高考向量练习题

向量的分解与向量的坐标运

算

1.若向量),3(),5,2(),1,1(x c b a ===满足条件==?-x c b a 则,30)8(

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

2.设向量(1,0)a =r

11(,)22b =r 则下列结论中正确的是

A.||||a b =r r

B.22

a b ?=

r r C.a b -r r 与b r 垂直 D.//a b r

r

3.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行则实数x 的值是（ ）

A ．-2

B ．0

C ．1

D ．2

4.已知向量(1,2)=a (2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ()⊥+c a b 则c = （ ）

A ．77(,)93

B ．77

(,)39

--

C ．77(,)39

D ．77(,)93

--

5.已知向量()2,1,10,||52a a b a b =?=+=r r

r r r 则||b =r

A. 5

B. 10

C.5

D. 25

6.设a r 、b r 、c r 是单位向量且a r ·b r

＝0则()()

a c

b

c -?-r r r r 的最小值为 ( )

（A ）2- （B ）22- （C ）1- (D)12-

7.已知平面向量(,1)a x =2(,)b x x =- 则向量+a b

A ．平行于x 轴

B ．平行于第一、三象限的角平分线

C ．平行于y 轴

D ．平行于第二、四象限的角平分线

8.已知向量

(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-r r

r r r r r r 如果//c d 那么

A ．1k =且c r 与d r 同向

B ．1k =且c r

与d r 反向

C ．1k =-且c r 与d r 同向

D ．1k =-且c r

与d r 反向 9.已知向量a b r r 、不共线c (R),ka b k =+∈r

r r d a b =-r r r 如果//d c r r 那么 （） A ．1k =且d c r r 与同向 B ．1k =且d c r

r 与反向 C ．1k =-且d c r r 与同向 D ．1k =-且d c r

r 与反向

10.已知平面向量(11)

(11)==-，，，a b 则向量13

22-=a b （ ） Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-， Ｄ．(1

2)-， 11.已知向量(5,6)a =-r (6,5)b =r

则a r 与b r

（A ）垂直 （B ）不垂直也不平行

（C ）平行且同向 （D ）平行且反向

12.若向量a r 、b r 满足|a r |=|b r |=1a r 与b r 的夹角为60?则a a r r g +a b =r r

g

A ．

12 B ．3

2

C. 312+ D ．2

13.已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b 若2-a b 与b 垂直则=a （ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．4

14.对于向量，，a b c 和实数λ下列命题中真命题是（ ）

A ．若=0g a b 则0a =或0b =

B ．若λ0a =则0λ=或=0a

C ．若22=a b 则=a b 或-a =b

D ．若g g a b =a c 则b =c

15.对于向量a b c r r r

、、和实数λ下列命题中真命题是

A.若·

000a b a b ==r r r r r r ＝，则或 B.若则λ＝0或0a =r r C.若22,a b a b a b ===-r r r r r r 则或 D.若·

a b a c b c -==r r r r

r ，则 16.已知向量(5,6)a =-r (6,5)b =r

则a r 与b r

A ．垂直

B ．不垂直也不平行

C ．平行且同向

D ．平行且反向

17.设ABC ?的三个内角,,A B C 向量(3sin ,sin )A B =m (cos ,3cos )B A =n

若1cos()A B =++g m n 则C =（ ）

A ．

6π B ．3

π

C ．23π

D ．56π

18.已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r

r

那么

（ ）

Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r

19.设，a b 是非零向量若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线则

必有（ ）

A ．⊥a b

B ．∥a b

C ．||||=a b

D ．||||≠a b

20.设向量(1,0)a =r

,11(,)22b =r ,则下列结论中正确的是

A.||||a b =r r

B.22

a b ?=

r r C.//a b r r D.a b -r

r 与b r 垂直

二、填空题

21.已知向量a r b r 满足1a =r 2b =r a r 与b r 的夹角为60°则a b -=r r

22.若平面向量a b 满足1=+b a b a +平行于x 轴)1,2(-=b 则=a .

23.在平面直角坐标系中正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为O(00)B(11)则

AB ·AC

＝ ．

24.若向量,a b r r

满足||||1a b ==r r ,a b r r 的夹角为60°则a a a b ?+?r r r r

=______；

25.若等边ABC ?的边长为23平面内一点M 满足1263CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r

则

MA MB ?=u u u r u u u r

_________

26.ABC ?的外接圆的圆心为O 两条边上的高的交点为H )(OC OB OA m OH ++=则

实

数m =

三、解答题

32．已知向量)3,2(=，)3,6(-=，点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标。

33．已知A （2，3），B （4，-3），点P 在线段AB 的延长线上，且||2

3

||PB AP =，求点P 的坐标。

34．已知A （7，8），B （3，5），C （4，3），M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于F ，求。

35．在平行四边形ABCD 中，(11)(71)(46)A B D ，，，，，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ，求点P 的坐标．

36．已知点(23)(54)(108)A B C ，，，，，，若

()AP AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r

，求当点P 在第二象限时，

的取值范围．

平面向量的分解与向量的坐标运算答案解析

一、选择题

27.解)3,6()5,2()8,8()8(=-=-b a

430336)8(=?=+?=?-x x c b a 选C

28.答案C

解析用排除法易排除ABD ；只能选C.

或通过计算11(,)22

a b --r

r =()0a b b -?=r r r 所以a b -r r 与b r 垂直选C.

29.D

解法1因为(1,1),(2,)a b x ==所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与42b a -平行得6(1)3(42)0x x +--=解得2x =

解法2因为a b +与42b a -平行则存在常数λ使(42)a b b a λ+=-即

(21)(41)a b λλ+=-根据向量共线的条件知向量a 与b 共线故2x =

30.D 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算通过平面向量的平行和垂

直关系的考查很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．

【解析】不妨设(,)C m n =u r

则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-r r r r 对于()

//c a b +r r r 则

有3(1)2(2)m n -+=+；又()

c a b ⊥+r r r 则有30m n -=则有77,93

m n =-=-

31.222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++r r r r r r r Q g

||5b ∴=r

故选C 32.,,a b c r r r

Q 是单位向量()()

2()a c b c a b a b c c ∴-?-=-++r r r r r r u u r r r r g

g |||12cos ,121|a b c a b c +=-<=-+>≥-r r r r r r

g 故选D.

33.+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知, C 正确.

34.D 【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、

向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考

查.

∵a ()1,0=b ()0,1=若1k =则c =a +b ()1,1=d =a -b ()1,1=-

显然a 与b 不平行排除A 、B.

若1k =-则c =-a +b ()1,1=-d =-a +b ()1,1=--

即c //d 且c 与d 反向排除C 故选D.

35.D

【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.

取a ()1,0=b ()0,1=若1k =则c =a +b ()1,1=d =a -b ()1,1=-

显然a 与b 不平行排除A 、B.

若1k =-则c =-a +b ()1,1=-d =-a +b ()1,1=--

即c //d 且c 与d 反向排除C 故选D.

答案D

36.A

37.a ﹒a+ a ﹒b=12+1×1×

21=2

3

,故选B 答案B

38.C 【试题解析】(1)(1)a n b n ==-r r

，，

， 2(3,)a b n ?-r r

=2a b -r r 与b r 垂直

【高考考点】:向量的坐标运算向量垂直的条件向量的模

【易错提醒】: 由(1)(1)a n b n ==-r r ，，

，2(1,)a b n ?-r r

=从而错选B 【备考提示】: 向量问题在新课程高考中所占分量比重在加大,向量的概念,运算及几何意义以及作为工具来处理其他数学问题是考查的方向.

39.B

40.解析 a ⊥b 时也有a ·b ＝0故A 不正确；同理C 不正确；由a ·b=a ·c 得不到

b =

c 如a 为零向量或a 与b 、c 垂直时选B

41.A 【解析】已知向量(5,6)a =-r (6,5)b =r

30300a b ?=-+=r r 则a r 与b r 垂直选A

42.A

43.C

【解析】3sin cos cos sin m n A B A B ?=?+?3sin()1cos()A B A B =+=++

44.因为0)(2

2

=??-=?→

→→→→→→

→b a b

a a

a c a 所以向量

a 与c 垂直选D

45.【标准答案】A

【试题分析】O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点∴ 2OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r

且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ∴ 220OA OD +=u u u r u u u r r 即AO OD =u u u r u u u r

选A

【高考考点】向量加法的平行四边形法则相反向量的概念

【易错提醒】不能得出2OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r

而将条件20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 转化为

()()0OA OB OA OC +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r

使问题复杂化若D 为ABC △边BC 的中点

【备考提示】 根据向量加法的平行四边形法则可得若D 为ABC △的边BC 的中点

则有1()2

AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r

注意这一结论在解题中的应用

46.A. 解析: 本题考查平面向量的数量积, 向 量共线, 垂直的充要条件及一次函数的图象等

知识. 由f(x)=(x a r +b r )·(a r －x b r

)=－

a r ·

b r x 2+(a r 2－b r 2)x+a r ·b r

, 它的图象是一条 直线, ∴－a r ·b r =0 , 即 a r ⊥b r . a r

与非零 向量b r

共线的充要条件是: 存在非零常数λ,

使a r =λb r 成立, 两个非零向量a r 与b r

垂直的充 要条件是: a r ·b r

=0.

47.B

【解析】若a r 与b r 共线则有a b=mq-np=0r r e 故A 正确；因为b a pn-qm =r r

e 而

a b=mq-np r r

e 所以有a b b a ≠r r r r e e 故选项B 错误故选B

【命题意图】本题在平面向量的基础上加以创新属创新题型考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力

48.答案C

解析用排除法易排除ABD ；只能选C.

或通过计算11(,)22

a b --r

r =()0a b b -?=r r r 所以a b -r r 与b r 垂直选C.

二、填空题

49.【答案】 3

【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式以及向量三角形法则、余弦定理等

知识如图,,a OA b OB a b OA OB BA ==-=-=r u u u r r u u u r r r u u u r u u u r u u u r

由余弦定理得3a b -=r r

50.)0,1(=+b a 或)0,1(-则)1,1()1,2()0,1(-=--=a 或)1,3()1,2()0,1(-=---=a .

51.a ﹒a+ a ﹒b=12+1×1×(-21)=2

1 答案

2

1

52.2

【解析】合理建立直角坐标系因为三角形是正三角形故设

)3,3(),0,32(),0,0(B A C

这样利用向量关系式

求得M

)2

1

,233(

然后求得

)

25

,23(),21,23(--=-=→→

MB MA 运用数量积公式解得为-2.

【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用也体现了向量的代数化手段的重要性考查了基本知识的综合运用能力

53.1

54.设BC b =u u u r r 、BA a =u u u r r

则

12AF b a =-u u u r r r ,12

AE b a =-u u u r r r ,AC b a =-u u u

r r r 代

入条件得2433

u u λλ==∴+=

【答案】4/3

三、解答题

32．)1,310(或)4,3

8

(-

33．)6,5(-

34．)2,4

7(

35．解：∵在平行四边形ABCD 中，点M 是线段AB 的中点，

MPB CPD :∴△△，1

2

MB PB DC DP ==∴

． 2

3DP DB =∴，23

DP DB =u u u r u u u r ∴．

设()P x y ，，∴DP u u u r

(46)x y =--，，而(35)DB =-u u u r ，

． 2(46)(35)3x y --=-，，∴．解得8

63x y ==，．

∴点P 的坐标为863??

???

，．

36．解：设点P 的坐标为()x y ，，则(23)AP x y =--u u u r

，，

(5243)(10283)AB AC λλ+=--+--u u u r u u u r

，，(31)(85)(3815)λλλ=+=++，，，．

AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r

∵，(23)(3815)x y λλ--=++，，∴．

即238315x y λλ-=+??

-=+?，．解得580450λλ+?

，

．

即当4558

λ-<<-时，点P 在第二象限内．

37证明（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v

Q

即22a b

a b R R

?

=?

其中R 是三角形ABC 外接圆半径a b = ABC ∴?为等腰三角形

解（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v

即

由余弦定理可知 2224()3a b ab a b ab =+-=+-

38 (1) (3,4)AB =--u u u r

, (3,4)AC c =--u u u r

当c=5时(2,4)AC =-u u u r

进而225

sin 1cos 5

A A ∠=-∠=

(2)若A 为钝角则

AB ﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0

解得c>

3

25 显然此时有AB 和AC 不共线故当A 为钝角时c 的取值范围为[

3

25

+∞）