人教版高中数学必修1反函数的概念和求法教案

§2.4.1 反函数的概念及求法
[教学目的]
使学生了解反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数.
[重点难点]
反函数的定义和求法.
[教学设想]
1.教法：讲授法；
2.学法：启发学生观察、思考、分析和讨论；
3.课时：1课时.
[教学过程]
一、复习引入
⒈复习：⑴函数的定义（近代定义和传统定义）；
⑵求下列函数的定义域和值域：①y=x2+1; ②y=2x-3;③y=5/(3x-1); ④y=x+2; ⑤y=(x+2)/(2x-1).
答案：①x∈R,y≥1;②x∈R,y∈R;③x≠1/3,y≠0;④x≥0,y≥2;⑤x≠1/2,y ≠1/2.
⒉引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,其中速度v是常量,定义域t≥0,值域s≥0；反过来，也可以由位移s和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即t=s/v，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数,定义域s≥0,值域t≥0.
又如，在函数y=2x+6中，x是自变量，y是x的函数，定义域x∈R，值域y ∈R. 我们从函数y=2x+6中解出x，就可以得到式子x=y/2-3. 这样，对于y在R 中任何一个值，通过式子x=y/2-3，x在R中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是y∈R，值域是x∈R.
综合上述，我们由函数s=vt得出了函数t=s/v；由函数y=2x+6得出了函数x=y/2-3，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：⑴它们的对应法则是互逆的；⑵它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数. 今天我们就来学习这种函数.
二、学习、讲解新课
⒈反函数的定义
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y是自变量，x是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y). 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
说明：⑴在函数x=f-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.
⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，那么函数y=f-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数.
⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f-1(x)的定义域（如下表）：
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f-1所确定的函数x=f-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f-1(x)=x/2-3.
⒉反函数的求法
由前边的例子和反函数的定义不难看出，欲求函数y=f(x)的反函数，可按下列步骤进行：
①确定函数y=f(x)的定义域和值域；
②视y=f(x)为关于x 的方程，解方程得x=f -1(y);
③互换x,y 得反函数的解析式y=f -1
(x)；
④写出反函数的定义域（原函数的值域）.
例1 (P 66例1)求下列函数的反函数：
⑴ y=3x-1(x ∈R); ⑵ y=x 3+1(x ∈R); ⑶ y=x +1(x ≥0);
⑷ y=(2x+3)/(x-1)(x ∈R,且x ≠1).
解：⑴①∵x ∈R ，∴y ∈R. ②由y=3x-1解得x=(y+1)/3, ③∴函数y=3x-1(x ∈R)的反函数是y=(x+1)/3 ，④所求反函数的定义域是
x ∈R;（若给出f(x)=3x-1，则得f -1(x)=(x+1)/3(x ∈R)）
⑵①∵x ∈R ，∴y ∈R. ②由y=x 3+1解得x=31-y , ③④∴函数y=x 3+1(x ∈R)
的反函数是y=f -1(x)=31-x (x ∈R); ⑶①∵x ≥0，∴y ≥1. ②由y=x +1解得x=(y-1)2, ③④∴函数y=x +1(x ≥0)的反函数是y=f -1(x)=(x-1)2 (x ≥1);
⑷①∵x ∈{x ∈R|x ≠1}，∴y ∈{y ∈R|y ≠2}.②由y=(2x+3)/(x-1)解得x=(y+3)/(y-2), ③④∴函数y=(2x+3)/(x-1)(x ∈R,且x ≠1)的反函数是y=f -1(x)=(x+3)/(x-2) (x ∈R,且x ≠2).
说明：⑴求函数y=f(x)的反函数的一般步骤就是上述的四步，书写时③④两步可并作一步，以后熟悉了,具体的步骤可省略不写.
⑵反函数的定义域不是看反函数的解析式得到的，而是求原来函数的值域而得反函数的定义域，这一点绝不能混淆. 例2(补充)求函数y=⎩⎨⎧<+≥+)0(1)0(12x x x x 的反函数.
解：当x ≥0时，y ≥1，由y=x 2+1得x=1-y ( y ≥1)；当x<0时，y<1，由
y=x+1得x=y-1(y<1). 将x,y 对换得y=f -1
(x)=⎩⎨⎧<-≥-)1(1)1(1x x x x . 说明：求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.
⒊目标检测
课本P 68练习：1—4.
答案：⒈y=-x/2+3/2(x ∈R); ⒉y=-2/x (x ∈R,且x ≠0);
⒊y=x (x ≥0); ⒋y=5x/(1-3x) (x ∈R,且x ≠1/3)
三、小 结
⒈反函数的定义
由反函数的定义可以看出：对于y 取C 中任一值都可以得到唯一的x 值(x ∈A)，由此可知，只有确定函数y=f(x)的映射是一一映射才能有反函数;由函数图象看，应当是单调的.
⒉y=f(x)的反函数是y=f -1(x)，反之，y=f -1(x)的反函数是y=f(x)，它们互为反函数，它们的定义域、值域相反，对应法则互逆.
⒊求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是：
①确定函数y=f(x)的定义域和值域；
②视y=f(x)为关于x 的方程，解方程得x=f -1(y);
③互换x,y 得反函数的解析式y=f -1(x)；
④写出反函数的定义域（原函数的值域）.
⒋求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.
四、布置作业
(一)复习：课本内容，熟悉巩固有关概念和方法.
(二)书面：课本P 68习题2.4：1⑴-⑻.
答案：⑴y=-x/4+3/4(x ∈R);⑵y=34 x (x ∈R);⑶y=-x (x ≥0);
⑷y=(3x-1)/(1-x)(x ≠1);⑸y=-(x+3)/(5x-2)(x ≠2/5);
⑹y=(3x+1)/(5x-4)(x ≠4/5);⑺y=2(x-1)3+1(x ∈R);
⑻y=x 2/2+2(x ≥0).
(三)思考题：设函数y=f(x)的反函数为y=g(x)，求y=f(-x)的反函数. 解：在函数y=f(-x)中，x 为自变量，y 为函数，且由题意知-x=f -1(y), ∴x=-f -1(y)，∴y=f(-x)的反函数为y=-f -1(x)，又∵g(x)= f -1(x),∴y=f(-x)的反函数为y=-g(x).
(四)预习：。