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椭圆的13个经典结论

椭圆的13个经典结论

椭圆的13个经典结论
椭圆被广泛应用于科学和工程领域。

下面是椭圆的13个经典结论：
1. 椭圆是一种闭合的曲线，它与两个焦点的距离之和是固定的，这个固定值称为椭圆的长轴。

2. 椭圆的中心是长轴的中点。

3. 椭圆的短轴是椭圆的宽度，是长轴的垂直线段。

4. 椭圆的离心率是一个无量纲常数，用来描述椭圆的形状，它等于长轴和短轴之间的差值与长轴之和的比值。

5. 椭圆的离心率小于1，当离心率等于0时，椭圆变成一个圆。

6. 椭圆的面积是长轴和短轴的乘积乘以π的一半。

7. 椭圆的周长没有一个简单的公式，但可以使用椭圆积分来计算。

8. 椭圆可以用焦点和一条线段来定义，这条线段被称为椭圆的直径。

9. 椭圆和直线之间的交点称为椭圆的交点。

10. 椭圆可以被切成两个相等的部分，这两个部分称为椭圆的半个。

11. 椭圆的焦点和直径的中点固定在椭圆上。

12. 椭圆是一种二次曲线，可以使用一元二次方程来表示。

13. 椭圆在几何上具有对称性，椭圆的每个点都可以通过椭圆的中心与另一点的对称轴来进行对称。

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2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1) 内常数 e，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于 x 2 y 2 1，左准线 l1 : x a 2 ；右准线 l 2 : x a 2a 2b 2c c对于 y 2 x2 1，下准线 l1 : y a 2 ；上准线 l 2 : y a 2a 2 b2 c c椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离a 2 a2 c 2 b2p c （焦参数）c c cPyB2A1xA2F1O F2B1二、焦半径圆锥曲线上任意一点 M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。

椭圆的焦半径公式：焦点在 x 轴（左焦半径）r1 a ex0,（右焦半径） r2 a ex0,其中 e 是离心率焦点在 y 轴MF1 a ey0 , MF 2 a ey0其中 F1 , F2分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加PF1 a c, PF2 a c推导：以焦点在 x 轴为例如上图，设椭圆上一点P x0 , y0 ，在y 轴左边.PF1e ，根据椭圆第二定义，PM则 PF1 e PM e x0 c2 e x0 a2 cx0 a2 a ex0c c a c同理可得PF 2 a ex 0三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在 x 轴为例，弦 ABb 2 b 2坐标： A c,， B c,aa弦 AB 长度： AB2b 2a四、若 P 是椭圆： x2y 2 1 上的点 . F 1,F 2 为焦点，若F 1PF 2，则 PF 1F 2 的面积为a 2b 2b 2 tan .2推导：如图 S PF F1PF 1 PF 2 sin1 22根据余弦定理，得222cos PF PFF 1 F 2=2 PF 1 PF 2=PF 1 PF )2 2 PF 1 PF 2 4c 22 PF 1 PF 2=4a 22 PF 1 PF 2 4c 22 PF 1 PF 2=4b 2 2 PF 1 PF 22 PF 1 PF 22b 2得 PF 1PF 21 cosSPF 1F 21PF 1 PF 2 sin =11 2b2 sin = b 2 sin=b 2 tan22 cos 1 cos2yPB 2xA 1A 2F 1O F 2B 1五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1, y1),B(x2, y2 ) ,则它的弦长AB 1 k 2 x1 x2 (1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2112 y1 y2 k注 : 实质上是由两点间距离公式推导出来的, 只是用了交点坐标设而不求的技巧而已( 因为 y1 y2 k ( x1 x2 ) ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则AB y1 y2.六、圆锥曲线的中点弦问题：(1)椭圆中点弦的斜率公式：设 M ( x0 , y0 ) 为椭圆x2 y 21弦 AB （ AB 不平行 y 轴）的中点，则有：a2 b2k AB kOMb2a2证明：设 A( x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，则有yx12 y121 Ay1 y2 a2 b2 MkAB ，两式相减得：x1 x2 x22 y221F 1 F2 B xa 2b 2Ox12 x22 y12 y22 0整理得：a2 b2y12 y22 b 2 x12 x22 ，即a2( y1 y2 )( y1 y2 ) b2(x1 x2 )(x1 x2 )，因为 M ( x0 , y0 ) 是弦AB的中点，所以a2kOM y0 2x0 y1 y2，所以 k AB b2kOM2x0 2y0 x1 x2 a(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

史上最全椭圆二级结论大全

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专题118—史上最全椭圆二级结论大全1.122PF PF a +=2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b+=+;(2) 2222L a A b B =+. 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+. 22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b +=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+. 35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b+=+. 39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b+=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =. 55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、Bx 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b +=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b -=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e ±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e ±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b -+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b+--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b-+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。

椭圆常结论及其结论完全

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椭圆常结论及其结论(完全版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。

椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,x O F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边.根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== 同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+12222=+by ax 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长2221212121211(1)()41AB x x x x x x y y ⎡⎤=+-=++-=+-⎣⎦2k k k注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：x O F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

史上最全椭圆二级结论大全

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;专题118—史上最全椭圆二级结论大全1.122PF PF a += 2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.<10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b +=+;(2) 2222L a A b B =+17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b---++. |(ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+.22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.<24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b +=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =. `32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+. 35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b +=+.39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.《40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.<48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sine α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =. 55．已知椭圆22221x ya b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）. —56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、Bx 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b +=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b -=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e ±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e±+=（e 为离心率）.》64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b -+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b+.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.~71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.当弦AB垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. ：79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. ~87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by xa=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。

史上最全椭圆二级结论大全

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专题118—史上最全椭圆二级结论大全1.122PF PF a +=2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b+=+;(2) 2222L a A b B =+. 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+. 22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b +=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+. 35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b+=+. 39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b+=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =. 55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、Bx 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b +=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b -=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e ±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e ±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b -+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b+--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b-+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。

史上最全椭圆二级结论大全

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专题118—史上最全椭圆二级结论大全1.122PF PF a +=2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b+=+;(2) 2222L a A b B =+. 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+. 22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b +=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+. 35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b+=+. 39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b+=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =. 55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、Bx 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b +=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b -=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e ±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e ±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b -+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b+--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b-+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。

椭圆经典结论

椭圆经典结论

椭圆点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的 外角.PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相离.双曲线1. 点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12. 13.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2 X 若P 0(X 0 , y 0)在椭圆一2a x 2若P g (X g , y g )在椭圆一2 a 点弦P 1P 2的直线方程是2y 孑2 y b 2 X g X~2aX o X 1上，则过p g 的椭圆的切线方程是 2 a 1外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 y g y 1 眉1.y g y 1 P 1、P 2,则切 2 X 椭圆一2a2y_ b 21 (a > b > 0)的左右焦点分别为 F 1 , F 2,点P 为椭圆上任意一点F 1PF 2则椭圆的焦点角形的面积为S F 1PF 2b 2 tan?.2X椭圆va| MF 1 | a 2y_b 2eX g ,| MF 21 a eX g ( F 1( C ,0) , F 2(C ,0) M (X g , y g )).1 (a > b > 0)的焦半径公式: 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和A 2Q 交于点 M , A 2P 和A 1Q 交于点N ，贝y MF 丄NF.22x y a 2 b 2 匚即 aAB 是椭圆kOM kAB1的不平行于对称轴的弦, M (X o ,y °)为AB 的中点，则K ABb 2X g 。

椭圆总结(全)

椭圆总结(全)

椭圆一．知识清单 1.椭圆的两种定义：①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|e dPF =，0＜e ＜1的常数}。

（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）.2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。

其中22b a c -=（一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22b a c -=注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

3 参数方程：焦点在x 轴，⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）4 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax5.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）有以下性质：坐标系下的性质：① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；④椭圆的准线方程：对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 22:=焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数） 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称⑤焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。

椭圆的定义性质及常用结论

椭圆的定义性质及常用结论

椭圆的定义、性质及常用结论湖北省天门中学薛德斌2020年8月一、椭圆的定义__________________________________________________________________________ 的点的轨迹叫作椭圆．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：>，则集合P为________；(1)若a c=，则集合P为________；(2)若a c<，则集合P为________．(3)若a c二、椭圆的标准方程和几何性质三、焦半径椭圆上的点P (x ，y )与焦点所连的线段（及长度）叫作椭圆的焦半径．1、当2PF x ⊥轴时，P ________．2、22221(0)x y a b a b+=>>，1||PF =__________, 2||PF =__________；3、焦半径PF ∈________，椭圆上的点到焦点的距离中以长轴端点到焦点的距离最和最小；4、设12PF F θ∠=，在12PF F ∆中，由余弦定理，1PF =__________．过左焦点1F 的直线与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>相交于P 、Q 两点，11PF QF λ=，设12PF F θ∠=，则22cos cos b b a c a c λθθ=⋅-+，1cos 1e λθλ-=+．四、焦点三角形椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点P (x 0，y 0)与左焦点1F 、右焦点2F 构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ．xx1、122r r a +=，122F F c =；2、当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；3、0S c y =，当0y b =时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值bc ．22sin tan 1cos 2b S b θθθ==+．五、弦长及弦的中点AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则1、当弦的斜率为k 时，弦长l ＝____________________； 设AB ：y kx m =+，则AB =____________________．2、直线AB 的斜率k AB ＝__________，AB OM k k =__________；练习题：1．过点)1,2(M 的直线与椭圆141622=+y x 相交于,A B 两点，且M 是AB 的中点，则直线AB 的方程是____________________．2．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，过点A 作直线l 与以,A B 为焦点的椭圆交于,M N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与圆221x y +=相切，则该椭圆的标准方程是______________.3、焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝_______；x练习题：[2010年全国新课标Ⅰ卷T20（1）/21]设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线与相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列，则椭圆E 的离心率为 ．4、过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点作互相垂直的两条弦MN ，PQ ，则（1）11MN PQ+为定值_________； （2）MN PQ +的取值范围是____________________．练习题：过椭圆22143x y +=的右焦点F 作互相垂直的两条弦MN ，PQ ， （1）证明：11MN PQ+为定值； （2）求MN PQ +的取值范围．5、椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的斜率为k 的平行弦的中点轨迹为直线22b y x a k=-在椭圆内的部分．六、椭圆的内接三角形（椭圆上三点）及定点与定值（一）1、（1）设),(00y x P 为椭圆12222=+by a x 上一点，11(,)M x y 、11(,)N x y --为椭圆上关于原点对称的两点，01x x ±≠，则直线PM 、PN 的斜率之积为定值_______．（2）设B 为椭圆12222=+by a x 的短轴端点，11(,)M x y 、11(,)N x y -为椭圆上关于x 轴对称的两点，10x ≠，则直线BM 、BN 的斜率之积为定值_______．（3）设A 为椭圆12222=+by a x 的长轴端点，11(,)M x y 、11(,)N x y -为椭圆上关于y 轴对称的两点，1x a ≠±，则直线AM 、AN 的斜率之积为定值_______．2、设),(00y x P 为椭圆12222=+by a x 上一点，M 、N 为椭圆上的两点，且直线PM 、PN的斜率互为相反数，则直线MN 的斜率为定值_______．3、（富瑞吉Fregier 定理）设),(00y x P 为椭圆12222=+by a x 上一点，M 、N 为椭圆上的两点，且直线PM 、PN 的斜率之积12k k λ=的充要条件是直线MN 过定点00(,)x y μμ-，其中μ=___________．练习题：1．已知椭圆2214x y +=，点(0,1)P ，M 、N 是椭圆上与P 不重合的两点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为12，则直线MN ______________.2．已知椭圆2214x y +=，点(0,1)P ，M 、N 是椭圆上与P 不重合的两点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为13-，则直线MN ______________.3．已知椭圆2214x y +=，点(0,1)P ，M 、N 是椭圆上与P 不重合的两点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为t 1()4t ≠，则直线MN ______________.4．已知椭圆2214x y +=，点(0,1)P ，M 、N 是椭圆上与P 不重合的两点，且直线PM 与直线PN 的斜率之和为12，则直线MN ______________.5．[2017年全国Ⅰ卷理T20/21]已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，3(12P -，，4(1)2P ，中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．七、定点与定值（二）1、直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于M 、N 两点，且OM ON ⊥，则（1）2211OMON+为定值_________，（2）点O 到直线MN 的距离为定值_________，即直线MN 与圆O ：_____________相切．练习题直线l 与椭圆22143x y +=相交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆过坐标原点O ． （1）证明：2211OMON+为定值；（2）求MN 的取值范围．2、直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于M 、N 两点(M 、N 不是右顶点)，且以MN 为直径的圆过椭圆的右顶点A ，则直线MN 过定点______________．练习题：直线l 与椭圆22143x y +=相交于M 、N 两点(M 、N 不是右顶点)，且以MN 为直径的圆过椭圆的右顶点A ，证明：直线MN 过定点．3、过点(,0)M m ()m a ≠±的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于P 、Q 两点，点P关于x 轴的对称点为R ，则直线QR 过定点_______．练习题：过点(3,0)M 的直线l 与椭圆22143x y +=相交于P 、Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为R ，证明：直线QR 过定点．4、椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M 、N 两点，设O 为坐标原点，点2(,0)a P c，证明：0PM PN k k +=．练习题：[2018年全国Ⅰ卷理T20/21]设椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．八、定点与定值（三）1、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，若直线PA 交直线l ：()x m m a =>于点M ，直线PB 交直线l 于点N ，则以MN 为直径的圆C 经过定点____________． 练习题：已知椭圆22:14x E y +=的上、下顶点分别为A 、B ，点P 是椭圆E 上不同于A 、B 的任一点，直线AP 、BP 与直线:2l y =-分别交于点M 、N ，试判断以线段MN 为直径的圆是否经过定点，若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．九、切线1、（1）若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过P 的椭圆的切线方程是____________．（2）AB ：y kx m =+与椭圆22221x y a b+=相切，则____________．x2、若点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，过P 作椭圆的两条切线切点分别为A 、B ，则切点弦AB 的直线方程是00221x x y ya b+=．3、点P 在椭圆22221x y a b+=外 ，过P 作椭圆的两条切线切点分别为A 、B ，且PA PB ⊥，则点P 的轨迹方程是2222x y a b +=+．练习题1．[2014年广东卷理T20/21] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．2．过圆522=+y x 上的点P 作椭圆12322=+y x 的两条切线，若这两条切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．x椭圆的定义、性质及常用结论湖北省天门中学薛德斌2020年8月一、椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：>，则集合P为椭圆；(1)若a c=，则集合P为线段；(2)若a c<，则集合P为空集．(3)若a c二、椭圆的标准方程和几何性质三、焦半径椭圆上的点P (x ，y )与焦点所连的线段（及长度）叫作椭圆的焦半径．1、当2PF x ⊥轴时，2(,)b P c a±．2、22221(0)x y a b a b+=>>，1||PF a ex =+, 2||PF a ex =-；1PF === [,]ex a ex a a c a c =+=+∈-+，1PF 是关于x 的递增函数．22221(0)y x a b a b+=>>，1||PF a ey =+, 2||PF a ey =-； 3、焦半径[,]PF a c a c ∈-+，椭圆上的点到焦点的距离中以长轴端点到焦点的距离最和 最小；4、设12PF F θ∠=，在12PF F ∆中，由余弦定理，有222111(2)(2)22cos a PF PF c PF c θ-=+-⨯⨯⨯，∴21cos b PF a c θ=-．（更一般地，圆锥曲线统一的极坐标方程1cos ep e ρθ=-，即1cos epPF e θ=-，其中F 为极点，(,)P ρθ是圆锥曲线上的点，p 为焦点到对应准线的距离．） 过左焦点1F 的直线与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>相交于P 、Q 两点，11PF QF λ=，设12PF F θ∠=，则22cos cos b b a c a c λθθ=⋅-+，1cos 1e λθλ-=+．5、以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切．x四、焦点三角形椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点P (x 0，y 0)与左焦点1F 、右焦点2F 构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ．1、122r r a +=，122F F c =；2、当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；222221221212(2)22cos 112r r c b b r r r r aθ+-==-≥-，222202cos 1b a e x θ=--，0x 越小，cos θ越小，θ越大．3、0S c y =，当0y b =时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值bc ．22sin tan 1cos 2b S b θθθ==+． 由12222121222cos (2)r r a r r r r c θ+=⎧⎨+-=⎩，得21221cos b r r θ=+， 22121sin sin tan 21cos 2b S r r b θθθθ===+．xx五、弦长及弦的中点AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则1、当弦的斜率为k 时，弦长l ＝1＋k 2||x 1－x 2； 设AB ：y kx m =+，由 222222y kx mb x a y a b =+⎧⎨+=⎩，得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=， 2222224()a b a k b m ∆=+-，2222222AB a k b a k b ==++． 2、直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0，22AB OM b k k a=-； 点差法练习题：1．过点)1,2(M 的直线与椭圆141622=+y x 相交于,A B 两点，且M 是AB 的中点，求直线AB 的方程．解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B ，)1,2(M 为AB 的中点，∴421=+x x ，221=+y y又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x ，两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ， 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ， ∴21244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y ，x即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x ．2．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，过点A 作直线l 与以,A B 为焦点的椭圆交于,M N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与圆221x y +=相切，则该椭圆的标准方程是______________.22184x y += 解：224a b =+，设MN ：2)3y x =+，则4(,)55D -，2OD k =-，2223b a-⋅=-，222a b =.3、焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a；（1）当AB x ⊥轴时，22b AB a=；当AB 不与x 轴垂直时，设AB ：()y k x c =-，2222222222()2()0b a k x a k cx a k c b +-+-=，2424(1)a b k ∆=+，设2222[,)t b a k b =+∈+∞，则AB ＝1＋k 2||x 1－x 2222222222(1)ab k b a k b a k +==++22222(1)(,2]b c b a a t a=+∈， ∴22[,2]b AB a a∈． （2）设直线l 的倾斜角为θ，则tan k θ=，()()θθθ22222222222222cos 21tan tan 212c a ab b a ab k b k a ab AB -=++=++=．2222222cos cos cos b b ab AB AF BF a c a c a c θθθ=+=+=+--．练习题：[2010年全国新课标Ⅰ卷T20（1）/21]设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线与相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列，则椭圆E 的离心率为 ．解法一：由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+，得43AB a =∴222443ab a AB a b ==+，222a b=，∴E的离心率2c e a a ===．解法二：由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+，得43AB a =． 在12AF F ∆中，由余弦定理，有222111(2)(2)222a AF AF c AF c -=+-⨯⨯⨯，21AF =同理22AF =，2243a =，222a c =，2e =．4、过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点作互相垂直的两条弦MN ，PQ ，则（1）11MN PQ+为定值； （2）2222282()[,]ab a b MN PQ a b a++∈+． 设直线MN 的倾斜角为θ，则22222cos ab MN a c θ=-，2222222222sin cos ()2ab ab PQ a c a c πθθ==--+， 22222211222a c a b MN PQ ab ab -++==， MN PQ +=2222222224224222242222(2)8()82()[,]sin cos 4sin 2ab a c ab a b ab a b a a c c a b c a b aθθθ-++=∈-+++．练习题：过椭圆22143x y +=的右焦点F 作互相垂直的两条弦MN ，PQ ，求MN PQ +的取值范围．48[,7]7解法一：当MN ，PQ 有一条与x 轴垂直时，7MN PQ +=．当MN ，PQ 都不与x 轴垂直时，设MN ：()y k x c =-，则2212(1)43k MN k +=+，2212(1)43k PQ k +=+，2222222212(1)12(1)84(1)4343(43)(43)k k k MN PQ k k k k ++++=+=++++4242424284(21)7(122412)122512122512k k k k k k k k ++++==++++ 2422217(1)7(1)112251212()25k k k k k=-=-++++， ∵2212k k +≥，∴2211014912()25k k<≤++，∴48[,7)7MN PQ +∈． 综上所述，MN PQ +的取值范围为48[,7]7．注1：设21(1,)t k =+∈+∞，则222284(1)(43)(43)k k k +++22848448[,7)1149(41)(31)7()24t t t t ==∈-+--+． 注2：对比“七、定点与定值（二）练习题”中的计算数据．分别过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点和原点的两条平行直线与椭圆交于,M N 和,P Q ，则,,2MN PQ a 成等比数列，即22PQ a MN =． 解法二：设直线MN 的倾斜角为θ，则2212124cos 4cos ()2MN PQ πθθ+=+--+233648[,7]48sin 27θ=∈+．5、椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的斜率为k 的平行弦的中点轨迹为直线22b y x a k=-在椭圆内的部分．六、椭圆的内接三角形（椭圆上三点）及定点与定值1、（1）设),(00y x P 为椭圆12222=+b y a x 上一点，11(,)M x y 、11(,)N x y --为椭圆上关于原点对称的两点，01x x ±≠，则直线PM 、PN 的斜率之积为定值22ab -．解：2201010122010101PM PNy y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==-+-2221202122220222)()(a b x x x a b b x a b b -=----． 设),(00y x P 为双曲线12222=-b y a x 上一点，),(11y x A 、),(11y x B --为双曲线上关于原点对称的两点，01x x ±≠，则直线PA 、PB 的斜率之积为常数22ab ．=--=++⋅--=2120212010101010x x y y x x y y x x y y k k PBPA 2221202212222022)()(a b x x b x a b b x a b =----．（2）设B 为椭圆12222=+b y a x 的短轴端点，11(,)M x y 、11(,)N x y -为椭圆上关于x 轴对称的两点，10x ≠，则直线BM 、BN 的斜率之积为定值22b a．解：设(0,)B b ，则2222222121112221111()BM BN b b b x y b y b b y b a k k x x x x a------=⋅===．（3）设A 为椭圆12222=+b y a x 的长轴端点，11(,)M x y 、11(,)N x y -为椭圆上关于y 轴对称的两点，1x a ≠±，则直线AM 、AN 的斜率之积为定值22b a．解：设(,0)A a ，则2222212111222221111AM AN b b x y y y b a k k x a x a a x a x a-=⋅===-----．2、设),(00y x P 0(0)y ≠为椭圆12222=+by a x 上一点，M 、N 为椭圆上的两点，且直线PM 、PN 的斜率互为相反数，则直线MN 的斜率为定值2020b x a y ．解法一：当MN x ⊥轴时，设11(,)M x y 、11(,)N x y -，1010010101020PM PN y y y y y k k x x x x x x ----+=+=≠---； 当MN 不与x 轴垂直时，设MN ：y kx m =+，由102010200PM PN y y y y k k x x x x --+=+=--，可得2020b x k a y =．解法二：设PM ：00()y y k x x -=-，PN ：00()y y k x x -=--，可求得2222002220()()M a y kx a b x a k b x --=+，2222002220()()N a y kx a b x a k b x +-=+，又∵2200221x y a b+=，∴200000020[()][()](2)A B A B MNA B A B k x x y k x x y k x x x b x k x x x x a y -+---++-===--．解法三：设),(11y x A 、22(,)B x y ，由22002222112211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减可得2101021010()()PA y y b x x k x x a y y -+==--+， 同理有，2202022020()()PBy y b x x k x x a y y -+==--+，2212122121()()AB y y b x x k x x a y y -+==--+， 由102010200PA PBy y y y k k x x x x --+=+=--及221020221020()()0()()PA PB b x x b x x k k a y y a y y +++=--=++， 可得012012122100()()2x y y y x x x y x y x y +++=++， 及012012122100()()(2)x y y y x x x y x y x y +++=-++，∴012012()()0x y y y x x +++=，∴2212122121()()AB y y b x x k x x a y y -+==--+2020b x a y =． 3、（富瑞吉Fregier 定理）设),(00y x P 为椭圆12222=+by a x 上一点，M 、N 为椭圆上的两点，且直线PM 、PN 的斜率之积12k k λ=的充要条件是直线MN 过定点00(,)x y μμ-，其中2222a b a b λμλ+=-．设),(00y x P 为椭圆12222=+b y a x 上一点，M 、N 为椭圆上的两点，且直线PM 、PN 的斜率之积21221(1)1m b k k m m a +=⋅≠-的充要条件是直线MN 过定点00(,)mx my -．练习题：1．已知椭圆2214x y +=，点(0,1)P ，M 、N 是椭圆上与P 不重合的两点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为12，则直线MN ______________.过定点(0,3)- 解：①当直线MN 的斜率不存在时，14GM GN k k ⋅=，不合题意. ②当直线MN 的斜率存在时，设:MN y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y联立方程2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-=， 则()2216410k m∆=+->，122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+，∵121211PM PNy y k k x x --⋅=⋅()()()221212121112k x x k m x x m x x +-++-==，∴()()()212122121k x x k m x x -+-++()2210m -=，()()2222212448)144(11m kmk m k k k -⋅+---+++()2210m -=，∴(1)(3)0m m -+=，∴1m =（舍去）或3m =-， ∴直线MN 过定点(0,3)-.2．已知椭圆2214x y +=，点(0,1)P ，M 、N 是椭圆上与P 不重合的两点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为13-，则直线MN ______________.过定点1(0,)7-解：27610m m --=. 3．已知椭圆2214x y +=，点(0,1)P ，M 、N 是椭圆上与P 不重合的两点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为t 1()4t ≠，则直线MN ______________. 过定点41(0,)41t t +--解：2(41)2(41)0t m m t -+-+=.4．已知椭圆2214x y +=，点(0,1)P ，M 、N 是椭圆上与P 不重合的两点，且直线PM 与直线PN 的斜率之和为12，则直线MN ______________. 过定点(4,1)--解：(1)(41)0m k m ---=.5．[2017年全国Ⅰ卷理T20/21]已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，3(1P -，4(1P 中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．解：（1）根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点. 将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，， 联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=， 122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-= 222228888144414kb k kb kbk b k --++==-+()()()811411k b b b -=-+-， 又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立． 所以直线l 的方程为21y kx k =--． 当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．七、定点与定值（二）1、直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于M 、N 两点，且OM ON ⊥，则（1）2211OMON+为定值2211a b+； （2）点O 到直线MN，即直线MN 与圆O ：222222a b x y a b +=+相切．（1）解法一：设直线OM 、ON 的方程． 解法二：设直线MN 的方程．解法三：不妨设11(cos ,sin )M r r αα，22(cos(),sin())22N r r ππαα++，（注：即设极坐标，不同于参数方程(cos ,sin )M a b αα），则221122(cos )(sin )1r r a b αα+=，∴222212222sin cos a b OM r a b αα==+有， 同理可得222222222cos sin a b ON r a b αα==+，∴222222221111a b a b a b OM ON++==+． （2）点O 到直线MN 的距离为定值OM ON d MN====．练习题直线l 与椭圆22143x y +=相交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆过坐标原点O ． （1）证明：2211OMON+为定值；（2）求MN 的取值范围．（1）712（2）[7 解法一：当OM ，ON 中有一条与x 轴垂直时，22111174312OMON+=+=，MN = 当OM ，ON 都不与x 轴垂直时，设OM ：y kx =，11(,)M x y ，则2121243x k =+，22212(1)43k OM k +=+，22212(1)43k ON k +=+，2222117(1)712(1)12k k OM ON++==+， 则2222222222212(1)12(1)84(1)4343(43)(43)k k k MN OM ON k k k k +++=+=+=++++4242424284(21)7(122412)122512122512k k k k k k k k ++++==++++2422217(1)7(1)112251212()25k k k k k=-=-++++， ∵2212k k +≥，∴2211014912()25k k<≤++，∴248[,7)7MN ∈． ∴（1）2211712OMON+=；（2）[7MN ∈． 注1：设21(1,)t k =+∈+∞，则222284(1)(43)(43)k k k +++22848448[,7)1149(41)(31)7()24t t t t ==∈-+--+． 注2：∵12120x x y y +=，∴2222222222121212121221()()(1)(1)MNx x y y x x y y k x x k =-+-=+++=+++222212(1)12(1)4343k k k k ++=+++．注3：22211()4MN OMON⋅+≥．注4：对比“五、弦长及弦的中点4练习题”中的计算数据．分别过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点和原点的两条平行直线与椭圆交于,M N 和,P Q ，则,,2MN PQ a 成等比数列，即22PQ a MN =．解法二：当MN 与x 轴垂直时，2211777242412OMON+=+=，7MN ==． 当MN 不与x 轴垂直时，设MN ：y kx m =+，则222(43)84(3)0k x kmx m +++-=，由12120x x y y +=，得22712(1)m k =+，2224848(43)(129)7k m k ∆=-+=+，222222221111712MN k d m OMONOMON++====， 222222248(129)48133611487(1)[1]()7[,7](43)744767k MN k k t t t +=+⋅=+-=--+∈+， ∴（1）2211712OMON+=；（2）[7MN ∈．2、直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>相交于M 、N 两点(M 、N 不是右顶点)，且以MN 为直径的圆过椭圆的右顶点A ，则直线MN 过定点2222()(,0)a a b a b -+． 解法一：设直线MN 的方程为()x ty m m a =+≠，由1212()()0AM AN x a x a y y ⋅=--+= 可得2222()a ab m a b-=+． 解法二：设直线AM 、AN 的方程．练习题：直线l 与椭圆22143x y +=相交于M 、N 两点(M 、N 不是右顶点)，且以MN 为直径的圆过椭圆的右顶点A ，证明：直线MN 过定点．2(,0)73、（1）点P 、Q 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，点P 关于x 轴的对称点为R ，且直线PQ ，RQ 分别与x 轴相交于点M ，N ，则OM ON 为定值2a ．（2）过点(,0)M m ()m a ≠±的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>相交于P 、Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线QR 过定点2(,0)a m．解法一：（1）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，11(,)R x y -，则PQ ：112121x x y y x x y y --=--，令0y =，得122121M x y x y x y y -=-，同理可得122121N x y x y x y y +=+，∴22222212222221222122122222121(1)(1)M N y y a y a y x y x y b b x x a y y y y ----===--． 解法二：（2）设直线QR 的方程为x ty n =+，由MPMQ k k =可得1212y y x m x m -=--，2a n m=． 练习题：过点(3,0)M 的直线l 与椭圆22143x y +=相交于P 、Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为R ，证明：直线QR 过定点．4(,0)34、椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M 、N 两点，设O 为坐标原点，点2(,0)a P c，证明：0PM PN k k +=．解：当AB 与x 轴垂直时，0PM PN k k +=； 当AB 不与x 轴垂直时，设MN ：()y k x c =+， 2222222222()2()0b a k x a k cx a k c b +++-=，2212122222211212((((())())))MA MBa a k x c k x c y y c c k k a a a x x x x a c c c x x c+-++-+=+=---- 2212121222([2()()2]0))(x x a k x x c cx a c a a c x -+++==--．练习题：[2018年全国Ⅰ卷理T20/21]设椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠． 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-.所以AM 的方程为2y x =-+2y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=， 所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--， 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--，∵3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+， ∴0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.八、定点与定值（三）1、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，若直线PA 交直线l ：()x m m a =>于点M ，直线PB 交直线l 于点N ，则以MN 为直径的圆C 经过定点____________．(m ±解法一：(,0)A a -，(,0)B a ．设00(,)P x y ，则2200221x y a b +=，2202220y b x a a=--， 直线00:()y AP y x a x a =++，00()(,)y m a M m x a ++，同理00()(,)y m a N m x a--， 以MN 为直径的圆的方程为20000()()()()()0y m a y m a x m y y x a x a+--+--=+-，令0y =，得22220220()())0y m a x m x a --+=-，22222()()b m a x m a --=，x m =，∴以MN 为直径的圆C总经过定点(m ±. 解法二：利用22000222000PA PBy y y b k k x a x a x a a=⋅==-+--. 解法三：22222202220()()M N y m a b m a y y x a a --==--为定值，由射影定理. 练习题：已知椭圆22:14x E y +=的上、下顶点分别为A 、B ，点P 是椭圆E 上不同于A 、B 的任一点，直线AP 、BP 与直线:2l y =-分别交于点M 、N ，试判断以线段MN 为直径的圆是否经过定点，若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解法一：(0,1)A ，(0,1)B -．设00(,)P x y ，则220014x y +=，220014x y =-， 直线001:1y AP y x x --=，003(,2)1x M y ---，同理00(,2)1x N y --+，以MN 为直径的圆的方程为200003()()(2)011x xx x y y y ++++=-+， 令0x =，得220203(2)01x y y ++=-，2(2)12y +=，2y =-±∴以MN为直径的圆恒过定点(0,2-+、(0,2--．解法二： (0,1)A ，(0,1)B -．设00(,)P x y ，则220014x y +=，220014x y =-， 由题设可知00x ≠，设直线,AP BP 的斜率分别是12,k k ，则200012200011114y y y k k x x x -+-=⋅==-， 直线AP 的方程为11y k x -=，∴13(,2)M k --，同理21(,2)N k --， ∴以MN 为直径的圆的方程为21231()()(2)0x x y k k ++++=， 令0x =，得2(2)12y +=，2y =-±，∴以MN为直径的圆恒过定点(0,2-+、(0,2--．解法三：003(,2)1x M y ---，同理00(,2)1x N y --+，12M N x x ⋅=-，设直线MN 交x 轴于点(0,2)D -，以MN 为直径的圆交x 轴于点E ，由射影定理得，212DE DM DN =⋅=，DE =∴(0,2E -±，∴以MN为直径的圆恒过定点(0,2E -±．九、切线1、（1）若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=．解：判别式法．（2）AB ：y kx m =+与椭圆22221x y a b+=相切，则2222a kb m +=．解：由 222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨+=⎩，得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=， 2222224()0a b a k b m ∆=+-=，2222a k b m +=．2、若点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，过P 作椭圆的两条切线切点分别为A 、B ，则切点弦AB 的直线方程是00221x x y ya b+=．解：设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则PA ：11221x x y y a b +=，PB ：22221x x y ya b+= ，∵10102220202211x x y y a bx x y y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴直线AB 的方程是00221x x y y a b +=．更多结论见《极点与极线背景下的高考试题》3、点P 在椭圆22221x y a b+=外 ，过P 作椭圆的两条切线切点分别为A 、B ，且PA PB ⊥，则点P 的轨迹方程是2222x y a b +=+． 解法一：设00(,)P x y ，当PA ，PB 一条斜率不存在，一条斜率为0时，222200x y a b +=+．当PA ，PB 的斜率都存在时，设PA ：y kx m =+，PB ：1y x n k=-+， 则2222a k b m +=，22222a b k n k +=， ∴222222(1)()m n k k a b +=++， 又∵00y kx m =+，001y x n k=-+ ∴22222222000000()()(1)()m n k y kx ky x k x y +=-++=++， ∴222200x y a b +=+．xx综上所述，点P 的轨迹方程是2222x y a b +=+．解法二：设切线方程为)(00x x k y y -=-．练习题1．[2014年广东卷理T20/21] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：（1）依题意得c =，3c e a ==， 所以3a =，2224b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22194x y += （2）当过点P 的两条切线12,l l 的斜率均存在时，设切线方程为)(00x x k y y -=-，联立2200194()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=， 所以22220000(18)()4(49)[9()36]0k y kx k y kx ∆=--+--=，整理得2200()49y kx k -=+，即2220000(9)240x k x y k y --+-=，因为12l l ⊥，所以201220419y k k x -==--，整理得220013x y +=； 当过点P 的两条切线12,l l 一条斜率不存在，一条斜率为0时，P 为(3,2)±或(3,2)-±，均满足220013x y +=． 综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=．2．过圆522=+y x 上的点P 作椭圆12322=+y x 的两条切线，若这两条切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．设点P (x 0，y 0)，则52020=+y x ，设切线方程为100:()l y y k x x -=- 由⎩⎨⎧=+-=-632)(2200y x x x k y y ，得06)(3)(6)32(2000022=--+--+y kx x y kx k x k令0]6)(3)[32(4)(3620022002=--+--=∆y kx k y kx k ，整理得，023)(2200=---k y kx ，即0)2(2)3(2000220=-+--y k y x k x ， ∴两切线斜率之积为1325322020202021-=---=--=x x x y k k ．。

史上最全椭圆二级结论大全

史上最全椭圆二级结论大全

专题118—史上最全椭圆二级结论大全1.122PF PF a +=2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b+=+;(2) 2222L a A b B =+. 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+. 22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b +=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+. 35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b+=+. 39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b+=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =. 55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、Bx 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b +=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b -=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e ±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e ±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b -+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b+--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b-+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。

史上最全椭圆二级结论大全

史上最全椭圆二级结论大全

专题118—史上最全椭圆二级结论大全1.122PF PF a +=2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b+=+;(2) 2222L a A b B =+ 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+.22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b +=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+. 35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b+=+. 39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =. 55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、Bx 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b +=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b -=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e ±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b -+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b+--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b-+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by xa=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。

史上最全椭圆二级结论大全

史上最全椭圆二级结论大全

专题118—史上最全椭圆二级结论大全1.122PF PF a +=2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b+=+;(2) 2222L a A b B =+. 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+. 22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b +=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+. 35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b+=+. 39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b+=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =. 55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、Bx 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b +=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b -=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e ±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e ±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b -+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b+--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b-+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。

史上最全椭圆二级结论大全

史上最全椭圆二级结论大全

专题118—史上最全椭圆二级结论大全1.122PF PF a +=2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b+=+;(2) 2222L a A b B =+. 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+. 22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b +=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+. 35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b+=+. 39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b+=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =. 55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、Bx 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b +=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b -=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e ±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e ±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b -+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b+--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b-+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。

史上最全椭圆二级结论大全

史上最全椭圆二级结论大全

专题118—史上最全椭圆二级结论大全1.122PF PF a +=2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b+=+;(2) 2222L a A b B =+. 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+. 22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b +=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+. 35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b+=+. 39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b+=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =. 55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、Bx 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b +=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b -=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e ±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e ±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b -+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b+--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b-+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。

(完整word版)椭圆双曲线的经典结论

(完整word版)椭圆双曲线的经典结论

椭圆双曲线的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角。

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点。

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。

5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0)的焦半径公式：10||MF a ex =+，20||MF a ex =-（1(,0)F c - ， 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q ， A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M,A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。

11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交。

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2椭圆常用结论
一、椭圆的第二定义:
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）
对于12222=+b
y a x ，左准线c a x l 2
1:-=；右准线c a x l 22:=
对于12222=+b
x a y ，下准线c a y l 2
1:-=；上准线c a y l 22:=
椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
焦点到准线的距离c
b c c a c c a p 2
222=-=-=（焦参数）
二、焦半径
圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。

椭圆的焦半径公式：
焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率
焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-
其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点
焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()
c a PF c a PF -≥-≥21,
推导：以焦点在x 轴为例
如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，
e PM
PF =1，
则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== x
O F 1
F 2
P
y A 2
A 1
B 1
B 2
同理可得0
2ex a PF -=
三、通径：
圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB
坐标：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛a b c B 2,
弦AB 长度： a
b AB 2
2=
四、若P 是椭圆：
上的点.为焦点，若，则的面积为
. 推导：如图θsin 2
12121⋅⋅=
∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得 θcos =
2
12
2
12
2
2PF PF F F PF PF ⋅-+
=
2
12
2121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+
=
2
12
2122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-
=
2
12
12224PF PF PF PF b ⋅⋅-
得θ
cos 122
21+=⋅b PF PF
θsin 212
121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2
tan 2θb
12
22
2=+
b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2
tan
2θb x
O F 1
F 2 P y A 2
A 1
B 1
B 2
五、弦长公式
直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,
则它的弦长
12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：
设00(,)M x y 为椭圆22
221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：
2
2AB OM
b k k a
⋅=-
证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有
1212AB
y y k x x -=-，22
112222
22
22
1
1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：
2222
1212
22
0x x y y a b --+=整理得：222
1222
212y y b x x a
-=--，即2
121221212()()()()y y y y b x x x x a
+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以
0012
001222OM
y x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a
⋅=-
(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆122
22=+b y a x 中，以00(,)M x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0
202y a x b ；
由（1）得22
AB OM
b k k a ⋅=-
0022221y x a b k a b k OM AB
⋅
-=⋅-=
七、椭圆的参数方程(sin cos 为参数ϕϕϕ
⎩
⎨⎧==b y a x
八、共离心率的椭圆系的方程：
椭圆的离心率是，方程是大于0的参
数，0>>b a 的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 例1、已知椭圆116
252
2=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，
则点P 到右准线的距离为____
例2、如果椭圆
22
1369
x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是
例3、已知直线1+-=x y 与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的
中点在直线l ：02=-y x 上，则此椭圆的离心率为_______
例4、F 是椭圆13
42
2=+y x 的右焦点，()1,1A 为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。

（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为
分析：PF 为椭圆的一个焦半径，准线作出来考虑问题。

解：（1） 设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ', (22-'-='-+=+PA F P a F P a PA PF PA )0(122
22
b a b y a x =+)(2
2b a c a c e -==t t b
y a x (2222=+a
c
e =
当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。

（2）作出右准线l ，作l PH ⊥交于H ，因42
=a ，32
=b ，12
=c ， 所以2=a ，
1=c ，21=
e . ∴PH PF PH PF ==2,2
1
即
∴PH PA PF PA +=+2
当A 、P 、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142
=-=-A x c a 例5、求椭圆13
22
=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．
例6、椭圆
顶点A （a ，0），B （0，b ），若右焦点F 到直线AB 的
距离等于，则椭圆的离心率e=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
例7、在椭圆
中，F 1，F 2分别是其左右焦点，若|PF 1|=2|PF 2|，则该
椭圆离心率的取值范围是（ ） A ． B ．
C ．
D ．。

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