[2018年最新整理]循环冗余校验码(CRC)的基本原理

循环冗余校验码（CRC）的基本原理

循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R 的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。

校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式f(X)表示，将f(x)左移R位（则可表示成f(x)*X R），这样f(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过f(x)* X R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。

几个基本概念

1、多项式与二进制数码

多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。

多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式f(x)。

如生成多项式为G(x)=X4+X3+X+1，可转换为二进制数码11011。

而发送信息位1111，可转换为数据多项式为f(x)=X3+X2+X+1。

2、生成多项式

是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。

在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。

应满足以下条件：

a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。

b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。

c、不同位发生错误时，应该使余数不同。

d、对余数继续做模2除，应使余数循环。

将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：

N K 码距d G(x)多项式G(x)

7 4 3 x3+x+1 1011

7 4 3 x3+x2+1 1101

7 3 4 x4+x3+x2+1 11101

7 3 4 x4+x2+x+1 10111

15 11 3 x4+x+1 10011

15 7 5 x8+x7+x6+x4+1 111010001

31 26 3 x5+x2+1 100101

31 21 5 x10+x9+x8+x6+x5+x3+1 11101101 001

63 57 3 x6+x+1 1000011

63 51 5 x12+x10+x5+x4+x2+1 10100001 10101

1041 1024 x16+x15+x2+1 110000000000 00101

图9 常用的生成多项式

3、模2除（按位除）

模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位做下一位的模2减。步骤如下：

a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。

b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。

c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。

【例】1111000除以1101：

1011———商

————

1111000-----被除数

1101————除数

————

1000

1101

————

1010

1101

————

111————余数

4、CRC码的生成步骤

（1）将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。

（2）将信息码左移R位得到多项式f(x)*X R。

（3）用生成多项式（二进制数）对f(x)*X R做模2除，得到余数（即校验码）。

（4）将余数多项式加到f(x)*X R中，得到完整的CRC码。

【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。

解：

（1）将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。

（2）此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文F(x)左移3（R）位变成1010000

（3）用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：

1001-------商

------------------------

1010000

1011----------除数

------------

1000

1011

------------

11-------余数（校验位）

（4）编码后的报文（CRC码）：

1010000

+ 11

------------------

1010011

CRC码为1010011（和纠错）。

在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0，则码字无误。若得到余数不为0，则接收的数据有错。

5、通信与网络中常用的CRC

在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16＝x16+x15+x2+1 和CRC-CCITT＝x16+x15+x2+1。

【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式G(x)＝x3+x2+1，用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成CRC 码。若发送信息位1111 和1100 则它的CRC 码分别为＿A＿和＿B＿。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的CRC 码，例如码字＿C＿、＿D＿、和＿E＿。（1998年试题11）