微分的运算法则_微分在近似计算中的应用

例2
将半径为 10cm 的球加热. 如果球的半径 伸长 0.05cm 估计球的体积的增量.
解 由 V 4 R3 , 则 3
4 4 3 V ( R R ) R 3 3 3
4 dV ( R 3 ) R 3
4 R R
2
4 102 0.05 62.8
二.微分的运算法则
微分运算法则与导数运算法则类似
三.微分在近似计算中的应用
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
所以, 球的体积增量大约为62.8 厘米。
立方
例3
求3 1.02的近似值
解
y
3
x
x 0.02
（1）设函数
x0 1
y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.02) f (1) （2）算y与dy
3 1.02 3 1
dy
1 1 2 3 yx 3 x x 3 2 x 3 x
在点 x0 处可微.
按微分的定义
dy dy d x ( f ( ( x))) d x dx f ( ( x)) ( x) d x
但 故
d u ( x) d x d y f (u ) ( x) d x f (u ) d u
(u为中间变量 )
说 明 什 么 问 题 ？
3.复合函数微分法则
定义
设 y f (u) 与 u ( x) 可构成复合函数 y f ( ( x)).
若 u ( x) 在点 x0 处可微 ,
而y f (u) 在相应点 u0 ( x0 ) 处可微 ,
f ( ( x)) 在 U( x0 ) 内有定义 ,
则 y f ( ( x))
我们发现 y = f (u) , 当 u 为中间变量 时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形 式相同 , 均为 dy = f (u) du , 这种性质称为 函数的微分形式不变性 .
例1
已知函数y ln(2 x )，求dy.
方法一
3
解
利用dy ydx可得 :
3
3 dy ln(2 x ) dx 3 (2 x ) 3 6 x dx dx x 2x 2x
(2) d(u ( x)v( x)) v( x)du( x) u ( x)dv( x)
d[C u( x)] Cdu( x)
（C为一常数）
u ( x) v( x)du( x) u ( x)dv( x) (3) d v( x) 2 v ( x)
( v( x) 0 )
(csc x) cot x csc x
d cot x csc2 xdx
d sec x tan x sec xdx
d csc x cot x csc xdx
2.函数的和、差、积、商的微分公式
若函数 u(x) , v(x) 均可微, 则
(1) d (u ( x) v( x)) du( x) dv( x)
3 2



1
1
方法二
分解
y ln u , u 2 x
3
由微分形式不变性可得
dy (ln u ) du
1 1 1 3 2 2 du 6 x dx 3 6 x dx dx u u x 2x
三. 微分在近似计算中的应用
函数的增量
y
终值—初值


函数的微分
dy
f ( x0 )x
导数*增量
f ( xLeabharlann Baidu x) f ( x0 )
移项
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
若y f ( x)在x处可微，则对于充分小 的 x ，有近似公式
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
3 3
1 0.02 3
y dy
1 1.02 1 0.02 （3）套y dy 3
3
1.02 1.0067
练习
插入视频中间
运用微分计算 9998 的近似值可得，9998 99.99.
A. √
B. ×
参考答案：A
第五节 小结
一.函数的微分
微分的定义、公式、几何意义
高等数学之——
3.5 函数的微分及其应用
第三章 导数与微分
第五节 函数的微分及其应用
一.函数的微分 二.微分的运算法则 三.微分在近似计算中的应用
二.微分的运算法则
1.微分基本公式
由dy f ( x)dx可知， 求函数的微分dy : 求出导数f ( x), 再乘上dx
微分的基本公式与导数的基本公式相似
导数的基本公式
(sin x) cos x
(cos x) sin x
微分的基本公式
d sin x cos xdx
d cos x sin xdx
( tan x ) sec2 x
d tan x sec2 xdx
(cot x) csc2 x
(sec x) tan x sec x
二.微分的运算法则
1.微分基本公式
导数的基本公式
1 (x ) x
微分的基本公式
dx x 1dx
da x a x ln adx
1 d loga x dx x ln a
(a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a
微分公式一目了然