第二章：解析函数

例3：研究函数 f ( z ) z 2 、 g( z ) x 2 yi 和 h( z ) z 的解析性。
2 f ( z ) z 由例1和例2知, 函数 是全平面内
2
的解析函数，但是函数 f ( z ) x 2 yi 是处处
不解析的连续函数.
根据求导法则，很容易得到下面的结论. 定理： 1）设函数 f ( z ), g ( z ) 在区域D内解析, 则
再由柯西-黎曼方程 u v , x y 有
u v 2 v i y x x
f ( z z ) f ( z ) u v i z x x x y 1 i 3 2 i 4 . z z
因为
x z , y z
u u u x y 1 x 2 y , x y v v v x y 3 x 4 y , x y
其中
x 0 y 0
lim k 0,
k 1,2,3,4.
因此我们有
u v u v f ( z z ) f ( z ) i x i y y x x y 1 i 3 x 2 i 4 y .
是两个互为反函数的单值函数, 且 ( w ) 0.
(4) 微分的概念 微分定义 设函数 f ( z ) 在 z0 的某邻域内有定义, 若存在复常数A, 使得 w f ( z0 z ) f ( z0 ) Az o z , 则称 f ( z )在 z0 点可微，称A△z为 f ( z )在z0的微分, 记作 dw Az 复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数 的微分概念完全一致.
即函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在z=x+yi处可导。
二、 函数解析的充要条件
定理二 复变函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在区域D内解析的充分必要条件是 u( x , y ), v ( x , y ) 在区域 D 内可微, 且在D内满足Cauchy-Riemann 方程
由于 lim ( z ) 0
z 0
所以
x 0 y 0
lim 1 0,
x 0 y 0
lim 2 0.
由此可知， u( x , y ) 和 v ( x , y )在( x , y )可微，且满足
方程
u v a , x y u v b y x
f (x z) yi 在复面内处处 证明u( x , y ) , v (xx ,2 y) 2y
但是二元实函数
连续,
于是根据 定理三 知, 函数 f ( z ) x 2 yi 连续.
定理1.1 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
其中 设
z 0
lim ( z ) 0
f ( z z ) f ( z ) u iv , f ( z ) a bi
(z ) 1 i 2
于是我们有
u iv (a bi )(x iy ) ( 1 i 2 )(x iy )
f z 也在D内解析. 当 z0 D, g( z0 ) 0 时, z0是 g z
的解析点. 特别地, 多项式P(z)在全平面内解析,
f ( z ) g ( z ), f ( z ) g( z )
有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,
分母为零的点是有理分式的奇点.
2）设函数 h g ( z )在z平面上的区域D内解析，
第二章：解析函数
§1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数与微分
(1) 导数的定义 定义 设 w f ( z ) 是定义在区域D上的复变函数,
z0是区域D内的一点. 若极限
f ( z0 z ) f ( z 0 ) lim , ( z0 z D ) z 0 z
dw f ( z ) 在 z z0 点的导数，记做 f ( z0 ). 或 dz z z0
2 2 2 2 f ( z ) x axy by i ( cx dxy y ), 例2 设
其中 a, b, c, d是常数，问它们取何值时, 函数 f (z) 在复平面上解析.
例 3 如果 f ( z ) 在区域D内处处为零, 则f (z)在区域D内为常数.
证明:由函数可导知
在区域D内有定义，则 f ( z ) 在D内一点
z x yi 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要
条件是二元函数 u( x , y ), v ( x , y ) 在( x , y ) 处都 可微，并且在该点满足Cauchy-Riemann方程 u v u v , . x y y x
定理
复变函数 f ( z ) 在点 z0可导的充分必要
条件是 f ( z ) 在 z0 点可微，且 A f ( z0 ).
于是有 dw f ( z0 )dz
这个定理表明, 函数 f ( z ) 在 z0 可导与在
z0 可微等价.
如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微。
ax by i bx ay 1x 2 y i 2 x 1y (ax by 1x 2 y ) i (bx ay 2 x 1y )
从而
u ax by 1x 2 y v bx ay 2 x 1y
存在，则称 f ( z ) 在 z z0 点可导, 并把这个极限值称为
定义中的极限式可以写为
f ( z ) f ( z0 ) lim z z0 z z0
注意 z z0 ( z 0) 的方式是任意的.
若 f ( z ) 在区域 D内每一点都可导, 则称 f ( z )
在区域 D内可导.
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数(全纯函数或正则函数).
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( Байду номын сангаас ) 在闭区域 D 上 解析.
若函数 f ( z ) 在 z0 处不解析，则称 z0是 f ( z )
的奇点. 若 z0 是 f ( z ) 的奇点, 但在 z0 的某邻域内, 除 z0 外, 没有其他的奇点，则称 z0 是函数 f ( z ) 的孤立奇点.
函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同. δ δ/2
可导
z0
解析
z
r=δ/2
复变函数在区域内解析与在该区域内可导
f ( z ) 0 ，那么曲线族 u( x , y ) c1 与
v( x, y ) c2 必互相正交。其中c1,c2为常数.
§2.3
1 2 3 4 5
初等函数
指数函数 对数函数 幂函数 三角函数和双曲函数 反三角函数和反双曲函数
连续，但处处不可导.
(3) 求导法则 (1) (c ) 0, 其中c为复常数. (2) ( z n ) nz n1 , 其中n为正整数.
(3) (4)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ). f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
是等价的. 事实上，复变函数在区域内解析显然在该 区域内可导. 反之, 设函数 f ( z )在区域D内可导, 则对 任意 z D, 存在z的某一个邻域U, 使得U D, 由 f ( z ) 在D内可导, 可知 f ( z ) 在U内可导, 即
f ( z ) 在z处解析.
注: 上述结论对闭区域不成立。
f ( z ) u v v u i i 0, x x y y
u v u v 0, x y y x
所以 u( x , y ), v ( x , y ) 都是常数. 因此 f (z)在区域D内为常数.
例 4：如果 f ( z ) u iv 为一解析函数，且
故，当△z趋向于零时，
x lim 1 i 3 0 x 0 z y 0
因此
y lim 2 i 4 0. x 0 z y 0
f ( z z ) f ( z ) u v f ( z ) lim i z 0 z x x
例1
求
f ( z ) z , 的导数。
2
例2
问 f ( z ) x 2 yi 是否可导。
y
z
O
x
(2) 可导与连续的关系 函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但 函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导.
由 例2 处不可导.
知, f ( z ) x 2 yi 在复平面上处
函数 w f ( h)在h平面上的区域G内解析。如果
对D 内的每一个点z，函数 g( z )的对应值h都属
于G，那么复合函数 w f [ g( z )] 在D内解析。
D
G
§2.2 函数解析的充要条件
定义 （复杂） 判断函数 的解析性 其他方法？
一、 函数可导的充要条件
定理一、复变函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
充分性. 设 u( x , y ), v ( x , y ) 在 ( x , y ) 处可微,
且满足Cauchy-Riemann方程. 由于
f ( z z ) f ( z ) u( x x , y y ) u( x , y ) i[v ( x x , y y ) v ( x , y )] u i v 由 u( x , y ), v ( x , y ) 在 ( x , y ) 处可微, 有
u v v u , . x y x y
解析函数的判定方法:
(1) 定义
(2) Cauchy-Riemann方程,
例1
判定下列函数在何处可导，在何处解析。
1 w z
2 f ( z ) e x (cos y i sin y )
3 w z Re( z )


f (z) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) (5) , ( g( z ) 0). 2 g (z) g( z ) (6) f [ g( z )] f ( w ) g( z ), 其中 w g ( z ). 1 (7) f ( z ) , 其中 w f ( z ) 与 z ( w ) ( w )
u v 1 u v i 此时 f ( z ) x x i y y
证明：必要性
因为 f ( z ) 在z可微，故由(2.1.2)式有对于充分 小的 z x iy 0
f ( z z ) f ( z ) f ( z )z ( z )z
2. 解析函数的概念
定义 设 f z 在区域D有定义. (1) 设 z0 D , 若存在 z0 的一个邻域，使得
f ( z ) 在此邻域内处处可导, 则称 f ( z ) 在 z0 处解析,
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称