椭圆的常用结论
高中数学新课标椭圆常结论
高中数学新课标中椭圆的常用结论一、椭圆上距离焦点距离最近的点，最远的点是长轴的两个端点。
二、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度：ab AB 22=三、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb四、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 五、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OM b k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
椭圆的13个经典结论
椭圆的13个经典结论
椭圆被广泛应用于科学和工程领域。
下面是椭圆的13个经典结论：
1. 椭圆是一种闭合的曲线，它与两个焦点的距离之和是固定的，这个固定值称为椭圆的长轴。
2. 椭圆的中心是长轴的中点。
3. 椭圆的短轴是椭圆的宽度，是长轴的垂直线段。
4. 椭圆的离心率是一个无量纲常数，用来描述椭圆的形状，它等于长轴和短轴之间的差值与长轴之和的比值。
5. 椭圆的离心率小于1，当离心率等于0时，椭圆变成一个圆。
6. 椭圆的面积是长轴和短轴的乘积乘以π的一半。
7. 椭圆的周长没有一个简单的公式，但可以使用椭圆积分来计算。
8. 椭圆可以用焦点和一条线段来定义，这条线段被称为椭圆的直径。
9. 椭圆和直线之间的交点称为椭圆的交点。
10. 椭圆可以被切成两个相等的部分，这两个部分称为椭圆的半个。
11. 椭圆的焦点和直径的中点固定在椭圆上。
12. 椭圆是一种二次曲线，可以使用一元二次方程来表示。
13. 椭圆在几何上具有对称性，椭圆的每个点都可以通过椭圆的中心与另一点的对称轴来进行对称。
(完整版)椭圆常结论及其结论(完全版)
2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== xO F 1F 2Py A 2A 1B 1B 2同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得 θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb xO F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
椭圆常用结论清单latex
【知识清单】一、简单性质二、椭圆的定义第一定义|P F1|+|P F2|=,b2+c2=a2;第二定义椭圆上一点到(c,0)与x=a2c的距离之比为;第三定义k P A1·k P A2=;第三定义推广只要A1A2为椭圆上关于原点对称的两点,P为椭圆上任意一点,均满足k P A1·k P A2=−b2a2.三、高频结论中点弦已知直线y=kx+b与椭圆交于A,B两点,点M为AB中点,则有k OM·k AB=.四、焦点三角形的相关结论1.△P F1F2的周长为;2.△P F1F2的面积为(其中θ=∠F1P F2).3.当P为短轴端点时,∠F1P F2最大(等面积法证明).推广:顶角三角形对于三角形P AB,AB为椭圆长轴(或短轴)的两个顶点,点P为椭圆上任意一点,当P位于短轴顶点时,θ最大(其中θ=∠AP B).5.已知不经过椭圆右焦点F2的动直线y=kx+t与椭圆C交于A,B两点,则△ABF2的周长最大值为.五、焦半径的相关结论(焦点在x轴)1.焦半径|P F1|=,|P F2|=(用点P(x0,y0)坐标表示).2.焦半径|P F|=(用点P F的倾斜角θ表示,注意分为较长与较短的两类).3.椭圆上一点到焦点的距离最大为,最短为.4.焦点弦长公式|AB|=.5.过焦点的弦中,弦最长为,最短为;6.已知经过椭圆焦点F的直线l与椭圆交于A,B,则|AF|与|BF|满足的关系为.7.焦点弦定比分点：椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为α(α=π2),且# »AF=λ# »F B,则椭圆的离心率满足,(第二定义证明).(注意:λ是F分AB的系数,表达式要写成# »AF=λ# »F B,左右两边都有F,不能没有F).第1页共2页【知识清单】一、简单性质二、椭圆的定义第一定义|P F1|+|P F2|=2a,b2+c2=a2;第二定义椭圆上一点到(c,0)与x=a2c的距离之比为e;第三定义k P A1·k P A2=−b2a2;第三定义推广只要A1A2为椭圆上关于原点对称的两点,P为椭圆上任意一点,均满足k P A1·k P A2=−b2a2.三、高频结论中点弦已知直线y=kx+b与椭圆交于A,B两点,点M为AB中点,则有k OM·k AB=−b2a2.四、焦点三角形的相关结论1.△P F1F2的周长为2a+2c;2.△P F1F2的面积为S△P F1F2=b2tanθ2(其中θ=∠F1P F2).3.当P为短轴端点时,∠F1P F2最大(等面积法证明).推广:顶角三角形对于三角形P AB,AB为椭圆长轴(或短轴)的两个顶点,点P为椭圆上任意一点,当P位于短轴顶点时,θ最大(其中θ=∠AP B).5.已知不经过椭圆右焦点F2的动直线y=kx+t与椭圆C交于A,B两点,则△ABF2的周长最大值为4a.五、焦半径的相关结论(焦点在x轴)1.焦半径|P F1|=a+ex0,|P F2|=a−ex0(用点P(x0,y0)坐标表示).2.焦半径|P F|=b2a(1+e cosθ)或b2a(1−e cosθ)(用点P F的倾斜角θ表示,注意分为较长与较短的两类).3.椭圆上一点到焦点的距离最大为a+c,最短为a−c.4.焦点弦长公式|AB|=2ep1−e2cos2θ=2b2a(1−e2cos2θ)=2ab2a2−c2cos2θ.5.过焦点的弦中,弦最长为2a,最短为2b2a;6.已知经过椭圆焦点F的直线l与椭圆交于A,B,则|AF|与|BF|满足的关系为1|AF|+1|BF|=2ab2.7.焦点弦定比分点：椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为α(α=π2),且# »AF=λ# »F B,则椭圆的离心率满足|e cosα|=λ−1λ+1,(第二定义证明).(注意:λ是F分AB的系数,表达式要写成# »AF=λ# »F B,左右两边都有F,不能没有F).第2页共2页。
椭圆的92条神仙级结论
椭圆的92条神仙级结论
椭圆是高中数学的重要内容，以下是椭圆的92条神仙级结论：
1. 若P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|=2a。
2. 椭圆的焦点三角形面积公式：$\underline{S=b^2\tan\frac{\theta}{2}}$。
3. 椭圆的准线方程：$\underline{x=±a^2\frac{c}{a}}$。
4. 椭圆的焦半径公式：$\underline{|PF1|=a+ex}$，$\underline{|PF2|=a-ex}$（F1为左焦点，F2为右焦点，P为椭圆上任意一点）。
5. 椭圆的切线方程：$\underline{椭圆上一点P(x_0,y_0)处的切线方程是x_0x+y_0y=1}$。
6. 椭圆的焦准距：$\underline{椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到相应准线的距离，其数值为离心率的倒数，即$p={\frac{1}{e}}$。
$0\lt e\lt1$。
椭圆的性质还有很多，同学们可以在学习中不断总结和积累。
高考椭圆必背结论
椭圆22221x y a b+= )0(>>b a 的性质一．基本性质1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=. 8. 焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-.9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+.二．会推导的经典结论1. 椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2. 过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）. 3. 若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4. 设椭圆的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.5. 若椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.9. 过椭圆的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10. 已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.11. 设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是椭圆的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBAβ∠=,BPAγ∠=，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|||sabPAa c coαγ=-.(2) 2tan tan1eαβ=-.(3)22222cotPABa bSb aγ∆=-.13.已知椭圆的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC x⊥轴，则直线AC经过线段EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.。
椭圆常用二级结论
椭圆常用二级结论椭圆是一种非常重要的数学曲线，具有广泛的应用。
在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用。
本文将介绍椭圆常用的二级结论，包括椭圆的标准方程、离心率、焦点、直径、半轴等内容。
一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程是x/a + y/b = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
这个方程的中心在原点，椭圆的长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。
如果椭圆的中心不在原点，可以通过平移使其移动到原点。
二、离心率椭圆的离心率e定义为焦点距离与长轴的比值，即e = c/a，其中c为焦点距离。
离心率是椭圆的一个重要参数，它描述了椭圆的形状。
当e=0时，椭圆变成圆形；当0<e<1时，椭圆为非圆形的椭圆；当e=1时，椭圆变成抛物线；当e>1时，椭圆变成双曲线。
三、焦点椭圆的焦点是椭圆上到两个定点距离之和等于常数的点。
对于椭圆来说，焦点在长轴的两个端点上。
焦点是椭圆的重要性质之一，它具有广泛的应用。
例如，在椭圆反射望远镜中，焦点是光线汇聚的地方，用于聚焦光线。
四、直径椭圆的直径是椭圆上通过中心并且垂直于它的轴的线段。
椭圆的直径是椭圆的重要性质之一，它有许多重要的应用。
例如，在椭圆轨道的卫星运动中，直径是卫星运动的轨道。
五、半轴椭圆的半轴是椭圆的重要性质之一，它是椭圆长轴和短轴的一半。
椭圆的半轴具有广泛的应用。
例如，在椭圆轨道的卫星运动中，半长轴是卫星运动的轨道半径。
六、结论椭圆是一种非常重要的数学曲线，具有广泛的应用。
本文介绍了椭圆常用的二级结论，包括椭圆的标准方程、离心率、焦点、直径、半轴等内容。
这些结论在许多领域都有着重要的应用，例如物理、工程、天文学等领域。
希望读者能够通过本文了解椭圆的基本性质，进一步了解椭圆的应用。
椭圆常用二级结论以及例题
椭圆常用二级结论以及例题
答：椭圆的常用二级结论主要有：
1. 椭圆的两个焦点到任意一点的距离之和是常数，等于椭圆的长轴长度。
2. 椭圆的两个焦点到椭圆上任意一点的切线长度之和等于椭圆的长轴长度。
以下是关于这两个结论的例题：
例1：已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0)和F2(1,0)，且椭圆C经过点P(3/2,1/2)。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P作两条直线分别与椭圆C交于A、B两点，若点P是AB的中点，试问：是否存在定点Q，使得|AB|为定值？若存在，求出所有定点Q的坐标；若不存在，说明理由。
例2：设F1，F2是椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且∠F1PF2 = 120°。
（1）若△F1PF2的面积为(√3)/2，求椭圆的方程；
（2）若点P在第一象限，且|PF1| = √3|PF2|，求点P的坐标。
第一讲 椭圆中常用的结论及解法技巧(学生版)
第一讲 椭圆中常用结论及解法技巧【知识要点】一．椭圆三大定义定义 1．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆． 几何性质：椭圆上任一点到两焦点的距离之和为定值．定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（小于1）的点的轨迹是椭圆． 几何性质：椭圆上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率 e ． 定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（小于0且不等于1-）的点的轨迹是椭圆 ．几何性质：椭圆上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22ab -．二．椭圆经典结论汇总1．AB 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则22a b k k ABOM -=⋅，即 0202y a x b k AB -=．等价形式：21,A A 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上关于原点对称的任意两点，B 是椭圆上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则2221ab k k BA B A -=⋅．2．椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F则（1）2122||||1cos b PF PF θ=+；（2）椭圆的焦点角形的面积为2tan 221θb S PF F =∆．3．过椭圆()012222>>=+b a by a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于C B ,两点，则直线BC 有定向且0202y a x b k BC= （常数）． 4．P 为椭圆()012222>>=+b a by a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则||2||||||2112AF a PF PA AF a +≤+≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线时，等号成立．5．已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，O 为坐标原点，Q P ,为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥，（1）22221111||||OP OQ a b +=+；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b a b +；（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +．6．椭圆()012222>>=+b a by a x 的焦半径公式：)),(),0,(),0,((,||,||00210201y x M c F c F ex a MF ex a MF --=+=7．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是222202020by a x b y y a x x +=+． 8．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是20202222byy a x x b y a x +=+． 9．若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 上，则过0P 的椭圆的切线方程是12020=+b y y a x x ．10．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ，则切点弦21P P 的直线方程是12020=+byy a x x ． 11．设椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在21F PF ∆中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+．12．若P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x 上异于长轴端点的任一点，21,F F 是焦点，12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则2tan 2tan βα=+-c a c a ．13．设B A ,是椭圆()012222>>=+b a by a x 的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=，PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-； (2)2tan tan 1e αβ=-；(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=-． 14．椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e ．15．椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F ，椭圆的焦点角形的内心为I ，P I y e e y +=1，c a PI -=2cos ||θ．16．点P 处的切线PT 平分21F PF ∆在点P 处的外角．17．若椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，左准线为l ，则当120-≤<e时，可在椭圆上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2PF 的比例中项．18．过椭圆()012222>>=+b a by a x 的右焦点F 作直线交该椭圆右支于N M ,两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则2||||eMN PF =．19．已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，B A ,是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ，则22220a b a b x a a---<<． 20．椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个顶点为()()0,,0,21a A a A -，与y 轴平行的直线交椭圆于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是12222=-by a x ．【例题解析】【例1】已知21,F F 分别是椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且0)(11=+⋅→→→OP OF PF （O 为坐标原点），若||2||21→→=PF PF ，则椭圆的离心率为（ ） A ．36- B ．236- C ．56- D ．256-【例2】已知定圆1)5(:221=++y x C ，225)5(:222=+-y x C ，定点)1,4(M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则||||1CC CM +的最大值为（ ）A ．216+B ．216-C ．316+D ．316-【例3】过原点的一条直线与椭圆()012222>>=+b a by a x 交于B A ,两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点2F ，若]4,12[2ππ∈∠ABF ，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．)1,22[B ．]36,22[C ．)1,36[D ．]23,22[ 【例4】已知椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]4,6[ππα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．]13,22[-B ．)1,22[C ．]23,22[D ．]36,33[【例5】已知21,F F 是椭圆13422=+y x 的左右焦点，点M 的坐标为)23,1(-，则21MF F ∠的角平分线所在直线的斜率为( )A ．2-B ．1-C ．3-D ．2-【例6】已知椭圆：()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上的一点，2PF 与椭圆交于Q 。
三十个椭圆二级结论及其证明
三十个椭圆二级结论及其证明
《三十个椭圆二级结论及其证明》
椭圆是几何学中的重要概念，它是一种完美的曲线，具有复杂的几何特性。
椭圆的几何特性可以用二级结论来描述。
下面总结了三十个椭圆二级结论及其证明：
1、椭圆的中心距离是椭圆的两个焦点的距离的一半。
证明：将椭圆的两个焦点A、B和它们的中心C连成一条直线，由于椭圆是对称的，所以AB=2*AC，即中心距离是椭圆的两个焦点的距离的一半。
2、椭圆的长轴是椭圆的两个焦点的距离。
证明：将椭圆的两个焦点A、B和它们的中心C 连成一条直线，由于椭圆是对称的，所以AB=2*AC，即椭圆的长轴是椭圆的两个焦点的距离。
3、椭圆的短轴是椭圆的两个焦点的距离的一半。
证明：将椭圆的两个焦点A、B和它们的中心C连成一条直线，由于椭圆是对称的，所以AB=2*AC，即椭圆的短轴是椭圆的两个焦点的距离的一半。
4、椭圆的长轴和短轴之比等于椭圆的两个焦点距离之比。
证明：将椭圆的两个焦点A、B 和它们的中心C连成一条直线，由于椭圆是对称的，所以AB=2*AC，即椭圆的长轴和短轴之比等于椭圆的两个焦点距离之比。
以上就是三十个椭圆二级结论及其证明，它们描述了椭圆的几何特性，为我们探索椭圆的形状提供了重要的参考。
椭圆常用结论及其推导过程
椭圆常用结论及其推导过程椭圆是一个非常重要的几何学概念，具有许多重要的结论和性质。
在这篇文章中，我们将介绍椭圆的常用结论及其推导过程。
一、椭圆的定义及基本性质1.椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
2.椭圆的基本性质：(1)椭圆是一个封闭曲线，具有对称性；(2)椭圆的两个焦点F1和F2与椭圆的中心O在一条直线上；(3)椭圆的长轴与短轴相交于中心，长度分别为2a和2b（a>b>0）；(4)椭圆的离心率e满足0<e<1二、椭圆的焦点、半长轴和半短轴的平方和证明1.定理：椭圆焦点到定点连线与定点切线的夹角为直角。
证明：设定点F1、F2和椭圆上的点M。
由于FM的长度等于椭圆的长轴，且角FMF1和角FMF2均为直角，所以角MF1F2为直角。
对于切线MF1和MF2，它们垂直于线段F1F2，所以MF1与MF2的夹角为直角。
2.定理：椭圆焦点到定点连线的长度平方和等于长轴的平方。
证明：设椭圆的焦点分别为F1和F2，长轴的长度为2a，椭圆上的任意一点为P。
根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a。
将等式两边平方化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²。
根据焦点与点P连线与切线夹角为直角的性质，可以得到(PF1)²+(PF2)²=(PM)²，其中PM为点P到椭圆的切线的距离。
根据切线的性质，可以得到(PM)²=(PA)²+(PM-A)²，其中A是椭圆上与点P相切的点。
代入上式，化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²，即(PA)²+(PM-A)²+2(PA)(PM-A)=(2a)²。
经过化简，得到(PA+PM-A)²=(2a)²，即2(PA)(PM-A)=0。
椭圆经典结论【范本模板】
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= （a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=。
8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+，20||MF a ex =-（1(,0)F c - ， 2(,0)F c 00(,)M x y )。
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。
11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+。