惯性导航原理(1)
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※ 关于交换律和结合律
※ 关于相乘符号
四元数基本性质 共轭 范数
3．共轭四元数 仅向量部分符号相反的两个四元数
q ( , P)
可证明： 4．四元数的范数 定义
和
q* ( , P)
互为共轭
(qh)* h * q *
q
2 2 1 2 2 2 3
q qq* P P P
Oxb yb zb
机体坐标系是固连在机体上的坐标系。机 体坐标系的坐标原点o位于飞行器的重心处， x沿机体横轴指向右，y沿机体纵轴指向前， z垂直于oxy，并沿飞行器的竖轴指向上。
3.2四元数理论
四元数 表示
四元数：描述刚体角运动的数学工具 (quaternions)
针对捷联惯导系统，可弥补欧拉参数在描述和解算方面的不足。
四元数既表示了转轴方向，又表示了转角大小（转动四元数）
四元数表示转动 矢量旋转
如果矢量 R 相对固定坐标系旋转，旋转四元数为 q，转动后 的矢量为 R’，则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现
R' qRq
1
含义：矢量 R 相对固定坐标系产生旋转，转角和转轴由 q 决定
四元数表示转动 坐标系旋转
如果坐标系 OXYZ 发生 q 旋转，得到新坐标系 OX’Y’Z’ 一个相对原始坐标系 OXYZ 不发生旋转变换的矢量 V
V xi yj zk
矢量 V 在新坐标系上 OX’Y’Z’ 的投影为
V x' i' y' j ' z' k '
则不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：
四元数的表示
由一个实单位和三个虚数单位 i, j, k 组成的数
q 1 P 1i P 2 jP 3k
或者省略 1，写成
qP 1i P 2 jP 3k
i, j, k 服从如下运算公式：
四元数 组成部分
i, j, k 服从如下运算公式
i i j j k k 1 i j j i k j k k j i k i i k j
四元数表示转动 旋转合成
多次旋转的合成
对于一个坐标系经过多次旋转后，新坐标系和原始坐标系之间 的关系等效于一个一次转动的效果，相应地有合成转动四元数
假定 q1、q2 分别是第一次转动、第二次转动的四元数 q 是合成转动的四元数，那么有如下关系成立：
q q1 q2
上式中 q1 和 q2 的转轴方向必须以映象的形式给出。
代入上述投影变换式
x' i y ' j z ' k ( xi yj zk ) ( P1i P2 j P3 k ) ( P 1i P 2 jP 3k )
进行四元数乘法运算，整理运算结果可得
四元数表示转动 方向余弦
x ' x y ' C y z ' z
OZ’ 轴对应单位矢量 k， 所以定义 n 的映象为 k 则 q3 的映象表示式为
q3 cos
2
sin
2
k
求方向余弦 映象合成
由于 q1 、q2 和 q3 都是映象形式 ，所以三次转动的合成转动 四元数 q 为
q q1 q2 q3
cos sin k cos sin i cos sin k 2 2 2 2 2 2 cos cos sin cos i sin sin j 2 2 2 2 2 2
i
在惯性导航中常用的坐标系有 1. 地心惯性坐标系—— Oxi yi zi 地心惯性坐标系不考虑地球绕太阳的公转运 动，地心惯性坐标系的原点选在地球的中心，它 不参与地球的自转。惯性坐标系是惯性敏感元件 测量的基准，在导航计算时无需在这个坐标系中 分解任何向量，因此惯性坐标系的坐标轴的定向 无关紧要，但习惯上将z轴选在沿地轴指向北极的 方向上，而x、y轴则在地球的赤道平面内，并指 向空间的两颗恒星。
如果 q1 和 q2 的转轴方向都以原始坐标系的分量表示，则有
q q2 q1
求方向余弦 非映象方式1
用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表。 坐标系 OX’Y’Z’ 相对 OXYZ 三次旋转，以 欧拉角ψ 、θ 、φ 的 形式给出。 第一转，绕 Z 轴转ψ 角，瞬时转轴 n 和 k 轴重合，则转动四元 数为
Ve ' q Ve q
式中
1
Ve xi yj zk
Ve ' x' i y' j z' k
分别称为矢量 V 在坐标系 OXYZ 和 OX’Y’Z’ 上的映像
四元数 映象图解
V xi yj zk
V x' i' y' j ' z' k '
Ve xi yj zk
则称为规范化四元数
q 1
四元数基本性质 逆 除法
5．逆四元数
q
1
1 q* q q
当
q 1时 q
1
q*
6．四元数的除法 若 若
qh M hq M
则 则
q Mh
1
1
qh M
（含义不确切 ）
不能表示为
M q h
四元数表示转动 约定
一个坐标系或矢量相对参考坐标系旋转， 转角为θ ，
cos
2
sin
2
k
据此可算出对应的方向余弦表
四元数补充 两种转动公式
坐标系旋转时，不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在 如下关系： 1 e e
V ' q V q
在一些资料中，四元数的转动公式也经常写成如下的形式
VE ' qVE q
1
这个公式的意义是说，在一个超复数空间中，或者在一个固 定坐标系中，矢量 VE 按着四元数 q 所表示的方向和大小转 动了一个角度，得到一个新的矢量 VE’
2. 地球坐标系—— Oxe ye ze 地球坐标系是固连在地球上的坐标系，它相对惯 we 性坐标系以地球自转角速率 旋转，地球坐标系的 Oz Ox y 在赤道平面 Oz轴与 i 原点在地球中心， 轴重合， e 内，x轴指向格林威治经线，y轴指向东经90度方 向。
e e
3. 地理坐标系—— Oxt yt zt 地理坐标系是在飞行器上用来表示飞行器 所在位置的东向、北向和垂线方向的坐标 系。地理坐标系的原点选在飞行器重心处， x指向东，y指向北，z沿垂线方向指向天 （东北天）。
(v P 1 1 P 2 2 P 3 3 )
( 1 P 1v P 2 3 P 3 2 )i
( 2 P2 v P3 1 P 13 ) j ( 3 P3v P 1 2 P 2 1 )k
或简单表示为
q M v P vP P
qP 1i P 2 jP 3k
P 1i P 2 jP 3k 四元数的另一种表示法 q , P
λ 称作标量部分， 提示：四元数与刚体转动的关系
称作矢量部分 P 泛指矢量部分
四元数基本性质 加减法 qP 1i P 2 jP 3k
M v 1i 2 j 3 k
转轴 n 与参考系各轴间的方向余弦值为cosα 、cosβ 、cosγ 。
则表示该旋转的四元数可以写为
q cos sin cos i sin cos j sin cos k 2 2 2 2 cos sin n 2 2
为特征四元数 （范数为 1 ）
Ve ' x' i y' j z' k
四元数表示转动 方向余弦 1 Ve ' q Ve q 将该投影变换式展开，也就是把
Ve ' x' i y' j z' k Ve xi yj zk 1 P qP 1i P 2 jP 3k 1i P 2 jP 3k q
第三章 惯性导航原理
主要—捷联式
3.1常用坐标系
惯性导航中所采用的坐标系可分为惯性坐标系与非惯性坐 标系两类，惯性导航区别于其它类型的导航方案（如无线 电导航、天文导航等）的根本不同之处就在于其导航原理 是建立在牛顿力学定律——又称惯性定律——的基础上的， “惯性导航”也因此而得名。而牛顿力学定律是在惯性空 间内成立的，这就有必要首先引入惯性坐标系，作为讨论 惯导基本原理的坐标基准。对飞行器进行导航的主要目的 就是要确定其导航参数，飞行器的导航参数就是通过各个 坐标系之间的关系来确定的，这些坐标系是区别于惯性坐 标系、并根据导航的需要来选取的。将它们统称为非惯性 坐标系，如地球坐标系、地理坐标系、导航坐标系、平台 坐标系及机体坐标系等。
cos
2
cos
2
sin
2
ห้องสมุดไป่ตู้
cos
2
i sin
2
sin
2
j cos
2
sin
2
k
求方向余弦 映象方式1
以瞬时转轴映象形式给出 转动四元数的表达式并求 出合成转动四元数
第一次转时，映象形式的 q1 和非映象形式的 q1 是 一致的：
q1 cos
2
sin
2
k
求方向余弦 映象方式2
q1 cos
2
sin
2
k
求方向余弦 非映象方式2
第二转，绕 OX1 轴转θ 角， 瞬时转轴 n 的方向表示式为
(cos i sin j )
其转动四元数为
q 2 cos
cos
2
sin
2
n
2
sin
2
(cos i sin j )
第二转绕 OX1 轴转 θ角 瞬时转轴 n 是由 OX 经过 第一转转换来的 OX 轴对应单位矢量 i，所 以定义 n 的映象为 i
则 q2 的映象表示式为
q 2 cos
2
sin
2
i
求方向余弦 映象方式3
第三转，绕 OZ’ 轴转动 φ 角
瞬时转轴 n 是由 OZ 经过 第一转和第二转转换来的
4. 导航坐标系—— Oxn y n z n 导航坐标系是在导航时根据导航系统工作 的需要而选取的作为导航基准的坐标系。 指北方位系统：导航坐标系与地理坐标系 重合；自由方位系统或游动自由方位系统： y t 与 yn zn轴与 z t 轴重合，而 x与 及 之间相差 x n t 一个自由方位角或游动方位角 。
Oxp y p z p 5. 平台坐标系—— 平台坐标系是用惯导系统来复现导航坐标 系时所获得的坐标系，平台坐标系的坐标 原点位于飞行器的重心处。对于平台惯导 系统，平台坐标系是通过平台台体来实现 的；对于捷联惯导系统，平台坐标系是通 过存储在计算机中的方向余弦矩阵来实现 的。
6. 机体坐标系——
1．四元数加减法
qM
( v) ( P 1 1 )i ( P 2 2 ) j (P 3 3 )k
或简单表示为
q M v, P
四元数基本性质 乘法
2．四元数乘法
q M ( P 1i P 2 jP 3 k )(v 1i 2 j 3 k )
其中方向余弦矩阵
C
2 P12 P22 P32 2( P1 P2 P3 ) 2( P1 P3 P2 ) 2 2 2 2 P2 P1 P3 2( P2 P3 P1 ) 2( P1 P2 P3 ) 2 2 2 2 2( P1 P3 P2 ) 2( P2 P3 P1 ) P3 P1 P2
求方向余弦 非映象方式合成
由于 q1 和 q2 的瞬时转轴都是以同一个坐标系的方向余弦来 表示，则合成转动四元数 q 的计算采用：
q q2 q1
cos sin (cos i sin j ) cos sin k 2 2 2 2
四元数补充 计算上的优点
四元数法能得到迅速发展，是由于飞行器控制与导航的发展，要 求更合理地描述刚体空间运动，以及便于计算机的应用。 采用方向余弦矩阵描述飞行器运动时，要积分矩阵微分方程式：
※ 关于相乘符号
四元数基本性质 共轭 范数
3．共轭四元数 仅向量部分符号相反的两个四元数
q ( , P)
可证明： 4．四元数的范数 定义
和
q* ( , P)
互为共轭
(qh)* h * q *
q
2 2 1 2 2 2 3
q qq* P P P
Oxb yb zb
机体坐标系是固连在机体上的坐标系。机 体坐标系的坐标原点o位于飞行器的重心处， x沿机体横轴指向右，y沿机体纵轴指向前， z垂直于oxy，并沿飞行器的竖轴指向上。
3.2四元数理论
四元数 表示
四元数：描述刚体角运动的数学工具 (quaternions)
针对捷联惯导系统，可弥补欧拉参数在描述和解算方面的不足。
四元数既表示了转轴方向，又表示了转角大小（转动四元数）
四元数表示转动 矢量旋转
如果矢量 R 相对固定坐标系旋转，旋转四元数为 q，转动后 的矢量为 R’，则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现
R' qRq
1
含义：矢量 R 相对固定坐标系产生旋转，转角和转轴由 q 决定
四元数表示转动 坐标系旋转
如果坐标系 OXYZ 发生 q 旋转，得到新坐标系 OX’Y’Z’ 一个相对原始坐标系 OXYZ 不发生旋转变换的矢量 V
V xi yj zk
矢量 V 在新坐标系上 OX’Y’Z’ 的投影为
V x' i' y' j ' z' k '
则不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：
四元数的表示
由一个实单位和三个虚数单位 i, j, k 组成的数
q 1 P 1i P 2 jP 3k
或者省略 1，写成
qP 1i P 2 jP 3k
i, j, k 服从如下运算公式：
四元数 组成部分
i, j, k 服从如下运算公式
i i j j k k 1 i j j i k j k k j i k i i k j
四元数表示转动 旋转合成
多次旋转的合成
对于一个坐标系经过多次旋转后，新坐标系和原始坐标系之间 的关系等效于一个一次转动的效果，相应地有合成转动四元数
假定 q1、q2 分别是第一次转动、第二次转动的四元数 q 是合成转动的四元数，那么有如下关系成立：
q q1 q2
上式中 q1 和 q2 的转轴方向必须以映象的形式给出。
代入上述投影变换式
x' i y ' j z ' k ( xi yj zk ) ( P1i P2 j P3 k ) ( P 1i P 2 jP 3k )
进行四元数乘法运算，整理运算结果可得
四元数表示转动 方向余弦
x ' x y ' C y z ' z
OZ’ 轴对应单位矢量 k， 所以定义 n 的映象为 k 则 q3 的映象表示式为
q3 cos
2
sin
2
k
求方向余弦 映象合成
由于 q1 、q2 和 q3 都是映象形式 ，所以三次转动的合成转动 四元数 q 为
q q1 q2 q3
cos sin k cos sin i cos sin k 2 2 2 2 2 2 cos cos sin cos i sin sin j 2 2 2 2 2 2
i
在惯性导航中常用的坐标系有 1. 地心惯性坐标系—— Oxi yi zi 地心惯性坐标系不考虑地球绕太阳的公转运 动，地心惯性坐标系的原点选在地球的中心，它 不参与地球的自转。惯性坐标系是惯性敏感元件 测量的基准，在导航计算时无需在这个坐标系中 分解任何向量，因此惯性坐标系的坐标轴的定向 无关紧要，但习惯上将z轴选在沿地轴指向北极的 方向上，而x、y轴则在地球的赤道平面内，并指 向空间的两颗恒星。
如果 q1 和 q2 的转轴方向都以原始坐标系的分量表示，则有
q q2 q1
求方向余弦 非映象方式1
用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表。 坐标系 OX’Y’Z’ 相对 OXYZ 三次旋转，以 欧拉角ψ 、θ 、φ 的 形式给出。 第一转，绕 Z 轴转ψ 角，瞬时转轴 n 和 k 轴重合，则转动四元 数为
Ve ' q Ve q
式中
1
Ve xi yj zk
Ve ' x' i y' j z' k
分别称为矢量 V 在坐标系 OXYZ 和 OX’Y’Z’ 上的映像
四元数 映象图解
V xi yj zk
V x' i' y' j ' z' k '
Ve xi yj zk
则称为规范化四元数
q 1
四元数基本性质 逆 除法
5．逆四元数
q
1
1 q* q q
当
q 1时 q
1
q*
6．四元数的除法 若 若
qh M hq M
则 则
q Mh
1
1
qh M
（含义不确切 ）
不能表示为
M q h
四元数表示转动 约定
一个坐标系或矢量相对参考坐标系旋转， 转角为θ ，
cos
2
sin
2
k
据此可算出对应的方向余弦表
四元数补充 两种转动公式
坐标系旋转时，不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在 如下关系： 1 e e
V ' q V q
在一些资料中，四元数的转动公式也经常写成如下的形式
VE ' qVE q
1
这个公式的意义是说，在一个超复数空间中，或者在一个固 定坐标系中，矢量 VE 按着四元数 q 所表示的方向和大小转 动了一个角度，得到一个新的矢量 VE’
2. 地球坐标系—— Oxe ye ze 地球坐标系是固连在地球上的坐标系，它相对惯 we 性坐标系以地球自转角速率 旋转，地球坐标系的 Oz Ox y 在赤道平面 Oz轴与 i 原点在地球中心， 轴重合， e 内，x轴指向格林威治经线，y轴指向东经90度方 向。
e e
3. 地理坐标系—— Oxt yt zt 地理坐标系是在飞行器上用来表示飞行器 所在位置的东向、北向和垂线方向的坐标 系。地理坐标系的原点选在飞行器重心处， x指向东，y指向北，z沿垂线方向指向天 （东北天）。
(v P 1 1 P 2 2 P 3 3 )
( 1 P 1v P 2 3 P 3 2 )i
( 2 P2 v P3 1 P 13 ) j ( 3 P3v P 1 2 P 2 1 )k
或简单表示为
q M v P vP P
qP 1i P 2 jP 3k
P 1i P 2 jP 3k 四元数的另一种表示法 q , P
λ 称作标量部分， 提示：四元数与刚体转动的关系
称作矢量部分 P 泛指矢量部分
四元数基本性质 加减法 qP 1i P 2 jP 3k
M v 1i 2 j 3 k
转轴 n 与参考系各轴间的方向余弦值为cosα 、cosβ 、cosγ 。
则表示该旋转的四元数可以写为
q cos sin cos i sin cos j sin cos k 2 2 2 2 cos sin n 2 2
为特征四元数 （范数为 1 ）
Ve ' x' i y' j z' k
四元数表示转动 方向余弦 1 Ve ' q Ve q 将该投影变换式展开，也就是把
Ve ' x' i y' j z' k Ve xi yj zk 1 P qP 1i P 2 jP 3k 1i P 2 jP 3k q
第三章 惯性导航原理
主要—捷联式
3.1常用坐标系
惯性导航中所采用的坐标系可分为惯性坐标系与非惯性坐 标系两类，惯性导航区别于其它类型的导航方案（如无线 电导航、天文导航等）的根本不同之处就在于其导航原理 是建立在牛顿力学定律——又称惯性定律——的基础上的， “惯性导航”也因此而得名。而牛顿力学定律是在惯性空 间内成立的，这就有必要首先引入惯性坐标系，作为讨论 惯导基本原理的坐标基准。对飞行器进行导航的主要目的 就是要确定其导航参数，飞行器的导航参数就是通过各个 坐标系之间的关系来确定的，这些坐标系是区别于惯性坐 标系、并根据导航的需要来选取的。将它们统称为非惯性 坐标系，如地球坐标系、地理坐标系、导航坐标系、平台 坐标系及机体坐标系等。
cos
2
cos
2
sin
2
ห้องสมุดไป่ตู้
cos
2
i sin
2
sin
2
j cos
2
sin
2
k
求方向余弦 映象方式1
以瞬时转轴映象形式给出 转动四元数的表达式并求 出合成转动四元数
第一次转时，映象形式的 q1 和非映象形式的 q1 是 一致的：
q1 cos
2
sin
2
k
求方向余弦 映象方式2
q1 cos
2
sin
2
k
求方向余弦 非映象方式2
第二转，绕 OX1 轴转θ 角， 瞬时转轴 n 的方向表示式为
(cos i sin j )
其转动四元数为
q 2 cos
cos
2
sin
2
n
2
sin
2
(cos i sin j )
第二转绕 OX1 轴转 θ角 瞬时转轴 n 是由 OX 经过 第一转转换来的 OX 轴对应单位矢量 i，所 以定义 n 的映象为 i
则 q2 的映象表示式为
q 2 cos
2
sin
2
i
求方向余弦 映象方式3
第三转，绕 OZ’ 轴转动 φ 角
瞬时转轴 n 是由 OZ 经过 第一转和第二转转换来的
4. 导航坐标系—— Oxn y n z n 导航坐标系是在导航时根据导航系统工作 的需要而选取的作为导航基准的坐标系。 指北方位系统：导航坐标系与地理坐标系 重合；自由方位系统或游动自由方位系统： y t 与 yn zn轴与 z t 轴重合，而 x与 及 之间相差 x n t 一个自由方位角或游动方位角 。
Oxp y p z p 5. 平台坐标系—— 平台坐标系是用惯导系统来复现导航坐标 系时所获得的坐标系，平台坐标系的坐标 原点位于飞行器的重心处。对于平台惯导 系统，平台坐标系是通过平台台体来实现 的；对于捷联惯导系统，平台坐标系是通 过存储在计算机中的方向余弦矩阵来实现 的。
6. 机体坐标系——
1．四元数加减法
qM
( v) ( P 1 1 )i ( P 2 2 ) j (P 3 3 )k
或简单表示为
q M v, P
四元数基本性质 乘法
2．四元数乘法
q M ( P 1i P 2 jP 3 k )(v 1i 2 j 3 k )
其中方向余弦矩阵
C
2 P12 P22 P32 2( P1 P2 P3 ) 2( P1 P3 P2 ) 2 2 2 2 P2 P1 P3 2( P2 P3 P1 ) 2( P1 P2 P3 ) 2 2 2 2 2( P1 P3 P2 ) 2( P2 P3 P1 ) P3 P1 P2
求方向余弦 非映象方式合成
由于 q1 和 q2 的瞬时转轴都是以同一个坐标系的方向余弦来 表示，则合成转动四元数 q 的计算采用：
q q2 q1
cos sin (cos i sin j ) cos sin k 2 2 2 2
四元数补充 计算上的优点
四元数法能得到迅速发展，是由于飞行器控制与导航的发展，要 求更合理地描述刚体空间运动，以及便于计算机的应用。 采用方向余弦矩阵描述飞行器运动时，要积分矩阵微分方程式：