微分的运算法则_微分在近似计算中的应用
3.3 微分及其在近似计算中的应用
即 y 2x0 x f '( x0 ) x
x0
这个结论具有一般性
x
x
x0 x
x0 x
x0
y 设 y f ( x) 在点 x 处可导, lim 即 f ( x), x 0 x y f ( x) ( 是 x 0时的无穷小量), 因而 x y f ( x)x x ( lim 0),
例3. 用微分的不变性求下列函数的微分： x (2) y esin x (1) y ln(1 e ) ex dx (1)dy d ln(1 ex ) 1 x d(1 e x ) 解： x 1 e 1 e sin x (2)dy d(e ) esin x d(sin x) cos x esin xdx 例4 在等式左端的()中填入适当的函数,使等式成立
1 (2)d(ln(1 x) C ) 1 x 1 (4)d( dx x C ) 2 x (6)d(sin 2 x) ( 2sin x )dsin x
小结
微分的定义及其求法
作业
P25 6（3）（4）
P27 10、11
ln 0.99 ln[1 (0.01)] 0.01
练习 在下列括号内填入适当的函数,使等式成立
(1)d(
2x C ) 2dx
1 1 C ) 2 dx (3)d( x x e2 x (5)d( ) e 2 xdx C 2 1 (7) dx ( 1 )d(arctan2 x) 1 4 x 2 2
dx
(2 x tan x x sec x)dx
2 2
练 1、 求函数 y x 2 1在 x 1, x 0.1时的改变量与微分.
解： y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.1) f (1)
微分及其在近似计算中的应用
x0 x
x0
按微分的定义 , 知 f ( x)在x0处可微.
这表明:函数 f ( x) 在点 x0可导 , 则函数在点 x0必可微.
由此可见 ,函数 f ( x) 在点 x0处可导与可微是等价的.
由上面推导可以看出 A f ( x0 ) 所以函数 f ( x) 在 x0 处的微分 dy xx0 f ( x0 ) x ………………………… (1) 由 (1) 式可知，自变量微分 dx x x x 所以函数 f ( x) 在 x0 处微分 , 又可写成
当边长从x0变到x0 x时，面积A有相应的改变量 A （x0 x）2 x02 2x0x (x)2
这个 A 2x0x (x)2 由两部分组成 第一部分 : 2x0 x 是 x 的线性函数 第二部分 :(x)2是比 x 高阶的无穷小 (当x 0时)
NT MN tanq f ( x0 ) . x dy
即 dy NT
y
于是 , 函数 y f ( x) 在点 x0 处的
微分就是曲线 y f ( x)在点M ( x0 , y0 )
处的切线MT, 当横坐标由 x0 变到 x0 x时, 其对应的纵坐标
q
o
的改变量.
P
T
M N
x 0 x0
x
x
二、微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式 dy f ( x)dx
d(C) 0
d( x ) x 1 dx
d(a x ) a x lna dx 1
d(log a x) x ln a dx d(sin x) cos x dx
d(tan x) sec2 x dx d(sec x) sec x tan x dx
一微分的定义二微分的基本公式三微分的四则运算法则
v udx u vdx vdu udv.
定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 u 可微,
v
且有
d(u v)Fra bibliotekvdu v2
udv.
证 d(u) (u)dx vv
uv v2
uv dx
v
udx v2
u
vdx
vdu v2
微分及其运算
一、微分的定义 二、微分的基本公式 三、微分的四则运算法则 四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积 增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部 分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当 f (x0 ), f (x0 ) 容易计算时，就可以用上述的 近似公式来计算 x0附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值. 解 1.96 1.4, 令 f (x) x,则
2 f (2) f (1.96) f '(1.96) (2 1.96) 1.4 1 0.04 1.414 3. 2 1.4
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得 增量 x x x0)，则有
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近 似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，
微分运算法则
( lim 0 )
x0
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
即 d y f ( x0 ) x
说明: y f ( x0 ) x o( x)
d y f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 , y y lim lim x 0 f ( x0 ) x x 0 d y 1 y lim 1 f ( x0 ) x 0 x 所以 x 0 时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
x
d y f ( x) dx
dy f ( x) dx
导数也叫作微商
x0 x
例如, y x 3 ,
dy
x2 dx 0.02
3x 2 dx
0.24 x2 dx 0.02
又如, y arctan x , 1 dy dx 2 1 x
基本初等函数的微分公式 (见 P116表)
很小时, 有近似公式
y dy
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
d y f ( x0 )x tan x
当 x 很小时, y d y
dy
y
y f ( x)
当 y x 时，
y
y x dx
称 x 为自变量的微分, 记作 dx
则有 从而
记
O
x0
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
故 在点 可导, 且
定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
已知 “充分性” 在点 可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
D2_5微分
y y f (x) y
o
x0
x
x0 x
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二、 微分运算法则
（一）四则运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
(1) d(u v) du dv (2) d(Cu) Cdu (C 为常数)
(3) d(uv) vdu udv
(4)
d(
u v
)
vdu udv v2
d x x x x
故以后我们把x 记为d x, 称为自变量的微分。则有
dy f (x)x f (x) dx
即有
f (x)
dy dx
函数关某个变量的导数等函数的微分与该变量微分的商
故导数也叫微商。
比较 f (x) dy , f (x) lim y lim y
dx
x dx x0
x0
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注 (1)可导能得可微，可微能得可导。但导数与微分
含义完全不同！导数反映的是函数值变化快慢，而微分是
反映的是函数值变化了多少的线性近似值。相当于速度与 路程的关系
(2) 故当f (x0 ) 0 时 , lim y lim y 1 lim y 1
x0 dy x0 f (x0 )x f (x0 ) x0 x
)
1
y 1 ex2
ex2
2xex2 1 ex2
1 1 ex2
(
d1
dex2
)
1 1 ex2
0
e x 2d
(x2 )
故
dy
2 xe x 2 1 ex2
dx
1
1 e
x
2
ex2
2xdx
微分的运算法则_微分在近似计算中的应用
微分的运算法则_微分在近似计算中的应用微分是微积分的一个重要概念，它是描述函数变化率的工具。
在微分中，有一些运算法则可以帮助我们简化复杂的函数求导过程，而微分在近似计算中也有广泛的应用。
一、微分的运算法则1.常数微分法则：如果常数函数f(x)=C，其中C为常数，那么它的导数f'(x)=0。
2.幂微分法则：如果函数f(x) = x^n，其中n为常数，那么它的导数f'(x) =nx^(n-1)。
3.和差微分法则：如果函数f(x)=g(x)±h(x)，那么它的导数f'(x)=g'(x)±h'(x)。
4.乘积微分法则：如果函数f(x)=g(x)*h(x)，那么它的导数f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
5.商微分法则：如果函数f(x)=g(x)/h(x)，那么它的导数f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h(x)^26.复合函数微分法则：如果函数f(x)=g(h(x))，那么它的导数f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
7.反函数微分法则：如果函数y=f(x)有反函数x=g(y)，那么f'(x)*g'(y)=1，也就是说f'(g(y))=1/g'(y)。
微分在近似计算中有很多应用，以下介绍其中的几种常见应用。
1.切线近似法：利用微分的定义，可以得出函数在其中一点的切线方程。
利用切线方程，我们可以近似得到函数在该点附近的函数值。
这在物理学中常用于速度和加速度的计算中。
2.极值问题的求解：在求解函数的极值问题时，可以利用函数在临界点附近的导数信息。
通过求导找到函数的临界点，计算函数在这些临界点处的函数值，比较函数值的大小，就可以得到函数的极值。
3.弧长的计算：将弧长表示为函数关于自变量的微分形式，通过计算微分形式的积分，就可以得到两个点之间的弧长。
函数的微分及其在近似计算中的应用
3、问题：函数可微的条件是什么？ A = ? 问题：函数可微的条件是什么？ 可微, 则有(1)成立 成立， 设函数 y = f (x) 在点 x0 可微 则有 成立，即
∆y = A∆x + o(∆x)
等式两端除以 ∆x , 得
o( ∆ x ) ∆y = A+ . ∆x ∆x
于是, 于是 当 ∆x → 0时, 由上式就得到 o(∆x ) ∆y = lim A + lim = A. f ′( x 0 ) = ∆ x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x 可微， 因此, 因此 如果函数 f (x) 在点 x 0 可微，则 f (x)在点 x 0也一定可导 且 也一定可导,
函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 函数在任意点的微分 称为函数的微分 记作 dy 或 df ( x ), 即 称为函数的微分 dy = f ′( x ) ∆ x . 如函数 y = cos x 的微分为
dy = (cos x )' ∆ x = − sin x ∆ x 显然， 显然，函数的微分 dy = f ′( x )∆x 与 x 和 ∆x 有关。 有关。
′
1 d (log a x ) = dx, x ln a 1 d (ln x ) = dx , x 1 d (arcsinx) = dx, 2 1− x 1 d (arccosx) = − dx, 1 − x2 1 d (arctanx) = dx, 2 1+ x
1 (arccot x) = − 2 . 1+ x
dy = ( x 3 )′∆x = 3 x 2 ∆x.
再求函数当 x = 2 , ∆ x = 0 . 02 时的微分
dy
x =2 ∆x =0.02
微分及其在近似计算中的应用
微分及其在近似计算中的应用微分是微积分的重要概念之一，它描述了函数在其中一点上的变化率。
利用微分，我们可以研究函数的极值、函数的连续性、函数的图像等性质。
在实际应用中，微分也有着广泛的应用，尤其是在近似计算中。
一、微分的定义及性质微分的定义是通过极限的概念进行的。
对于函数f(x)，如果在其中一点a处存在极限：\[f'(a) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}\]则称函数f(x)在点a处可微分，f'(a)称为函数f(x)在点a处的导数。
函数f(x)的导函数，或称为它的导数函数，表示了函数在每一点的变化率。
根据微分的定义，导数具有以下性质：1.一元函数的导数只与该点的函数值有关，与其他点无关；2.导数存在的充分必要条件是函数在该点可微；3.对于多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数，都有相应的导数公式，可以通过公式计算导函数。
二、微分的应用1.近似计算微分在近似计算中有着广泛的应用。
我们知道，在一个点附近，函数可以用它的切线近似代替。
这个近似的精度，就可以通过微分来度量。
对于函数f(x)在其中一点a的微分为f'(a)，可以近似地表示为：\[f(a+h) \approx f(a) + f'(a) \cdot h\]其中，h为f(x)在a点邻近的增量。
这个公式被称为“一阶微分公式”。
根据这个公式，我们可以使用函数的微分来近似计算函数在其中一点的函数值。
举例来说，考虑函数y=f(x)=x^2，在点x=3附近的近似计算。
我们可以先求出函数在点x=3处的导数：\[f'(3) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(3+h)-f(3)}}{h} = 6\]然后，我们可以利用微分来近似计算f(x)在点x=3.1处的函数值：\[f(3.1) \approx f(3) + f'(3) \cdot (3.1-3) = 9 + 6 \cdot 0.1 = 9.6\]这个结果与实际的计算结果3.1^2=9.61非常接近。
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1 0.02 3
y dy
1 1.02 1 0.02 （3）套y dy 3
3
1.02 1.0067
练习
插入视频中间
运用微分计算 9998 的近似值可得，9998 99.99.
A. √
B. ×
参考答案：A
第五节 小结
一.函数的微分
微分的定义、公式、几何意义
我们发现 y = f (u) , 当 u 为中间变量 时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形 式相同 , 均为 dy = f (u) du , 这种性质称为 函数的微分形式不变性 .
例1
已知函数y ln(2 x )，求dy.
方法一
3
解
利用dy ydx可得 :
3
3 dy ln(2 x ) dx 3 (2 x ) 3 6 x dx dx x 2x 2x
所以, 球的体积增量大约为62.8 厘米。
立方
例3
求3 1.02的近似值
解
y
3
x
x 0.02
（1）设函数
x0 1
y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.02) f (1) （2）算y与dy
3 1.02 3 1
dy
1 1 2 3 yx 3 x x 3 2 x 3 x
二.微分的运算法则
1.微分基本公式
导数的基本公式
1 (x ) x
微分的基本公式
dx x 1dx
da x a x ln adx
1 d loga x dx x ln a
(a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a
微分公式一目了然
高等数学之——
3.5 函数的微分及其应用
第三章 导数与微分
第五节 函数的微分及其应用
一.函数的微分 二.微分的运算法则 三.微分在近似计算中的应用
二.微分的运算法则
1.微分基本公式
由dy f ( x)dx可知， 求函数的微分dy : 求出导数f ( x), 再乘上dx
微分的基本公式与导数的基本公式相似
(2) d(u ( x)v( x)) v( x)du( x) u ( x)dv( x)
d[C u( x)] Cdu( x)
（C( x) u ( x)dv( x) (3) d v( x) 2 v ( x)
( v( x) 0 )
3 2
1
1
方法二
分解
y ln u , u 2 x
3
由微分形式不变性可得
dy (ln u ) du
1 1 1 3 2 2 du 6 x dx 3 6 x dx dx u u x 2x
三. 微分在近似计算中的应用
函数的增量
y
终值—初值
函数的微分
二.微分的运算法则
微分运算法则与导数运算法则类似
三.微分在近似计算中的应用
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
dy
f ( x0 )x
导数*增量
f ( x0 x) f ( x0 )
移项
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
若y f ( x)在x处可微，则对于充分小 的 x ，有近似公式
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
例2
将半径为 10cm 的球加热. 如果球的半径 伸长 0.05cm 估计球的体积的增量.
解 由 V 4 R3 , 则 3
4 4 3 V ( R R ) R 3 3 3
4 dV ( R 3 ) R 3
4 R R
2
4 102 0.05 62.8
导数的基本公式
(sin x) cos x
(cos x) sin x
微分的基本公式
d sin x cos xdx
d cos x sin xdx
( tan x ) sec2 x
d tan x sec2 xdx
(cot x) csc2 x
(sec x) tan x sec x
3.复合函数微分法则
定义
设 y f (u) 与 u ( x) 可构成复合函数 y f ( ( x)).
若 u ( x) 在点 x0 处可微 ,
而y f (u) 在相应点 u0 ( x0 ) 处可微 ,
f ( ( x)) 在 U( x0 ) 内有定义 ,
则 y f ( ( x))
在点 x0 处可微.
按微分的定义
dy dy d x ( f ( ( x))) d x dx f ( ( x)) ( x) d x
但 故
d u ( x) d x d y f (u ) ( x) d x f (u ) d u
(u为中间变量 )
说 明 什 么 问 题 ？
(csc x) cot x csc x
d cot x csc2 xdx
d sec x tan x sec xdx
d csc x cot x csc xdx
2.函数的和、差、积、商的微分公式
若函数 u(x) , v(x) 均可微, 则
(1) d (u ( x) v( x)) du( x) dv( x)