椭圆中的重要结论

椭圆中焦点三角形的性质及应用

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.

一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算

例1 椭圆112

162

2=+y x 上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ∆的形状.

性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆。

性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b

y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a

b 22 性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ

例2（2000年高考题）已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,1200

21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。

例3已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．

(1)求椭圆的方程；

(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tan F1PF2．