材料力学-- 弯曲变形

d 2 w M ( x) 或 则有 EI dx 2
EIw M (x)
[例7-2-1] 画出下列梁的挠曲线大致形状。 w 解: ① 建立坐标系并 m 作弯矩图 B m x A EIw M (x) C L L AB段: M 0，w 0 m ∴ w上凸 － M A B C BC段: M 0， w 0 边界条件: wC 0， C 0 B C A ∴ w=0 同时B处须满足连续光滑条件， 即曲线与直线在B点相切。
9
[例7-2-2] l，确定梁的载荷、支撑情况。 M
6Fl
Fx3 ，长度为 等截面直梁，其挠曲线 w EI
解:① 作弯矩图、剪力图
EIw M (x) M ( x) 6Fx
6F
Fs
6F
+
Fs ( x)
dM ( x) 6F dx
l
6F
6Pl
dFs ( x) q ( x) 0 dx 6Pl
第七章
弯曲变形
第七章
§7.1
§7.2
弯曲变形
概述
挠曲线的近似微分方程
§7.3
§7.4 §7.5 §7.6 §7.7 §7.8
用积分法求挠度和转角
用叠加法求挠度和转角 梁的刚度计算 简单超静定梁 梁的弯曲应变能 提高弯曲刚度的措施
§7-1
概述
一、工程中的弯曲变形问题
若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工 作的平稳性。
C C1 C 2
Fa 2l 3a , 6EI
wC wC1 wC 2
Fa 2 a l 3EI
[例7-4-4] 等截面刚架A端的水平位移xA 和竖直位移yA。
A
EI P a A EI C
B b
解：(1) 刚化AB段： (2) 刚化BC段：
x A1
刚化AB
§7-5
一、刚度条件：
w max w
max
梁的刚度计算
wA wA
1 刚度校核 2 设计截面 3 确定许可载荷
3
B E
RA qa
RB qa
B a l
E
在RB作用下：表7.1第2栏
BR
qal 2 EI
2
wBR
qal 3EI
C
RB qa
B
在 q 作用下：表7.1第4栏
Bq Eq
qa3 6 EI
qa qa l a 8EI 6 EI
4 3 4 3
C
E q
wBq wEq Bq l a qa qa l 24 EI 6 EI
x 0: w 0
x l 2: 0
或
[例7-3-2] 用积分法求C截面的转角和挠度，EI为常量。 F w 解：(1) 分段写弯矩方程 B A
C
RA a
l
(2) 分段建立挠曲线近似微分方程，并积分
EIw1 Fx
F a l , RB Fa RB l l CA段：M1 Fx 0 x a F (a l ) AB段：M 2 Fx ( x a) a x l a l
x
RA
0 x a
EIw2 Fx
F (a l ) ( x a) a x l a l
EIw1 F x 2 C1 2 EIw1 F x 3 C1 x D1 6
F (a l ) EIw2 F x 2 ( x a ) 2 C2 2 2l F x 3 F (a l ) ( x a)3 C x D EIw2 2 2 6 6l
边界 条件
6F
x 0， w 0 x 0， w 0 Fl 3 x l， w EI 故可确定其为悬臂梁。 10
§7-3
d 2 w w M ( x) EI dx 2
用积分法求梁的变形
EIw M (x)
EIw' M ( x)dx C 转角方程
EIw [ M ( x)dx] dx Cx D 挠度方程
EI为常量 EI为常量
C、D 为积分常数；由边界条件和连续性条件确定。 边界条件: 固定端：w＝0；θ＝0； 铰支座：w＝0； 弯曲变形的对称点：θ＝0。 连续性条件: 挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个 值。
[例7-3-1]用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对 值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。 q w 解：(1) 求支反力，列弯矩方程
A P
C
B
(3) 叠加：
x A x A1 x A2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
pab2 2 EI
*逐段刚化法
y A y A1 y A2
pa2 3b a 3EI
[例7-4-5] 用叠加法求中点C挠度和梁端截面B的转角。 解： C为对称点，故C 截面的转角为0。
q A D C 2a 2l q
A RA
x
l
B RB
x
由对称性知RA RB 1 ql 2 ql q 2 M ( x) x x 0 x l
2 2
(2) 建立挠曲线近似微分方程，并积分
EIw
(3) 利用边界条件确定积分常数
ql q x x 2 0 x l 2 2 ql 3 q 4 ql 2 q 3 EIw x - x Cx D EIw x x C , 12 24 4 6
dPC
4 q0 (l x) 2 (3l 2 4(l x) 2 ) ql dx 0.5l 24lEI 240 EI
[例7-4-3] 用叠加法求C截面的转角和挠度。 w F B A 解：(1) 假设CA段为刚性，研究 x C 简支梁AB的变形所引起的C截面 a l 的转角和挠度 F A B Fa 表7.1第5栏 A Fal C 3EI Fal , w a Fa2l F C1 A C1 C1 3EI 3EI A C (2) 假设AB段为刚性，外伸段CA看作悬臂梁： Fa 2 , Fa3 表7.1第2栏 C 2 wC 2 2 EI 3EI (3) 叠加法求C截面的挠度和转角
1 M EI
1 M ( x) 横力弯曲梁（近似） ( x) EI
w
M 0 w 0
O
M 0
任意曲线曲率 d2w w 0 d2w dx 2 1 2 x 32 2 ( x) dx dw 1 dx

d 2 w M ( x) 2 EI dx
B C
P

等价
y A1
A
P
Pa B C
A
P
刚 化 BC
B C

等价
y A2
A
P
B
刚化AB: xA1 wB Pab
2
2EI

y A1
x A1
P
pa2b y A1 B a EI
A
Pa B
刚化BC: x A 2 0
y A2 pa wA 3EI
3
y A2
C1 C2 , D1 D2 (3)
(4) C截面的挠度和转角
x 0:
C1 C2 Fa (2l 3a), 6
Fa 2 a l D1 D2 3
wC w1 Fa 2l 3a , 6EI
Fa 2 a l wC w1 3EI
EI AC段： w1 F x 2 C1 2
AB段： EIw2 F x 2 F (a l ) ( x a) 2 C2
(3) 确定积分常数 边界条件: 连续性条件: x a : w1 w2
x a : w1 w2
（1）（2）（3）
EIw1 F x 3 C1 x D1 6
二、弯曲变形的量度－－挠度和转角 F 原为直线的轴线AB弯曲 B A 成光滑而连续的曲线， 该曲线称为该梁的挠曲线。 在平面弯曲的情况下，挠曲线是位于载荷平面内的 6 平面曲线。
w
A

x C
F
B
w
C
挠曲线方程： w f x 任意截面形心C C x 三位移：水平位移△x， 忽略 竖直位移△w = w
x 0: w 0 x l: w0
D0 ql3 C 24
(4) 求转角方程、挠度方程 EIw ql x q x 2 0 x l
w q l 3 6lx2 4 x3 24 EI


2
2
qx 3 w l 2lx2 x 3 24 EI
§7-4
用叠加法求梁的变形
叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量 （反力、内力、应力、变形）等于每个载荷 单独作用时所引起的该参量的代数和。
叠加法：应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。 前提条件：小变形，材料服从虎克定律。
d 2 wF EI MF , 2 dx
2
EI
d 2 wq dx
2
Mq ,
2
d2w M EI 2 dx
d w M M M EI d wF EI EI 2 F q dx dx 2 dx 2
d 2 wq
EI
d 2 wF wq dx 2
* 表7-1
[例7-4-1] 用叠加法求C点挠度。
F q A a F A a q C a C a B
2 2l F (a l ) EIw2 F x 3 ( x a ) 3 C2 x D2 6 6l
w F
a
x a 时 : w1 0 , w2 0 (1) x l a 时 : w2 0 (2)
C
A l
B
x
Fa 2 C F a 2 F (a l ) (a a) 2 C 1 2 2 2 2l Fa3 C a D F a 3 F (a l ) (a a)3 C a D 1 1 2 2 6 6 6l
RB qa
B Eq
C
E
Bq
叠加：
wC wB wBR wBq qa 8l 3 a 3 4a 2l 24 EI
q
A D B C 2a 2l q
C
E


RB qa
B a l E
B BR Bq
qa 3l 2 a 2 6EI


RB qa
用叠加法求C点挠度。
q0
解:积分法
B l/2
A l/2
C
2q0 dF q( x)dx (l x)dx l
表7.1第8栏
wdPC
(dF )(l x)(3l 2 4(l x) 2 ) 48 EI
wqC
w
l
q0 (l x) 2 (3l 2 4(l x) 2 ) dx 24lEI
解：① 简单载荷引起的变形 表7.1第7栏
F ( 2a ) Fa3 wFC 48 EI 6 EI 表7.1第9栏
B
3
= +
5q(2a) 5qa wqC 384 EI 24 EI
② 叠加
B
3 5qa4 wC ( Fa ) 24 EI 6 EI
4
4
A a
C
a
[例7-4-2]


w
A
q
B
x
(5) 求最大值
x 0 或 x l : max ql 3 A B 24 EI
l
x l : 0; w max l 2 2 弯曲变形的对称点：θ ＝0。
5ql 4 384 EI
x l: w0
x l 2: 0
边界条件：
又如，车床主轴：
若变形过大，不 仅会影响齿轮的 啮合和轴承的配 合，使传动不平 稳，磨损加快， 而且还会严重地 影响加工精度。
4
又如，如图所示轮轴： 若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工 作的平稳性等。
5
但有时又有相反要求，要求构件有适当变形，才能 符合使用要求。
如汽车叠板弹簧，要求产生较大变形，才能在车辆 行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。 此外，弯曲变形的计算还经常应用于超静定系统的 求解。
角位移， 竖直位移 w 称为挠度，取向上为正。 角位移 θ 称为转角，逆时针方向为正。 横截面的转角，和挠曲线在该截面形心处的切线与x 轴的夹角相等。 tan dw dx 小变形： tan dw w f x
dx
§7.2 挠曲线的近似微分方程
前一章已得到： 纯弯曲梁