江西师范大学附属中学数学几何模型压轴题(篇)(Word版 含解析)

ABF 为 ABF ，在旋转过程中，设 AF 所在的直线与直线 AD 交于点 P，与直线 BD
交于点 Q，若△DPQ 为等腰三角形，请直接写出此时 DQ 的长．
【答案】（1）4；3 （2）3 或 16 3
（3） 3 10 25、125、25 10 或 10
3 24 3
3
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质，利用勾股定理求解 BD 的长，由等面积法求解 AE ，由勾股定理求解
2．已知：如图①，在矩形 ABCD 中，AB＝5， AD 20 ，AE⊥BD，垂足是 E．点 F 是点 E 3
关于 AB 的对称点，连接 AF、BF．
（1）求 AE 和 BE 的长； （2）若将△ABF 沿着射线 BD 方向平移，设平移的距离为 m（平移距离指点 B 沿 BD 方向 所经过的线段长度）．当点 F 分别平移到线段 AB、AD 上时，求出相应的 m 的值； （3）如图②，将△ABF 绕点 B 顺时针旋转一个角 α（0°＜α＜180°），记旋转中的
BE 即可，
（2）利用对称与平移的性质得到：AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．当点 F′落在 AB 上
时，证明 BB′＝B′F′即可得到答案，当点 F′落在 AD 上时，证明△B′F′D 为等腰三角形，从而
可得答案，
（3）分 4 种情况讨论：①如答图 3﹣1 所示，点 Q 落在 BD 延长线上，证明 A′Q＝A′B，利
示，点 Q 落在 BD 上，证明 BQ＝BA′，从而可得答案． 【详解】
解：（1）在 Rt△ABD 中，AB＝5， AD 20 ， 3
由勾股定理得： BD
52
20
2
3
25 ． 3
S
ABD
1 BD AE 2
1 2
AB AD, ．
AE
AB AD BD
5 20 3
25
4.
3
在 Rt△ABE 中，AB＝5，AE＝4，
（2）由旋转可推出 BAD≌CAE ，再利用 PM 与 PN 皆为中位线，得到 PM=PN，再利
用角度间关系推导出垂直即可； （3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知 PM=PM，且 PM⊥PN，利用三角形面积 公式求解即可． 【详解】
（1） PM PN ， PM PN ；
已知点 M ， P ， N 分别为 DE ， DC ， BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得
此时 PN 1 (AD AB) 7 ， PM 1 (AE AC) 7
2
2
且 PN 、 PM 的值最长，由（2）可知 PM PN ， PM PN
所以 PMN 面积最大值为 1 7 7 49 ．
2
2
【点睛】
本题主要考三角形的 判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．
PMN 面积的最大值． 【答案】（1） PM PN ， PM PN ；（2）等腰直角三角形，见解析；（3） 49
2
【解析】 【分析】
（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得 PN 与 PM 等于 DE 或 CE 的一半，又△ABC 为 等腰直角三角形，AD=AE，所以得 PN=PM，且互相垂直；
用勾股定理求解 F 'Q, BQ, 从而求解 DQ ，②如答图 3﹣2 所示，点 Q 落在 BD 上，证明点
A′落在 BC 边上，利用勾股定理求解 BQ, 从而可得答案，③如答图 3﹣3 所示，点 Q 落在
BD 上，证明∠A′QB＝∠A′BQ，利用勾股定理求解 BQ, ，从而可得答案，④如答图 3﹣4 所
（1）观察猜想：图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是_________，位置关系是
_________；
（2）探究证明：把 ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN ， BD ， CE ，判断 PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把 ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD 4 ， AB 10 ，请直接写出
（2）等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可得 BAD CAE ， 又 AB AC ， AD AE ∴ BAD≌CAE ∴ BD CE ， ABD ACE ， ∵点 M ， P 分别为 DE ， DC 的中点
∴ PM 是 DCE 的中位线
∴ PM 1 CE ，且 PM //CE ， 2
同理可证 PN 1 BD ，且 PN //BD 2
∵AB∥A′B′，∴∠6＝∠2， ∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，
AB AD,
由勾股定理得：BE＝3．
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图 2 所示：
由对称的性质可知，∠1＝∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．
①当点 F′落在 AB 上时， ∵AB∥A′B′， ∴∠3＝∠4， ∴∠3＝∠2， ∴BB′＝B′F′＝3，即 m＝3； ②当点 F′落在 AD 上时，
江西师范大学附属中学数学几何模型压轴题（篇）（Word 版 含解 析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．如图 1，在 Rt△ABC 中， A 90 ， AB AC ，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上， AD AE ，连接 DC ，点 M ， P ， N 分别为 DE ， DC ， BC 的中点．
PM 1 EC ， PN 1 BD ， PM //EC ， PN //BD
2
2
根据平行线性质可得 DPM DCE ， NPD ADC
在 RtABC 中， A 90 ， AB AC ， AD AE
可得 BD EC ， DCE ADC 90
即得 PM PN ， PM PN 故答案为： PM PN ； PM PN ．
∴ PM PN ， MPD ECD， PNC DBC ， ∴ MPD ECD ACD ACE ACD ABD ， DPN PNC PCN DBC PCN ，
∴
MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB 90
，
即 PMN 为等腰直角三角形． （3）把 ADE 绕点 A 旋转的如图的位置，