逆序数n阶行列式的定义
线性代数第一章第二节
四、作业 P35 1(3) 2(4) 4 8(3) 12(1)(3)
思考题[*]
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
2. a14 a21a33 a44不是四阶行列式中的项 ，a12 a43a31a24是四阶 行列式中的项. a12 a43a31a24 a12 a24 a31a43
1t 2413 a12a24 a31a43a 13 a12a24 a31a43 a12a24 a31a43
t(53412) = 0+1+1+3+3=8 定理 2 n个自然数共有n!个n元排列，其中奇偶排 列各占一半。
二、n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
例 3 三阶行列式
例4 四阶行列式
1 2 3
12 3
3 4
例5 n 阶行列式
1 2
12 34
1 2
(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn
行列式的性质3克莱姆法则和行列式的逆序定义
1 3 0 6 (2) (1) 1 3 0 6
D
0 2 1 2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13 3 5 3 3 3
2 1 2 0 1 0
27,
7 2
7 7 12 7 7 2
2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6 81,
N(321)=3 N(213)=1 N(132)=1
奇排列 奇排列 奇排列
特点：(1)是3!=6项的代数和。正负项各一半。
(2)各项是不同行不同列元素乘积。
即：各项可写成 a1 aj1 2 aj2 3 j3 .（行标自然排列） 观察各项列标排列，各项符号是(1)N ( j1 j2 j3)
所以三阶行列式可定义为：
(3) a43a21a35a12a54 a12a21a35a43a54 N(21534) 3
3.用定义计算行列式
010
0
002
0
例：计算 D
000
n 1
n00
0
解：除去等于零的项外，非零项只有一项，为：
a12a23 an1,n an1 1 2 (n 1) n n!
N（23 (n 1)n1） n 1
3.化为三角行列式。
a11 a1k
0
课后思考： D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
的值与
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1
, D2
的值有什么关系？
ak1 akk
bn1 bnn
D D1 D2
分析： 只对前k行运算，不影响后n行 D1 p11 p22 pkk
3-1 n阶行列式的概念
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321
1.3n阶行列式的定义及性质
为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列 式的结构
观察与想考 三阶行列式存在什么规律? a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
❖三阶行列式的结构一： (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a a a 1p1 2 p2 3p3
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零 即
ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0 (ij)
或
a1i A1ja2i A2j ani Anj0 (ij)
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a
❖三阶行列式的结构二：
为了给出n阶行列式的第二种定义方式 我们再进一 步研究三阶行列式的结构
观察与想考 三阶行列式存在什么规律?
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则
6
AT 2
3
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
行列式定义
t [(n − 1)(n − 2 )L 21n]
= (n − 2) + (n − 3) + L + 2 + 1
= (n − 1)(n − 2 ) 2
∴ Dn = (− 1)
( n −1 )( n − 2 )
2
n!.
三、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 行列式是一种特定的算式， 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的. 要而定义的 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 、 个元素的乘积,正负号由下标排 行、不同列 的 n个元素的乘积 正负号由下标排 列的逆序数决定. 列的逆序数决定
n ( n −1 ) 2
a1n a 2,n −1 L a n1
证毕
λ1λ2 Lλn .
例7
设
a11 a12 L a1n D1 = a21 a22 L a2 n LLLLLLL an1 an 2 L ann
a11 a12b−1 L a1nb1−n 2− n a21b a22 L a2 nb D2 = LLLLLLL n−1 n− 2 an1b an 2b L ann 证明 D1 = D2 .
+ (− 1)
τ (312 )a
13 21 32
a a + (− 1)
τ (321)
a13a22 a31
= a11a22 a33 -
a11a23 a32 - a12 a21a33
+ a12 a23 a31 + a13 a21a32 - a13 a22 a31
例3 计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
证 由行列式定义有
线性代数复习提纲
一、逆序数：在一个n级排列中，如果有较大的数排在较小的数前面（<），则称与构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为它的逆序数，记为N(*奇排序：逆序数是奇数；偶排序：逆序数是偶数（一）任意一个排序经过一个对换后奇偶性改变（二）n个数码（n>1）共有n!个排列，其中奇偶排列各占一半二、n阶行列式=（按行顺序取）n级行列式的一般项：（当)为偶数时取正号，奇数取负号）D的一般项：三、转置行列式：将行列式D的行与列互换后得到的行列式，记为或（一）将行列式转置，行列式的值不变，即（二）交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即（三）如果行列式中有两行（列）对应的元素相同，此行列式的值为零四、用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k乘此行列式，即：（一）如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面（二）如果行列式有两行（列）元素成比例，则行列式的值等于零五、如果将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同，即：六、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变七、余子式：在n阶行列式D=中去掉元素所在的第i行和第j列后，余下的n-1阶行列式被称为D中元素的余子式，记为，即：代数余子式：（一）n阶行列式D=等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即：或（二）n阶行列式D=的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即：或（i≠s；j≠t）八、范德蒙行列式：九、克莱姆法则：线性方程组当其系数行列式D≠0时，有且仅有唯一解其中是将系数行列式中第j列元素对应地换为方程组的常数项后得到的行列式（一）如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它仅有零解（二）如果齐次线性方程组的系数行列式D=0，则方程组有非零解十、零矩阵：所有元素均为0的矩阵（行数与列数不都相同的两个零矩阵是不同的零矩阵）非负矩阵：所有元素均为非负数的矩阵十一、以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作k A，如果A=，那么k A=十二、负矩阵：-A=十三、矩阵运算律：（一）（二）（三）（四）（五）（六）（七）（八）十四、矩阵的乘法：如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B的乘积C中第i行第j列的元素，等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j对应元素乘积的和，并且矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数，即：（一）矩阵乘法一般不满足交换律（二）两个非零矩阵相乘，结果可能是零矩阵（三）矩阵乘法不满足消去律（四）矩阵乘法性质：1、2、3、4、十五、矩阵可交换：如果两矩阵A和B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换十六、有线性方程组，系数矩阵元未知量矩阵系数矩阵十七、转置矩阵：将m*n矩阵A的行与列互换，得到的m*n矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为或（一）（二）（三）（四）十八、n阶矩阵/n阶方阵：矩阵的m=n十九、方阵的幂：个（一）（二）（三）当AB可交换时，二十、方阵的行列式：由n阶矩阵（方阵）A的所有元素按原来次序构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记作，或（det A）（一）（二）（三）（四）二十一、特殊矩阵（一）对角矩阵：若AB为同阶对角矩阵，则kA,A+B,AB仍为同阶对角矩阵；（二）数量矩阵：数量矩阵左乘或右乘一个矩阵B，其乘积等于以数a乘矩阵B（三）单位矩阵：（四）三角形矩阵（五）对称矩阵：n阶矩阵满足1、2、数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵3、当且仅当A与B可交换时，AB是对称的二十二、分块矩阵（一），（二）二十三、逆矩阵：对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I，那么矩阵A称为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，逆矩阵是唯一的，把唯一的逆矩阵记作（一）n阶矩阵可逆的充分必要条件是A非奇异，且当A可逆时，有（二）证明A可逆或证明B是A的逆矩阵，只要验证AB=I（三）逆矩阵的性质：1、若矩阵A可逆，则也可逆，且2、若矩阵A可逆，数k≠0，则kA也可逆，且3、两个同阶可逆矩阵A,B的乘积是可逆矩阵，且4、若矩阵A可逆，则A的转置矩阵5、若矩阵A可逆，则（四）（五）若AB=C，且A为非奇异，则B= C二十四、非奇异：若n阶矩阵A的行列式，则称A为非奇异的二十五、伴随矩阵：由行列式的元素的代数余子式所构成的矩阵二十六、矩阵的初等变换：（一）1、交换矩阵的两行（列）2、以一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）3、把矩阵的某一行（列）的l倍加于另一行（列）上（二）初等矩阵：对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵（三）设，对A的行施以一次某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的m 阶初等矩阵左乘A，对A的列施以一次某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的n阶初等矩阵右乘A（四）任意一个矩阵经过若干次初等变换后均可以化为下面形式的矩阵：矩阵D称为矩阵A的等价标准形（五）如果矩阵A经过有限次初等变换可化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价（六）如果A为n阶可逆矩阵，则（七）n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积二十七、k阶子式：从A中任取k行k列，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式二十八、矩阵的秩：如果A中不为零的子式的最高阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作r(A)=r（一）满秩矩阵：r(A)=n（二）矩阵经初等变换后，其秩不变（三）二十九、增广矩阵：系数矩阵A和常数项矩阵构成的矩阵线性方程组有解的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是→当m<n，齐次线性方程组有非零解三十、向量（一）（二）（三）（四）（五）（六）k(（七）（八）三十一、向量组的线性组合线性方程组可以表示为，即常数列向量与系数列向量的线性关系，被称为方程组的向量表示，其中，于是，线性方程组是否有解，就相当于是否成立（一）如果成立，则称向量是向量组的线性组合，或称向量可以由向量组线性表示（二）向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：以为列向量的矩阵与以为列向量的矩阵有相同的秩（三）如果组A：中每一向量都可由组B：线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示1、向量组A可由向量组B线性表示，向量组B又可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示2、如果向量组A和向量组B可以相互线性表示，则称向量组A和向量组B等价（四）如果线性相关，而线性无关，则向量可由向量组线性表示且表示法唯一三十二、线性相关性：齐次线性方程组可以写成零向量与系数列向量的如下线性关系式：，被称为齐次线性方程组的向量形式。
§12n阶行列式
n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列 证： 有q个。 将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部 变为偶排列，于是有 排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有 。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换 （ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原 排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排 列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
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二 、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
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举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排 列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.
1.2-2逆序数n阶行列式的定义
an1
0 0 0 ... an1,2 0
... 0 ... 0 ... a3,n2 ... ... 00 00
0 a2,n1
0 ... ... 0
a1n 0
0
n ( n 1)
(1) ...
2
a1n a2,n1...an1,2 an1
0
0
0001
0020 D 例 8、计算四阶行列式 0 3 0 0
的一项，则 i, j, k 应何值？此时，该项的符号是什么？
其它数码不变，得到另一个排列，称为一个对换。 如： i1, i2 ,..., is ,..., it ,..., in 经对换(is ,it ) 得：i1,i2 ,...,it ,...,is ,...,in
24153 对换（4，5）得 25143；24153 对换（2，1）得 14253
Th2： 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 如：24153 对换（4，5）得 25143，从一个偶排列 变为一个奇排列。
4000
Th4:n 阶行列式 D | aij | 的一般项为
(1) a a ...a ，其中 ， 均为 级排 N (i1i2 ...in )N ( j1 j2... jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
i1 , i2 ,...,in j1, j2 ,..., jn
n
列。
思考题：若 (1)N (i432 k )N (52 j14) ai5a42a3 j a21ak 4 是五阶行列式 D | aij |
同理上三角行列式：
a11 a12 a13 ... ... a1n
0 a22 a23 ... ... a2n
D 0 0 a33 ... ... a3n a11a22 ...ann
线代1.2
列标排列的逆序数为
负号,
N 132 0 0 1 1, 奇排列
j1 j2 j3
( 1) N ( j1 j2 j3 ) a1 j1 a2 j2 a3 j3
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三 n 阶行列式的定义
定义4
N (341562) 0 0 2 0 0 4 6
列标排列234165的逆序数为
N (234165) 0 0 0 3 0 1 4
S N (341562) N (234165) 6 4 10 所以 a 23 a 31a42 a56 a14 a65 前边应带正号.
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同理可得下三角行列式
a11 a 21 a n1
0 a 22 an 2
1
0 0 0 0 a n 3 a nn
2
a11a22 ann .
特别地，有 对角行列式
12 n ;
n
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四、对换
定义5 在排列中，将任意两个元素对调，其余 的元素不动，这种作出新排列的手续叫 做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
说明
j1 j2 jn N j1 j2 jn
1
a1 j1 a2 j2 anjn
a1 j1 a2 j2 anjn 的符号为 1 N ( j j j ) . 5、
1 2 n
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a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
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定理3 n阶行列式也可定义为
线性代数1-2
所以
Dn 1
n1 n 2
2
n!.
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1
1 6 3 5 2 4 8 7
N 0 31 21 01 0 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数.
N 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
N 32541 0 1 0 3 1 5.
第二节 n 阶行列式
一、排列与逆序
二、n 阶行列式的定义 三、对换
一、排列与逆序
定义1 由自然数 1,2,, n 组成的不重复的每一种有 确定次序的排列, 称为一个 n 级排列（或排列）. 例: 1234和 4213 都是4级排列, 54123和 35142 都是5级排列. 注: n 级排列的总的个数:
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
二、n 阶行列式的定义
观察三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
解
Dn 1 a1,n1a2 ,n2 an1,1ann
逆序数n阶行列式的定义
1 2 n
列。 思考题： 思考题：若 (−1)
N ( i 432 k )+ N ( 52 j14 )
ai 5 a42 a3 j a21ak 4 是五阶行列式 D =| aij |
的一项， 应何值？此时，该项的符号是什么？ 的一项，则 i, j , k 应何值？此时，该项的符号是什么？
Байду номын сангаас
0 0 0 D= ... 0 a n1
0 0 0 ... a n −1, 2 0
... ...
0 0
0 a 2,n −1 0 ... ... 0
a1n 0
n ( n −1) 0 = (−1) 2 a1n a 2,n −1 ...a n −1, 2 a n1 ...
特例： 特例：
... a3,n −2 ... ... 0 0 0 0
带正号的3项列标排列的逆序数是偶数 带负号的3项列标排列的逆序数是奇数 ，
a11 a12 a 22 a32 a 23 = ∑ (−1) a33 a13
N ( j1 j2 j3 )
于是
D3 = a 21 a31
a1 j1 a 2 j2 a3 j3
三、n阶行列式
2 Def ： 用 n 个 元 素 aij ，
线性代数
ai1 j1 ai2 j2 L ain jn
例3
若 ( −1)
N ( i 432 k ) + N ( 52 j14 )
ai 5 a42 a3 j a21ak 4是五阶
行列式 aij 的一项，则i,j,k应为何值？ 此时该项的符号是什么？
练习： 练习： 1. 在六阶行列式中，下列各元素连乘积前面应冠以 在六阶行列式中， 什么符号 (1) a23 a31a42 a56 a14 a65 (2) a33 a42 a14 a51a66 a25 2. 在四阶行列式中，含有因子a11a23的项为 ———— 在四阶行列式中，
(1) 36715284
(2)n(n-1)…21 …
定义 3 在一个排列 i1 Lis Lit Lin 它的两个数码
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中，如果仅将
is 和 it
对调，其他数码不变，得到另 对调，其他数码不变，
一个排列 i1 Lit Lis Lin ，这样的变换称为一个 对换，记为对换 (is , it ) 对换， 施以对换(1,3)后得到排列 后得到排列231 如，对排列213施以对换 对排列 施以对换 后得到排列 施以对换(3,4)后得到排列 后得到排列2413 如，对排列2314施以对换 对排列 施以对换 后得到排列 定理1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 定理 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 定理2 个数码 个数码(n>1)共有 个n级排列，其中奇偶排列 共有n!个 级排列 级排列， 定理 n个数码 共有 各占一半。 各占一半。
a n 2 L a nn
2）上三角行列式 ）
a11
a12 L a1n a 22 L a 2 n = a11a 22 L a nn M M M 0 L a nn
n阶行列式的计算方法总结及例题
n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。
本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。
二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。
一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。
当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。
在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。
三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。
我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。
根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。
将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。
2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。
当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。
通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。
3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。
根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。
四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。
第一讲：排列逆序数与行列式定义质
主讲人：同济大学靳全勤一、知识要点2、设为一个阶排列，若，则称构成排列的一个“逆序对”，一个排列中所有“逆序对”的个数称为排列的逆序数.n ()k l i i k l ><(,)k l i i 1k l n i i i i 1、把正整数按一定次序排成一列，称为一个阶排列，由于一个排列中的元素不重不漏，阶排列共有个.1,2,,n n n !n 3、逆序数的计算：记为排列中为位于第个位置元素后面，但比小的元素的个数，则排列的逆序数()k i τ1k n i i i k k i k i 112()()()()k n n i i i i i i ττττ=+++5、将排列中第位置元素对调，得到一个新的排列，称为排列的一个对换. 对换改变排列的奇偶性.,k l 1l k n i i i i ,k l i i 1k l n i i i i 4、若一个排列的逆序数为偶（奇）数，则称该排列为偶（奇）排列；在个阶排列中，奇、偶排列各占一半.n !n 6、行列式定义：由个元素排成的正方形数表所确定的数，称为阶行列式，规则如下：111212122212n n n n nna a a a a a a a a n 2n 111212122212n n n n nna a a a a a a a a1212121112121222()1212(1)n nn nn n i i i i i ni i i i P n n nna a a a a a a a a a a a τ∈-=∑注1: 对所有阶排列求和，展开式共有项；n !n 注2: 每一项都是取自不同行不同列的个元素之积；n 注3: 当行指标排成自然顺序时，项的符号由列指标排列的逆序数确定；12n 1212ni ini a a a ((1)i ii τ-12()n ii i τ二、教学要求1、理解排列的定义，会计算排列的逆序数，掌握对换的性质；2、利用行列式定义，正确确定行列式展开式中特定的项；3、利用行列式定义，计算某些特殊行列式；三、例题精讲当时，排列的逆序数为，此时为偶排列；4,5k l ==243156(243156)1+2+1=4τ=4,5k l ==解：是一个阶排列，因为排列中的元素不重不漏，所以必有或.2316k l 65,4k l ==,k l 例1、若阶排列为奇排列，求的值.2316k l 6当时，排列的逆序数为，此时为奇排列；5,4k l ==253146(253146)1+3+1=5τ==5,=4k l 所以，若阶排列为奇排列，则.2316k l 6当求得时，排列为偶排列时，就可断言是奇排列！4,5k l ==243156253146注：理由是是由经一次对换得到！4315253146而对换改变排列的奇偶性.(2)13(21)(2)(22) 2.n n n --例2、求下列排列的逆序数：(1)13(21)24(2);n n -解：(1)(13(21)24(2))n n τ-0123(1)n =++++-(2)(13(21)(2)(22)2)n n n τ--0123(1)+(1)21+0n n +++++--++(1)(1)(1)22n n n n n n --=+=-(1)=2n n -(1357(21)2468(22)(2))n n n τ=--(135(21)(2)(22)642)n n n τ=--ij a 例3、设为阶方阵，指出下面哪个项出现在的展开式中，并指明带什么符号.ij a 511233145522541335412(1);(2).a a a a a a a a a 1解：中的项不出现，因为该项有两个元素，均取自第列；(1)11a 31a 中的项出现，因为该项五个元素都取自不同行、不同列.(2)知，该项带“”号.25413354121225334154a a a a a a a a a a =(25314)5τ=-利用乘法的交换律，目的是把该项元素的乘积顺序按行指标排成自然顺序例4、求行列式展开式中与的系数.212111321111x x x x x-4x 3x 解：因为行列式中的元素或者是常数，或者是.x 含的项只能是，故的系数为.3x 312213344a a a a x =-3x 1-第一行元素只能取，112a x =若要出现，第四行元素必须取，4x 44a x =第三行元素必须取，33a x =第二行元素必须取,22a x =所以行列式展开式中含的项为，的系数为.4112233442a a a a x =4x 4x 2若要出现，第四行元素必须取，3x 44a x =而第四列元素也只能取常数，这样四个乘积因子中有两个取常数，不可能出现）3x 同理，第三行元素必须取，第二行元素必须取，第一行元素取，33a x =12a x =211a =212111321111x x x x x-（否则，第四行元素只能取常数，例5、根据定义，计算上三角形行列式.1112111222121110000n n n nn n n n nna a a a a a a D a a a -----在第行中，只有才可能不是零，因中的因子取自第列，只有取时，才可能不是零.n 11n i n -=-1n -121121n i i n i nn a a a a --111,n n n n a a ---nn a 121211i in n nn a a a a --根据行列式的定义，.121212()12(1)n n ni i i i i ni i i i D a a a τ=-∑依此类推，可知在行列式的展开式中，只有主对角线上的个元素之积才可能不为零，于是.n 1122nn D a a a =第行元素除外，其余元素都为零，所以只有当时，展开式中的项才可能不是零；n n i n =nn a 121121n i i n i nn a a a a --例6、根据定义，计算下三角形行列式.11212212000n n nna a a D a a a =在第行中，只有才可能不是零，因中的因子取自第列，只有取时，才可能不是零.122i =22112n ini a a a 2122,a a 11a 1122n ni a a a 解：上三角形行列式的特点是：对角线上方的元素都是零.根据行列式的定义，. 第行元素除外，其余元素都为零，所以只有当时，展开式中的项才可能不是零；111i =11a 121212()12(1)n n ni i i i i ni i i i D a a a τ=-∑2112n ini a a a 依此类推，可得在行列式的展开式中，只有主对角线上的个元素之积才可能不为零，于是.n 1122nn D a a a =注：上（下）三角形行列式的值等于对角线上元素之积.例7、根据定义，计算形行列式1234512345121212000000000a a a a ab b b b b Dc cd de e 行列式的第三、四、五行元素中，只有第一、二列的元素可能不等于零，解：根据行列式的定义，12512345125()12345(1)i i i i i i i i i i i D a a a a a τ=-∑所以行列式.12345125123450i i i i i i i i D aa a a a ==∑在每一项的因子中，至少有一个不取自第一、二列，亦即中至少有一个为零，于是.1234512345=0i i i i i a a a a a 345345,,i i i a a a 345345,,i i i a a a 1234512345i i i i i a a a a a。
线性代数§1.2n阶行列式习题与答案
§n阶行列式为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念。
为此，先介绍排列的有关知识。
㈠排列与逆序：(课本P4)１、排列的定义：由数码1，2，…，n，组成一个有序数组i i i，称为一个n级排列。
12n【例1】1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列。
(课本P4中例)【例2】由数码1，2，3 组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个。
【例3】数字由小到大的n级排列1234…n称为自然序排列。
２、逆序的定义：在一个n 级排列12n i i i 中，如果有较大的数t i 排在s i 的前面，则称t i 与s i 构成一个逆序。
(课本P4)【例4】在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序，在5 级排列34152中， 31，32，41，42，52，共构成5个逆序。
3、逆序数的定义：一个n 级排列12n i i i 中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为12()n N i i i 。
(课本P4)【例5】排列3412的逆序数为N (3412) = 4，排列52341的逆序数为N (52341) = 7，自然序排列的逆序数为0。
4、奇、偶排列的定义：如果排列12n i i i 的逆序数12()n N i i i 是奇数，则将12n i i i 称为奇排列；如果排列12n i i i 的逆序数12()n N i i i 是偶数，则将12n i i i 称为偶排列。
(课本P4)【例6】由于N (3412) = 4，知排列3412是偶排列，由于N (52341) =7，知排列52341是奇排列， 由于N (123…n ) = 0，知自然排列123…n 是偶排列。
【例7】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。
线代_第1章行列式(知识点汇总)
对换改变排列的奇偶性
在排列中,将任意2个元素对调,
其余元素不动----对换
9
3.n 阶行列式
n阶行列式的定义
a11 a12 L
a21 a22 L
a1n
a2n
1
a a t 1 p1 2 p2
L
anpn
L L L L L L L
an1 an2 L ann
(1)t aq1 a1 q2 2 L aqnn
3
第1章行列式----知识结构
3.展开式：余子式Mij，代数余子式Aij ，
Aij 1 i j Mij
| A |
a A n
j1 kj kj
a A n
k 1 kj kj
a A n j1 ij kj
0(i
k)
a A n i 1 ik ij
0(k
j)
4.行列式计算：利用性质及展开定理
4
1.二阶与三阶行列式
二阶行列式： a11 a21
三阶行列式：
a12 a22
a11a22 a12a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
----大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆6序
全排列及逆序数(续)
逆序数: 一个排列中所有逆序的总数称为 此排列的逆序数. 排列的奇偶性
奇排列：逆序数为奇数的排列; 偶排列：逆序数为偶数的排列.
7
计算排列逆序数的方法
设P1P2…Pn是1,2,…,n这n个自然数的任一排 列，并规定由小到大为标准次序.
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24153 对换（4，5）得 25143；24153 对换（2，1）得 14253
Th2： 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 如：24153 对换（4，5）得 25143，从一个偶排列 变为一个奇排列。
试确定i, j 。
例 6、证明下三角行列式：
a11 0 0 0 ... 0
a21 a22 0 0 ... 0
D a31 a32 a33 0 ... 0 a11a22 ...ann
... ... ... ... ... ...
，aii 0 ， i 1,2,..., n 。
an1 an2 an3 ... ... ann
特例： 0
an1
0 0 0 ... an1,2 0
... 0 ... 0 ... a3,n2 ... ... 00 00
0 a2,n1
0 ... ... 0
a1n 0
0
n ( n 1)
(1) ...
2
a1n a2,n1...an1,2 an1
0
0
0001
0020 D 例 8、计算四阶行列式 0 3 0 0
三、n阶行列式
Def ： 用 n2 个 元 素 aij ， (i, j 1,2,...,n) ， 组 成 记 号
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... 称为n 阶行列式，记Dn ，（其中横 an1 an2 ... ann
排称为行，纵排称为列）。
n 阶行列式表示这样项的代数和：
1）、项数：n 个数字所有排列共n! 个，共有n! 项，每一
项是位于不同行不同列 n 个元素的乘积，且每一项可表示 为
a1 j1 a2 j2 ...anjn
行标：第一个下标123 n是1，2， ，n的标准排列；
列标：第二个下标
j1
j2
jn是123， ，n的某个排
如1234，2341为4级排列，25413为5级排列。
n 说明：1） 个不同元素所有排列的种数有 n! 种；
2）排列1234 n 称为标准排列。
二、 逆序 逆序数
逆序：在n 级排列中，若一个较大的数排在一个
较小的数前面，称为一个逆序。
逆序数：n 级排列中逆序的总数称为逆序数，记为
(i1,i2 ,..., in ) 。
同理上三角行列式：
a11 a12 a13 ... ... a1n
0 a22 a23 ... ... a2n
D 0 0 a33 ... ... a3n a11a22 ...ann
... ... ... ... ... ...
，aii 0 ，i 1,2,...,n 。
0 0 0 ... 0 ann
Th3： n 个数码（n>1）共有 n! 个 n 级排列，其中奇偶排
列各占一半。 如：123，132，231，213，312，321
§2、n 阶行列式定义 一 、二阶行列式
a11
记号 a21
a12 a22
a11a22 a12 a21 表示代数和，称为二阶行列式
＝ (1) N ( j1 j2 ) a1 j1 a2 j2
Chap２行列式 §1.排列及逆序数 一、 排列
引例：用 1，2，3 三个数字可以组成多少个没有重复数字的三 位数？
经 过 分 析 可 以 知 道 有 个 没 有 重 复 的 三 位 数 ， 即 ： 123 ， 132，231，213，321，312。
th1：由n个不同数码1,2,3,…,n组成的有序数组， 称为一个n级排列。
a12 a13
... a1,n1 a1n
a22 a23 ... a2,n1 0
a32 ...
... a3,n2 ... ...
0 ...
0
n ( n 1)
(1) ...
2
a1n a2,n1...an1,2 an1
a a n1,1
n 1, 2
0
0
an1
0
0
0
... 0 00
0 0 0 D ...
njn 。
注：（1）一个行列式有一行（或一列）的元素都为 0，则行
列式为 0；
（2）一阶行列式| a | a ，n 阶行列式有时简记为| aij | 。
例 5、考虑下列问题： 1）．有一个五阶行列式， a13a21a32a45a54 为其中一项，试确 定其符号； 2）．设 a1i a23a34a4 j a51 为五阶行列式的一项，取“－”号，
分析三阶行列式的结构： 1）项数：共 6＝3！项，每一项都是位于不同行不同列的 三个元素的乘积，且每一项可以表示为
行标：第一个下标123是1，2，3的标准排列；
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
列标：第二个下标 j1 j2 j3是1，2，3的某个排列， 这样的排列共有6 3!种，对应6 3!项。
4000
Th4:n 阶行列式 D | aij | 的一般项为
(1) a a ...a ，其中 ， 均为 级排 N (i1i2 ...in )N ( j1 j2... jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
i1 , i2 ,...,in j1, j2 ,..., jn
n
列。
思考题：若 (1)N (i432 k )N (52 j14) ai5a42a3 j a21ak 4 是五阶行列式 D | aij |
列，这样的排列有n!种，对应n!项.
2）、符号：n 项正 n 项负：
即
(1)
N(
j1 j2
jn )
带正号的n项列标排列的逆序数是偶数 Βιβλιοθήκη 带负号的n项列标排列的逆序数是奇数
行列式的一般项为：
(1) N ( j1 j2 ... jn ) a1 j1 a2 j2 ...anjn ；
于是
特例：对角行列式
a11 0 0 0 ... 0 a22 0 0 ... D 0 0 a33 0 ... ... ... ... ... ...
0
0
0 0
a a11a22 ...ann
， ii
0 ，i 1,2,..., n 。
0 0 0 ... 0 ann
例 7、证明反三角行列式
a11 a21 D a31 ...
2）符号：3 项正 3 项负：
即
(1)
N
(
j1
j2
j3
)
带正号的3项列标排列的逆序数是 带负号的3项列标排列的逆序数是
偶数 奇数
，
于是
a11 a12 a13
D3 a21 a22 a23
(1) a a a N ( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
a31 a32 a33
的一项，则 i, j, k 应何值？此时，该项的符号是什么？
Dn ( 1)N ( j1 j2... jn ) a1 j1a2 j2 ...anjn ，即
a11 a12 ... a1n
a21 ... an1
a22 ... an2
... ... ...
(1) a a ...a a2n
...
ann
j1... jn取遍n级排列
N ( j1 j2 ... jn ) 1 j1 2 j2
记号：
二 、三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a31 a31 a32 a33
a11a23a32 a12 a21a33 a13a22 a31
＝ (1) N ( j1 j2 j3) a a 1 j1 2 j2 a3 j3 称为三阶行列式，记D3
例 1、 (2413) = ； (24153) = ； (12345) = ； (36715284) =
奇（偶）排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆 序数为偶数的排列称为偶排列。
例2、求n级排列123…n及n级n(n-1)…21排列的逆序数， 并判别是奇排列，还是偶排列？
三、 对换
在一个n 级排列i1, i2 ,..., in 中，若将其中两个数码对调，