第三章行列式及其应用.ppt

对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32. 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
第三章 行列式及其应用
第一节 行列式的定义 第二节 行列式的性质与计算 第三节 行列式的应用
第一节 行列式的定义
一、行列式的定义方法1（递归法） 二、行列式的定义方法2(直接法） 三、依行列式的定义计算行列式
第一节 行列式的定义
一、行列式的定义方法1（递归法）：
n阶行列式是由一个n阶矩阵的元素按照某种 规律计算出来的一个数，记为
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的;
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
5、 a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 1t .
1 2 -4 例 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.
n阶行列式的代数余子式
n阶矩阵所确定的行列式定义依赖n-1阶行列式 来定义：
a11 a12
a1n
记作 D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
n 阶行列式的等价定义如下
a11 a12
a1n
Dn a21 a22
a2n
an1 an2
ann
1 a a t p1p2 pn 1 p1 2 p2
anpn
p1 p2 pn
其中 p1 p2 pn 为自然数 1，2， , n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
n行列式的递归定义：
定义二阶行列式
D2
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21，
则n阶行列式
n
n
n
Dn a1 j (1)1 j M1 j a1 j A1 j (或 ai1Ai1)
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij，叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
a22
例
3wenku.baidu.comD
2 31（- - 2） 2 7
21
三阶行列式的定义
由九个数排成三行三列的三阶矩阵所确定的行 列式定义为：
a11 a12 a13 D3 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
j1
j1
i1
行列式展开定理
定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1, 2, , n
二、行列式的定义方法2：
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
32514 01 031 于是排列32514的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
计算排列逆序数的方法
方法1
分别计算出排在1,2,,n 1,n前面比它大的数 码之和即分别算出 1,2,,n 1,n 这 n个元素
的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
由 n2 个数组成的 n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
的代数和
(1)t a1p1 a2 p2 anpn .
it is 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0 01
32514
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
三、依行列式的定义计算行列式
例1 计算对角行列式 解 分析
a11 a12
a1n
Dn a21 a22
a2n
an1 an2
ann
一阶行列式的定义
D1 a11 a
二阶行列式的定义
由四个数排成二行二列的二阶矩阵所确定的行 列式定义为：
D2
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
2阶行列式的计算规则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22 a12a21.
元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. P3 3 2 1 6.
同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 21 n!.
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数