椭圆常用结论及其应用
高中数学新课标椭圆常结论
高中数学新课标中椭圆的常用结论一、椭圆上距离焦点距离最近的点，最远的点是长轴的两个端点。
二、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度：ab AB 22=三、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb四、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 五、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OM b k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
(完整版)椭圆形状的应用总结
(完整版)椭圆形状的应用总结简介本文档主要总结了椭圆形状在各个领域应用的情况，探讨了其重要性以及应用中的一些注意事项。
椭圆形状的基本特征椭圆是一种平面上的几何形状，与圆形类似具有中心点和半径。
椭圆的特点在于它有两个主轴，即长轴和短轴，分别表示椭圆的长度和宽度。
椭圆的形状由其离心率决定，离心率越接近0，椭圆越接近于圆形。
椭圆形状在实践中的应用1. 天文学领域：椭圆轨道是描述天体运动的一种常见形式，如行星绕太阳运动的椭圆轨道。
2. 电子学领域：椭圆天线在通信系统中具有重要作用，可以实现天线的方向性控制和波束聚焦。
3. 工程领域：椭圆形状常用于设计和建造桥梁、隧道、船舶等结构，具有良好的抗震性能和稳定性。
4. 统计学领域：椭圆形状可以用于描述数据集的离散程度，如椭圆散点图可以直观地反映数据的分布情况。
5. 图形图像处理领域：椭圆形状在边缘检测、图像分割等任务中广泛应用，如椭圆拟合算法可以用于识别出图像中的椭圆对象。
椭圆形状应用中的注意事项1. 椭圆的参数选择：在应用过程中需要合理选择椭圆的参数，如长轴和短轴的长度、离心率的大小等。
2. 边界条件的考虑：在实际应用中，椭圆形状可能受到各种边界条件的限制，需要对边界条件进行适当的处理。
3. 精度要求的控制：部分应用场景中对椭圆的精度要求较高，需要采用精确的计算方法或增加采样点数量进行处理。
结论椭圆形状作为一种重要的几何形状，在各个领域具有广泛的应用。
它的独特特征和形状使得它在雷达、信号处理、图像处理、工程建筑等领域起到了重要的作用。
在应用中需要注意选择合适的参数、合理处理边界条件，并注意精度要求，以确保最佳的应用效果。
椭圆的13个经典结论
椭圆的13个经典结论
椭圆被广泛应用于科学和工程领域。
下面是椭圆的13个经典结论：
1. 椭圆是一种闭合的曲线，它与两个焦点的距离之和是固定的，这个固定值称为椭圆的长轴。
2. 椭圆的中心是长轴的中点。
3. 椭圆的短轴是椭圆的宽度，是长轴的垂直线段。
4. 椭圆的离心率是一个无量纲常数，用来描述椭圆的形状，它等于长轴和短轴之间的差值与长轴之和的比值。
5. 椭圆的离心率小于1，当离心率等于0时，椭圆变成一个圆。
6. 椭圆的面积是长轴和短轴的乘积乘以π的一半。
7. 椭圆的周长没有一个简单的公式，但可以使用椭圆积分来计算。
8. 椭圆可以用焦点和一条线段来定义，这条线段被称为椭圆的直径。
9. 椭圆和直线之间的交点称为椭圆的交点。
10. 椭圆可以被切成两个相等的部分，这两个部分称为椭圆的半个。
11. 椭圆的焦点和直径的中点固定在椭圆上。
12. 椭圆是一种二次曲线，可以使用一元二次方程来表示。
13. 椭圆在几何上具有对称性，椭圆的每个点都可以通过椭圆的中心与另一点的对称轴来进行对称。
(完整版)椭圆常结论及其结论(完全版)
2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== xO F 1F 2Py A 2A 1B 1B 2同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得 θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb xO F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
椭圆的结论十三个及证明
椭圆的结论十三个及证明椭圆是平面解析几何中的一类特殊曲线，由两个焦点F1和F2及到它们的距离之和等于常数2a的点动轨迹构成。
本文将介绍椭圆的定义、性质以及它们的证明。
##一、椭圆的定义椭圆的定义如下：设平面上给定两个不重合的点F1和F2，对于平面上的任意一点P，到F1的距离加上到F2的距离等于常数2a，那么点P的轨迹就是一个椭圆。
我们可以通过以下步骤来证明这一定义。
##二、椭圆的证明### 1.步骤1：点P在椭圆上对于任意一点P在椭圆上，我们有以下等式成立：PF1 + PF2 = 2a由于F1和F2是椭圆的两个焦点，所以对于任意时刻，PF1 + PF2的距离是恒定的，等于椭圆的主轴长2a。
所以点P在椭圆上。
### 2.步骤2：椭圆的离心率椭圆的离心率是一个衡量椭圆扁平程度的指标。
我们可以用离心率e来表示，它的计算公式如下：e = PF1 / a其中，a是椭圆的主轴长。
### 3.步骤3：椭圆的焦点与准线根据椭圆的定义，我们可以得到以下结论：-椭圆的焦点F1和F2在椭圆的主轴上，且在椭圆的中垂线上；-椭圆的准线是与椭圆的对称轴相交于焦点的直线。
### 4.步骤4：椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以根据椭圆的定义推导而得。
设椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆的顶点为A(a,0)和B(-a,0)，那么椭圆的标准方程为：(x - c)² / a² + y² / b² = 1其中，a是椭圆的半长轴，c是椭圆的焦距，b是通过离心率计算得到的次长轴。
### 5.步骤5：椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过椭圆的标准方程得到。
设角度θ是椭圆的主轴与x轴的夹角，那么椭圆的参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中，0 ≤ θ ≤ 2π。
### 6.步骤6：椭圆的半焦距和焦长度椭圆的半焦距c是焦点到中心点的距离的一半，可以用以下公式表示：c = √(a² - b²)椭圆的焦长度是焦点到准线的距离，可以用以下公式表示：d = 2 * c### 7.步骤7：椭圆的面积椭圆的面积可以通过以下公式计算得到：S = π * a * b其中，a是椭圆的半长轴，b是通过离心率计算得到的次长轴。
椭圆常结论及其结论完全
椭圆常结论及其结论(完全版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,x O F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边.根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== 同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+12222=+by ax 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长2221212121211(1)()41AB x x x x x x y y ⎡⎤=+-=++-=+-⎣⎦2k k k注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：x O F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
椭圆的92条神仙级结论
椭圆的92条神仙级结论
椭圆是高中数学的重要内容，以下是椭圆的92条神仙级结论：
1. 若P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|=2a。
2. 椭圆的焦点三角形面积公式：$\underline{S=b^2\tan\frac{\theta}{2}}$。
3. 椭圆的准线方程：$\underline{x=±a^2\frac{c}{a}}$。
4. 椭圆的焦半径公式：$\underline{|PF1|=a+ex}$，$\underline{|PF2|=a-ex}$（F1为左焦点，F2为右焦点，P为椭圆上任意一点）。
5. 椭圆的切线方程：$\underline{椭圆上一点P(x_0,y_0)处的切线方程是x_0x+y_0y=1}$。
6. 椭圆的焦准距：$\underline{椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到相应准线的距离，其数值为离心率的倒数，即$p={\frac{1}{e}}$。
$0\lt e\lt1$。
椭圆的性质还有很多，同学们可以在学习中不断总结和积累。
椭圆二级结论大全(附证明)
椭圆二级结论大全（附证明）椭圆是数学中一个基础的几何概念，其形状特殊，且具有独特的性质。
本文将介绍椭圆的二级结论，涵盖椭圆的面积公式、焦点、短半轴和长半轴的关系、离心率、切线、法线等内容，并附上相关证明。
一、面积公式椭圆的面积公式为：$S = \pi ab$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
证明：考虑通过在椭圆上取微小的弧长元素 $ds$，并连接该弧长元素两端的切线，将椭圆分成许多微小的扇形。
可以证明，每个扇形的面积可以表示为 $dS =\frac{1}{2}rds$，其中 $r$ 为扇形的半径。
因此，椭圆的面积可以表示为：$$S = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}r^2 d\theta$$其中 $\theta$ 为角度，$r$ 可以表示为 $r = \sqrt{a^2\cos^2\theta +b^2\sin^2\theta}$，则将其代入上式中并对 $\theta$ 进行积分得到：因此，得到椭圆的面积公式。
二、焦点椭圆的焦点是椭圆上到定点距离的和保持不变的点。
对于任意椭圆而言，它都有两个焦点 $F_1$ 和 $F_2$。
同时，还有一个关于焦点的性质：椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长半轴长度。
证明：设椭圆的长半轴为 $a$，短半轴为 $b$，某一点 $P$ 到焦点 $F_1$ 和$F_2$ 的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$。
则根据椭圆的定义，$d_1 + d_2$ 为常量，即$d_1 + d_2 = 2a$。
又根据椭圆上点到中心的距离与长半轴和短半轴的关系可得到 $d_1^2 = a^2 - b^2$ 和 $d_2^2 = a^2 - b^2$，将 $d_1 + d_2 = 2a$ 代入得到：$$\sqrt{a^2 - b^2} + \sqrt{a^2 - b^2} = 2a$$化简可得 $a^2 = b^2 + (\frac{1}{2}d)^2$，其中 $d$ 为焦距，即两个焦点之间的距离。
椭圆曲线最常用二级结论总结
椭圆曲线最常用二级结论总结在密码学领域中，椭圆曲线被广泛用于实现安全的加密和签名算法。
下面是对椭圆曲线最常用的二级结论的总结：1. 加法结合律（Associative Law of Addition）：对于任意三个点P、Q和R，它们位于同一条曲线上，有(P + Q) + R = P + (Q + R)。
这意味着椭圆曲线上的点相加的顺序不影响最终的结果。
2. 加法逆元（Additive Inverse）：对于椭圆曲线上的任意点P，存在一个点Q，使得P + Q = O，其中O表示无穷远点。
这个点Q称为点P的加法逆元，记作-Q = -P。
加法逆元的存在性保证了每个点在椭圆曲线上都有一个相反的点。
3. 线性性质（Linearity Property）：对于任意两个点P和Q以及一个标量k，有k(P + Q) = kP + kQ。
这意味着可以通过对点P进行重复相加来计算任意标量倍数的点。
4. 点的倍乘运算（Point Multiplication）：给定一个点P和一个标量k，在椭圆曲线上可以通过连续相加点P来计算kP。
这种运算可以高效地实现加密和签名算法中的密钥生成、加密和签名验证等操作。
5. 椭圆曲线上的离散对数问题（Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem）：椭圆曲线上的离散对数问题是指给定点P和Q，求解满足kP = Q的标量k。
该问题在当前的计算能力下被认为是难解的，从而保证了椭圆曲线加密算法的安全性。
以上是椭圆曲线最常用的二级结论总结。
这些结论对于理解和使用椭圆曲线加密和签名算法非常重要，同时也为进一步研究和开发密码学算法提供了基础。
椭圆常用结论证明
椭圆常用结论证明椭圆是数学中的一个重要概念，被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
在椭圆的研究过程中，人们积累了许多常用的结论。
本文将就其中几个常见的结论进行证明。
1.椭圆的定义：椭圆是平面上到两个给定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
证明如下：设P(x,y)是椭圆上的任意一点。
由定义可知，PF1+PF2=2a。
根据点到坐标轴的距离公式可得PF1=√((x-c)^2+y^2)，PF2 =√((x+c)^2+y^2)。
代入得√((x-c)^2+y^2)+√((x+ c)^2+y^2)=2a。
平方两边并移项得(x-c)^2+(x+c)^2+ 2√((x-c)^2+y^2)√((x+c)^2+y^2)=4a^2。
化简得x^2 +y^2=a^2-c^2。
由此可见，椭圆的定义得证。
2.椭圆的离心率：椭圆的离心率是一个重要的参数，用来衡量椭圆的扁平程度。
离心率的计算公式为e=c/a，其中c是两个焦点之间的距离，a是椭圆的长半轴长。
证明如下：根据椭圆的定义可知，PF1+PF2=2a，PF1=e∙a，PF2=(1-e)∙a。
代入得e∙a+(1-e)∙a=2a，化简得e=c/a。
因此，椭圆的离心率的计算公式得证。
3.椭圆的焦点坐标：椭圆的焦点是椭圆定义中的两个关键点，其坐标可以通过长半轴和离心率计算得出。
证明如下：设椭圆的焦点分别为F1(c,0)和F2(-c,0)，长半轴为a，离心率为e。
根据离心率的定义可知e=c/a。
将其代入焦点坐标的表示式，得到F1(c,0)和F2(-c,0)。
因此，椭圆的焦点坐标的计算得证。
以上就是椭圆常用结论的证明过程。
这些结论在解决椭圆相关问题时非常有用，可以帮助我们深入理解椭圆的性质和特点。
在实际应用中，我们可以利用这些结论进行问题求解和分析。
椭圆作为一种重要的几何形状，其研究和应用将继续对数学和其他学科的发展产生积极的影响。
椭圆92条二级结论及其性质证明
椭圆二级结论大全1.122PF PF a+= 2.标准方程22221x y a b+= 3.111PF e d =<4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y ab -=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y ab +=.12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y ab a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b +=+;(2)2222L a A b B =+.17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）,2C ：222222222()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222002222(,)a b a b x y a b a b---++.(ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+=(a ＞0,.b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1,PP 2斜率存在，记为k 1,k 2,则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=-⋅-.19．过椭圆22221x y ab +=(a ＞0,b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y ab +=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P cγ±.21．若P 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+.22．椭圆22221x y ab +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)Fc -,2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e -≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k-≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+.29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b+=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b +=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b +=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时,90α= .31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,c e a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y ab +=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y ab +=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c e aαβγ==+.35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y ab +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP ab +=+.39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q,A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y ab +=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y ab +=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+.44．已知椭圆22221x y ab +=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1,F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a yb x xc c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±).45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y ab +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.47．设A （x 1,y 1）是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d是原点到直线L 的距离,12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<<），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y ab +=（a ＞b ＞0）,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a mb n a --∠=⇔=++.52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y ab +=（a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y ab +=（a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =时取等号）.55．已知椭圆22221x y ab +=（a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a-≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PAB a b S b aγ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、Bx 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y ab +=（a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠= ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y ab +=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P的轨迹是双曲线22221x y ab -=.60．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a +≤+≤+.61．到椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222(()a b x y ee ±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y ee ±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y ab +=（a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b -+=（a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2)以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()a b a b x y a ba b -+=++(0)x ≠.69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y ab -+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b+--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y ab +=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y ab +=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c.76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及b y x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90.过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.91.点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122abS S +=.92.点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122ab S S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b ab +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。
椭圆常用二级结论
椭圆常用二级结论椭圆是一种非常重要的数学曲线，具有广泛的应用。
在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用。
本文将介绍椭圆常用的二级结论，包括椭圆的标准方程、离心率、焦点、直径、半轴等内容。
一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程是x/a + y/b = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
这个方程的中心在原点，椭圆的长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。
如果椭圆的中心不在原点，可以通过平移使其移动到原点。
二、离心率椭圆的离心率e定义为焦点距离与长轴的比值，即e = c/a，其中c为焦点距离。
离心率是椭圆的一个重要参数，它描述了椭圆的形状。
当e=0时，椭圆变成圆形；当0<e<1时，椭圆为非圆形的椭圆；当e=1时，椭圆变成抛物线；当e>1时，椭圆变成双曲线。
三、焦点椭圆的焦点是椭圆上到两个定点距离之和等于常数的点。
对于椭圆来说，焦点在长轴的两个端点上。
焦点是椭圆的重要性质之一，它具有广泛的应用。
例如，在椭圆反射望远镜中，焦点是光线汇聚的地方，用于聚焦光线。
四、直径椭圆的直径是椭圆上通过中心并且垂直于它的轴的线段。
椭圆的直径是椭圆的重要性质之一，它有许多重要的应用。
例如，在椭圆轨道的卫星运动中，直径是卫星运动的轨道。
五、半轴椭圆的半轴是椭圆的重要性质之一，它是椭圆长轴和短轴的一半。
椭圆的半轴具有广泛的应用。
例如，在椭圆轨道的卫星运动中，半长轴是卫星运动的轨道半径。
六、结论椭圆是一种非常重要的数学曲线，具有广泛的应用。
本文介绍了椭圆常用的二级结论，包括椭圆的标准方程、离心率、焦点、直径、半轴等内容。
这些结论在许多领域都有着重要的应用，例如物理、工程、天文学等领域。
希望读者能够通过本文了解椭圆的基本性质，进一步了解椭圆的应用。
生活中椭圆的原理应用
生活中椭圆的原理应用引言椭圆是一种经常出现在我们生活中的数学形状。
它具有特殊的几何性质，因此在多个领域中被广泛应用。
本文将介绍椭圆的基本原理，并详细探讨在生活中椭圆的应用。
椭圆的基本原理椭圆是一个平面上的几何图形，定义为到两个焦点距离之和恒定的点的轨迹。
下面是椭圆的基本原理：•椭圆的定义：椭圆是平面上到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
其中，焦点F1和F2和一条连接两焦点并通过椭圆中心O的线段叫做椭圆的长轴，长轴的中点叫做椭圆的中心。
•椭圆的方程：椭圆的方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
生活中椭圆的应用椭圆在生活中有许多实际的应用，下面列举了一些常见的应用场景：1.天文学：行星的轨道通常被描述为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
椭圆轨道的形状和参数可以用来预测行星的位置和运动。
2.建筑设计：椭圆形的拱门在建筑设计中被广泛使用。
椭圆拱门的结构强度比其他形状的拱门更好，并且具有美观的外观。
3.车辆运动：椭圆形的轮胎比圆形的轮胎更具有抓地力。
汽车、自行车和摩托车等交通工具的轮胎通常使用椭圆形来提供更好的牵引力和稳定性。
4.电子技术：椭圆形天线用于接收和发送无线电信号。
椭圆形天线的设计可以提供更广泛的射频接收范围，并且对信号的方向性感应较低。
5.体育运动：椭圆形的运动轨迹在一些体育项目中被使用。
例如，冰球和曲棍球场地的形状是椭圆形的，这样能够确保运动员在场地的各个位置具有相同的机会。
6.椅子设计：椭圆形的椅子座位比方形或圆形的座位更舒适。
椭圆形座位的形状可以提供更好的支撑和稳定性，使人坐下更加轻松和舒适。
结论椭圆作为一种具有特殊几何性质的形状，在生活中有着广泛的应用。
它不仅在科学领域发挥着重要的作用，还在建筑、交通、电子技术、体育运动等领域中提供了实际的解决方案。
通过了解椭圆的基本原理和应用，我们能够更好地理解和利用这一数学形状，为生活带来更多的便利和美好。
高中数学椭圆常结论及其结论（完全版）
⾼中数学椭圆常结论及其结论（完全版）2椭圆常⽤结论⼀、椭圆的第⼆定义:⼀动点到定点的距离和它到⼀条定直线的距离的⽐是⼀个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离⼼率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线⽅程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平⾏，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）⼆、焦半径圆锥曲线上任意⼀点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离⼼率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，⽽与点在左在右⽆关可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上⼀点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第⼆定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=+= += ???--== xO F 1F 2Py A 2A 1B 1B 2同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例，弦AB 坐标：-a b c A 2,，a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的⾯积为. 推导：如图θsin 212121??=PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ?-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ?-?-+=2122122424PF PF c PF PF a ?-?-=21212224PF PF PF PF b ??-得θcos 12221+=?b PF PFθsin 212121??=?PF PF S F PF =θθsin cos 12212?+?b =θθcos 1sin 2+?b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ?2tan2θb xO F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是⽤了交点坐标设⽽不求的技巧⽽已(因为1212()y y x x -=-k ，运⽤韦达定理来进⾏计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平⾏y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ?+=+=?? 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a=-(2)遇到中点弦问题常⽤“韦达定理”或“点差法”求解。
高中数学-椭圆与双曲线共焦点常用7结论与8应用(教师版)
椭圆与双曲线共焦点常用7结论与8应用圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，下面我们介绍此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用一、常用结论结论1：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点)0,(),0,(21c F c F -，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点),(00y x P 是1C 和2C 的一个公共点，则c a a x 210=，c b b y 210=，212100a a b b x y =证明：因为点),(00y x P 是1C 和2C 的一个公共点，所以21122112122a a PF a PF PF a PF PF +=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+由焦半径公式得caa x a a x a c a x e a PF 210210110111=⇒+=+=+=，代入椭圆的方程得c b b y 210=，所以212100a a bb x y =结论2：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点21,F F ，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，则2221222121b b a a PF PF +=-=，222121b b PF PF -=⋅，2121b b S F PF =∆证明：设θ=∠21PF F ，由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+21221122112122a a PF a a PF a PF PF a PF PF 222121a a PF PF -=⇒由余弦定理得2cos 2cos 221212111112212121F F PF PF PF PF PF PF F F PF PF -+=⇒-+=θθ所以222122221212422b b c a a PF PF -=-+==⋅21222122212cot 2tan 2cot 2tan21b b b b b b S F PF =⋅===∆θθθθ结论3：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点21,F F ，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，θ=∠21PF F ，则122tan b b =θ，2221222122212221cos b b b b a a b b +-=--=θ，特别地，若21b b =，则02190=∠PF F ，反之亦然证明：⇒==∆2cot 2tan 222121θθb b S F PF 212tan b b =θ，22212221cos a a b b PF PF --==θ结论4：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点)0,(),0,(21c F c F -，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，则222122212122b b e b e b +=+证明：22122212212111c b c c b c a e +=+==------①，22222222222211cb c b c c a e -=-==-------②，①+⨯22b ②21b⨯得222122212122b b e b e b +=+注：结论4反映2121,,,b b e e 之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是2121,e e ，分子分别是2221,b b ，等式右边是21,b b 的平方和结论5：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点21,F F ，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，θ=∠21PF F ，则2cos 1cos 12221=++-e e θθ，即12cos 2sin 222212=+e e θθ证法1：因为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+21221122112122a a PF a a PF a PF PF a PF PF ，所以在21F PF ∆中余弦定理得θcos ))((2)()(421212212212a a a a a a a a c -+--++=θcos )(22222212221a a a a --+=两边都除以22c 得222122212221cos 1cos 1cos 11(112e e e e e e θθθ++-=--+=⇒+=⇒2222122cos 22sin 22e e θθ12cos 2sin 222212=+e e θθ证法2：2sin 2cos)(2cos 2sin)(2cot 2tan 222221222121θθθθθθa c c a b b S F PF -=-⇒==∆⇒-=-⇒2cos )11(2sin )11(222221θθe e 12cos 2sin 2cos 2sin 22222212=+=+θθθθe e 结论6：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点，点P 是1C 和2C 的一个公共点，则椭圆1C 和双曲线2C 在点P 处的切线互相垂直证明：设点),(00y x P ，则椭圆1C 在点P 处的切线为1210210=+b yy a x x ，斜率为0210211y a x b k -=双曲线2C 在点P 处的切线为1220220=-b yy a x x ，斜率为0220221y a x b k =，所以20222120222121y a a x b b k k -=，又由结论1知212100a a b b x y =120222120222121-=-=⇒y a a x b b k k ，所以1C 和2C 在点P 处的切线互相垂直结论7：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 的一个公共点为P ，若椭圆1C 和双曲线2C 在点P 处的切线互相垂直，则它们有共同的焦点证明：设点),(00y x P ，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+212222212221222120212222212221222120222022202120212011b a b a a a b b y b a b a b b a a x b y a x b y a x ，椭圆1C 和双曲线2C 在点P 处的切线分别为1210210=+b y y a x x 和1220220=-b yy a x x ，斜率为0210211y a x b k -=，0220222y a x b k =因为1C 和2C 在点P 处的切线互相垂直，所以222120222120202221202221211b b y a a x y a a x b b k k =⇒-=-=所以2222212122212221212222212221212222212221b a b a a a b b b a b a a a b a b a b b +=-⇒-=+⇒+-=++，所以它们有共同的焦点二、典型应用（一）公共点问题例1.已知点21,F F 分别为椭圆1C ：11022=+y x 的左、右焦点，椭圆1C 与双曲线2C ：1822=-y x 的一个交点为P ，O 坐标原点，直线OP 的斜率为k ，则=k 解析：20581011212100=⨯⨯===a ab b x y k （二）公共焦点三角形问题例2.已知椭圆1C ：)1(1222>=+m y m x 与双曲线2C ：)0(1222>=-n y nx 有公共焦点21,F F ，P是它们的一个公共点，则21F PF ∆的面积为，21F PF ∆的形状是解析：1112121=⨯==∆b b S F PF ，所以01219012tan121=∠⇒=∠⨯=∆PF F PF F S F PF ，所以21F PF ∆的形状是直角三角形例3.（2022·上海·高三专题练习）已知点P 是椭圆14822=+y x 与双曲线222=-y x 的一个交点，21,F F 为椭圆的两个焦点，则=21PF PF 解析：628222121=-=-=a a PF PF 例4.椭圆1C ：11622=+m y x 与双曲线2C ：1822=-ny x 有相同的焦点21,F F ，P 为两曲线的一个公共点，则21F PF ∆面积的最大值为（）A.4B.32 C.2D.34解析：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+224224248212121PF PF PF PF PF PF ，所以当21PF PF ⊥时，21F PF ∆面积最大，最大值为4)(2121222121=-=a a PF PF ，故选A （三）角度问题例5.设椭圆1C ：181222=+y x 与双曲线2C ：)0(122>=-m y mx 有公共的焦点21,F F ，点P是1C 和2C 的一个公共点，则=∠21cos PF F （）A.97 B.92 C.41 D.91解法1：422212tan 1221===∠b b PF F ，所以724)42(1422tan 221=-⨯=∠PF F 所以=∠21cos PF F 97，故选A 解法2：=+-=+-=1818cos 22212221b b b b θ97例6.（2022浙江嘉兴市·高二月考）设椭圆12622=+y x 与双曲线1322=-y x 有公共焦点21,F F ，点P 是两条曲线的一个公共点，则=∠21cos PF F 解析：=∠21cos PF F 22212221a a b b --313612=--=（四）公共点处切线有关问题例7.已知椭圆192522=+y x 与双曲线C ：)0,0(12222>>=-n m n y m x 有公共焦点21,F F ，点)59,4(P 在双曲线C 上，则该双曲线在点P 处的切线的斜率为解析：注意到点P 在椭圆上，即点P 是椭圆与双曲线的公共点，椭圆在点P 处切线为15254=+y x ，其斜率为54-，所以双曲线在点P 处的切线的斜率为45例8.若两曲线在交点P 处的切线互相垂直，则称这两条曲线在点P 处正交．设椭圆C ：)20(14222<<=+b b y x 与双曲线1222=-y x 在交点处正交，则椭圆C 的离心率为解析：由题意知题意与双曲线共焦点，所以3=c ，所以椭圆C 的离心率为23（五）求离心率的值（或取值范围）例9.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点21,F F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，21F PF ∆是以一个以1PF 为底的等腰三角形，41=PF ，1C 的离心率为73，则2C 的离心率是（）A.2B.3C.32 D.6解析：由题意32734221=⇒=+=c c c e ，所以31432=-=e ，故选B例10.已知21,F F 是双曲线1C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 与椭圆2C ：192522=+y x 的公共焦点，点P 是曲线1C 、2C 在第一象限的交点，若21F PF ∆的面积为63，则双曲线1C 的离心率为（）A.5102 B.310 C.553 D.25解析：66332121=⇒===∆b b b b S F PF ，又222122212122b b e b e b +=+，即=1e 6925169621+=+e 解得51021=e ，故选A （六）共焦点椭圆、双曲线离心率的关系例11.已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且3221π=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则=+222113e e （）A.4B.32C.2D.3解析：由题意413160cos 60sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，故选A 例12.设21,e e 分别为具有公共焦点21,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足21PF PF ⊥，则22212221e e e e +的值为（）A.21 B.1 C.2D.不确定解析：由题意2211145cos 45sin 22212221222122022102=+⇒=+⇒=+e e e e e e e e ，故选B 例13.（2022河南郑州市·高三一模）已知21,F F 是椭圆1C ：1422=+y x 与双曲线2C 的公共焦点，A 是21,C C 在第二象限的公共点.若21AF AF ⊥,则双曲线2C 的离心率为（）A.56 B.26 C.3 D.2解析：由题意=⇒=+⇒=+2222202210221431145cos 45sin e e e e 26，故选B 例14.设P 为有公共焦点21,F F 的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且21PF PF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，，双曲线2C 的离心率为2e ，若123e e =，则=1e 解析：由题意211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又123e e =，所以29112121=+e e 351=e 例15.（2022陕西渭南市，高二期末）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知21,F F 是一对相关曲线的焦点，P 椭圆和双曲线在第一象限的交点，当02160=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A.3B.2C.332 D.2解析：由题知431130cos 30sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又121=e e ，所以432222=+e e ，解得=2e 3，故选A（七）离心率的范围问题例16.（2021·全国高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，02190=∠PF F ，若椭圆的离心率]322,43[1∈e ，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围为解析：由题211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又]322,43[1∈e ，所以]223,7142[2∈e 例17.设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，21,F F 分别为左､右焦点，1C 和2C 在第一象限的交点为M ，若21F MF ∆是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率]27,2[2∈e ，则椭圆1C 离心率的取值范围是（）A.]95,94[ B.]167,0( C.167,52[ D.)1,72[解析：21122,22211211=-⇒-=+=e e cPF c e PF c c e ，又]27,2[2∈e ，所以∈1e ]167,52[，选C（八）与离心率有关的不等式问题例18.（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知21,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且321π=∠PF F ，若椭圆与双曲线的离心率分别为21,e e ，则21e e 的最小值为A.4151+B.332 C.415 D.23解析：由题⇒⋅≥=+⇒=+2221222122022102312431130cos 30sin e e e e e e ≥21e e 23，当且仅当2312221==e e 即26,2221==e e 时等号成立，故选D 例19.（2021·新江宁这育·高二期末）已知21,F F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且3221π=∠PF F ，若椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则222127e e +的最小值为（）A.25B.100C.9D.36解析：由题知413160cos 60sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，所以)13)(27(4127222122212221e e e e e e ++=+25)327282(41)32782(412122222121222221=⋅+≥++=e e e e e e e e ，当且仅当21222221327e e e e =即7,3721==e e 时等号成立，故选A 令析：由柯西不等式得)13)(27(4127222122212221e e e e e e ++=+25)19(412=+≥，故选A例20.(2014高考湖北卷)已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且02160=∠PF F ，则若椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则2111e e +的最大值为()A.334 B.332 C.3 D.2解析:由题意得431130cos 30sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，由柯西不等式得316)31)(311()33111(11(2221221221=++≤⨯+⨯=+e e e e e e ，当且仅当321ee =即331=e ，32=e 时等号成立，2111e e +的最大值为334，故选A例21.已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 有相同的焦点21,F F ，1C 和2C 的离心率分别为21,e e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的第一象限的交点，且321π=∠PF F ，2121e e ee +的取值范围是解析：由题意431130cos 30sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，令θθsin 23,cos 2121==e e ，则由301sin 32101cos 2121πθθθ<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=<>=e e ，所以)3sin(334sin 32cos 21121πθθθ+=+=+e e ]334,2(∈所以2121e e e e +的取值范围是21,43[例22.（2022·河南洛阳·模拟预测）已知F 是椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点，A 为椭圆1C 的下顶点，双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m ny m x 与椭圆1C 焦点，若直线AF与双曲线2C 的一条渐近线平行，21,C C 的离心率分别为21,e e ，则2121e e +的最小值为解析：由题意12122222222222222=⇒=⇒-=-⇒=⇒=e e mc c a m m c c c a m n c b m n c b 所以22212212121=⋅≥+e e e e ，当且仅当2121e e =即2,2221==e e 时等号成立，所以2121e e +的最小值为22例23.已知中心在坐标原点的椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点，且左，右焦点分别为21,F F ，1C 与2C 在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若101=PF ，1C 与2C 的离心率分别为21,e e ，则212e e +的取值范围是A.),221(+∞+ B.),35(+∞ C.),1(+∞ D.),65(+∞解析：2112102,10222121=-⇒-=+=e e c c e c c e 12221+=⇒e e e ，所以222211222e e e e e ++=+令3122>=+t e ，则=+212e e t t t t t 1221211-+=-+-，因为t t t f 1221)(-+=在),3(+∞∈t 上递增，所以35)3()(=>f t f ，即212e e +的取值范围为),35(+∞，故选B例24.已知椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点21,F F ，其中1F 为左焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，21,e e 分别为曲线21,C C 的离心率，若21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，则12e e -的取值范围为解析：21122,22211211=-⇒-=+=e e cPF c e PF c c e 12221+=⇒e e e ，所以=-12e e 12222+-e e e 令3122>=+t e ，则=-12e e 1)1(212121-+=---t t t t t ，因为1)1(21)(-+=t t t f 在),3(+∞∈t 上递增，所以32)3()(=>f t f ，即12e e -的取值范围为),32(+∞例25.（2022·吉林·希望高中高二期末）椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 有公共焦点21,F F ，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e ，O 为坐标原点，2214MF F F =，则12e e -的取值范围是解析：211122,22211211=-⇒-=+=e e c PF c e cPF c e 22221+=⇒e e e ，所以12e e -22222+-=e e e 424222-+++=e e ，由211122022221<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧><+=<e e e e e ，令)4,3(22∈=+t e ，则4412-+=-t t e e ，因为函数44)(-+=t t t f 在)4,3(上递增，所以1)4(,31)3(==f f ，所以12e e -)1,31(∈提升训练1.如图21,F F 是椭圆1C ：1422=+y x 与双曲线2C 的公共焦点B A ,分别是21,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（）A.2B.3C.23 D.26解析：由题意02190=∠AF F ，所以211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又231=e ，所以=2e 26，故选D 2.已知椭圆1922=+y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 共焦点21,F F ，设它们在第一象限的交点为P ，且021=⋅PF PF ，则双曲线的渐近线方程为（）A.x y 77±= B.x y 7±= C.x y 37±= D.x y 773±=解析：由题意211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又3221=e ，所以222=e 所以722)(122=⇒=+=abab e ，所以双曲线的渐近线方程为x y 7±=，故选B 3.（2022·四川·阆中中学高二月考（文））设P 是椭圆1244922=+y x 和双曲线12422=-y x 的一个交点，则=∠21PF F （）A.6πB.3π C.4π D.2π解析：易知椭圆和双曲线共焦点，所以=∠⇒==∠21122112tanPF F b b PF F 2π，故选D4.若)0,5(),0,5(21F F -是椭圆1C ：1822=+m y x 与双曲线2C ：1422=-ny x 的公共焦点，且P 是1C 与2C 一个交点，则=∠21PF F （）A.6π B.3π C.2π D.32π解析：1,3548==⇒=+=-n m n m ，所以=∠21cos PF F 21481322212221=--=--a a b b ，所以=∠21PF F 3π，故选B 5.已知有相同焦点21,F F 的椭圆)1(1222>=+m y m x 和双曲线)0(1222>=-n y nx ，点P 是它们的一个交点，则21F PF ∆面积为解析：12121==∆b b S F PF 6.已知椭圆1422=+m y x 与双曲线122=-ny x 有公共的焦点21,F F ，若P 为两曲线的一个交点，则=21PF PF 解析：222121a a PF PF -=314=-=7.（2016·上海市延安中学三模（文））已知椭圆1C ：)1(1222>=+a y a x 与双曲线2C ：)0(1222>=-m y mx 有公共焦点21,F F ，两曲线在第一象限交于点P ，PI 是21PF F ∠的角平分线，O 为坐标原点，G F 1垂直射线PI 于H 点，若1=OH ，则=a 解析：由1=OH 可知1=m ，所以31112=⇒+=-a a 8.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有公共焦点21,F F ，点P 是两曲线的一个交点，若221=PF PF ，则=+22n b 解析：=+=222121b b PF PF 222=+n b 9.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点21,F F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，21F PF ∆是一个以1PF 为底的等腰三角形，41=PF ，1C 的离心率是73，则2C 的离心率是（）A.76B.67 C.56 D.3解析：32734221=⇒=+=c c c e ，所以33432422=-=-=c c e 10.（多选题）（2022江苏·高二专题练习）若双曲线1C ：)0(12222>=-b b y x 与椭圆2C ：14822=+y x 有相同的左右焦点21,F F ，且1C 与2C 在第一象限相交于点P ，则（）A.21=PF B.1C 的渐近线方程为x y ±=C.直线2+=x y 与1C 有两个公共点 D.21F PF ∆的面积为22解析：23222211=+=+=a a PF ，A 错；24822=⇒-=+b b ，所以渐近线方程为x y ±=，B 正确；直线2+=x y 与渐近线平行，与1C 仅一个公共点，C 错；222121==∆b b S F PF ，D 正确；故选BD11.（多选题）（2022重庆巴蜀中学高三月考）已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 有公共焦点21,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以1PF 为底的等腰三角形，21,C C 的离心率分别为21,e e ，则（）A.22222121b a b a +=- B.21121=+e e C.112=-e e D.21,31(1∈e 解析：因为椭圆与双曲线共焦点，所以⇒+=-=212222212b a b ac 22222121b a b a +=-，A 正确；21122,22211211=-⇒-=+=e e cPF c e PF c c e ，所以B 错，C 错；因为12>e ，所以21121+=e e )3,2(∈)21,31(1∈⇒e ，D 正确；故选AD12.（多选题）（2022江苏·高二单元测试）已知椭圆C ：)0(13222>=+b b y x 与双曲线1C ：122=-y x 共焦点，过椭圆C 上一点P 的切线l 与x 轴、y 轴分别交于B A ,两点21,(F F 为椭圆C 的两个焦点)，又O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最小时，下列说法正确的是（）A.1=bB.21PF F ∠的平分线长为362C.02190=∠PF F D.直线OP 的斜率与切线l 的斜率之积为定值31-解析：因为椭圆C 与双曲线1C 共焦点，所以11132=⇒+=-b b ，A 正确；设点),(00y x P ，则切线l ：1300=+y y x x ，所以)1,0(),0,3(00y B x A ，所以2332130020202020≤⇒≥=+y x y x y x 所以00001231321y x y x S OAB ==∆3≥，当且仅当22,2600==y x 时等号成立，此时022123222(2020200021=-+=-+=+-+=⋅y x y x x PF PF ，所以02190=∠PF F ，C 正确；由角平分线张角定理得3631311311145cos 2210=⇒=-++=+=PM PF PF PM 所以B 错；直线OP 斜率与切线l 的斜率之积为31)3(0000-=-⨯y x x y ，所以D 正确，故选ACD 13.（2022全国·高三月考）设椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m ny m x 有公共焦点21,F F ，将21,C C 的离心率记为21,e e ，点A 是21,C C 在第一象限的公共点，若点A 关于2C 的一条渐近线的对称点为1F ，则=+222111e e 解析：由题意02190=∠AF F ，所以211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e 14.已知21,F F 为椭圆1C ：12222=+y m x 和双曲线2C ：1222=-y nx 的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且211F F PF ⊥，那么椭圆1C 和双曲线2C 的离心率之积为解析：因为211F F PF ⊥，所以n m nm 212=⇒=，又1222+=-n m ，所以1,2==n m 所以122221=⨯=e e15.（2022·浙江·高三学业考试）已知椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m n y m x 有公共焦点21,F F ，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，x PM ⊥轴，M 为垂足，若O OF OM (322=为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为解析：由232OF OM =知点P 横坐标为c 32，所以m c e c e a PF -⋅=⋅-=32322122311)(32212121=⇒+=+=+⇒e e e e c m a e e 16.已知椭圆1422=+m y x 与双曲线122=-ny x 的离心率分别为21,e e ，且有公共的焦点21,F F ，则=-22214e e ，若P 为两曲线的一个交点，则=21PF PF 解析：椭圆与双曲线共焦点，所以314=+⇒+=-n m n m ，所以0)(3)1(4)4(442221=+-=+--=-n m n m e e ，314222121=-=-=a a PF PF 例17.已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且321π=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则当211e e 取最大值时，21,e e 的值分别是（）A.26,22 B.25,21 C.6,33 D.3,42解析：由题⇒⋅≥=+⇒=+2221222122022102312431130cos 30sin e e e e e e ≥21e e 23，当且仅当2312221==e e 即26,2221==e e 时等号成立，故选A。
椭圆92个二级结论及证明
椭圆1.122PF PF a += 2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y+=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b +=+;(2)L =17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b += (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+. 22．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b+=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b +=中，定长为2m （o ＜m ≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bxayα=-,当0y =时, 90α=. 31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,c e a =);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQS ∆的最小值是2222a ba b +. 37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b +=+.39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±).45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a mb n a --∠=⇔=++.52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =.55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-. 57．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b -=. 60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a +≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb -（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a bx y e e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b-+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是 22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a-+⋅=. 73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>. 91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122abS S +=.92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。
高中椭圆常用二级结论和推导
高中椭圆常用二级结论和推导椭圆是一种特殊的曲线，它是数学中最常用的曲线之一。
椭圆的定义是“椭圆是一种长短轴的椭圆形曲线，可以通过两个有限的焦点定义”。
椭圆在几何学中有着重要的地位，它有着多种重要的性质，如椭圆定义，椭圆对称性，椭圆离心率和椭圆方程。
一级结论：1、椭圆是一种特殊的曲线，可以用两个有限的焦点来定义；2、椭圆具有多种重要的性质，如定义，对称性，离心率，方程。
推导：定义中指出，椭圆是一种长短轴的椭圆形曲线，由两个有限的焦点定义。
由椭圆定义可知，会构成一个椭圆形，也可以用两个有限的焦点来定义，即F1和F2。
由于椭圆有长短轴，F1和F2可以被用作椭圆的位置参照。
2、对称性：椭圆的对称性包括垂直对称性和水平对称性。
推导：椭圆的对称性包括垂直对称性和水平对称性。
由定义可知，椭圆的长短轴都是一样的，所以椭圆的外形是一个对称的图形，即垂直对称性和水平对称性都存在。
此外，椭圆的外形也有一些特殊的对称性，特别是它的定义是由两个不同点F1和F2来定义的，这两个点也具有对称性，即它们分别存在于椭圆的两条轴上。
3、离心率：离心率是椭圆的一个重要特性，它是椭圆外部距离焦点的比值。
推导：离心率是椭圆的一个重要特性，它是椭圆外部距离焦点的比值。
椭圆的离心率受焦点的影响，焦点之间的差异决定了椭圆的离心率，如果焦点之间的距离超过一定的范围，则椭圆的离心率就会发生变化，具体取决于距离的大小。
此外，椭圆的离心率也可以由椭圆的方程来确定，离心率的大小会直接影响椭圆的外形外部的形态，椭圆的圆形程度也依赖于离心率。
4、椭圆方程：椭圆的方程是一个二次方程，也可以用极坐标表示。
推导：椭圆的方程是一个二次方程，即在二维平面中的方程是：ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0。
其中a,b,c,d,e,f都是实数，表示椭圆的离心率和长轴的量，椭圆的方程可以用极坐标表示，即：ρ=ae即ρ=aecosθ。
极坐标表示方式可以帮助我们分析椭圆的性质，同时也可以求解椭圆方程中的参数a,b,c。
第一讲 椭圆中常用的结论及解法技巧(学生版)
第一讲 椭圆中常用结论及解法技巧【知识要点】一．椭圆三大定义定义 1．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆． 几何性质：椭圆上任一点到两焦点的距离之和为定值．定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（小于1）的点的轨迹是椭圆． 几何性质：椭圆上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率 e ． 定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（小于0且不等于1-）的点的轨迹是椭圆 ．几何性质：椭圆上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22ab -．二．椭圆经典结论汇总1．AB 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则22a b k k ABOM -=⋅，即 0202y a x b k AB -=．等价形式：21,A A 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上关于原点对称的任意两点，B 是椭圆上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则2221ab k k BA B A -=⋅．2．椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F则（1）2122||||1cos b PF PF θ=+；（2）椭圆的焦点角形的面积为2tan 221θb S PF F =∆．3．过椭圆()012222>>=+b a by a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于C B ,两点，则直线BC 有定向且0202y a x b k BC= （常数）． 4．P 为椭圆()012222>>=+b a by a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则||2||||||2112AF a PF PA AF a +≤+≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线时，等号成立．5．已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，O 为坐标原点，Q P ,为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥，（1）22221111||||OP OQ a b +=+；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b a b +；（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +．6．椭圆()012222>>=+b a by a x 的焦半径公式：)),(),0,(),0,((,||,||00210201y x M c F c F ex a MF ex a MF --=+=7．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是222202020by a x b y y a x x +=+． 8．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是20202222byy a x x b y a x +=+． 9．若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 上，则过0P 的椭圆的切线方程是12020=+b y y a x x ．10．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ，则切点弦21P P 的直线方程是12020=+byy a x x ． 11．设椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在21F PF ∆中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+．12．若P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x 上异于长轴端点的任一点，21,F F 是焦点，12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则2tan 2tan βα=+-c a c a ．13．设B A ,是椭圆()012222>>=+b a by a x 的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=，PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-； (2)2tan tan 1e αβ=-；(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=-． 14．椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e ．15．椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F ，椭圆的焦点角形的内心为I ，P I y e e y +=1，c a PI -=2cos ||θ．16．点P 处的切线PT 平分21F PF ∆在点P 处的外角．17．若椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，左准线为l ，则当120-≤<e时，可在椭圆上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2PF 的比例中项．18．过椭圆()012222>>=+b a by a x 的右焦点F 作直线交该椭圆右支于N M ,两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则2||||eMN PF =．19．已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，B A ,是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ，则22220a b a b x a a---<<． 20．椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个顶点为()()0,,0,21a A a A -，与y 轴平行的直线交椭圆于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是12222=-by a x ．【例题解析】【例1】已知21,F F 分别是椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且0)(11=+⋅→→→OP OF PF （O 为坐标原点），若||2||21→→=PF PF ，则椭圆的离心率为（ ） A ．36- B ．236- C ．56- D ．256-【例2】已知定圆1)5(:221=++y x C ，225)5(:222=+-y x C ，定点)1,4(M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则||||1CC CM +的最大值为（ ）A ．216+B ．216-C ．316+D ．316-【例3】过原点的一条直线与椭圆()012222>>=+b a by a x 交于B A ,两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点2F ，若]4,12[2ππ∈∠ABF ，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．)1,22[B ．]36,22[C ．)1,36[D ．]23,22[ 【例4】已知椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]4,6[ππα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．]13,22[-B ．)1,22[C ．]23,22[D ．]36,33[【例5】已知21,F F 是椭圆13422=+y x 的左右焦点，点M 的坐标为)23,1(-，则21MF F ∠的角平分线所在直线的斜率为( )A ．2-B ．1-C ．3-D ．2-【例6】已知椭圆：()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上的一点，2PF 与椭圆交于Q 。
椭圆常用结论及其推导过程
椭圆常用结论及其推导过程椭圆是一个非常重要的几何学概念，具有许多重要的结论和性质。
在这篇文章中，我们将介绍椭圆的常用结论及其推导过程。
一、椭圆的定义及基本性质1.椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
2.椭圆的基本性质：(1)椭圆是一个封闭曲线，具有对称性；(2)椭圆的两个焦点F1和F2与椭圆的中心O在一条直线上；(3)椭圆的长轴与短轴相交于中心，长度分别为2a和2b（a>b>0）；(4)椭圆的离心率e满足0<e<1二、椭圆的焦点、半长轴和半短轴的平方和证明1.定理：椭圆焦点到定点连线与定点切线的夹角为直角。
证明：设定点F1、F2和椭圆上的点M。
由于FM的长度等于椭圆的长轴，且角FMF1和角FMF2均为直角，所以角MF1F2为直角。
对于切线MF1和MF2，它们垂直于线段F1F2，所以MF1与MF2的夹角为直角。
2.定理：椭圆焦点到定点连线的长度平方和等于长轴的平方。
证明：设椭圆的焦点分别为F1和F2，长轴的长度为2a，椭圆上的任意一点为P。
根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a。
将等式两边平方化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²。
根据焦点与点P连线与切线夹角为直角的性质，可以得到(PF1)²+(PF2)²=(PM)²，其中PM为点P到椭圆的切线的距离。
根据切线的性质，可以得到(PM)²=(PA)²+(PM-A)²，其中A是椭圆上与点P相切的点。
代入上式，化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²，即(PA)²+(PM-A)²+2(PA)(PM-A)=(2a)²。
经过化简，得到(PA+PM-A)²=(2a)²，即2(PA)(PM-A)=0。
高中数学椭圆中的经典结论
高中数学中椭圆的经典结论（一）1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-， 即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程22002222x x y y x y a b a b +=+.高中数学中椭圆的经典结论（二）1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c e a αβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.则 （1）22221111||||OP OQ a b +=+; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +; （3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.。
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高考数学椭圆中重要结论及其应用
一椭圆中的一些不等关系
（1）设椭圆（22221(0)x y a b a b +=>>），00(,)P x y 是椭圆上任意一点，
12,F F 为椭圆的两个焦点，则：
①0a x a -≤≤，0b y b
-≤≤例已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，P 是椭圆上的
一点且212PF PF c = ，则此椭圆离心率的范围是______.,]32②b PO a ≤≤（其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远）③122PF PF c -≤.
例若椭圆上存在一点P ，使得P 到两个焦点的距离之比为2:1，则此椭圆离心率的取值范围是______.1[,1)
3
④到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点.到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点.
例已知椭圆2222:1(0)x y C a b c a b +=>>>的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为
T ，且PT 的最小值不小于()2
a c -，则椭圆的离心率取值范围为
______.3
[,52④过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 22二椭圆焦点三角形的结论
（1）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan 221θb S PF F =∆例已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 面积为9，则短轴长为_____.3练习椭圆22194
x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为_______.3535(,55
-（2）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若12PF PF 最大，则点P 为椭圆短轴的端点，且最大值为2a .
例已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得2122PF PF b = ，则椭圆的离心率e 的取值范围
_________.,1)2（3）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点
例已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得1290F PF ︒∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围
_________.,1)2（4）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.
21cos 2e -≥θ
例已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 则椭圆的离心率e 的取值范围________.3,1)2
三椭圆的中点弦问题（1）在椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>中，若直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点00(,)P x y 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为，则
2020MN y b k x a
=- （2）在椭圆22221(0)y x a b a b
+=>>中，若直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点00(,)P x y 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为，则
2020MN y a k x b
=- 例1椭圆221169x y +=，以点(1,2)M -为中点的弦所在直线的斜率为_____.（932
）例2已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆的方程为_________.（221189
x y +=）
练习1已知椭圆2217525y x +=的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为_____.11(,22-练习2已知椭圆2217525
y x +=，则它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为_____.
0(22
x y x +=-<<（综合题）已知椭圆E 过点(2,3)A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12
e =.
（1）求椭圆E 的方程；2211612x y +=（2）求12F AF ∠的角平分线所在的直线l 的方程；210
x y --=（3）在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异的两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.（不存在）四椭圆与直线的位置关系及其弦长公式若椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>，直线:(0)l y kx b k =+≠与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则弦AB 的长度为：
12AB x =-或12AB y y =-例设椭圆的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60︒
，2AF FB = .
（1）求椭圆的离心率；（2）如果154
AB =，求椭圆C 的方程.l 练习1已知椭圆22:14
x C y +=，直线l 过点(1,0)E -且与椭圆相交于,A B 两点，是否存在AOB 面积的最大值，若存在，求出AOB 的面积，若不存在，说明理由.
练习2已知椭圆22:14x C y +=，若直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N （,M N 不与左右顶点重合），且0MA NA = ，求证：
l 定点，并求出定点的坐标.。