质心刚体
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ω = G*m
每个方程的解都是简谐运动，角频率都是
合成的轨道是一个以质心为中心的椭圆，运动周期为
2π T= G*m
22
例 长l、质量线密度为λ的匀质软绳，开始时两端A和B一起悬挂 在固定点上。使B端脱离悬挂点自由下落，当如图所示，B端 下落高度为 l/2 时，使A脱离悬挂点，问此后经过多长时间绳 子完全伸直？（提示：可在质心系中分析）
15
例 带电q的小球A从静止开始在匀强电场E中运动，与前方相距l
的不带电小球B发生弹性碰撞。求从开始到发生k次碰撞电场对 小球A所做的功。 m, q>0 m B A 分析碰撞过程 弹性碰撞 第一次碰撞用时 A相对B的运动 质心运动
2l 2ml a = qE / m ⇒ t1 = = a qE
第k次碰撞用时
圆环
I 0 = mR
匀质圆盘
2
I 0 = ∫ r dm = ∫
2 0
R
R
0
2πrdr 1 2 r m = mR 2 πR 2
2
r
R
r + dr
30
关于计算转动惯量的定理
M
取两个互相平行、间距为 d 的转轴 其中一个转轴通过刚体质心C
P
Ri
mi
Ri (C ) C
Ri = Ri (C ) + d
l/2
x
I c = 2∫
l/2
0
x dm = 2 ∫
2
l/2
0
dx 1 x m = ml 2 l 12
2
(b) 转轴位于一端
dx 1 2 I A = ∫ x dm = ∫ x m = ml 0 0 l 3
l 2 l 2
29
例
圆环与匀质圆盘，转轴过圆心且于圆平面垂直，求它们的转 动惯量
dW内 + dW外 = dEk
与惯性系完全相同，机械能定理也相同
13
质心系中质点系角动量定理
质心系中质点系角动量定理
M外 + M惯
dL = dt
M惯
= ∑ ri × (−mi ac ) = ∑ mi ri × (−ac ) = rc × (−mac ) i i
百度文库选质心为参考点
t k = 2kt1 − t1
16
{A，B}系统的质心加速度
qE ac = 2m
1 2 在tk时间内质心位移 sc = ac t k 2
A球的位移
1 s A = sc + l 2
W = (qE ) s A = (2k 2 − 2k + 1)qEl
电场力对A所做的功
17
例
质量同为m的两个小球，用长为 2l 的轻绳连接后静放在 光滑桌面上，受绳中央的恒力F作用。问在两球第一次相碰 前的瞬间，小球在垂直于F的方向上分速度多大？
质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。 牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的， 那么在大尺度范围内也将是正确的。
特殊的质点系——刚体
4
质心的性质
①质心在整个物体的包络内
②物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。
③几个物体的质心满足质心组合关系
r= c
∑mr
i i i
m
m rA +m r +m r +⋯ B B C C = A m
质点系的动能可分解成质心动能与质点系相对质心的动能之和 柯尼希(König)定理 定理 柯尼希
9
核反应中的资用能
10
质点系的角动量
其中
L = ∑ ri × mi vi
i
mi
ri = rc + ri ′, vi = vc + vi′
ri rC
ri ′
C
L = rc × ∑ mi vc + rc × ∑ mi vi′ i i + ∑ mi ri ′ × vc + ∑ ri ′× mi vi′ i i
rc = 0 ⇒ M 惯 = 0
dL M外 = dt
与惯性系完全相同
14
质心系中质点系角动量定理
小结
质点系的运动 = 质心的运动 + 相对质心的运动 质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和 质心的运动 代表了质点系整体的运动 质点系所受合力确定质心的运动：质心运动定理 相对质心的运动 质心系中质点系动能定理 质心系中质点系角动量定理
zi
ri
y
ai心 = ω 2 Ri vi = ωRi , ai切 = β Ri
x
26
5.2.2 动力学量 转动惯量
动量——刚体作定轴转动时的动量 = 质心动量。 动能
1 1 2 2 Ek = ∑ mi vi = ∑ mi (ωRi ) i 2 i 2 1 2 Ek = Iω , I = ∑ mi Ri2 2 i
24
5.2 刚体定轴转动
5.2.1 运动学描述
刚体的运动总是可以分解为：平动+转动 刚体的转动有三个自由度，最基本的是绕一个固定轴的转动。
刚体的定轴转动只有一个自由度
25
刚体中每一个点部位都在做圆周运动 参考点选在转轴上
z
Ri
ri = Ri + zi
每一个点部位圆运动的角速度和角加速度 是相同的，它们是整个刚体的运动状态量。 第 i 个点部位
I MN
d
Q N = ∑ mi Ri ⋅ Ri = ∑ mi Ri (C ) ⋅ Ri (C ) + 2∑ mi Ri (C ) ⋅ d + ∑ mi d ⋅ d
i 2 i i i i
= ∑ mi R (C ) + 2∑ mi Ri (C ) ⋅ d + md 2 i i
平行轴定理
A
在质心系中，B端相对质心速度不变 B端的速度 vB = gl 质心速度
B
l/2
1 vC = gl 4
l/4
7 质心离A点的位置 rA = l 16 1 B端相对质心的距离 rBC = l 16 7 l 绳子伸直所用时间 t = 12 g
23
力学期中考试
时间：11月18日晚19：00 - 21：00 地点：二教309 考试时间：2：00
2 2
2
质点系的质心 (center of mass)
r= c
质心速度
∑mr
i i i
m
质心加速度
drc vc = dt
dvc ac = dt
质心动量等于质点系的总动量
mvc = ∑ mi vi
i
1 2 质心动能 Ekc = mvc 2
质心角动量
Lc = rc × mvc
3
质心运动定理
F合外 = mac
rc = 常矢量 vc = 0
质心系中的运动图象 各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。 质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。
7
在任一参考系中 质点系的动量、 质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系 mi
质点系的动量
质点系中各质点 mi 相对质心的运动
ri rC
ri ′
C
(ri ′, vi′)
m
F
v⊥
v// T θ
F
18
在质心系中，只有力 F 作功 在随小球沿受力方向平行运动的非惯性系中，只有力 F 作功
利用动能定理
1 2 Fl = 2× m ⊥ v 2
F l v⊥ = m
19
例 线性引力
假设质点间的万有引力是线性的： F = G * m1m2 r 其中G*为假想的引力常量，r 为两质点的间距。不考虑碰撞的 可能性，试导出多质点引力系统各质点的运动轨道和周期。 质心系是惯性系，以质心为坐标原点： rC 第 i 个质点
5
例 由两个质点构成的质点系的质心
m1
l
l1 l2
m2
质心位置满足杠杆关系
m1l1 = m2l2 , l1 + l2 = l
m2 m1 µ µ l1 = l = l , l2 = l= l m1 + m2 m1 m1 + m2 m2
6
5.1.2 质点系动力学量的分解
质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。 在质心系中质心静止
i i
zi
ri
y
Lz = ∑ Ri mi (ωRi ) = Iω
i
Lz = Iω
x
刚体的定轴转动与质点的直线运动相似
θ ← x, I ← m → →
都是一维运动
28
例 质量 m、长 l的匀质细杆，转轴垂直细杆(a)位于质心、(b)位
于一端，求细杆的转动惯量。 (a) 转轴位于质心
O
dx dm = m l
刚体相对某转轴的转动惯量 I，由刚体质量分布和转轴位置确定
I = ∫ r dm
2 V
V：刚体的质量分布区域
r：质元 dm 到转轴的距离
27
选取转轴上的O点为参考点 刚体定轴转动时的角动量
z
Ri
L = ∑ ri × (mi vi )
i
= ∑ Ri × (mi vi ) + ∑ zi × (mi vi )
绕任意固定轴 MN 转动的刚体的动能 此轴到刚体质心的距离 d 刚体质心的速度 vc = ωd 质心动能
1 Ek = I MN ω 2 2
1 2 1 Ekc = mvc = md 2ω 2 2 2
ω 1 ' E k = I cω 2 刚体相对质心的动能 2 柯尼希定理 E = E + E ′ k kc k
刚体相对质心的转动角速度为
I MN = I C + md
2
33
例 质量m、边长分别为a和b的匀质长方板，转轴通过中心O且与
板面垂直。应用量纲分析和平行轴定理求板的转动惯量， 量纲分析
I O = α1ma + α 2 mab + α 3mb
第五章 质心 刚体
1
5.1 质心
5.1.1 质心 质心运动定理
质点系的运动
每个质点的质量、位矢和受力： 质点系的总质量 质点系所受合力
mi , ri , Fi
m = ∑ mi
i
∑ mi ri d d i F = ∑ Fi = ∑ mi ai = 2 ∑ mi ri = m 2 dt i dt m i i
=0
质心
(m1 , ri , ɺɺ ) ri
质点系总质量 m 动力学方程组
mi ɺɺ = ∑ G * mi m j (rj − ri ) ri
j ≠i
20
mi ɺɺ = ∑ G * mi m j (rj − ri ) = ∑ G * mi m j (rj − ri ) ri
j ≠i j
= G * mi ∑ m j rj − G * mi ∑ m j ri j j = G * mi mrC − G * mi mri
ɺɺ = −G * mri ri
方程表明，第 i 个质点所受合引力等效于受系统质心的引力。 方程组可分离变量，多体问题转化为单体问题。
21
第 i 个质点的初始运动状态确定一个平面 第 i 个质点只能在此平面内运动 动力学方程可分解为：
ɺɺi = −G * mxi , ɺɺi = −G * myi x y
I MN = I C + md
2
推论：刚体沿任何方向转动，绕通过质心的转轴的转动惯量最小
31
对于平板刚体
z
2 i 2
x + y = ri
2 i
xi
x
ri
yi
mi
y
I x + I y = ∑ mi yi2 + ∑ mi xi2 = ∑ mi ri 2
i i i
垂直轴定理
Ix + Iy = Iz
32
例 由柯尼希定理导出刚体的平行轴定理
O
L = Lc + L′,
Lc = rc × mvc , L′ = ∑ ri ′× mi vi′
i
质点系的角动量 可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和 同一参考点 质心为参考点
11
5.1.3 质心参考系
质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力
− mi ac
质心系中每一个质点受真实力和平移惯性力作用 质心系中，每个质点所受的惯性力只有平移惯性力 平移惯性力与重力相似 大小正比于质点质量，正比于质心加速度大小 方向沿着质心加速度的反向 质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。 在质心系中 质点系的动能定理和角动量定理
12
质心系中质点系动能定理
质心系中质点系动能定理的微分形式
dW内 + dW外 + dW惯 = dEk
dW惯 = ∑ (− mi ac ⋅ dr )i = − ac ⋅ d ∑ (mi ri ) = − ac ⋅ d (mrc ) = 0
i i
质心系中质心位置矢量为常量
drc = 0
dW惯 = 0
质心系中质点系动能定理
质点系的动量等于质心的动量 质点系相对质心的动量总是为零
p = pc
i
O
p′ = ∑ mi vi′ = 0
8
质点系的动能 1 2 1 Ek = ∑ mi vi = ∑ mi vi ⋅ vi i 2 i 2
vi = vc + vi′
1 1 Ek = ∑ mi vc ⋅ vc + ∑ mi vc ⋅ vi′ + ∑ mi vi′ ⋅ vi′ i 2 i i 2 1 2 1 = mvc + vc ⋅ ∑ mi vi′ + ∑ mi vi′2 2 i i 2 1 2 1 ′ ′ Ek = Ekc + Ek , Ekc = mvc , 资用能Ek = ∑ mi vi′2 2 i 2
每个方程的解都是简谐运动，角频率都是
合成的轨道是一个以质心为中心的椭圆，运动周期为
2π T= G*m
22
例 长l、质量线密度为λ的匀质软绳，开始时两端A和B一起悬挂 在固定点上。使B端脱离悬挂点自由下落，当如图所示，B端 下落高度为 l/2 时，使A脱离悬挂点，问此后经过多长时间绳 子完全伸直？（提示：可在质心系中分析）
15
例 带电q的小球A从静止开始在匀强电场E中运动，与前方相距l
的不带电小球B发生弹性碰撞。求从开始到发生k次碰撞电场对 小球A所做的功。 m, q>0 m B A 分析碰撞过程 弹性碰撞 第一次碰撞用时 A相对B的运动 质心运动
2l 2ml a = qE / m ⇒ t1 = = a qE
第k次碰撞用时
圆环
I 0 = mR
匀质圆盘
2
I 0 = ∫ r dm = ∫
2 0
R
R
0
2πrdr 1 2 r m = mR 2 πR 2
2
r
R
r + dr
30
关于计算转动惯量的定理
M
取两个互相平行、间距为 d 的转轴 其中一个转轴通过刚体质心C
P
Ri
mi
Ri (C ) C
Ri = Ri (C ) + d
l/2
x
I c = 2∫
l/2
0
x dm = 2 ∫
2
l/2
0
dx 1 x m = ml 2 l 12
2
(b) 转轴位于一端
dx 1 2 I A = ∫ x dm = ∫ x m = ml 0 0 l 3
l 2 l 2
29
例
圆环与匀质圆盘，转轴过圆心且于圆平面垂直，求它们的转 动惯量
dW内 + dW外 = dEk
与惯性系完全相同，机械能定理也相同
13
质心系中质点系角动量定理
质心系中质点系角动量定理
M外 + M惯
dL = dt
M惯
= ∑ ri × (−mi ac ) = ∑ mi ri × (−ac ) = rc × (−mac ) i i
百度文库选质心为参考点
t k = 2kt1 − t1
16
{A，B}系统的质心加速度
qE ac = 2m
1 2 在tk时间内质心位移 sc = ac t k 2
A球的位移
1 s A = sc + l 2
W = (qE ) s A = (2k 2 − 2k + 1)qEl
电场力对A所做的功
17
例
质量同为m的两个小球，用长为 2l 的轻绳连接后静放在 光滑桌面上，受绳中央的恒力F作用。问在两球第一次相碰 前的瞬间，小球在垂直于F的方向上分速度多大？
质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。 牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的， 那么在大尺度范围内也将是正确的。
特殊的质点系——刚体
4
质心的性质
①质心在整个物体的包络内
②物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。
③几个物体的质心满足质心组合关系
r= c
∑mr
i i i
m
m rA +m r +m r +⋯ B B C C = A m
质点系的动能可分解成质心动能与质点系相对质心的动能之和 柯尼希(König)定理 定理 柯尼希
9
核反应中的资用能
10
质点系的角动量
其中
L = ∑ ri × mi vi
i
mi
ri = rc + ri ′, vi = vc + vi′
ri rC
ri ′
C
L = rc × ∑ mi vc + rc × ∑ mi vi′ i i + ∑ mi ri ′ × vc + ∑ ri ′× mi vi′ i i
rc = 0 ⇒ M 惯 = 0
dL M外 = dt
与惯性系完全相同
14
质心系中质点系角动量定理
小结
质点系的运动 = 质心的运动 + 相对质心的运动 质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和 质心的运动 代表了质点系整体的运动 质点系所受合力确定质心的运动：质心运动定理 相对质心的运动 质心系中质点系动能定理 质心系中质点系角动量定理
zi
ri
y
ai心 = ω 2 Ri vi = ωRi , ai切 = β Ri
x
26
5.2.2 动力学量 转动惯量
动量——刚体作定轴转动时的动量 = 质心动量。 动能
1 1 2 2 Ek = ∑ mi vi = ∑ mi (ωRi ) i 2 i 2 1 2 Ek = Iω , I = ∑ mi Ri2 2 i
24
5.2 刚体定轴转动
5.2.1 运动学描述
刚体的运动总是可以分解为：平动+转动 刚体的转动有三个自由度，最基本的是绕一个固定轴的转动。
刚体的定轴转动只有一个自由度
25
刚体中每一个点部位都在做圆周运动 参考点选在转轴上
z
Ri
ri = Ri + zi
每一个点部位圆运动的角速度和角加速度 是相同的，它们是整个刚体的运动状态量。 第 i 个点部位
I MN
d
Q N = ∑ mi Ri ⋅ Ri = ∑ mi Ri (C ) ⋅ Ri (C ) + 2∑ mi Ri (C ) ⋅ d + ∑ mi d ⋅ d
i 2 i i i i
= ∑ mi R (C ) + 2∑ mi Ri (C ) ⋅ d + md 2 i i
平行轴定理
A
在质心系中，B端相对质心速度不变 B端的速度 vB = gl 质心速度
B
l/2
1 vC = gl 4
l/4
7 质心离A点的位置 rA = l 16 1 B端相对质心的距离 rBC = l 16 7 l 绳子伸直所用时间 t = 12 g
23
力学期中考试
时间：11月18日晚19：00 - 21：00 地点：二教309 考试时间：2：00
2 2
2
质点系的质心 (center of mass)
r= c
质心速度
∑mr
i i i
m
质心加速度
drc vc = dt
dvc ac = dt
质心动量等于质点系的总动量
mvc = ∑ mi vi
i
1 2 质心动能 Ekc = mvc 2
质心角动量
Lc = rc × mvc
3
质心运动定理
F合外 = mac
rc = 常矢量 vc = 0
质心系中的运动图象 各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。 质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。
7
在任一参考系中 质点系的动量、 质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系 mi
质点系的动量
质点系中各质点 mi 相对质心的运动
ri rC
ri ′
C
(ri ′, vi′)
m
F
v⊥
v// T θ
F
18
在质心系中，只有力 F 作功 在随小球沿受力方向平行运动的非惯性系中，只有力 F 作功
利用动能定理
1 2 Fl = 2× m ⊥ v 2
F l v⊥ = m
19
例 线性引力
假设质点间的万有引力是线性的： F = G * m1m2 r 其中G*为假想的引力常量，r 为两质点的间距。不考虑碰撞的 可能性，试导出多质点引力系统各质点的运动轨道和周期。 质心系是惯性系，以质心为坐标原点： rC 第 i 个质点
5
例 由两个质点构成的质点系的质心
m1
l
l1 l2
m2
质心位置满足杠杆关系
m1l1 = m2l2 , l1 + l2 = l
m2 m1 µ µ l1 = l = l , l2 = l= l m1 + m2 m1 m1 + m2 m2
6
5.1.2 质点系动力学量的分解
质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。 在质心系中质心静止
i i
zi
ri
y
Lz = ∑ Ri mi (ωRi ) = Iω
i
Lz = Iω
x
刚体的定轴转动与质点的直线运动相似
θ ← x, I ← m → →
都是一维运动
28
例 质量 m、长 l的匀质细杆，转轴垂直细杆(a)位于质心、(b)位
于一端，求细杆的转动惯量。 (a) 转轴位于质心
O
dx dm = m l
刚体相对某转轴的转动惯量 I，由刚体质量分布和转轴位置确定
I = ∫ r dm
2 V
V：刚体的质量分布区域
r：质元 dm 到转轴的距离
27
选取转轴上的O点为参考点 刚体定轴转动时的角动量
z
Ri
L = ∑ ri × (mi vi )
i
= ∑ Ri × (mi vi ) + ∑ zi × (mi vi )
绕任意固定轴 MN 转动的刚体的动能 此轴到刚体质心的距离 d 刚体质心的速度 vc = ωd 质心动能
1 Ek = I MN ω 2 2
1 2 1 Ekc = mvc = md 2ω 2 2 2
ω 1 ' E k = I cω 2 刚体相对质心的动能 2 柯尼希定理 E = E + E ′ k kc k
刚体相对质心的转动角速度为
I MN = I C + md
2
33
例 质量m、边长分别为a和b的匀质长方板，转轴通过中心O且与
板面垂直。应用量纲分析和平行轴定理求板的转动惯量， 量纲分析
I O = α1ma + α 2 mab + α 3mb
第五章 质心 刚体
1
5.1 质心
5.1.1 质心 质心运动定理
质点系的运动
每个质点的质量、位矢和受力： 质点系的总质量 质点系所受合力
mi , ri , Fi
m = ∑ mi
i
∑ mi ri d d i F = ∑ Fi = ∑ mi ai = 2 ∑ mi ri = m 2 dt i dt m i i
=0
质心
(m1 , ri , ɺɺ ) ri
质点系总质量 m 动力学方程组
mi ɺɺ = ∑ G * mi m j (rj − ri ) ri
j ≠i
20
mi ɺɺ = ∑ G * mi m j (rj − ri ) = ∑ G * mi m j (rj − ri ) ri
j ≠i j
= G * mi ∑ m j rj − G * mi ∑ m j ri j j = G * mi mrC − G * mi mri
ɺɺ = −G * mri ri
方程表明，第 i 个质点所受合引力等效于受系统质心的引力。 方程组可分离变量，多体问题转化为单体问题。
21
第 i 个质点的初始运动状态确定一个平面 第 i 个质点只能在此平面内运动 动力学方程可分解为：
ɺɺi = −G * mxi , ɺɺi = −G * myi x y
I MN = I C + md
2
推论：刚体沿任何方向转动，绕通过质心的转轴的转动惯量最小
31
对于平板刚体
z
2 i 2
x + y = ri
2 i
xi
x
ri
yi
mi
y
I x + I y = ∑ mi yi2 + ∑ mi xi2 = ∑ mi ri 2
i i i
垂直轴定理
Ix + Iy = Iz
32
例 由柯尼希定理导出刚体的平行轴定理
O
L = Lc + L′,
Lc = rc × mvc , L′ = ∑ ri ′× mi vi′
i
质点系的角动量 可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和 同一参考点 质心为参考点
11
5.1.3 质心参考系
质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力
− mi ac
质心系中每一个质点受真实力和平移惯性力作用 质心系中，每个质点所受的惯性力只有平移惯性力 平移惯性力与重力相似 大小正比于质点质量，正比于质心加速度大小 方向沿着质心加速度的反向 质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。 在质心系中 质点系的动能定理和角动量定理
12
质心系中质点系动能定理
质心系中质点系动能定理的微分形式
dW内 + dW外 + dW惯 = dEk
dW惯 = ∑ (− mi ac ⋅ dr )i = − ac ⋅ d ∑ (mi ri ) = − ac ⋅ d (mrc ) = 0
i i
质心系中质心位置矢量为常量
drc = 0
dW惯 = 0
质心系中质点系动能定理
质点系的动量等于质心的动量 质点系相对质心的动量总是为零
p = pc
i
O
p′ = ∑ mi vi′ = 0
8
质点系的动能 1 2 1 Ek = ∑ mi vi = ∑ mi vi ⋅ vi i 2 i 2
vi = vc + vi′
1 1 Ek = ∑ mi vc ⋅ vc + ∑ mi vc ⋅ vi′ + ∑ mi vi′ ⋅ vi′ i 2 i i 2 1 2 1 = mvc + vc ⋅ ∑ mi vi′ + ∑ mi vi′2 2 i i 2 1 2 1 ′ ′ Ek = Ekc + Ek , Ekc = mvc , 资用能Ek = ∑ mi vi′2 2 i 2