逆序数n阶行列式的定义

分析三阶行列式的结构： 1）项数：共 6＝3！项，每一项都是位于不同行不同列的 三个元素的乘积，且每一项可以表示为
行标：第一个下标123是1，2，3的标准排列；
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
列标：第二个下标 j1 j2 j3是1，2，3的某个排列， 这样的排列共有6 3!种，对应6 3!项。
njn 。
注：（1）一个行列式有一行（或一列）的元素都为 0，则行
列式为 0；
（2）一阶行列式| a | a ，n 阶行列式有时简记为| aij | 。
例 5、考虑下列问题： 1）．有一个五阶行列式， a13a21a32a45a54 为其中一项，试确 定其符号； 2）．设 a1i a23a34a4 j a51 为五阶行列式的一项，取“－”号，
如1234，2341为4级排列，25413为5级排列。
n 说明：1） 个不同元素所有排列的种数有 n! 种；
2）排列1234 n 称为标准排列。
二、 逆序 逆序数
逆序：在n 级排列中，若一个较大的数排在一个
较小的数前面，称为一个逆序。
逆序数：n 级排列中逆序的总数称为逆序数，记为
(i1,i2 ,..., in ) 。
2）符号：3 项正 3 项负：
即
(1)
N
(
j1
j2
j3
)
带正号的3项列标排列的逆序数是 带负号的3项列标排列的逆序数是
偶数 奇数
，
于是
a11 a12 a13
D3 a21 a22 a23
(1) a a a N ( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
a31 a32 a33
n 阶行列式表示这样项的代数和：
1）、项数：n 个数字所有排列共n! 个，共有n! 项，每一
项是位于不同行不同列 n 个元素的乘积，且每一项可表示 为
a1 j1 a2 j2 ...anjn
行标：第一个下标123 n是1，2， ，n的标准排列；

列标：第二个下标
j1
j2

jn是123， ，n的某个排
特例： 0
an1
0 0 0 ... an1,2 0
... 0 ... 0 ... a3,n2 ... ... 00 00
0 a2,n1
0 ... ... 0
a1n 0
0
n ( n 1)
(1) ...
2
a1n a2,n1...an1,2 an1
0
0
0001
0020 D 例 8、计算四阶行列式 0 3 0 0
三、n阶行列式
Def ： 用 n2 个 元 素 aij ， (i, j 1,2,...,n) ， 组 成 记 号
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... 称为n 阶行列式，记Dn ，（其中横 an1 an2 ... ann
排称为行，纵排称为列）。
列，这样的排列有n!种，对应n!项.
2）、符号：n 项正 n 项负：
即
(1)
N(
j1 j2
jn )
带正号的n项列标排列的逆序数是偶数 Leabharlann Baidu带负号的n项列标排列的逆序数是奇数
行列式的一般项为：
(1) N ( j1 j2 ... jn ) a1 j1 a2 j2 ...anjn ；
于是
例 1、 (2413) = ； (24153) = ； (12345) = ； (36715284) =
奇（偶）排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆 序数为偶数的排列称为偶排列。
例2、求n级排列123…n及n级n(n-1)…21排列的逆序数， 并判别是奇排列，还是偶排列？
三、 对换
在一个n 级排列i1, i2 ,..., in 中，若将其中两个数码对调，
4000
Th4:n 阶行列式 D | aij | 的一般项为
(1) a a ...a ，其中 ， 均为 级排 N (i1i2 ...in )N ( j1 j2... jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
i1 , i2 ,...,in j1, j2 ,..., jn
n
列。
思考题：若 (1)N (i432 k )N (52 j14) ai5a42a3 j a21ak 4 是五阶行列式 D | aij |
Chap２行列式 §1.排列及逆序数 一、 排列
引例：用 1，2，3 三个数字可以组成多少个没有重复数字的三 位数？
经 过 分 析 可 以 知 道 有 个 没 有 重 复 的 三 位 数 ， 即 ： 123 ， 132，231，213，321，312。
th1：由n个不同数码1,2,3,…,n组成的有序数组， 称为一个n级排列。
Dn ( 1)N ( j1 j2... jn ) a1 j1a2 j2 ...anjn ，即
a11 a12 ... a1n
a21 ... an1
a22 ... an2
... ... ...
(1) a a ...a a2n
...
ann
j1... jn取遍n级排列
N ( j1 j2 ... jn ) 1 j1 2 j2
同理上三角行列式：
a11 a12 a13 ... ... a1n
0 a22 a23 ... ... a2n
D 0 0 a33 ... ... a3n a11a22 ...ann
... ... ... ... ... ...
，aii 0 ，i 1,2,...,n 。
0 0 0 ... 0 ann
记号：
二 、三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a31 a31 a32 a33
a11a23a32 a12 a21a33 a13a22 a31
＝ (1) N ( j1 j2 j3) a a 1 j1 2 j2 a3 j3 称为三阶行列式，记D3
a12 a13
... a1,n1 a1n
a22 a23 ... a2,n1 0
a32 ...
... a3,n2 ... ...
0 ...
0
n ( n 1)
(1) ...
2
a1n a2,n1...an1,2 an1
a a n1,1
n 1, 2
0
0
an1
0
0
0
... 0 00
0 0 0 D ...
的一项，则 i, j, k 应何值？此时，该项的符号是什么？
Th3： n 个数码（n>1）共有 n! 个 n 级排列，其中奇偶排
列各占一半。 如：123，132，231，213，312，321
§2、n 阶行列式定义 一 、二阶行列式
a11
记号 a21
a12 a22
a11a22 a12 a21 表示代数和，称为二阶行列式
＝ (1) N ( j1 j2 ) a1 j1 a2 j2
试确定i, j 。
例 6、证明下三角行列式：
a11 0 0 0 ... 0
a21 a22 0 0 ... 0
D a31 a32 a33 0 ... 0 a11a22 ...ann
... ... ... ... ... ...
，aii 0 ， i 1,2,..., n 。
an1 an2 an3 ... ... ann
特例：对角行列式
a11 0 0 0 ... 0 a22 0 0 ... D 0 0 a33 0 ... ... ... ... ... ...
0
0
0 0
a a11a22 ...ann
， ii
0 ，i 1,2,..., n 。
0 0 0 ... 0 ann
例 7、证明反三角行列式
a11 a21 D a31 ...
其它数码不变，得到另一个排列，称为一个对换。 如： i1, i2 ,..., is ,..., it ,..., in 经对换(is ,it ) 得：i1,i2 ,...,it ,...,is ,...,in
24153 对换（4，5）得 25143；24153 对换（2，1）得 14253
Th2： 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 如：24153 对换（4，5）得 25143，从一个偶排列 变为一个奇排列。