＝2 自由度＝3 自由度＝6 P＝0.05的临界值
3 3.84 6 7.81 9
1122.59 15
18
卡方值
性质:若 2 (1 ), 2 (2 )互相独立,
则
2 (1 ) 2 (2 ) 服从 2分布, 自由度 1 2 2 (1 ) 2 (2 )服从 2分布, 自由度 1 2
若 a (甲＋ 乙＋)、 b (甲＋ 乙－)、 c (甲－ 乙＋)、 d (甲－ 乙－)。 将a、b、c、d四种情况的对子数填入四格表
P114 例7-3
观察的结果只有阳性、阴性两种可能，清点成对资料时发现 则存在四种情况。
（1）两种方法都出现阳性（共有11例）； （2）免疫荧光法阳性而乳胶凝集法却是阴性（共有12例）； （3）免疫荧光法阴性而乳胶凝集法却是阳性（共有2例）； （4）两种检测方法均为阴性结果（共有33例）。
bc
7.4 行×列表资料的 2检验
1、多个样本率的比较 2、样本构成比的比较 3、双向无序分类资料的关联性检验
专用公式
2 n(
A2 1)
nR nC
自由度ν = (R-1)(C-1)
多个样本率或两个构成比 比较的2检验
表7-8 三种疗法有效率的比较
疗法
物理疗法 药物治疗 外用膏药 合计
有效
B
0.05
检验水准调整：
' =
k(k 1) / 2+1
注：k为被比较率的个数
三种疗法治疗周围性面神经麻痹的实例中，检验
水准调整为：
' 0.05 0.05 / 4 0.0125
3(3 1) / 2 1
对应的临界值:P122 表7-11
2 0.0125,1
6.24
表7-12 三种疗法有效率的两两比较 （P123）
卡方检验
(Chi-square test)
Li Junrong
stat9@126.com
7.1 四格表资料的χ2检验
2 检验(Chi-square test)是现代统计学的创始人之
一K. Pearson提出的一种具有广泛用途的统计方法。 该检验可用于两个及多个率（或者构成比）之间
的比较，计数资料的关联度分析，拟合优度检验等。
称该分布具有可加性。
卡方检验的基本思想
四格表
(fourfold table)
表7-1 两组降低颅内压有效率的比较（P137）
组别
试验组 对照组 合计
有效
99 75 174
无效
5 21 26
合计
104 96 200
有效率(%)
95.20 (p1) 78.13 (p2) 87.00 (pc)
实际频数A (actual frequency) 理论频数T (theoretical frequency)
校正公式：
一般认为： 四格表在n>40时出现有任一格
1 ≤ T＜5时，需要校正。
2 c
( A T 0.5)2 T
2 c
(a
( ad bc n / 2)2 n b)(c d)(a c)(b
d)
例7-2 P114
例子
2 c
(
46
8 52
6
18 26
78 2)2 64 14
78
3.14
18231451 18231666
348 2684
213.16
(4 1)(3 1) 6
查界值表（P823)得: P＜0.005。按α=0.05检验水准拒绝 H0 ，接受H1 ，认为两种血型系统间有关联。
进一步计算列联系数：
C 2
213.16 0.1883
n 2 5801 213.16
上述几种情况整理成配对四格表(表7-3)
配对四格表资料的χ2检验 （McNemar's test）
H0：b，c来自同一个实验总体（B=C）；
注：B=C=(b+c)/2
H1：b，c来自不同的实验总体（B C ）；α=0.05。
当b c 40时， 2 (b c)2 , 1
bc
b c 40时，需作连续性校正， 2 ( b c 1)2 , 1
3 3.84 6 7.81 9
1122.59 15
18
卡方值
χ2检验的基本公式
2 ( A T )2 , T
(R 1)(C 1)
上述检验统计量由K. Pearson提出，因此许多统计软 件上常称这种检验为Pearson’s Chi-square test，下面将要 介绍的其他卡方检验都是在此基础上发展起来的。
2)属性相同，是配对四格表的扩展，可作一致性检验（Kappa检验）。
7.5 多个样本率比较的 2 分割法
一、多个实验组间的两两比较
（类似于Post-hoc分析中探索性比较）
检验假设： (以P119 例7-6为例，进一步分析）
H0： A
，任两对比组的总体有效率相等
B
H1： A
，任两对比组的总体有效率不等
一、卡方检验的基本思想
首先介绍一个抽样分布：卡方分布 属连续型分布 可加性是其基本性质
唯一参数，即自由度
(1) 自由度为 1 的 2分布
若 Z ~ N (0,1),则 Z 2的分布称为自由度为 1 的 2分布.
(Chi-square
distribution),记为
2 (1)
或
2
(1)
它反映了理论数与实际数的吻合情况，该统计量近似
地服从自由度为ν的卡方分布。
查附表8，P715
χ2分布（Chi-Square distribution）
0.5 0.4
f
( 2)
1
2( / 2)
2
2
( / 21)
e2 / 2
纵高
0.3 0.2 0.1 0.0
0
自由度＝1 自由度＝2 自由度＝3 自由度＝6 P＝0.05的临界值
原理：P值为在无效假设成立的前提下，得到现有 样本四格表以及更极端情况下的四格表的概率。
四格表资料分析小结(重要)
Fisher’s exact probability法均适用 卡方检验是一种近似检验
（1）当n≥40，T>5时,可用。然而当P值接近0.05时最好用
Fisher’s exact probability法；
206 481 20651
144 51
21.04
(3 1)(2 1) 2
查2界值表，得p＜0.005，按α＝0.05水准，拒绝H0 ，接受 H1 ，三种疗法治疗周围性面神经麻痹的有效率有差别。
双向无序分类资料的关联性检验
表7-10 某地5801人的血型
ABO血型
O A B AB 合计
M 431 388 495 137 1451
(a b)(b d )
(c d )(b d )
abcd
abcd
abcd
(ad bc)2 n
(a b)(c d )(a c)(b d )
1 ; （四格表 2检验专用公式）
上面的例子
2 (99 21 5 75)2 200 12.86 , 1
104 96 174 26
（1）增大样本含量（最好！）
（2）根据专业知识将相邻的行或列进行合理合并。（易丢失部分信 息！有时甚至出假象!）
(3)精确概率法。
(4)似然比χ2检验(likelihood ratio Chi-squre test) 2. R×C表χ2检验若有统计学意义，有必要进一步比较时，可考虑多
重比较（本章第5节）。
2 0.005,1
7.88;
P 0.005
查附表8，P715
如果 2
2 0.05,1
3.84;
P
0.05
如果 2
2 0.05,1
3.84;
P 0.05
三、连续性校正公式
χ2分布是一连续型分布，而四格表资料属离散型资料，
对 其 进 行 校 正 称 为 连 续 性 校 正 (correction for continuity),又称Yates校正（Yates' correction）。
,
1
因为有一格1＜T＜5，且n＞40时，所以应用连续性校
正χ2检验。
四、精确概率法(Fisher’s exact probability)
在无效假设成立的前提下且周边合计固定时，产生任意 一个四格表(i)的概率Pi 服从于超几何分布，其计算式为：
a b!c d !a c!b d !
Pi
a!b!c!d !n!
对比组
有效
无效
合计
2值
P值
物理疗法组 199
7
206
药物治疗组 164
18
182
6.76
<0.0125
合计
363
25
388
物理疗法组 199
7
206
外用膏药组 118
26
144
合计Baidu Nhomakorabea
317
33
350
21.32
<0.00313
药物治疗组 164
18
182
外用膏药组 118
26
144
4.59
>0.0125 (NS)
.
图形:
0.3
0.2
0.1
0.0
0
2
4
6
8
10
2 0.05(1)
3.84
(1.96)2
Z2 0.05 / 2
2 0.01(1)
6.63
(2.5758)2
Z2 0.01/ 2
(2) Z1 , Z2 ,..., Z 互相独立,均服从 N (0,1) ,
则 Z12
Z
2 2
...
Z2的分布称自由度为 的
结论：两种血型系统间虽然有关联性(有统计学
意义)，但列联系数数值较小，仍可认为关系不太
密切。
R×C表χ2检验的应用注意事项
1. Pearson’s chi-quare test对理论频数有要求。对R×C表，若较 多格子（1/5）的理论频数小于5或有一个格子的理论频数小于1，则易犯 第一类错误。
出现某些格子中理论频数过小时怎么办？
二、四格表资料专用公式
为了省去计算理论频数T, 可由基本公式推导出，直接 由各格子的实际频数（a、b、c、d）计算卡方值的公式：
基本公式： 2 ( A T )2 T
a
(a a
b)(a bc
c) d
2
b
(a a
b)(b bc
d) d
2
L
d
(c a
d b
)(b c
d) d
2
(a b)(a c)
R×C表χ2检验的应用注意事项(续)
3.两组/多组比较时，若效应有强弱的等级（单向有序分类资料），如+ ，++，+++，只能采用非参数检验方法(秩和检验或Ridit分析）。χ2检验
只能反映其构成比有无差异，不能比较效应的平均水平，故不能用！。 4.行列两种属性皆有序时（双向有序分类资料）:
1)属性不同，考虑分析目的有三：单向有序行列表分析，线性趋势检 验（本章第六节，下述）或等级相关分析（后述）。
TRC
行(row)合计 列(column)合计 总例数
nR nC n
2
( A T )2 ,
(R 1)(C 1)
T
2 (99 90.48)2 (5 13.52)2 (75 83.52)2 (21 12.48)2
90.48
13.52
83.52
12.48
12.86
v (2 1)(2 1) 1
2 分布,
记为
2 (
)
或
2
(
) ,或简记为
2.
图形:
自由度
很大时,
2 (
)
近似地服从正态分布.有
Z
2 ( )
2
,
2 (
)服从均数为，方差为2的正态分布
χ2分布（Chi-square distribution）
0.5 0.4
f
(
2)
1
2(
/
2)
2
2
(
/ 21)
e2
/2
纵高
0.3 0.2 0.1 0.0
199 164 118 481
无效
7 18 26 51
合计
206 182 144 532
有效率 （%） 96.60
90.11
81.94
90.41
H0：π1 ＝ π2 ＝ π3 ，即三种疗法治疗周围性
面神经麻痹的总体有效率相等 H1：三种疗法治疗周围性面神经麻痹的有效率
不全相等
0.05
2 532( 1992 72 L L 262 1)
MN血型
N
MN
490
902
410
800
587
950
179
32
1666 2684
合计
1823 1598 2032 348 5801
问题：（1）两分类变量（行、列变量）有无关联？ （2）关联程度如何？
分析步骤：
H0：两种血型系统间无关联 H1：两种血型系统间有关联
0.05
(独立性检验）
2 5801( 4312 4902 L L 322 1)