排列组合()
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数字的正整数？
来自百度文库
实际问题
得 实 际 问 题 的 解
转化 （建模）
求排列数
（一）无条件限制的排列问题
排列问题
求 数 学 模 型 的 解
解题的关键：1 确定该题是否是排列问题（将实际 问题“转化”为排列问题）
2 正确找出n、m的值 3 准确应用两个原理
练习 （1） 车上有7个座位，5名乘客就座，有多少种就座方式？
10.2排列（3）
例1 某年全国足球甲级（A组）联赛共14队参加，每队都要与 其余各队在主、客场比赛1次，共进行多少场比赛？
解：任何2队间进行1次主、客场比赛，对应于从14个 元素中任取2个元素的一个排列
∴
A14 14 13 182 2
答：一共进行182场比赛。 思考：2个足球队之间进行比赛，要进行几场比赛？
（2） 4辆公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上 配一位司机和一位售票员，有多少种不同的搭配 方案？
（3）四个同学争夺三项竞赛冠军，冠军获得者的可能 种数有多少？
不是排列问题，用分步计数原理，有 4×4×4=64 种
(4)由1，4，5，x四个数字组成没有重复数字的四位数， 若所有的四位数的各数位上的数字之和为288，求x.
∴ A53 5 4 3 60
（2）从5种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不 相同，用分步计数原理：
5 5 5 125
说明：两个小题的区别，（1）是典型的排列问题 （2）不是排列问题，用分步计数原理解决
例3 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆 上表示信号，每次可以任挂1面，2面或3面，并且不同
2个足球队之间在主、客场分别比赛，要进 行几场比赛？
例2 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
解（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从5个 元素中任取3个元素的一个排列
解：
A77 A33
7! 3!
840
另：甲、乙、丙三人的顺序一定，就是有顺序，
无位置，相当于7个位置排4个元素
∴ A74
7! 3!
840
练习：甲、乙顺序一定 （
A77 A22
7! 2!
2520
）
说明：n个不同元素中m个元素顺序一定的排列
问题的排法 Ann Amm
练习： （1 ）5个人站成一排，其中甲不站在排头，
解：由题意得 A44 • (1 4 5 x) 288
即24（10+x)=288 ∴x=2
例4 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字
的三位数？
分析：有一个限制条件：百位上不能排0
解 法1从特殊位置出发，分2步： 法2 从特殊元素出发，分3类
第1步：先排百位 A91 第2步：再排其它两位 A92
例5 7位同学站成一排照相，按下列要求，各有多少
种不同的排法？
（1）甲必须站在中间
（2）甲、乙必须站在两端
（3）甲不在中间 解（1）法1 因为甲固定在中间，只需要其余6个
法2 （位排置除排法6）个7人个任∴意排A，66 有 7A2077 种，
其中甲不在中间 ，有 A61 A66 ∴甲在中间有 A77 A61 A66 7!6 6! 720
分两步，第1步：除甲外，其他6人中选2人
站头、尾 A62
第2步：其余位置 A55
∴ 由分步计数原理 A62 A55 6 5 120 3600
（法3）（排除法）7个人任意排 A77
甲在头或尾 2 A66
∴ A77 2 A66 7 6!2 6! 5 720 3600
（5）甲、乙必须相邻 解：由于甲、乙必须相邻，可分2步：
5人排列共有6个空，从中选2个空排甲、乙，有 A62 种，
∴共有 A55 A62 120 6 5 3600
（法2）总的排法减去相邻的排法，
A77 A66 A22 3600
说明：某些元素不相邻时，可先排其它元素，再将 这些不相邻元素插入空挡。称为“插空法”
（7）甲、乙、丙三人的顺序一定
（2）分两步，第1步：排两端 A22
第2步：排中间5人 A55
由分步计数原理 A22 A55 2 120 240
（4）甲既不在排头，也不在排尾
解（法1）优先考虑特殊元素
分两步，第1步：先排甲，不在头、尾 A51 第2步：再排其他人 A66
∴ 由分步计数原理 A51 A66 5 720 3600 （法2）优先考虑特殊位置
乙不站在排尾，有多少种排法？ 分析：甲站排头有 A44 种排法，
乙站排尾有 A44 种排法
但两种情况中都包含了“甲站排头，
的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 解：分为3类：
第1类：挂1面 A31 第2类：挂2面 A32 第3类：挂3面 A33
∴ A31 A32 A33 3 3 2 3 2 1 15
注：解排列应用题，注意分类与分步原理的应用 练习：由1，2，3这3个数字可以组成多少个没有重复
第1步：视甲、乙为一个元素与其他5人排， A66
第2步：甲、乙在一起排 ， A22
∴ 由分步计数原理 A22 A66 2 720 1440
说明：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些 元素看作一个元素，与其它元素排列后， 再考虑相邻元素的内部排序，称为“捆绑法”
（6）甲、乙两人必须不相邻
解：（法1）甲、乙不相邻，先排其余5人，有 A55 种，
∴由分步计数原理
A91 A92 9 9 8 648
第1类：每一位数字都不是0 A93
第2类：个位数字是0 A92 第3类：十位数字是0 A92
∴ 由分类计数原理
A93 A92 A92 648
法3 （间接法）从10个数字中任取3个数字的排列数 A130
其中0在百位上的排列数 A92
∴所求的三位数的个数为 A130 A92 10 9 8 9 8 648
(二）有限制的排列问题 限制条件：某位置上不能排某元素或只能排某元素
常用方法：(1)直接法 a优限法：先特殊后一般 （有特殊元素或特殊位置，通 常先排特殊元素或特殊位置， 称为“优限法” ）
b捆绑法：元素相邻
c插空法：元素不相邻
（2）间接法（排除法） （先不考虑限制条件，算出所有的排列 数，再从中减去不符合条件的排列数）
来自百度文库
实际问题
得 实 际 问 题 的 解
转化 （建模）
求排列数
（一）无条件限制的排列问题
排列问题
求 数 学 模 型 的 解
解题的关键：1 确定该题是否是排列问题（将实际 问题“转化”为排列问题）
2 正确找出n、m的值 3 准确应用两个原理
练习 （1） 车上有7个座位，5名乘客就座，有多少种就座方式？
10.2排列（3）
例1 某年全国足球甲级（A组）联赛共14队参加，每队都要与 其余各队在主、客场比赛1次，共进行多少场比赛？
解：任何2队间进行1次主、客场比赛，对应于从14个 元素中任取2个元素的一个排列
∴
A14 14 13 182 2
答：一共进行182场比赛。 思考：2个足球队之间进行比赛，要进行几场比赛？
（2） 4辆公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上 配一位司机和一位售票员，有多少种不同的搭配 方案？
（3）四个同学争夺三项竞赛冠军，冠军获得者的可能 种数有多少？
不是排列问题，用分步计数原理，有 4×4×4=64 种
(4)由1，4，5，x四个数字组成没有重复数字的四位数， 若所有的四位数的各数位上的数字之和为288，求x.
∴ A53 5 4 3 60
（2）从5种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不 相同，用分步计数原理：
5 5 5 125
说明：两个小题的区别，（1）是典型的排列问题 （2）不是排列问题，用分步计数原理解决
例3 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆 上表示信号，每次可以任挂1面，2面或3面，并且不同
2个足球队之间在主、客场分别比赛，要进 行几场比赛？
例2 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
解（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从5个 元素中任取3个元素的一个排列
解：
A77 A33
7! 3!
840
另：甲、乙、丙三人的顺序一定，就是有顺序，
无位置，相当于7个位置排4个元素
∴ A74
7! 3!
840
练习：甲、乙顺序一定 （
A77 A22
7! 2!
2520
）
说明：n个不同元素中m个元素顺序一定的排列
问题的排法 Ann Amm
练习： （1 ）5个人站成一排，其中甲不站在排头，
解：由题意得 A44 • (1 4 5 x) 288
即24（10+x)=288 ∴x=2
例4 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字
的三位数？
分析：有一个限制条件：百位上不能排0
解 法1从特殊位置出发，分2步： 法2 从特殊元素出发，分3类
第1步：先排百位 A91 第2步：再排其它两位 A92
例5 7位同学站成一排照相，按下列要求，各有多少
种不同的排法？
（1）甲必须站在中间
（2）甲、乙必须站在两端
（3）甲不在中间 解（1）法1 因为甲固定在中间，只需要其余6个
法2 （位排置除排法6）个7人个任∴意排A，66 有 7A2077 种，
其中甲不在中间 ，有 A61 A66 ∴甲在中间有 A77 A61 A66 7!6 6! 720
分两步，第1步：除甲外，其他6人中选2人
站头、尾 A62
第2步：其余位置 A55
∴ 由分步计数原理 A62 A55 6 5 120 3600
（法3）（排除法）7个人任意排 A77
甲在头或尾 2 A66
∴ A77 2 A66 7 6!2 6! 5 720 3600
（5）甲、乙必须相邻 解：由于甲、乙必须相邻，可分2步：
5人排列共有6个空，从中选2个空排甲、乙，有 A62 种，
∴共有 A55 A62 120 6 5 3600
（法2）总的排法减去相邻的排法，
A77 A66 A22 3600
说明：某些元素不相邻时，可先排其它元素，再将 这些不相邻元素插入空挡。称为“插空法”
（7）甲、乙、丙三人的顺序一定
（2）分两步，第1步：排两端 A22
第2步：排中间5人 A55
由分步计数原理 A22 A55 2 120 240
（4）甲既不在排头，也不在排尾
解（法1）优先考虑特殊元素
分两步，第1步：先排甲，不在头、尾 A51 第2步：再排其他人 A66
∴ 由分步计数原理 A51 A66 5 720 3600 （法2）优先考虑特殊位置
乙不站在排尾，有多少种排法？ 分析：甲站排头有 A44 种排法，
乙站排尾有 A44 种排法
但两种情况中都包含了“甲站排头，
的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 解：分为3类：
第1类：挂1面 A31 第2类：挂2面 A32 第3类：挂3面 A33
∴ A31 A32 A33 3 3 2 3 2 1 15
注：解排列应用题，注意分类与分步原理的应用 练习：由1，2，3这3个数字可以组成多少个没有重复
第1步：视甲、乙为一个元素与其他5人排， A66
第2步：甲、乙在一起排 ， A22
∴ 由分步计数原理 A22 A66 2 720 1440
说明：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些 元素看作一个元素，与其它元素排列后， 再考虑相邻元素的内部排序，称为“捆绑法”
（6）甲、乙两人必须不相邻
解：（法1）甲、乙不相邻，先排其余5人，有 A55 种，
∴由分步计数原理
A91 A92 9 9 8 648
第1类：每一位数字都不是0 A93
第2类：个位数字是0 A92 第3类：十位数字是0 A92
∴ 由分类计数原理
A93 A92 A92 648
法3 （间接法）从10个数字中任取3个数字的排列数 A130
其中0在百位上的排列数 A92
∴所求的三位数的个数为 A130 A92 10 9 8 9 8 648
(二）有限制的排列问题 限制条件：某位置上不能排某元素或只能排某元素
常用方法：(1)直接法 a优限法：先特殊后一般 （有特殊元素或特殊位置，通 常先排特殊元素或特殊位置， 称为“优限法” ）
b捆绑法：元素相邻
c插空法：元素不相邻
（2）间接法（排除法） （先不考虑限制条件，算出所有的排列 数，再从中减去不符合条件的排列数）