人教版高中数学必修1反函数的概念和求法教案

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§2.4.1 反函数的概念及求法

[教学目的]

使学生了解反函数的概念和表示法,会求一个函数的反函数.

[重点难点]

反函数的定义和求法.

[教学设想]

1.教法:讲授法;

2.学法:启发学生观察、思考、分析和讨论;

3.课时:1课时.

[教学过程]

一、复习引入

⒈复习:⑴函数的定义(近代定义和传统定义);

⑵求下列函数的定义域和值域:①y=x2+1; ②y=2x-3;③y=5/(3x-1); ④y=x+2; ⑤y=(x+2)/(2x-1).

答案:①x∈R,y≥1;②x∈R,y∈R;③x≠1/3,y≠0;④x≥0,y≥2;⑤x≠1/2,y ≠1/2.

⒉引入:我们知道,物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数,即s=vt,其中速度v是常量,定义域t≥0,值域s≥0;反过来,也可以由位移s和速度v (常量)确定物体作匀速直线运动的时间,即t=s/v,这时,位移s是自变量,时间t是位移s的函数,定义域s≥0,值域t≥0.

又如,在函数y=2x+6中,x是自变量,y是x的函数,定义域x∈R,值域y ∈R. 我们从函数y=2x+6中解出x,就可以得到式子x=y/2-3. 这样,对于y在R 中任何一个值,通过式子x=y/2-3,x在R中都有唯一的值和它对应. 因此,它也确定了一个函数:y为自变量,x为y的函数,定义域是y∈R,值域是x∈R.

综合上述,我们由函数s=vt得出了函数t=s/v;由函数y=2x+6得出了函数x=y/2-3,不难看出,这两对函数中,每一对中两函数之间都存在着必然的联系:⑴它们的对应法则是互逆的;⑵它们的定义域和值域相反:即前者的值域是后者的定义域,而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数. 今天我们就来学习这种函数.

二、学习、讲解新课

⒈反函数的定义

一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x=ϕ(y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x=ϕ(y),x 在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=ϕ(y)就表示y是自变量,x是自变量y 的函数,这样的函数x=ϕ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f-1(y). 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

说明:⑴在函数x=f-1(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f-1(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.

⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),那么函数y=f-1(x)的反函数就是y=f(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数.

⑶从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f-1(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f-1(x)的定义域(如下表):

⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为:

若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f-1所确定的函数x=f-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

开始的两个例子:s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f-1(t)=t/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为:f-1(x)=x/2-3.

⒉反函数的求法

由前边的例子和反函数的定义不难看出,欲求函数y=f(x)的反函数,可按下列步骤进行:

①确定函数y=f(x)的定义域和值域;

②视y=f(x)为关于x 的方程,解方程得x=f -1(y);

③互换x,y 得反函数的解析式y=f -1

(x);

④写出反函数的定义域(原函数的值域).

例1 (P 66例1)求下列函数的反函数:

⑴ y=3x-1(x ∈R); ⑵ y=x 3+1(x ∈R); ⑶ y=x +1(x ≥0);

⑷ y=(2x+3)/(x-1)(x ∈R,且x ≠1).

解:⑴①∵x ∈R ,∴y ∈R. ②由y=3x-1解得x=(y+1)/3, ③∴函数y=3x-1(x ∈R)的反函数是y=(x+1)/3 ,④所求反函数的定义域是

x ∈R;(若给出f(x)=3x-1,则得f -1(x)=(x+1)/3(x ∈R))

⑵①∵x ∈R ,∴y ∈R. ②由y=x 3+1解得x=31-y , ③④∴函数y=x 3+1(x ∈R)

的反函数是y=f -1(x)=31-x (x ∈R); ⑶①∵x ≥0,∴y ≥1. ②由y=x +1解得x=(y-1)2, ③④∴函数y=x +1(x ≥0)的反函数是y=f -1(x)=(x-1)2 (x ≥1);

⑷①∵x ∈{x ∈R|x ≠1},∴y ∈{y ∈R|y ≠2}.②由y=(2x+3)/(x-1)解得x=(y+3)/(y-2), ③④∴函数y=(2x+3)/(x-1)(x ∈R,且x ≠1)的反函数是y=f -1(x)=(x+3)/(x-2) (x ∈R,且x ≠2).

说明:⑴求函数y=f(x)的反函数的一般步骤就是上述的四步,书写时③④两步可并作一步,以后熟悉了,具体的步骤可省略不写.

⑵反函数的定义域不是看反函数的解析式得到的,而是求原来函数的值域而得反函数的定义域,这一点绝不能混淆. 例2(补充)求函数y=⎩⎨⎧<+≥+)0(1)0(12x x x x 的反函数.

解:当x ≥0时,y ≥1,由y=x 2+1得x=1-y ( y ≥1);当x<0时,y<1,由

y=x+1得x=y-1(y<1). 将x,y 对换得y=f -1

(x)=⎩⎨⎧<-≥-)1(1)1(1x x x x . 说明:求分段函数的反函数,应分别求出各段的反函数,再合成.

⒊目标检测

课本P 68练习:1—4.

答案:⒈y=-x/2+3/2(x ∈R); ⒉y=-2/x (x ∈R,且x ≠0);

⒊y=x (x ≥0); ⒋y=5x/(1-3x) (x ∈R,且x ≠1/3)

三、小 结

⒈反函数的定义

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