北京课改版初中数学八年级下册第十五章一次函数复习教案

第15章《一次函数》复习教案

同学们已经知道了一次函数是研究函数的入门知识，也是今后学习其它函数的基础．为了使大家能牢固地掌握一次函数的性质与简单应用，现从以下几个方面帮助同学们搞好一次函数重点知识的回顾．

一、要点解读 1，知识总揽

一次函数是函数大家族中的主要成员之一，是研究两个变量和学习其它函数的基础，它的表达式简单，性质也不复杂，但在我们的日常生活中的应用却十分广泛，与其它函数的联系也十分密切，许多实际问题只要我们注意细心观察，认真分析，及时将问题转化为一次函数模型，再得用一次函数的性质即可求解．

2，疑点、易错点

（1）若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成y ＝kx +b (k ≠0)，则称y 是x 的一次函数．特别地，当b ＝0时，称y 是x 的正比例函数，就是说，正比例函数是一次函数的特例，而一次函数包含正比例函数，是正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．如

y ＝－x 是正比例函数，也是一次函数，而y ＝－2x －3是一次函数，但并不是正比例函数．因

此，同学们在复习时一定要注意正确理解正比例函数和一次函数的概念，注意掌握它们之间的区别和联系．

（2）一次函数的图象是一条直线，它所经过的象限是由k 与b 决定的，所以在复习巩固一次函数的性质时可以通过函数图象来巩固，从而可以避免因k 与b 的符号的干扰．如，在如图中，表示一次函数y ＝mx +n 与正比例函数y ＝mnx (m 、n 是常数且mn ≠0)图象是（ ）

对于两不同函数图象共存同一坐标系问题，常假设某一图象正确而后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题．例如，假设选项B 中的直线y ＝mx +n 正确则m ＜0，n ＞0，mn ＜0则正比例函数y ＝mnx 则应过第二、四象限，而实际图象则过第一、三象限，所以选项B 错误．同理可得A 正确．故应选A ．

O x

y

A O x

y B

O x

y

C

O

x

y D

（3）虽然一次函数的表达式简单，性质也并不复杂，且一次函数y ＝kx +b (k ≠0)的图象是一条直线，它的位置由k 、b 的符号确定．但是，涉及实际问题的一次函数图象与自变量的取值范围，画出来的图象不一定是直线，可能是线段或其他图形，这一点既是学习一次函数的疑点，也是难点，更是解题量的易错点．如，拖拉机开始工作时，油箱中有油40L ，如果每小时耗油5L ，那么工作时，油箱中的余油量Q (L)与工作时间t (h)的函数关系用图象可表示为（ ）

依题意可以得到油箱中的余油量Q (L)与工作时间t (h)的函数关系为Q ＝40－5t ，就这个一次函数的解析式而言，它的图象是一条直线，所以不少同学就会选择A ，而事实上，自变量t 有一个取值范围，即0≤t ≤8，所以正确的答案应该选择C ．

二、思想方法

复习一次函数这一章的知识一定注意数学思想方法的巩固．具体地说，一次函数的知识涉及常见的思想方法有：

（1）函数思想

所谓的函数思想就是用一个表达式将两个变量表示出来其两个变量之间是一个对应的关系．确定两个变量之间的关系和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．

例1 长方形的长是20，宽是x ，周长是y ．写出x 和y 之间的关系式． 简析 （1）由长方形的周长公式，得y ＝2(x ＋20)＝2x +40；

说明 在依据题意写出两个变量之间的关系式时，会经常用到以前学到的各种公式，所以对以前常用的公式我们要熟练掌握，分析每一个公式的结构特征，做到运用自如，方可避免常见错误．

（2）数形结合思想

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．

40

8

O

t

Q

A

40

8

O

t

Q

D

例2 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存等费用问题，还要保证一定的门票收入．因此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图2所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?

解 设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y ＝kx +b ．

由题意，得107000,154500.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得500,

12000.k b =-⎧⎨=⎩

所以y ＝－500x +12 000．

而根据题意，得xy ＝40 000，即x (－500x +12 000)＝40 000，x 2

－24x +80＝0， 所以方程变形为(x －12)2

＝64，两边开平方求得x 1＝20，x 2＝4．

把x 1＝20，x 2＝4分别代入y ＝－500x +12 000中得y 1＝2 000，y 2＝10 000． 因为控制参观人数，所以取x ＝20，y ＝2 000．

即每周应限制参观人数是2 000人，门票价格应是20元．

说明 本题中得到方程x 2－24x +80＝0，虽然没有学过不会解，但通过适当变形还是可以求解的．

（3）待定系数法

待定系数法是确定代数式中某项系数的数学方法．它是方程思想的具体运用． 例3 为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：

第一档 第二档 第三档 第四档 凳高x (cm) 37．0 40．0 42．0 45．0 桌高y (cm)

70．0

74．8

78．0

82．8

（1）小明经过对数据探究，发现：桌高y 是凳高x 的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式(不要求写出x 的取值范围)；

（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm ，凳子的高度为43．5cm ，请你判断它们是否配套，说明理由．

图2