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第十章 重积分

一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.

第1节 二重积分的概念与性质

1.1 二重积分的概念

下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.

1.1.1. 曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体，它的底是x Oy 平面上的一个有界闭区域D ，其侧面是以D 的边界为准线的母线平行于z 轴的柱面，其顶部是在区域D 上的连续函数(),z f x y =，且(),0f x y ≥所表示的曲面（图10—1）.

图10—1

现在讨论如何求曲顶柱体的体积.

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）.

图10—2

(1)分割闭区域D 为n 个小闭区域

,n σσσ∆∆∆12,,,

同时也用i Δσ表示第i 个小闭区域的面积，用()i d Δσ表示区域i Δσ的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n 个小曲顶柱体.

(2)在每个小闭区域上任取一点

()()()1122,, ,, , ,n n ξηξηξη 对第i 个小曲顶柱体的体积，用高为，()i i f ξη而底为i Δσ的平顶柱体的体积来近似代替.

(3)这n 个平顶柱体的体积之和

1

(,)n

i

i

i

i f ξησ

=∆∑

就是曲顶柱体体积的近似值.

(4)用λ表示n 个小闭区域i Δσ的直径的最大值，即()max 1i i n

λd Δσ≤≤=.当0λ→ (可理解为i

Δσ收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积：

1lim (,).n

i i i i V f λξησ→==∆∑

1.1.2 平面薄片的质量

设薄片在x Oy 平面占有平面闭区域D ，它在点，()x y 处的面密度是,()ρρx y =.设

()0x y ρ>,且在D 上连续，求薄片的质量(见图10-3).

图10-3

先分割闭区域D 为n 个小闭区域

n σσσ∆∆∆12,,,

在每个小闭区域上任取一点

()()()1122,, ,, , ,n n ξηξηξη

近似地，以点,()i i ξη处的面密度,()i i ρξη代替小闭区域i Δσ上各点处的面密度，则得到第i 块小薄片的质量的近似值为,()i i i ρξηΔσ，于是整个薄片质量的近似值是

1

(,)n

i

i

i

i ρξησ

=∆∑

用()max 1i i n

λd Δσ≤≤=表示n 个小闭区域i Δσ的直径的最大值，当D 无限细分，即当0λ→时，

上述和式的极限就是薄片的质量M ，即

1lim (,)n

i i i λi M ρξηΔσ→==∑.

以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.

定义 1 设D 是x Oy 平面上的有界闭区域，二元函数,()z f x y =在D 上有界.将D 分为n 个小区域

n σσσ∆∆∆12,,,

同时用i Δσ表示该小区域的面积，记i Δσ的直径为()i d Δσ，并令()max 1i i n

λd Δσ≤≤=.

在i Δσ上任取一点,, 1,2,,()()i i ξηi n =，作乘积

()Δ,i i i f ξησ

并作和式

Δ1(,)n

i i i i n S f ξησ==∑.

若0λ→时，n S 的极限存在(它不依赖于D 的分法及点(,)i i εη的取法)，则称这个极限值为函数,()z f x y =在D 上的二重积分，记作(,)d D

f x y σ⎰⎰，即

1

(,)d lim (,)Δn

i

i

i

i D

f x y f λ

σξησ→==∑⎰⎰， (10-1-1)

其中D 叫做积分区域，,()f x y 叫做被积函数，d σ叫做面积元素，,d ()f x y σ叫做被积表达式，x 与y 叫做积分变量，Δ1(,)n

i i i i f ξησ=∑叫做积分和.

在直角坐标系中，我们常用平行于x 轴和y 轴的直线(y =常数和x =常数)把区域D 分割成

小矩形，它的边长是x ∆和Δy ，从而ΔΔΔσx y =⋅，因此在直角坐标系中的面积元素可写成d dx dy σ=⋅，二重积分也可记作

1

(,)d d lim (,)n

i

i

i

i D

f x y x y f λ

ξησ→==∆∑⎰⎰.

有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V 是函

数,()z f x y =在区域D 上的二重积分

(,)d D

V f x y σ=⎰⎰；

薄片的质量M 是面密度,()ρρx y =在区域D 上的二重积分

(,)d D

M x y ρσ=⎰⎰.

因为总可以把被积函数,()z f x y =看作空间的一曲面，所以当,()f x y 为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当,()f x y 为负时，柱体就在x Oy 平面下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值. 如果,()f x y 在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是负的，那么,()f x y 在D 上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.

如果,()f x y 在区域D 上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在)，则称,()f x y 在D 上可积.什么样的函数是可积的呢？与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.

如果,()f x y 是闭区域D 上连续，或分块连续的函数，则,()f x y 在D 上可积.

我们总假定,()z f x y =在闭区域D 上连续，所以,()f x y 在D 上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明.

1.1.3 二重积分的性质

设二元函数,,,()()f x y g x y 在闭区域D 上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质.