第1讲n阶行列式的定义与性质
n阶行列式的定义及性质
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
n阶行列式的定义及性质
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
第一节 n阶行列式的定义
一、内容提要本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计算方法．此外还介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克莱姆法则．二、学习要求正确理解n阶行列式的定义；熟悉行列式的性质，会利用行列式的性质化简行列式；熟悉行列式按行（列）展开的方法；熟练掌握行列式的计算方法；掌握克莱姆法则．第一节 n阶行列式的定义一、二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组(1)用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22– a12a21≠0 时，有(2)这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成如果记则当D≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成(3)这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1用二阶行列式解线性方程组解：这时，因此，方程组的解是对于三元一次线性方程组(4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号(5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例2令当D≠0时，(4)的解可简单地表示成(6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3解线性方程组解：所以，例4已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)．解，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识。
线性代数-N阶行列式概要
南京工业大学理学院 信息与计算科学系 程 浩
介 绍
线性代数是研究在日常生活里、在工程技术
的许多领域以及在各项科学研究中经常出现的
代数问题的一门学科。 这些代数问题包括：矩阵的运算，线性方 程组的求解理论与方法，化二次型为标准型，
线性空间与线性变换等。
1 什么全国大学生数学建模竞赛？ 2 数学建模竞赛在我校的情况？ 3 该怎样参加数学建模竞赛？
－ ＋ ＋ a31 a32 a33
1 2
＋
－ ＋
A12 = (1)
a21 a23 a31 a33 a21 a22 a31 a32
(a21a33 a23a31 )
和
A13 = (1)
1 3
a21a32 a22a31
而且
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a31 a32 a33
例1． 解线性方程组
x1 2 x2 0 3 x1 4 x2 1 解 由于方程组的系数行列式 1 2 D 4 6 2 0 3 4 又 1 0 0 2 D2 1 D1 2 3 1 1 4
所以方程组的解为
D1 x1 1 D
D2 1 x2 D 2
1 3
解
8
0 1 1 1
例2．计算行列式 D 1 2 3
D =1 2 1 1 (1) 1 0 3 3
1 2 3 1 3 1 0 (1) 1
=8
但应当指出的是：主、副对角线法则不易于向
一般 n 阶行列式推广。
事实上，三阶行列式的计算，除了主、副对 角线法则
n阶行列式的定义
教材：《线性代数》
教师： 林军
同济大学
课程要求：(1) 课前预习 (2) 认真听讲 (3) 课后复习,认真 完成作业
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在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
2
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我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
3
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第一章 行列式
•
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换 （选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
解 ∵k1=3 k2=3 k3=0 k4=1 k5=0
t(35412) = k1 + k2 + ---+ k5=3+3+0+1+0 =7
例3、求n元排列123---n和n(n-1)---321的逆序数，
解 n元排列123---n是标准排列
t(123---n)=0
n元排列n(n-1)---321中，
4
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
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第一节 n阶行列式 一、n元排列的定义与逆序：
线性代数课件1-1n阶行列式的定义
行列式在数学和工程领域的应用
在数学中，行列式是矩阵和 线性方程组的重要工具。
在物理学中，行列式用于描 述物体的形状、结构等。
在计算机科学中，行列式用于 计算矩阵的逆、转置等操作。
在工程学中，行列式用于解决各 种实际问题，如结构分析、控制 系统等。
02
n阶行列式的定义
二阶行列式
01
二阶行列式表示为2x2矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})
02
其中，(a_{11})、(a_{12})、(a_{21})和(a_{22})是矩阵中的元 素。
03
二阶行列式可用于计算向量叉积和点积。
三阶行列式
三阶行列式表示为3x3矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33})
行列式的代数余子式
代数余子式定义
对于一个n阶行列式，去掉某行和 某列后得到的(n-1)阶行列式称为 原行列式的代数余子式。
代数余子式的性质
代数余子式的符号由其所在的行 和列的元素符号决定，具体为 “+”或“-”。
代数余子式的计算
方法
通过展开法则计算代数余子式， 即行列式等于其所有代数余子式 的乘积之和。
解的求解
行列式也可以用来求解线性方程组。通过高斯消元法或LU分解等算法，我们可以利用行列式来求解线 性方程组。
在矩阵运算中的应用
矩阵的逆
行列式与矩阵的逆有密切关系。如果一个矩阵的行列式不为零，那么这个矩阵就有逆矩 阵。
第一章 第一节 n阶行列式的定义和性质
第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。
特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n 阶行列式定义和性质1.二阶行列式定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211a a a a a a a a -=称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。
2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。
应用：解线性方程例1：二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a且021122211≠-a a a a . 解：2112221122211211a a a a a a a a D -==，2122212221211b a a b a b a b D -==，2112112211112a b b a b a b a D -==得 .,2211DD x DD x ==例2：解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解1x D D 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=2.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 称为三阶行列式。
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
线性代数课程课件-第一节n阶行列式的定义
行列式性质3
如果行列式的某行(列）的各元 素是两个元素之和，那么这个 行列式等于两个行列式的和。
行列式转置性质
行列式D的转置行列式DT等于 D，即DT=D。
行列式性质2
把行列式中某一行（列）的所 有元素都乘以一个数K，等于 用数K乘以行列式。
行列式性质4
如果行列式中有两行（列）相 同，那么行列式为零。
n阶行列式的运算规则
01
行列式按行（列）展开法则
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
02
克拉默法则
如果线性方程组系数行列式D≠0，则该线性方程组有唯一解，且解向量
可由系数行列式的各列元素唯一确定。
03
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素
性质
范德蒙德行列式的值等于$prod_{1 leq j < i leq n} (x_i - x_j)$，即所有不同两行对应元素之差的乘积。若$x_i = x_j$（$i neq j$），则范德蒙德行列式的值为零。
04 n阶行列式的性质与运算
n阶行列式的性质
行列式性质1
互换行列式的两行（列），行 列式变号。
主对角线
从左上角到右下角的连线 称为主对角线，主对角线 上的元素称为主对角元素。
n阶行列式的性质
01
02
03
04
行列式转置
行列式行与列互换，其值不变 。
行列式性质
对换行列式的两行（列），行 列式变号。
行列式的数乘性质
某一行（列）的所有元素的公 因子可以提到行列式符号的外
面。
行列式的加法性质
若行列式中有两行（列）完全 相同，则此行列式为零。
1-3 n阶行列式的定义
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
行列式(第一章)
ann
0
D3
an1
a2n1
ann1
a1n
a2n
(n
(1)
n1
2 1)
a1n
a2n1 an1
n ( n 1)
ann (1) 2 a1n a2n1 an1
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a13a21a32 a12a23a31
a31 a32 a33
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
考察： a13 a21 a32 a21 a13 a32
行排列 1 2 3
( = 0)
列排列 3 1 2
( = 2)
213
( =1)
132
( =1)
定理2 n阶行列式的定义也可写成
a a a D
(i1 i2 in ) ( j1 j2 jn )
an1 an2 ann an1 an2 ann
证明：
D
(1) ( j1
j2
jn
a) 1 j1
(a
i
ji
ai
ji
)
anjn
(1) ( j1
j2
a a a jn ) 1 j1
i ji
njn
+
(1) ( j1
j2
a jn ) 1 j1
ai
a ji
njn
D1 D2
性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到
另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。
即：
a11 a12 a1n ai1 ai2 ain a j1 a j2 a jn an1 an2 ann
a11
线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
第1章 行列式
2 4 4 1
0 1 2 1
第1行化为只有一个非0元 将第3列乘 1加到第1列 再将第3列乘2加到第2列
2 9 4 D 3 15 4 4 0 1 2 9 2(1)13 3 15 4 0
1 2 1 1 2 1
对第1行展开
2 0
9 0
1 1
2 5 15 2
对第3行展开
2(1)
ai1 a j1
a j 2 a jn ai1
将左边第j行加到第i行；再将第i 行乘(1)加到第j行。于是
左边 a j1
a j2
a jn
ai1 a j1 ai 2 a j 2 ain a jn
元素aij的余 子式
M ij 是划去D的第i行第j列后的n1阶行列式;
元素aij的代数余子式
Aij (1)i j M ij
定义
D a11 A11 a12 A12 a1n A1n
上式也称为行列式按第一行展开。
1
练习：计算行列式 D 4
2 0
3 5
0 1 2
例1
k 1
a jk Aik a j1 Ai1 a j 2 Ai 2 a jn Ain 0 , j i
n k 1
n
证明 D aik Aik 把行列式D的第 i行换成第 j行
a11
a12 a1n
k 1
a jk Aik
n
a j1 a j 2 a jn
上海海事大学基础部
5
设三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 31 2 33 3 3 31 1
第一讲行列与矩阵
第一讲 行列式与矩阵一、内容提要（一）n 阶行列式的定义∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21212211)(212222111211)1(τ（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即nm n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21221111211+++=， 则nnn n in i n nnn n in i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21121112112112111211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。
（三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M（2）代数余子式的定义ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=)1(, 2．n 阶行列式D 依行（列）展开 （1）按行展开公式∑=⎩⎨⎧≠==nj kj ij k i ki DA a 10 （2）按列展开公式∑=⎩⎨⎧≠==ni is ij sj sj DA a 10 （四）范德蒙行列式∏≤<≤----==nj i i jn nn n nnx xx x x x x x x x x D 1112112222121)(111ΛΛΛΛΛΛΛ（五）矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(2．特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
1-1-4 n阶行列式的定义
第一章 行列式行列式是由研究线性方程组而产生的，在科学技术的许多领域里都要用到它，特别是在线性代数中更是不可缺少的工具。
为了研究n 元线性方程组，需要讨论n 阶行列式的问题。
本章我们将在二、三阶行列式的基础上给出n 阶行列式的定义、行列式的性质、行列式的展开与计算以及Cramer 法则等内容。
§1—§4 n 阶行列式的定义本节首先给大家介绍全排列、逆序数以及二、三阶行列式等知识，然后引出n 阶行列式的概念。
一、全排列及其逆序数在初等数学中讨论过全排列，即由n 个不同元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（简称排列）。
特别地，从1到n 这n 个自然数，规定由小到大的自然排列为标准次序。
于是，在这n 个自然数的任一排列np p p21中，当其中某两个元素的先后次序与排列的标准次序不同时，就说有一个逆序。
一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数。
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法。
不妨设从1到n 这n 个自然数的一个排列为np p p21，考虑元素i p （ni,,2,1 =），如果比i p 大且排在i p 前面的元素有i t 个，就说元素i p 的逆序数为i t ，那么所有元素的逆序数的总和∑==+++=ni in t t t t t 121即为这个排列np p p21的逆序数。
例1 求排列54312的逆序数。
解 在排列54312中，由于 5排在首位，逆序数为0；4的前面比4大的数有1个，其逆序数为1； 3的前面比3大的数有2个，其逆序数为2； 1的前面比1大的数有3个，其逆序数为3； 2的前面比2大的数有3个，其逆序数为3。
故排列54312的逆序数为933210=++++=t例2 求排列)2(42)12(31n n-的逆序数。
解 该排列的逆序数为2)1(01)2()1(-=+++-+-=n n n n t二、对换下面，我们讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系。
第1讲n阶行列式的定义与性质PPT幻灯片课件
新的列下标排列的逆序数为
，
1
则
1 ( p1... pj ... pi ... pn )
由于(2)与(1)的值是相等的，且新的列下标排
列的逆序数1与原列下标排列的逆序数 的奇
偶性不同，并注意到 r 为奇数，则有： (1)1 (1) (1) (1)r1 (1) a1 p1 ...aipi ...a jpj ...anpn (1)1r a1 p1 ...a jpj ...aipi ...anpn
D
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
(1) a1 p1a2 p2 ...anpn
p1 p2 ... pn
an1 an2 ... ann
简记为det(aij )。数aij称为行列式det(aij )的元素.
其中 p1 p2 … pn是1～ n 的任一排列， 是排列 p1 p2 … pn的逆序数，即 = ( p1 p2 … pn )。
的项，其中p1p2…pn为自然数1、2、…、n的一个
排列，τ为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有 n! 个，因而形如(1)式的项共有 n! 项。 所有这 n! 项的代数和
(1) a1 p1a2 p2 ...anpn
p1 p2 ... pn
称为 n 阶行列式，记作
a11 a12 ... a1n
的排列为 q1q2 ...qn，其逆序数为 s ，则 与s 的
奇偶性相同，且有
(1) a1 p1a2 p2 ...aipi ...anpn (1)s aq1 a1 q2 2 ...aqj j ...aqnn
又若 pi j，则q j i(即aipi aij aqj j )，由此可见
排列 q1q2 ...qn 完全是由排列 p1 p2 ... pn所唯一确定。
线性代数-行列式(完整版).
逆序数的计算方法
不 妨 设 元 素 为1至n的 自 然 数 ，并 规 定 从 小 到 大
为标准次序。设i1i2 in为一个n级排列。 考虑元素 i j (i 1,2 n), 如果比 i j大，且排在
i
前面的元素有
j
t
j个，那么ji的逆序是
t
j
个，全
体
元
素
逆序之和就是 i1i2 in的逆序数，即
411
a2 1 0 a 1 或 a 1
a10
1 a 0 0 a 1 或 a 1
411
练习： 计算下列行列式
x1 1 x2 x2 x 1
1 0 1 35 0
04 1
解 x 1 1 ( x 1) ( x2 x 1) 1 x2 x2 x2 x 1 x3 1 x2
1 0 1
3 5 0 1511 34 7
04 1
§1.2 n阶行列式
1.排列及其逆序数 (1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
称为一个n级排列（. 总数为 n!个） 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：
123 132 213 231 312 321
2
返 回
第1.1节 n阶行列式的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
3
记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22
3 4 2
解:由主对角线法，有
清华大学 线性代数第1讲
a11 ai1 D a j1 an1 a12 a1n ai 2 ain 0 a j 2 a jn an 2 ann
27 2013-6-27
性质5 行列式中某各元素乘常数k加到另 一行对应元素上, 行列式的值不变(简称: 对行列式做倍加行变换, 其值不变), 即
a23 a21 a23 a21 a22 - a12 a13 （1.7） a33 a31 a33 a31 a32
余子式 代数余子式
13
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a11M 11 - a12 M 12 a13 M 13 a11 A11 a12 A12 a13 A13
11 1 2
A11 (-1) M11 , A12 (-1) M12 , A13 (-1) M13
线性代数第1讲
行列式
1 2013-6-27
介绍
线性代数的重要目标是解线性方程
组 而解线性方程组经常要用到行列式 的概念
1.1 n阶行列式的定义和性质
2 2013-6-27
对于一个二元一次方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
(1.1)
(1.2)式可以表示为
b1 a12 a11 b1 b2 a22 a21 b2 x1 , x2 a11 a12 a11 a12 a21 a22 a21 a22
第一章 行列式
第一章 行列式
22
例11 设曲线
y a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3通过四点
求系数 a0 , a1 , a2 , a3
(1,3),(2,4),(3,3),(4, 3),
5 July 2013
河北科大理学院
第一章 行列式
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推论 对于齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0, a x a x a x 0, 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0. 若系数行列式 D 0, 则该方程组只有 零解 . trivial /zero solution
注 齐次线性方程组有非零解的必要条件是 D
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第一章 行列式
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例12 问 取何值时, 齐次线性方程组
2y 2 z 0, (5 ) x 2 x (6 ) y 0, 2x (4 ) z 0
有非零解？
线性代数
Linear Algebra
Lecturer: 朱晓霞
教材：线性代数(第五版).同济大学 应用数学系编
参考书目
[1] 居余马等. 线性代数(第二版). 北京: 清华 大学出版社, 2002 [2] 张远达. 线性代数原理. 上海: 上海教育出 版社, 1980 [3] L.W. Johnson等. 线性代数引论 /Introduction to Linear Algebra(第五版). 北京: 机械工
称为三阶行列式. determinant of order three
5 July 2013 河北科大理学院
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这就表明，对换乘积项中两元素的位置， 从而行标排列与列标排列同时做了相应的对 换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的 奇偶性并不改变。
所以经过若干次对换乘积项 (1) 中两元素 的位置，使列下标排列由 p1 p2 ... pn (逆序数为 ) 变为自然排列 (逆序数为 0 )；则行下标排列相 应地从自然排列就变为某个新的排列，设此新 的排列为 q1q2 ...qn，其逆序数为 s ，则 与s 的
4) 次下三角行列式 0 ... 0 a1,n n ( n 1) 0 ... a2,n1 a2,n ( 1) 2 a1,na2,n1 ...an ,n ... ... ... ... an ,1 ... an ,n1 an ,n
三、对换与排列奇偶性的关系
1.在排列中，将任意两个元素对调位置，其余 元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。 将相邻两元素对换，称为相邻对换。 定理1:对换一个排列中的任意两个元素， 排列改变奇偶性。 证明：该定理的证明可分为两步来证。第一 步来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情
况。
a b 设a1...al abb1...bm a1...al bab1...bm
(a1...al abb1...bm ) k
a b (a1 al bab1...bm ) k 1 当 a b (a1 al bab1...bm ) k 1 由此可见，相邻对换将改变排列的奇偶性。再 证一般情况，设：
例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
即： ( p1 p2 …pn)= 1 + 2 +…+ n 就是这个排列的逆序数。 例1 求排列13…(2n 1)24…(2n)的逆序数。
解：在该排列中，1 ～(2n1)中每个奇数的逆
序数全为0，2的逆序数为(n 1)，4的逆序数 为(n 2),…，(2n 2)的逆境序数为1，2n的 逆序数为0，于是该排列的逆序数为
a1...al bb1...bm
a b a1...al ab1...bm
把上述对换分解成为： (1)a1...al bb1...bm (2)a1...al bab1...bm (3)a1...al ab1...bm 把 (1)作n+1次相邻对换得(2)，把(2)再作 n 次相
例3 设排列 p1 p2 p3…pn的逆序数为k，
求 pn…p3 p2 p1的逆序数
（ p1 p2 p3…pn是1～ n的某一排列） 解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的 逆序数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数 的组合数即 ：
n( n 1) ( p1 p2 ... pn ) ( pn pn1 ... p1 ) C 2 n( n 1) ( pn pn1 ... p1 ) k 2
同时，就称这两个元素构成了一个逆序。
3.逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为 这个排列的逆序数。 4.奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为 奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 5.计算排列逆序数的方法： 不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数， 并规定由小到大为标准次序。设 p1 p2 …pn为 这 n 个自然数的一个排列，考虑元素pi (i=1,2,…n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元 素有τi个，就说 pi 这个元素的逆序数是 i，
邻对换可得(3)，即共作了 2n+1 次相邻对换由(1)
而得到(3)。由前可知，作一次相邻对换，排列
的奇偶性改变一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性
就改变了2n+1次，即由原来的奇排列就变成了 偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。 ▌
定理2：n 元排列共有 n! 个，其中奇、偶排列的
个数相等，各有 n!/2 个。
§1.1 二阶、三阶行列式， 全排列及其逆序数 §1.2 n 阶行列式的定义 §1.3 行列式的性质（1）
第一节
二、三阶行列式 全排列及其逆序数
一、二阶行列式与三阶行列式
a11 a21 a11 a21 a31 a12 a22 a12 a22 a32 a11a22 a12 a21 a13 a11a22a33 a12a23a31 a13 a21a32 a23 a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32 a33
0 ( 1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
2.三角行列式
1) 下三角行列式 a11 a21 ... a n1
2) 上三角行列式 a11 0 ... 0
0 a22 ... an 2
a12 a22 ... 0
... ... ... ...
... ... ... ...
0 0 a11a22 ...ann ... ann
1 3 ... (2k 1) k 2
2 2
当k为偶数时,k 为偶数,当k为奇数时,k 一、定义
设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ... a1n a2 n ... ann
则 则
r (1...i ... j ...n)
新的列下标排列的逆序数为 1，
1 ( p1 ... p j ... pi ... pn )
由于(2)与(1)的值是相等的，且新的列下标排 列的逆序数 1与原列下标排列的逆序数 的奇 偶性不同，并注意到 r 为奇数，则有： ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)r 1 ( 1) a1 p1 ...aipi ...a jp j ...anpn ( 1) 1 r a1 p1 ...a jp j ...aipi ...anpn
a1n a2 n a11a22 ...ann ... ann
3) 次上三角行列式 a1,1 ... a1,n1 a1,n n ( n 1) a2,1 ... a2,n1 0 ( 1) 2 a1,na2,n1 ...an ,n ... ... ... ... an ,1 0 0 0
定理4
a11 a21 D ... a n1
a12 a22 ... an 2
... ... ... ...
a1n a2 n ( 1) aq1 1aq2 2 ...aqnn ... q1q2 ...qn ann ( 1) 1 2 al1s1 al2 s2 ...aln sn
定理3：任意一个 n 元排列都可以经过一些对 换变成自然排列，并且所作对换的个数与这个
排列有相同的奇偶性。
四、行列式的等价定义
a11 a21 D ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ...
a1n a2 n ... ann
(q1q2 L qn )
教学目的: 《线性代数》是工科数学教学四门主要课
程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位， 在其他课程、科学研究和工程技术中有广泛的应用。因 此，工科学生必须具备有关线性代数的基础理论知识以 及解决实际问题的能力， 从而为学习后续课程和进一步 扩大数学知识打下必要的数学基础。
教学内容与时间分配:
1) 主对角行列式 1 0 ... 0 2 ... ... ... ... 0 0 ...
2) 次对角行列式 0 ... 0 0 ... 2 ... ... ... n ... 0
n
1
0 0 12 ...n ...
1 2 ... ( n 2) ( n 1) n (n 1) 2
2 n
例4 求排列( 2k )1(2k 1)2(2k 2)...( k 1)k 的逆序数, 并讨论奇偶性。
解：2k 的逆序数为 2k 1 ； 的逆序数为 0 1 (2k 1) 的逆序数为 2k 3 ； 的逆序数为0 2 (2k 2) 的逆序数为 2k 5 ； 的逆序数为0 3 ............ ( k 1) 的逆序数为 1 ；k的逆序数为0
p1 p2 ... pn
( 1) a1 p1 a2 p2 ...anpn
称为 n 阶行列式，记作 a11 a21 D ... a n1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ... a1n a2 n ... ann
p1 p2 ... pn
( 1) a1 p1 a2 p2 ...anpn
n( n 1) ( n 1) ( n 2) ... 1 0 2
例2 在1~9构成的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列 解：由题可知， j、k 的取值范围为{3，8} 当 j = 3、k = 8时，经计算可知，排列 127435689的逆序数为5，即为奇排列 当 j= 8、k = 3时，经计算可知，排列 127485639的逆序数为10，即为偶排列 ∴ j = 8，k = 3
q1q2 ...qn
(1) aq11aqq2 2 ...aqnn
(1) 1 2 al1s1 al2 s2 ...aln sn
1 (l1l2 ln )
2 (s1 s2 L sn )
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项 ( 1) a1 p1 ...aipi ...a jp j ...anpn (1) 其中 1...i ... j ...n为自然排列， 为列下标排 列 p1 ... pi ... p j ... pn 的逆序数。对换 (1) 中元 素a ip i 与 a jp j 成： ( 1) a1 p1 ...a jp j ...aipi ...anpn 设新的行下标排列的逆序数为 r (2)
简记为det(aij )。数aij 称为行列式 det(aij )的元素.