n阶行列式按行展开的定义

n 阶行列式的定义与性质

是标准排列。故
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基本思路是根据性质把行列式化成为上三角形行列式，它等于变换后的行列式的主对角元素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10

n阶行列式的定义及性质

综上, 我们有
注在计算行列式中, 经常需要用初等变换来“打洞”, 可以看出“打洞”中起主要作用的是性质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即

按行展开定理

按行展开定理是数学中的一个重要定理，它涉及到数学中的行列式和矩阵，是线性代数中的重要内容。

本文将详细介绍按行展开定理的定义、应用及其举例。

一、按行展开定理的定义按行展开定理又称为余子式定理，是一种计算行列式的方法。

行列式是一个方阵的一种特殊的数值，是线性代数中的重要内容。

行列式可以用来计算矩阵的逆、解线性方程组等问题。

按行展开定理的定义是：对于一个n阶行列式，可以选择其中的任意一行或一列，然后将该行或列上的元素与其所在行列式的余子式相乘，再将所得到的结果相加，即可得到该行列式的值。

二、按行展开定理的应用按行展开定理是计算行列式的一种重要方法，它可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆等问题。

在实际应用中，按行展开定理常常与高斯消元法一起使用，用来求解线性方程组的解。

三、按行展开定理的举例下面我们通过一个例子来说明按行展开定理的应用。

假设有如下的一个3阶行列式：$$\begin{vmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{vmatrix}$$我们选择第一行进行展开，则有：$$\begin{vmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}5 & 6\\8 & 9\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}4 & 6\\7 & 9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4 & 5\\7 & 8\end{vmatrix}$$其中，第一个余子式为：$$\begin{vmatrix}5 & 6\\8 & 9\end{vmatrix}=5\times9-6\times8=-3 $$第二个余子式为：$$\begin{vmatrix}4 & 6\\7 & 9\end{vmatrix}=4\times9-6\times7=-2$$第三个余子式为：$$\begin{vmatrix}4 & 5\\7 & 8\end{vmatrix}=4\times8-5\times7=3$$因此，按行展开定理得到：$$\begin{vmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=1\times(-3)-2\times(-2)+3\times3=-6$$因此，该3阶行列式的值为-6。

n阶行列式：§2.5 行列式依行(列)展开

aij 0
0
D1 a1 j
M ij
aij M ij
anj
注意到行列式中任两行（列）的对换改变行列式的符号，故
D 1 i1 j1 D1 1 i j aij M ij aij Aij
3、行列式依行（列）展开
定理2.5.1 行列式 Dn等于它的任意一行（列）中所有元素与
其代数余子式乘积的和，即有
a j1 a j2
ain
中，某一行（列）中元素
a jn
an1 an2
ann
与另一行（列）中对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即有
ai1Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j.
a1s A1t a2s A2t ans Ant 0, s t.
a11 a12
a1n
ai1 ai2
abcd
例2.5.1. 在行列式 D g s
h t
p u
q v 中，求元素p和s的余子式
wx y z 和代数余子式。
二、行列式依行（列）展开
先考虑比较特殊的情况，即一个n阶行列式中某一行（列）除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理。
a11
a1 j
a1n
引理：如果行列式 D ai1
例2.5.4 计算范德蒙行列式
11
11
a1
a2
Dn a12 a22
an1
an
a2 n1
an 2
a a n1 1
n1 2
a a n1 n1
n1 n
解：
依次从第n-1行起到第一行，每行乘以
= Dn (-an )加到下一行
Dn ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain , 1 i n,

行列式按行列展开定理讲解学习

行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理一、余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ija 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积：ij ij D a A =⋅四、行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。

3、n阶行列式

18
线性代数
n阶行列式
证明 1）是显然的。 2）若记i ai ,n i 1 , 则依行列式定义
1 2

a n1 a 2 , n 1
t n n1 21
n n1 2
a1n
n
1
1
a1na2,n1 an1
证毕
19
12 n .
n阶行列式
2、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
线性代数
n阶行列式
例
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0
1 0 0 0
20
0 2 0 0
1 0 0 0
解
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0
1
t 4321
1 2 3 4 24.
线性代数
n阶行列式
例
用行列式的定义计算
0 0 Dn 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 n
15
线性代数
n阶行列式
a11
1）
a12 a1n a22 a2 n aii ann
a1n
上三角行列式
2）
a2,n1 an1 an1,n1
a2n ann
( 1)
n ( n1) 2
a
i ,n i 1
16
线性代数
n阶行列式
1 2 3 4
例
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8

行列式的展开定理

行列式的展开定理
行列式的展开定理是指给定一个n阶行列式A，n≥1，对A进行展开，则A等于其各行中任取一项，乘上对于这一项的代数余子式，按行号排列
的和。

展开定理的主要思想是求解行列式，可以将原本n阶行列式简化为二
阶行列式，逐渐简化，最后变为一阶行列式，其值即为最终求出的行列式值。

展开定理的乘积分配律为：对于一个n阶行列式A，其中的任一一行
乘以一个常数c，那么这个行列式的值就相应乘以一个常数c。

展开定理的符号表示方法为：记A为行/列式，aij表示A的第（i，
j）项。

通常情况下，行列式展开定理表示为：
A=a11|A11|+a12|A12|+…+ain|Ain|，其中|Aij|表示行列式A的第i
行第j列的余子式。

经常使用的展开定理有两种：一类是Sarrus定理，一类是Laplace
定理。

Sarrus定理：3阶行列式可以按照a11,a12,a21,a22,a31,a32的顺序
展开，即A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-
a11a23a32。

Laplace定理：n阶行列式可以按照每行或每列任取一项，乘以这一
项的代数余子式，按行号或列号排列求和。

n阶行列式展开式

n阶行列式展开式n阶行列式的展开式是指将n阶行列式按照某一行或某一列进行展开，将其展开为一系列元素相乘的和的形式。

设A是一个n阶方阵，行列式展开式可以表示为：D = a1j1A1j1 + a2j2A2j2 + a3j3A3j3 + ... + anjnAnjn其中，a1j1，a2j2，a3j3，...，anjn是行列式中的元素，分别对应于第1行，第2行，第3行，...，第n行的元素。

A1j1，A2j2，A3j3，...，Anjn是去掉第i行第j列的矩阵的行列式。

展开式的计算方法是通过对于某一行或某一列进行展开，逐步递归地计算较低阶行列式的展开式，最终得到行列式的值。

为了更好地理解和计算行列式的展开式，可以参考以下内容：1. 行列式的性质：了解行列式的基本性质，如行列式转置不变性、行列式互换性等，可以帮助理解行列式的展开式。

2. 代数余子式与代数余子式矩阵：代数余子式是行列式中任意元素的余子式加上相应的符号因子。

代数余子式矩阵是由行列式的元素的代数余子式按照对应位置组成的矩阵。

3. 余子式展开法与行列式按行展开法：余子式展开法是通过计算各元素的代数余子式来展开行列式，而行列式按行展开法是通过递归地计算较低阶行列式的展开式来计算行列式。

4. 基于拉普拉斯定理的行列式展开：拉普拉斯定理是一种常用的展开行列式的方法，根据该定理，可以将n阶行列式按照任意一行或一列展开为n个n-1阶行列式的代数余子式相乘的和。

以上内容是行列式展开式的基本概念和计算方法的相关参考内容，理解和掌握这些内容可以帮助更好地进行行列式展开式的计算。

在实际计算中，可以根据具体情况选择合适的展开方法，如拉普拉斯展开、按行展开等，进一步简化计算过程。

行列式性质按行(列)展开法则

|a31 a32 a33|，可以选择第一行进行展开，得到其值等于a11*(a22*a33-a23*a32) - a12*(a21*a33a23*a31) + a13*(a21*a32-a22*a31)。
高阶行列式求解示例
递归降阶法
对于高阶行列式，可以采用递归降阶的方法进行求解。即选择一行（列），将这一行（列）的每个元素分别与其代数余子式相乘并求和，从而将原行列式降阶为一个低一阶的行列式。通过不断重复这一过程，最终可以将高阶行列式降阶为二阶或三阶行列式进行求解。
矩阵运算与行列式的关系
矩阵运算中的很多性质与行列式的性质密切相关，如矩阵的乘法、转置、逆等运算都与行列式有紧密联系。在求解线性方程组时，我们常常需要利用矩阵的性质进行化简和计算。
线性方程组求解与行列式的应用
对于n元线性方程组，我们可以利用克拉默法则（Cramer's Rule）进行求解。克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法，它涉及到计算系数行列式和各个未知数的系数行列式，然后利用这些行列式的值求出未知数的解。
03
把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列) 对应的元素上去，行列式不变。
04
行列式计算规则
01
对于二阶和三阶行列式，可以直接套用公式进行计算。
02
对于高阶行列式，可以采用按行 (列)展开法则进行计算，即选择某一行(列)，将其各元素与对应的代数余子式相乘后求和。
03
在按行(列)展开时，需要注意代数余子式的符号取决于被删除的行和列的序号之和的奇偶性。
选择要展开的行或列
根据题目要求或行列式的特点，选择合适的行或列进行展开。通常选择含有零元素较多或元素较简单的行或列。

行列式按行(列)展开

例
D=
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0 a41 a42 a43 a44
= ( −1)
3+3
a11 a12
a14
a33 a21 a22 a24 . a41 a42 a44
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
定理３行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的定理３代数余子式乘积之和, 即 D= ai1 Ai1+ ai2 Ai2 +· · · + ain Ain 或 D= a1j A1j+ a2j A2j+· · · + anj Anj
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1 x3 ⋮
n x3 − 2
把每列的公因子(xi-x1)提出,就有
⋯ ⋯ ⋯ 1 xn ⋮
n xn − 2
x2 Dn = ( x 2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( xn − x1 ) ⋮
n x2 − 2
= ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( x n − x1 ) =
1 xn
(1)
n n x1n−1 x2 −1 ⋯ xn −1
∏ 其中记号“
”表示全体同类因子的乘积.
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1
证用数学归纳法.
D2 = = x2 − x2 =
x1 x2
2≥i > j ≥1
∏ (x − x ),
i j
所以当n=2时(1) 式成立. 现在假设(1) 式对于n-1阶范德蒙德行列式成立，要证(1) 式对于n阶范德蒙德行列式也成立.
§6

行列式按行(列)展开定理

ak1 Ai1 ak 2 Ai2 akn Ain 0, k i. a1k A1i a2k A2i ank Ani 0, k i.
证由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.
10
a11
a12
a1n
ai1
ai2
a in
在行列式 D
ak1
ak 2
a kn
an1
3 1 1 2
5 1
例2 计算行列式 D
20
3 4 .
1 1
1 5 3 3 14
3 1 1 2
解
5 D
1
20
3 4 1 1
1 5 3 3
c1 2 c3 c4 c3
5 1 1 1 11 1 3 1
0 010 5 5 3 0
15
5 11
5 11
(1)33 11
1
1 r2 r1 6
2
0
5 5 0
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a11 a12 a14
M23 a31 a32 a34 a23 的余子式.
a41 a42 a44
A23
1
M 2 3 23
M23
a23 的代数余子式.
an
0
b 0
0
0
0 b
0
0
00
b
[(a1 a2 an ) b](b)n1
32
例9 x1 a a a
a x2 a a
D a
a
x3

n阶行列式的一般展开式

n阶行列式的一般展开式行列式是线性代数中的一个重要概念，是一种用来描述矩阵性质的数学工具。

n阶行列式是指由n行n列的矩阵所组成的行列式。

在求解行列式的过程中，一般采用展开式的方法来进行计算，而n阶行列式的一般展开式是求解行列式的一个常用方法。

一、定义n阶行列式是由n行n列的矩阵所组成的行列式，记作det(A)，其中A=(a_ij) (1≤i,j≤n)。

其中，a_ij表示第i行第j列的元素。

二、一般展开式的定义对于n阶行列式det(A)，我们可以通过对其任意一行或一列进行展开，得到n-1阶的子行列式，然后继续对子行列式进行展开，直到得到1阶的行列式。

这个过程叫做行列式的展开。

其中，对于任意一行或一列，我们可以通过其余行列式的代数余子式和其对应元素的乘积来表示。

三、一般展开式的计算以n阶行列式的一般展开式的计算为例，假设我们要对第i行进行展开，则有：det(A)=∑(-1)^(i+j)×a_ij×det(A_ij)其中，A_ij表示去掉第i行第j列的n-1阶子矩阵。

由于n阶行列式的一般展开式可以对任意一行或一列进行展开，因此我们可以对任意一行或一列进行展开。

四、优美语言的运用在行列式的计算中，一般展开式是一个非常重要的方法。

它可以将高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算，从而大大简化计算过程。

同时，一般展开式的运用也需要一定的技巧和方法。

我们需要通过观察矩阵的性质，灵活选择展开的行列式，以及巧妙地运用代数余子式和乘积的组合，来求解行列式。

总之，n阶行列式的一般展开式是求解行列式的一个常用方法，它可以将高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算，从而简化计算过程。

在计算过程中，我们需要通过观察矩阵的性质，灵活选择展开的行列式，以及巧妙地运用代数余子式和乘积的组合，来求解行列式。

02第二节n阶行列式的定义

02 第二节 n阶行列式的定义第二节 n阶行列式的定义定义1：对于一个由n行n列组成的矩阵A，其对应的行列式记为|A|或det(A)，称为n阶行列式。

行列式是由n个元素排成n行n列的式子，它可以用一个数，一个向量或一个矩阵来表示。

在数学中，行列式是一个非常重要的概念，在许多数学分支和实际应用中都有广泛的应用。

对于一个n阶矩阵A，可以将其展开成一个n项的代数和，每一项都是A中取自不同行不同列的n个元素的乘积。

这个展开式称为A的行列式，记为|A|或det(A)。

例如，对于一个3x3矩阵A：可以将其展开为：|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32其中，a11、a22、a33等表示A中的元素。

定义2：对于一个n阶矩阵A，如果有一个非零常数c，使得|cA|=c^n|A|成立，则称矩阵A可乘当，或者称为可乘方的。

根据定义2，可以发现行列式的性质：1）如果矩阵A可乘当，则|cA|=c^n|A|成立，其中c是非零常数。

例如，如果矩阵A=【3 4；2 5】，则cA=【3c 4c；2c 5c】，c^n表示c的n 次方。

2）如果矩阵A是可乘方的，则它的转置矩阵也是可乘方的，且它们的行列式互为转置行列式。

即，如果|A|=a_11a_22.a_nn，则|A‘|=a_11a_12*.*a_nn。

例如，设A=【1 2 3；4 5 6；7 8 9】，则|A|=54，它的转置矩阵为【1 4 7；2 5 8；3 6 9】，则它的行列式为|A‘|=54。

定义3：设n阶矩阵A和B是相似的矩阵，即存在一个可逆矩阵P，使得AP=PB成立。

如果矩阵A和B是相似的，则它们的行列式也相等，即|A|=|B|。

例如，设A=【1 0；0 2】，B=【2 0；0 4】，它们是相似的矩阵，它们的行列式分别为|A|=2和|B|=4，所以它们的行列式是相等的。

N阶行列式的性质汇总

N阶行列式的性质汇总行列式是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于各个领域。

1.行列式的定义及表示：行列式是一个数，用于度量矩阵的一些性质。

对于一个n阶方阵A=[aij]，其行列式用det(A)表示，也可以用，A，表示。

n阶行列式的定义为：det(A) = Σ(±a1j1a2j2...anjn)，其中±a1j1a2j2...anjn表示n个元素的排列，并且符号取决于这个排列的逆序数。

2.行列式的性质：(1) 行列式与矩阵的转置：一个矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式，即det(A) = det(A^T)。

(2) 行列式与矩阵的相等：如果矩阵B可以通过对矩阵A的一些行或列进行初等行变换得到，则det(B) = det(A)。

(3) 行列式与纯量因子：如果矩阵A的其中一行或列中所有元素都乘以同一个数k，那么行列式的值也会乘以k，即det(kA) = k^n * det(A)。

(4) 行列式与矩阵的乘积：对于两个n阶矩阵A和B，其行列式的乘积等于行列式的乘积，即det(AB) = det(A) * det(B)。

(5) 行列式与逆矩阵：如果矩阵A可逆，则其逆矩阵A^(-1)的行列式等于矩阵A的行列式的倒数，即det(A^(-1)) = 1 / det(A)。

(6) 行列式与可交换性：对于任意两个n阶矩阵A和B，有det(A*B) = det(B*A)。

(7)行列式与初等变换：对于矩阵A，如果应用了一次初等行变换，其行列式的值也会发生相应的变化，具体变化规律取决于初等行变换的类型。

3.行列式的计算方法：(1)按行（列）展开法：利用行列式的定义，通过对其中一行（列）展开计算，将n阶行列式转化为n-1阶行列式的计算。

(2)初等变换法：通过一系列初等行变换，将矩阵转化为上（下）三角矩阵，此时行列式的值就是对角线上元素的乘积。

(3)行列式性质法：利用行列式的性质，对矩阵进行化简计算，如将矩阵转化为对角矩阵，或利用矩阵的行列变换得到行列式的乘积或分解。

行列式按行列展开法则

行列式按行列展开法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学对象，用于描述矩阵的性质和特征。

行列式按行列展开法则是计算行列式的一种方法，它可以帮助我们快速准确地求解任意阶行列式的值。

本文将介绍行列式按行列展开法则的基本原理和具体计算步骤。

1. 行列式的定义在介绍行列式按行列展开法则之前，首先需要了解行列式的定义。

一个n阶方阵A的行列式记作|A|，它是一个数值，表示由矩阵A的元素所确定的一个量。

对于2阶矩阵：A = |a11 a12||a21 a22|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21对于3阶矩阵：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33对于n阶矩阵，行列式的计算公式较为复杂，因此需要借助行列式按行列展开法则来简化计算过程。

2. 行列式按行列展开法则的基本原理行列式按行列展开法则是通过递归的方式将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。

具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的计算可以按照以下步骤进行：（1）选择矩阵A的第i行（或第j列）进行展开，记作Ai （或Aj）；（2）对于展开后的行列式Ai（或Aj），将其每个元素乘以对应的代数余子式，并加上符号因子后相加，得到展开后的行列式的值。

符号因子的计算规则为：若i+j为偶数，则符号因子为正号；若i+j为奇数，则符号因子为负号。

通过以上步骤，可以将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。

3. 行列式按行列展开法则的具体计算步骤接下来，我们以一个3阶矩阵的行列式为例，介绍行列式按行列展开法则的具体计算步骤。

行列式按行展开

行列式按行展开本文使用创作并发布答案是——有的。

下面我们来介绍这样一种策略，即行列式按一行展开。

由于行列式的行和列是等价的，因此其可以按行展开，也可以按列展开。

根据行列式的定义，有n阶行列式由于r(i,1,\cdots,n) = i - 1, r(k,j_1,\cdots, j_n) = k - 1因此其中M_{ik}是除去第i行第k列的元素后，行列式剩下的元素组成的n - 1阶子行列式，称为余子式；A_{ik} = (-1)^{i+1}M_{ik}称为代数余子式。

借助三阶行列式的例子，我们阐释行列式按行展开。

下面将一个一般的三阶行列式按第一行展开：\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\\ = (-1)^{1+1}a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} &a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+2}a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+3}a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} &a_{32}\\ \end{vmatrix}通过行列式按行展开，我们可以把一个n阶行列式转化成任意一行n 个元素与其代数余子式乘积的和；反过来，我们也可以把n个元素与n-1阶行列式的乘积的和转化成一个n阶行列式。

例如：(-1)^{1+1}a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+2}a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+3}a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} &a_{32}\\ \end{vmatrix}\\ = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}如果将代数余子式前的元素换成矩阵中其他行的元素，则有：(-1)^{1+1}a_{21}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+2}a_{22}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+3}a_{23}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} &a_{32}\\ \end{vmatrix}\\ = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} &a_{23}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} = 0于是，一般地，我们有：\sum\limits_{k=1}^n{a_{jk}A_{ik}} = \begin{cases} |A|, i = j\\ 0, i ≠ j \end{cases}根据这个定理，我们可以推导出克莱姆法则：如果含n个方程的n元线性方程组的系数矩阵的行列式|A| ≠ 0，则该线性方程组有且仅有一个解，该解为：\frac{|B_j|}{|A|}, i = 1, 2, \cdots, n，其中B_j是用常数项替换系数矩阵A中的第j列得到的矩阵。

行列式按行展开证明

行列式按行展开证明行列式按行展开是一种计算行列式的方法，它可以将一个n阶行列式的计算转化为n个(n-1)阶行列式的计算。

行列式按行展开的原理并不复杂，但是证明时需要借助一些线性代数的基本概念和定理。

下面将详细介绍行列式按行展开的证明。

设A是一个n阶方阵，则A的行列式记作det(A)。

为了陈述方便，假设A是一个3阶方阵，即A的行列式为det(A) = a11a22a33 -a11a32a23 - a12a21a33 + a12a31a23 + a13a21a32 - a13a31a22。

在行列式展开时，我们需要选取一个固定的行（或列）进行展开。

对于一个3阶方阵来说，我们可以选择第一行进行展开。

那么根据行列式展开的定义，det(A)可以写成以下形式：det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13其中C11，C12，C13分别代表按第一行展开所得的代数余子式。

我们来具体计算这三个代数余子式。

C11 = a22a33 - a23a32C12 = -(a21a33 - a23a31)C13 = a21a32 - a22a31将这三个代数余子式代入det(A)的展开式中可以得到：det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)我们可以观察到，在det(A)中，a11，a12，a13特定行的元素与对应的代数余子式相乘，并且有正负相间的规律。

这是因为代数余子式的正负号是根据矩阵元素的位置来确定的。

接下来，我们将a11、a12、a13所在的列分别移到代数余子式对应位置上：det(A) = a11(a22a33 - a23a32) + a21(a13a32 - a12a33) + a31(a12a23 - a13a22)再次观察det(A)的表达式，我们可以发现，它的展开形式中的每一项的系数与n阶方阵中元素所在的行和列的排列顺序有关。

2.3-行列式的展开定理

1
2 = −10 (− 2) − 7
6
6
2 6
= 20(− 42 − 12) = −1080.
17
评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
n12..每i幂j列次1 (从行0)为递某增个到数(nx-1的3 −不x同2 )(方x幂4 − x2 )( xn − x2 ) 3. 结果为后列元素( x减n 去− 前xn列−1 )元素的乘积
23
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
11
x1 x2 Vn ( x1 , x2 , xn ) = x12 x22
n−2
2
3
xn−2 n
( xn − x1 ) ( xi − x j ) n i j 2
n-1阶范德蒙行列式
27
例4：计算n阶行列式
a1 b b b a2 b Dn = b b a3
b b b , b≠ai, i=1, …,n.
bbb
an
28
解：用加边法，构造行列式，使得按第一行（列）展开后，等于原行列式
xn−2 n
(
xn
−
x1
)
26
将Vn按第一列展开，并把每列的公因子(xi-x1)提出来，
11
1
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ( xn − x1 ) x2
x3
xn
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 )
= ( xi − x j ).

行列式展开定理

行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了一个n阶行列式可通过对其中一行（或一列）进行展开，用余子式乘以对应元素的代数余子式构成的和来表示。

这个定理的证明主要基于数学归纳法和代数性质的运用。

首先，我们来介绍一些必要的定义和概念。

行列式是一个有序数表，是一个正方形矩阵中对角线上元素相乘并按照一定规则相加得到的一个数。

例如，对于一个2阶行列式（2x2矩阵）：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\\\end{vmatrix}$ = ad - bc行列式的计算可以通过对行或列的操作转化为三角形矩阵，从而简化计算。

对于n阶行列式，可以递归地进行以下展开运算：选择第i行（或第j列）进行展开，将此行的元素乘以对应的代数余子式，并进行符号调整后相加。

具体地，使用数学归纳法，我们可以证明行列式展开定理。

当n=2时，定理显然成立。

假设当n=k时，定理成立，即k阶行列式可以通过任选一行（或一列）展开为余子式乘以对应元素的代数余子式之和，即$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1k} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2k}\\\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\a_{k1} & a_{k2} & \ldots & a_{kk}\\\end{vmatrix}$=$a_{i1}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+(-1)^(i+1)$a_{i2}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+$\ldots$+(-1)^(i+k)$a_{ik}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$。