回归预测方法

如 令：
yˆ a b
x
a
,
x 则
yˆ
a bx
x
由于这类模型因变量没有变形，直接采用
最小平方法估计回归系数，并进行检验和预测。
经济预测与决策方法
(2)间接代换法
通过对数变形的代换间接地化为线性回归模型
如 yˆ axb ln yˆ ln a b ln x
令 yˆ ln yˆ, x ln x, a ln a 则： yˆ a bx
经济预测与决策方法
§2.多元线性回归
●结构
yˆ b0 b1x1 b2 x2 b3x3 bm xm
二元时：
yˆ b0 b1x1 b2 x2
经济预测与决策方法
●参数确定
n
Q ( yˆi yi )2 min i 1
n
( yi b0 b1x1i b2 x2i )2 i 1
x与y之间完全线性相关，x与y之间存在着确定的线性弓数关系。
经济预测与决策方法
检验步骤
（1）计算相关R的值； （2）给定显著性水平α（置信度为1-α），查出相应的
临界值Rα，n-2 （3）比较|R|与Rα，n-2的大小
若|R| ≥ Rα，n-2 ，则表明x与y之间存在线性相关
关系；
若|R| ＜ Rα，n-2 ，则表明x与y之间不存在线性相
n
n 12
12
所求回归预测模型为： yˆ 171.9243 2.2767x
经济预测与决策方法
4.检验线性关系的显著性
R
x xy x y

12 600566 1167 4720
n x2 ( x)2 n y2 ( y )2 1217566111672 12 2190104 47202
Q 0 b0 Q 0 b1 Q 0 b2


yi nb0 b1 x1i b2 x2i
x 1i
yi

b0
x1i b1
x1i 2 b2
x1i x2i


x2i yi b0
x2i b1
x1i x2i b2
69696
1982
294
52
15288
2704
86436
1983
314
56
17584
3136
98596
1984
360
81
29160
6561
129600
1985
432
131
56592
17161
186624
1986
481
149
71669
22201
231361
1987
567
163
92421
26569
321489
经济预测与决策方法
解：
1、绘制散点图 2、建立一元线性回归模型
yˆ a bx
3、计算回归系数
bˆ

n xy x y n x2 ( x)2

12 600566 1167 4720 12 175661 11672

1698552 746043

2.2767
aˆ y bˆ x 4720 2.2767 1167 171.9243
(yi a bxi )2
S yy( 1 R 2 )
S xy S xx S yy
经济预测与决策方法
●检 验
Q S yy (1 R2 )
分析
i) R 1 1 R 1
ii) 当 R 时，Q 0 yˆi yi
说明x与y之间线性关系密切
反之当
R

0时，Q
根据： ( AB)' b' A', (Y ' XB)' B' X 'Y 所以：Y ' XB与B'X'Y是同值矩阵
Q＝ 2X 'Y 2X'XB＝0
B
B＝(X'X )1 X'Y
经济预测与决策方法
例：设某邮电研究所以新产品开发和技术服务为主要任务，近十年来该所 收入，经费支出和科技人员数如表所示（见表前3栏）：

1698552
1698552 0.9829
746043 4002848 1728090.487
当显著性水平α＝0.05，自由度＝n-m＝12-2＝10时，查相关系 数临界值表，得R0.05（10）＝0.576，因
R＝0.9829＞0.576＝ R0.05（10）＝0.576
故在α＝0.05显著性水平上，检验通过，说明两变量之间相关关 系显著。
xຫໍສະໝຸດ Baidu2 x22

x1n 2n
e1
e

e2


en
xm1
xm
2


xmn

经济预测与决策方法
n
Q ei2 min i 1 (Y XB)'(Y XB) (Y 'B' X ')(Y XB) Y 'Y Y ' XB B' X 'Y B' X ' XB
合计
2746
2964
1735
885986 301765 51682 821058 478
经济预测与决策方法
用接线性相关拟合回归预测模型。如果次年该所经费预算定为380万元， 科技人员增加到200人，预测其收入可能达到多少？
根据题意要求，此二元线性回归预测模型为：
Yˆ b0 b1 b2 X 2
( yi yˆi )2
n2
经济预测与决策方法
实例
一元线性回归模型计算表
年份
国内生产总值y
固定资产投资完成额x
xy
单位亿元
x2
y2
1978
195
20
3900
400
38025
1979
210
20
4200
400
44100
1980
244
26
6344
676
59536
1981
264
35
9240
1225
t0.025(10)=2.228
经济预测与决策方法
（3）当x0=249亿元时，代入回归模型得y的点估计值为：
yˆ0 171.9243 2.2767 249 738.8226(亿元)
预测区间为：
yˆ0 t /2 (n m) S y
1 1 nn
n(x0-x)2 x2 ( x )2
经济预测与决策方法
第三章 回归预测方法
——因果预测
什么是回归分析？
确定性关系
函数关系
非确定性关系 相关关系
经济预测与决策方法
§1 一元线性回归
一、预测模型结构 二、预测模型的参数确定 三、预测模型的检验 四、用预测模型进行预测 五、预测结果的精确度
经济预测与决策方法
●结 构
散点目测确定
已知：有n组样本，（xi yi/i=1,2）,散点图呈
现直线关系，则
yi a bxi εi

y 或 i

a bxi

y yi —实际 值， i — 计算 值
a、b —回归系数，模型参数
经济预测与决策方法
●参 数
Δ
Q
n
(yi yˆ i )2 min
i1
n
(yi a - bxi )2 min i1
关关系。
经济预测与决策方法
置信区间
yˆ0

t / 2,n2 (1
1 n

(
x0 x (xi
)2 x)
2
)

简化算法：
( yi yˆi )2
n2

n较大时，t / 2,n2接近于正态分布，若令S
则由正态分布性质可知： y0落在yˆ0 S范围内的概率为68.3% 落在yˆ0 2S范围内的概率为95.4% 落在yˆ0 3S范围内的概率为99.7%
7
289
311
178
96721 31684 55358 89879 51441
8
298
318
181
101124 32761 57558 94764 5393
9
304
327
184
106929 33856 60168 99408 559
10
310
341
187
116281 34969 63767 108438 594

yi
n
b xi n

y bx
经济预测与决策方法
● 检 验——相关性分析
相关系数：

R
( xi xˆi )( yi y )

( xi x )2
( yi y )2
R2
S xy
S xx S yy
R与Q之间的关系：
Q
(y i -yˆi )2

某邮电研究所的收入与经费支出科技人员数的回归计算
年份 序号
1
收入(万元) Yi 235
经费支出(万元) X1i 254
科技人员(人) X2i 160
X1i2 64516
X2i2 X1iX2i X1iYi X2iYi 25600 40640 59690 37600
2
238
257
163
66049 26569 41891 61166 38794

S
很大
yy
说明x与y之间的线性关系不密切
经济预测与决策方法
●结 论
①当R＝0时，Sxy=0,b=0 x与y无关
②当0＜R＜1时，b＞0 x与y之间有一定线性关系，且呈正相关，γ越大，趋势越明显。 反之，当-1＜R＜0时，b＜0 x与y之间有一定线性关系，且呈负相关， γ越小，趋势越明显。
③当|R|＝0时， yˆi yi
即为该研究所次年可能达到的收入水平。
经济预测与决策方法
§3.非线性回归预测
一、常见一元非线性回归预测模型结构
(1)双曲线回归模型 (2)多项式回归模型 (3)对数曲线回归模型
yˆ a b x
yˆ b0 b1x b2 x2 b3x3 bk xk
yˆ a b ln x
x2i 2
经济预测与决策方法
设有n组样本 ( yi x1i xmi / i 1,2,, n)
矩阵形式： Yˆ XB 或 Y XB e
y1
Y


y2



yn

1
X


1

1
b0
B

b1


bm
x11 x21
738.8226 2.22833.6343 1 1 12151.752 12 746043
738.8266 2.22833.63431.2057
738.8226 90.3518
即：当1990年全省固定资产投资完成额为249亿元时，在α＝ 0.05的显著性水平上，国内生产总值的预测区间为：648.4708～ 829.1744亿元之间。
Q a

0

na b xi yi
Q a

0

a
xi b
xi 2
xi yi

n
b


xi n
yi xi 2 (
xi
yi
xi ) 2
( xi
x )( yi ( xi x )2
y)

S xy S xx
a
(4)三角函数回归模型 yˆ a bSinx
(5)幂函数回归模型 (6)指数回归模型
yˆ axb yˆ abx
经济预测与决策方法
二、参数确定的方法 (1)直接换元法 (2)间接代换法(如对数变换等) (3)线性化迭代方法
经济预测与决策方法
(1)直接换元法
通过简单的变量换元直接化为线性回归模型
1988
655
232
151960
53824
429025
1989
704
202
42208
40804
495616
合计
4720
1167
600566
175661
2190104
试配合适当的回归模型并进行显著性检验；若1990年该省回定资产投资完成额 为249亿元，当显著性水平α＝0.05时，试估计1990年国内生产总值的预测区间。
将表中有关数据代入后式，得： b1=0.6858 b2=0.8721 b0=-79.9805 则二元线性回归预测模型为：
Yˆ 79.9805 0.6858X1 0.8721X 2
若次年的科研经费支出预测为380万元，科技人员增加到200人，分别代入 X1和X2，则：
Yˆ 79.9805 0.6858 0.8721 200 355.0435(万元)
经济预测与决策方法
5.预测
（1）计算估计标准误差。
Sy
y2 aˆ y bˆ xy n2
2190104 171.9243 4720 2.2767600566 12 2
11312.6918 33.6343 10
（2）当显著性水平α＝0.05，自由度＝n-m=10时，查t分布 表得：
3
256
275
166
75625 27556 45650 70400 42496
4
264
290
169
84100 28561 49010 76560 44616
5
271
295
172
87025 29584 50740 79945 46612
6
273
296
175
87616 30625 51800 80808 47775