导数的介值定理的几种证明
中值及相关定理-连续函数的介值定理-零点定理-费马引理
中值及相关定理：连续函数的介值定理，零点定理，费马引理 Cauthy Lagrange Rolle ,,注意要点：1.验证定理条件2.构造辅助函数中值定理条件：1）在闭区间[],a b 上连续 2）在开区间(),a b 内可导 罗尔定理：1）+2）+3）()()()()(),,,'0.f a f b a b a b f ξξξ=⇒<<=有一点使得 拉格朗日：1）+2）=有一点()()()(),'.f b f a a b f b aξξξ-<<=-使得 柯西：1）+2）+3）()()()()()()()''0.'f b f a f F x F b F a F ξξ-≠⇒=-例题：1若)(x f 在),(b a 可导且)()(b f a f =，则存在什么样的点属于),(b a ，使0)('=ξf 2一些构造函数+中值定理的题：[])(')()()(222ξξf a b a f b f -=-.2211sin '()tan '()2cos a b f f ξξξξ+= 3设R x x f ∈>,0)("，任取),(,b a c x ∈且c x ≠， 求证：)()()()()()())(('a f a x ab a f b f x fc f c x c f +---<<+-，即曲线介于切线与割线之间.3.2洛必达 4求极限：211000lim .x x e x -→ 5设函数()f x 具有一阶连续导数，且 ()()()201cos 00,'02,lim tan x f x f f x→-=== 3.3泰勒公式： 6.一些类似的taylor 展开题：1.)(x f 在),(b a 上连续，在),(b a 内有二阶导，若|)("|4)(|)()(|,0)(')('2ξf a b a f b f b f a f -≤-==2.)(x f 在[]1,0有二阶导，b a b x f a x f ,,|)("|,|)(|≤≤非负，)1,0(∈c ，求证：.22|)('|b a c f +≤ 3.)(x f 在()+∞∞-,上具有二阶导数，且220)("|,|)(|M x f M x f ≤≤，求证：202|)('|M M x f ≤4. 设在[]0,a 上有()()'',f x M f x ≤在()0,a 内存在最大值， 证明：()()'0'f f a aM +≤。
罗尔定理的证明过程
罗尔定理的证明过程罗尔定理，是微积分中重要的定理之一。
它有一个非常简单、易于理解的表述：如果一个函数 f 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b)内可导，并且满足 f(a) = f(b)，那么至少存在一个 c∈(a, b)，使得f'(c) = 0。
这个定理的证明过程非常有趣，涉及到了微积分的一些重要概念和技巧。
下面我们来一步一步地分析。
首先，我们需要明确一个概念：若 f 在区间 [a, b] 上连续，并且在 (a, b) 内可导，那么在 [a, b] 内至少存在一点 c，使得 f'(c) = 0。
这个概念被称为介值定理（Intermediate Value Theorem），是微积分中很基础的一部分。
证明介值定理的思路是：首先，如果函数 f 在区间 [a, b] 上的最大值（或最小值）出现在了端点 a 或者 b 上，那么这个点就是我们要找的点 c；否则，我们不断地使用拐点定理，将区间 [a, b]分成两半，然后在其中一半中找到一个最大值（或最小值）的点，这个点即为我们要找的点 c。
了解了介值定理，我们现在回到罗尔定理本身。
我们要证明，如果函数 f 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，并且满足 f(a) = f(b)，那么至少存在一个 c∈(a, b)，使得 f'(c) = 0。
为了证明这个定理，我们需要用到另一个重要的概念：拉格朗日中值定理。
这个定理与罗尔定理形式相似，但前者要求函数在区间 [a, b] 内可导，而后者则要求在 (a, b) 内可导。
具体地说，拉格朗日中值定理指出：若 f 在区间 [a, b] 内连续，在 (a, b) 内可导，那么至少存在一个c∈(a, b)，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)这个公式的证明思路很简单：我们用介值定理找到一个点d∈(a, b)，使得 f(d) = (f(b) - f(a)) / (b - a)，然后应用罗尔定理在 [a, d] 和 [d, b] 上分别找到一个点 c1、c2，使得 f'(c1) = f'(c2) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
关于高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理首先我们来看看几大定理：1、介值定理：设函数fx在闭区间a,b上连续,且在该区间的端点取不同的函数值fa=A及fb=B,那么对于A与B之间的任意一个数C,在开区间a,b内至少有一点ξ使得fξ=Ca<ξ<b.Ps:c是介于A、B之间的,结论中的ξ取开区间;介值定理的推论：设函数fx在闭区间a,b上连续,则fx在a,b上有最大值M,最小值m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈a,b, 使得fξ=C;闭区间上的连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值;此条推论运用较多Ps：当题目中提到某个函数fx,或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续,那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值,那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值,必存在一个变量使得该值等于变量处函数值;2、零点定理：设函数fx在闭区间a,b上连续,且fa与fb异号,即fa.fb<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得fξ=0.Ps:注意条件是闭区间连续,端点函数值异号,结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数fx满足：1、在闭区间a,b上连续；2、在开区间a,b内可导;3、在区间端点处函数值相等,即fa=fb.那么在a,b内至少有一点ξ<aξ<b,使得f`x=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数fx 满足：1、在闭区间a,b 上连续；2、在开区间a,b 内可导;那么在a,b 内至少有一点ξ<a ξ<b,使得fb-fa=f`ξ.b-a.5、 柯西中值定理：如果函数fx 及gx 满足1、在闭区间a,b 上连续；2、在开区间a,b 内可导;3、对任一xa<x<b,g`x ≠0,那么在a,b 内至少存在一点ξ,使得Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值;6、 积分中值定理：若函数fx 在a,b 上连续,则至少存在一点],[b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξPs ：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立;但是在开区间上也是满足的,下面我们来证明下其在开区间内也成立,即定理变为：若函数fx 在a,b 上连续,则至少存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f b a -=⎰ξ证明：设⎰=x a dx x f x F )()(,],[b a x ∈因为)(x f 在闭区间上连续,则)(x F 在闭区间上连续且在开区间上可导导函数即为)(x f ;则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：),(b a ∈∃ξ使得a b dxx f a b a F b F F b a -=--=⎰)()()()`(ξ而)()`(ξξf F =所以),(b a ∈∃ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξ;在每次使用积分中值定理的时候,如果想在开区间内使用,我们便构造该函数,运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可;千万不可直接运用,因为课本给的定理是闭区间;定理运用：1、设)(x f 在0,3上连续,在0,3内存在二阶导函数,且⎰+==20)3()2()()0(2f f dx x f f . 证明：1)2,0(∈∃η使)0()(f f =η2)3,0(∈∃ξ使0)``(=ξf证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了,但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的;有的人明知这样还硬是这样做,最后只能是0分;具体证明方法在上面已经说到,如果要在开区间内用积分中指定理,必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合;1、令]2,0[),()(0∈=⎰x x F dt t f x则由题意可知)2,0(]2,0[)(上连续，在x F 内可导. 则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：2、对于证明题而言,特别是真题第一问证明出来的结论,往往在第二问中都会有运用,在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西,我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0,这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题,如果有三个函数值相等,运用两次罗尔定理那不就解决问题啦,并且第一问证明出来了一个等式,如果有fa=fb=fc,那么问题就解决了;第一问中已经在0,2内找到一点,那么能否在2,3内也找一点满足结论一的形式呢,有了这样想法,就得往下寻找了,)3()2()0(2f f f +=,看到这个很多人会觉得熟悉的,和介值定理很像,下面就来证明：]3,0[)(在x f 上连续,则在]3,2[上也连续,由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值,分别设为M,m;则.)3(,)2(M f m M f m ≤≤≤≤从而,M f f m ≤+≤2)3()2(,那么由介值定理就有： 则有罗尔定理可知：0)`(),,0(11=∈∃ξηξf ,0)`(),,(22=∈∃ξηξf cPs ：本题记得好像是数三一道真题,考察的知识点蛮多,涉及到积分中值定理,介值定理,最值定理,罗而定理,思路清楚就会很容易做出来;2、设fx 在0,1上连续,在0,1内可导,且f0=0,f1=1.证明:ξξξ-=∈∃1)()1,0()1(f 使得、本题第一问较简单,用零点定理证明即可;1、首先构造函数：]1,0[,1)()(∈-+=x x x f x F由零点定理知：ξξξξ-==∈∃1)(,0)()1,0(f F 即使得2、初看本问貌似无从下手,但是我们始终要注意,对于真题这么严谨的题目,他的设问是一问紧接一问,第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用;在想想高数定理中的就这么些定理,第一问用到的零点定理,从第二问的结论来看,也更本不涉及什么积分问题,证明此问题也只可能从三大中值定理出发,具体是哪个定理,得看自己的情况,做题有时候就是慢慢试,一种方法行不通,就换令一种方法,有想法才是最重要的,对于一道题,你没想法,便无从下手;另外在说一点,在历年证明题中,柯西中值定理考的最少;本题结论都涉及一阶倒数,乘积之后为常数,很可能是消去了变为1你题目做多了,肯定就知道事实就是这样.并且第一问中0与1之间夹了个ξ,如果我们在0与ξ,ξ与1上对)(x f 运用拉格朗日中值定理似乎有些线索;写一些简单步骤,具体详细步骤就不多写了：将第一问中)(ξf 代入即可;Ps ：本题是05年数一的一道真题,第一问是基本问题,送分的,第二问有一定区分度,对定理熟练的会容易想到拉格朗日定理,不熟练的可能难以想到方法;做任何题,最重要的不是你一下子就能把题目搞出来,而是你得有想法,有想法才是最重要的,有了想法你才能一步步的去做,如果行不通了,在改变思路,寻求新的解法,如果你没想法,你就根本无从下手;3、设函数fx 在闭区间0,1上连续,在开区间0,1内可导,且f0=0,f1=1/3.对于这道题的结论比较有意思,比较对称,另外一个就是结论的条件,为何要把ηξ、放在两个范围内,不像上一题中直接来个)1,0(∈ξη、,这个分界点1/2 的作用是干吗的;很可能也是把1 /2当做某一个点就像上一题中的ξ,是否要用到拉格朗日中值定理呢,这是我们的一个想法;那具体的函数如何来构造呢,这个得从结论出发,22)`()`(ηξηξ+=+f f我们把等式变一下：0)`()`(22=-+-ηηξξf f ,2)`(ξξ-f 这个不就是331)(ξξ-f 关于ξ的导数而且题目中f1=1/3,貌似这样有点想法了,本题会不会也像上一题那样,运用拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢,有了这些 想法我们就要开始往下走了：先来构造一个函数：0)`()`(=+ξηF F 刚好证明出来;Ps ：本题是近几年数二的一道真题,只有一问,有比较大区分度的,得从条件结论互相出发,如何构造出函数是关键;做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了,如果只给)1,0(∈ξη、,那就更难了 得自己找这个点,既然题中给了这个点,并且把两个变量分开在两个区间内,我们就对这两个变量在对应区间用相应定理;说明真题出的还是很有技巧的;一般设计难一点的中值定理证明,往往得用拉格朗日定理来证明,两个变量,都涉及到导数问题,这是因为拉格朗日中值定理条件要少些,只需连续,可导即可,不像罗尔定理得有式子相等才可进一步运用;4.设fx 在区间-a,aa>0上具有二阶连续导数,f0=01、写出fx 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式2、证明在-a,a 上至少存在一点η使得⎰-=aa dx x f f a )(3)``(3η第一问课本上记住了写出来就行,考的很基础1、22!2)``()0`(!2)``(!1)0`()0()(x f x f x f x f f x f ξξ+⋅=++=2、第二问先将第一问的式子fx 代入看看有什么结果出来⎰⎰--⋅=a a aa dx x f dx x f 22)``()(ξ,)``(ξf 此处不能直接拿到积分号外面,因为他不是与x 无关的数;做到这儿,我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来,有了这样想法就得寻求办法;题目中说道fx 有二阶连续导数,为何要这样说呢,我们知道连续函数有最大值,最小值,往往会接着和介值定理一起运用;所以有：因为fx 有二阶连续导数,所以存在最大值和最小值,设为M,m 则对于区间-a,a,222)``(,)``(Mx x f mx M x f m ≤⋅≤≤≤ξ所以由介值定理有结论成立;Ps ：本题是以前的一道真题,具体哪年也记不得了,主要就是考到介值定理的运用;题目中说的很明白的,有二阶连续导数,往往当题目中提及到什么连续啊,特别是对于导函数连续的,我们总得注意下他有最大值,最小值,进而与介值定理联合运用;5、设fx 在],0[π上连续,且0cos )(,0)(00=⋅=⎰⎰ππxdx x f dx x f .证明：在),0(π内至少存在两个不同点0)()(2121==ξξξξf f 使得、本题看似很简洁,但做起来去不容易;结论是证明等式成立且为0,很容易让我们想到罗尔定理,我们如果能找到三个点处函数值相等,那么是不是就能有些思路了呢;令：],0[,)()(0π∈=⎰x dt t f x F x ,0)()0(==πF F似乎只需在找出一点Fc=0即可;,如果一切如我们所想,证明也就完成了;0)(sin )(cos )(cos cos )(0000=⋅+⋅==⋅⎰⎰⎰ππππdx x F x x F x x xdF xdx x f 似乎已经找到这个点了;但是积分中值定理中,是取闭区间,如果要用的话得先构造函数用拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立;构造函数],0[,)(sin )(0π∈⋅=⎰x dt t F t x G x 具体的证明步骤和上面涉及到的一样,自己去证;证完后就得到所以有：),0(,0)()()0(ππ∈===c F c F F接下来的证明就和第一题中第二小问一样了,具体就不去证明了,自己证,关键掌握方法,思路;Ps ：本题是02年左右的数一一道证明题,看看题目很简洁,但具体来做,如果对定理的运用不熟练,还是不好弄出来;本题中涉及到积分,而且又要证明等式成立且为0,容易想到积分中值定理,以及罗尔定理;但是积分中值定理是对于闭区间而言,而我们要用到开区间,只能自己构造函数来证明其在开区间内成立,如果在实际做题的时候你不证明直接用,估计一半的分都没了;本题关键的就是寻找这个点C,找出来了其他的都不是问题,既然是关键点,那得分点也肯定最多了,你不证明这个点,直接套用课本中定理如果用的话,得分类讨论了,硬是说C 点就成立,那估计一半的分都没了;对于中值定理这章,就先给出上面一些经典的题目,大家好好体会下,多做些题,多思考;下面来讲讲对于证明题中的,函数如何来构造：基本上都是从结论出发,运用求导或是积分,或是求微分方程,解出来也可;本人自己总结了一些东西,与大家交流下：首先我们来看看一些构造函数基本方法：一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：一般都会构造出为任意常数或者或者n x e e XXX x g n x x ,)(-⋅=1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系,想想构造带有x x e e -或者)()`(x f x f = 可以构造x e x f x g -⋅=)()(0)()`(=+x f x f 可构造x e x f x g ⋅=)()(λ=+)()`(x f x f 可构造x x e e x f x g ⋅-⋅=λ)()()()(x f dt t f xa =⎰这个也是原函数与一阶导函数问题,构造函数⎰⋅=-x a x dt t f e x g )()( 先将其变形下：x x f x f λλ-=-1)()`(左边是导函数与原函数关系可构造：x e x f λ-⋅)(右边可以看成是x x λ-`也成了导函数和原函数之间关系,如是可以构造：x e x λ-⋅从而要构造的函数就是：x e x x f x g λ--=))(()(2、如果还涉及到变量X,想想构造n x0)()`(=+x f x xf 可构造x x f x g ⋅=)()(xx f x f )(2)(-=可构造2)()(x x f x g ⋅= 0)()`(=+x nf x xf 可构造n x x f x g ⋅=)()(3、另外还可以解微分方程来构造函数：如0)`()(=+x f x xf二、二阶导数与原函数之间关系构造带有x x e e -或者如何构造如下：)()`()`()``(x f x f x f x f +=+对于此式子,你会不会有所想法呢,在上面讲到一阶导函数与原函数之间的构造方法,等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数只不过原函数是)`(x f 之间关系,从而等式左边可以构造x e x f ⋅)`(等式右边可以构造x e x f ⋅)(总的构造出来函数为：x e x f x f x g ⋅-=))()`(()(另：如果这样变形：构造函数如下：x e x f x f x g -⋅+=))()`(()(,可以看上面原函数与导函数之间关系如何构造的;从而对于此函数构造有两种方法,具体用哪一种构造得看题目给的条件了;如果题目给了)()`(x f x f -为什么值可以考虑第一中构造函数,如果题目给了)()`(x f x f +,则可以考虑第二种构造方法;先变形：变成一阶导函数和原函数之间关系这个函数确实不好构造,如果用微分方程来求会遇到复数根;实际做的时候还得看题目是否给了)`(x f 的一些条件,如果在某个开区间内不为0,而构造出来的函数在闭区间端点取值相等,便可用罗而定理来证明;具体来看看题目：1、 设)(x f 在0,1上连续,在0,1内可导,且f0=f1=0,f1/2=1证明：2、存在1)()`(),,0(+-=∈ηηηξηf f 使得1、对一问直接构造函数用零点定理：x x f x F -=)()(具体详细步骤就不写了;2、该问主要问题是如何构造函数：如果熟练的话用上面所讲方法来构造： 1)()`(+-=ηηηf f 先变形 另：用微分方程求解法来求出要构造的函数把常数退换掉之后就是要构造的函数函数构造出来了,具体步骤自己去做;2、设)`(x f 在a,b 上连续,fx 在a,b 内二阶可导,fa=fb=0,0)(=⎰b a dx x f证明：1存在)`()(),`()(),(,221121ξξξξξξf f f f b a ==∈使得2存在)()``(,),,(21ηηξξηηf f b a =≠∈使得1、第一问中的函数构造：2、第二问中函数构造有两种构造方法,上面讲解中说道了我们在这用第一种原因在于第一问中)()`(x f x f -=0符合此题构造; 具体详细步骤自己去写写;3、设奇函数]1,1[)(-在x f 上具有二阶导数,且f1=1,证明：(1) 存在1)`(),1,0(=∈ξξf 使得(2) 存在1)`()``(),1,1(=+-∈ηηηf f 使得第一问中证明等式,要么用罗尔定理,要么介值定理,要么零点本题很容易想到用罗尔定理构造函数来求,因为涉及到了导函数1、x x f x F -=)()(,题目中提到奇函数,f0=0有F0=F1=0从而用罗尔定理就出来了;2、第二问中的结论出发来构造函数,从上面讲的方法来看,直接就可以写出要构造的函数先变形下：x xx e x f x G e e x f f f ⋅-==⋅=+)1)`(()()`(1)`()``(ηη函数构造出来,并且可以用到第一问的结论,我们只需要在-1,0之间在找一个点也满足1的结论即可;也即1)`(),0,1(=-∈ζζf从而可以对)1,1(),(-⊆∈ξζη运用罗尔定理即可;Ps ：本题为13年数一真题,第一问基础题,但要看清题目为奇函数,在0点处函数值为0.第二问关键是构造函数,函数构造出来了就一步步往下做,缺什么条件就去找什么条件或者证明出来,13年考研前我给我的几个考研小伙伴们讲过构造函数的一些方法,考场上都很快就搞出来了;以上是关于中值定理这章的一些小小的讲解,由于科研实践很忙,这些都是今天抽出时间写出来的,Word 上写,真心费时间,如果大家还有什么问题,可以来讨论下;。
关于介质定理的证明及推广的探讨
龙源期刊网
关于介质定理的证明及推广的探讨
作者：雷燕王缨杨煌
来源：《中国校外教育·理论》2011年第08期
给出了导数、连续函数的介值定理的不同角度的证明方法，这些方法带有一定的启发性，并对介值定理的推广进行了较深入的探讨。
导数介值定理连续函数证明方法
介值定理是微分学中最基本、最重要的定理之一，应用颇广，本文给出了导数的介值定理的两种证明方法及连续函数的介質定理的证明方法和推广，这些证法各具特色，富有启发性。
1 导数的介值定理
2 连续函数的介值定理
3 定理的推广
本文给出了介值定理的多种证明方法，带有一定的启发性和技巧性，通过证明命题，在思想方法有所启示和收获，对提高逻辑推理能力，加深对基本概念的理解和开阔思路，起到触类旁通的作用。
参考文献：[1]汪林.数学分析中的问题和反例.云南科技出版社，1990.
[2]贾建华，王克蓊.微积分证明方法初析.南开大学出版社，1989.
[3]刘五链，傅沛仁.数学分析讲义（上册）.高等教育出版社，1986.
[4]赵根榕，熊必璠.导数的介值定理的几种证明.数学通报，1982.。
考研数学复习-关于等式与不等式的基本证明
关于等式与不等式的基本证明一、考试内容（一）介值定理介值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b ≠，对于(),()f a f b 之间的任一个数C ，),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论1（零点定理）：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()0f a f b <， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论2（零点定理）：若)(x f 在(,)a b 内连续，且()()0f a f b +-<， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论3（零点定理）：若)(x f 在(,)-∞+∞内连续，且lim ()lim ()0x x f x f x →-∞→+∞<，则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠）介值定理推论4：若)(x f 在],[b a 上连续， m in ()f x m =，m ax ()f x M =，且M m ≠， 对于,m M 之间的任一个数C ，则),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（ξ可能取到a 或b ） （二）代數基本定理：任何一個非零的一元n 次实系数多項式，都至多有n 個实数零点．（三）积分中值定理定积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使()()()b af x dx f b a ξ=-⎰．定积分中值定理推论1：设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且()g x 在],[b a 上不变号， 则(,)a b ξ∃∈，使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．对于定积分中值定理及其推论1，ξ可能取到a 或b ．（四）微分中值定理罗尔中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()f a f b =， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式1：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)(x f 有2n ≥个不同的零点，则'()f x 在),(b a 内至少存在1n -个不同的零点． 罗尔中值定理的推广形式2：若)(x f 在),(b a 内可导，且()()f a A f b +-==， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式3：若)(x f 在[,)a +∞内连续，在(,)a +∞内可导， 且lim ()()x f x f a →+∞=，则(,)a ξ∃∈+∞，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式4：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且'()0f x ≠，则)(x f 在),(b a 内为单调函数．拉格朗日中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导， 则),(b a ∈∃ξ，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-． （五）不等式定理凹凸性不等式定理：若()()0,f x ''<>则()()()()22f x f y x y f ++≤≥．积分不等式定理：若()()f x g x ≥，则()()b b aaf x dxg x dx ≥⎰⎰（a b <），但反之不然． 积分估值定理：若()f x 在[,]a b （a b <）上连续，则min max ()()()()()b af x b a f x dx f x b a -≤≤-⎰．积分绝对值不等式定理：()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰（a b <）． 二、典型例题题型一 恒等式证明主要方法：求导法、换元法、反证法 例1、求证：（1）()0()()()(),f x a T T af x f x T f x dx f x dx +=+=⎰⎰可积（2）()0()()()()f x nT T f x f x T f x dxn f x dx=+=⎰⎰可积．提示：（1）令0()()(),a T T aF a f x dx f x dx +=-⎰⎰a R∈用求导法，这比用换元法方便（2）令0()()()nT T G n f x dx n f x dx=-⎰⎰，用求导法错误，因n Z ∈,用换元法方便111(1)0()()()()()n n n x kT u nT k T T T T kTk k k f x dx f x dxf kT u du f x dx n f x dx---=++=====+==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰．例2、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(≥x f ，若0)(=⎰badx x f ，则在],[b a 上，0)(=x f ．证明：用反证法，假设0)(),,(00>∈x f b a x ，则),(),(00b a x x ⊂+-∃δδ)0(>δ0)(>x f ，则⎰⎰+-∈>=≥+-ba x x x x f dx x f dx x f ),(,0)(2)()(0000δδζξδδδ积分中值定理.这与0)(=⎰badx x f 矛盾，故原式得证．题型二 方程根的存在性与中值问题主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法 （1）)(x f 在],[b a 或),(b a 上连续，则()f x ⎧⎨⎩直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例1、设)(x f 在],[b a 上连续，且0,,><<<q p b d c a ，求证：方程)()()()(d qf c pf x f q p +=+在),(d a 内至少有一根． 提示：取)()()()()(d qf c pf x f q p x F --+=在],[d c 上用零点Th ． 例2、设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且0)(lim=∞→xx f x ，求证：),(+∞-∞∈∃ξ使0)(=+ξξf ．证明：设x x f x F +=)()(，则)(x F 在),(+∞-∞上连续，+∞=+=+∞→+∞→])(1[lim )(lim xx f x x F x x ，01>∃x ，使0)(1>x F同理，由,)(lim -∞=-∞→x f x ∴02<∃x ，使0)(2<x F故，)(x F 在],[21x x 上满足零点定理，因而，原题得证．例3、)(x f 在],[b a 上连续，0],,[>∈i i t b a x ),,2,1(n i =，且11=∑=ni i t ，求证：],[b a ∈∃ξ使∑==ni i ix f tf 1)()(ξ．（此为1{()}ni f x 的加权平均值）提示： ()m f x M ≤≤， 有∑∑∑====≤≤=ni ni ini i iiMMtx f tmtm 111)(．事实上，对于定积分中值定理的证明同上，111()b b b aaam m dx f x dx M dx Mb ab ab a=≤≤=---⎰⎰⎰则(,)a b ξ∃∈，使1()()b af f x dxb aξ=-⎰．（此为()f x 在],[b a 上的平均值）例4、设k a 是满足012)1(1=--∑=nk k kk a 的实数，求证：∑==-nk k x k a 10)12cos(在)2,0(π内至少有一实根．提示：令1'()cos(21)nk k F x a k x==-∑，构造∑=--=nk kk x k a x F 112)12sin()(在]2,0[π上用罗尔．例5、设)(x f y =为]1,0[上的任一连续函数，且⎰⎰=11)()(dx x xf dx x f求证：0)1)((=-x x f 在)1,0(内至少有一根． 提示：令'()()(1)F x f x x =-，构造⎰-=1)1)(()(xdt t t f x F 在]1,0[上用罗尔定理．例6、设)(x f y =为]0,1[-上的任一连续函数，记)(x f 在]0,1[-上的平均值为A ， 求证：)0,1(-∈∃ξ，使A f dt t f e =+⎰-])()([1ξξξ．提示：令1'()[()()]x x F x e f t dt f x A -=+-⎰，构造1()()xx F x e f t dt Ax -=-⎰，用罗尔定理．（2）)(x f 在],[b a 或),(b a 上可导，则⎩⎨⎧数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(x f 例1、设)(x f 在1[,2]2连续，在1(,2)2上可导，且 )2()(2121f dx x f =⎰ ，试证：)2,0(∈∃ξ ，使'()0f ξ=．提示：由积分中值定理知，1121(2)2()(),(,1)2f f x dx f ηη==∈⎰，用罗尔定理．例2、设)(),(x g x f 在],[b a 连续，在],[b a 上可导，且对于),(b a x ∈有0)(≠'x g 试证：),(b a ∈∃ξ，使)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --='' ．提示：令'()'()()()'()'()()()'()F x f x g x f x g x f x g b f a g x =+--，构造函数()()()()()()()F x f x g x f x g b f a g x =--在],[b a 上用罗尔Th ． 例3、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导求证：),(b a ∈∃，使11[()()]()()nnn banf f A b a f a f b ξξξξ-'+==-．提示：（1）令1'()()()n n F x nx f x x f x -'=+，构造)()(x f x x F n =在],[b a 上使用Lagrange（2）令1'()()()n n F x nx f x x f x A -'=+-，构造()()nF x x f x Ax =-在],[b a 上使用罗尔．例5、设)(),(x g x f 于[]10,连续，()10,内可导，对),(b a x ∈恒有)()()()(x g x f x g x f '≠'， 求证：若)(),(x g x f 在),(b a 内有两个零点，则介于其之间，)(x g 至少有一个零点． 提示：用反证法，假设0)()(21==x f x f ，且0)(≠x g ，],[21x x x ∈ 构造)()()(x g x f x F =，则0)(='ξF ，与条件矛盾．例4、设)(x f 在[]b a ,上一阶可导， ()0f a =，'()0f a >， 证明：（1）存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf ；（2）存在),(b a ∈η，使'()()f f ηη=． 提示：（1）由保序性，()1,x a a δ∃∈+，使得()10f x >，由零点定理知（1）． （2）注意到（1）及题设条件，知函数()f x 在[],a b 上存在两个零点,a ξ， 于是()()x F x e f x -=在(),a b 上有两个零点，由Rolle 定理，易证（2）． 题型三 非积分不等式 主要方法(1) 构造函数)(x f ，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可.(2) 利用函数的凹凸性.(3) 利用函数的极值和最值----构造函数，比较值为极值或最值. (4) 利用中值法证明不等式. 例1、设)1,0(∈x ，求证：(i) 22)1(ln )1(x x x <++； (ii) 211)1ln(112ln 1<-+<-x x ．提示：(i)令()ln(1)1x f x x x=+-+或22()(1)ln (1)g x x x x =++-(ii) 令11()ln(1)h x x x=-+，则22()'()0(1)ln (1)g x h x x x x =<++，有(1)()(0)h h x h +<<．例2、比较e e ππ与的大小．提示：x e >，比较x e e x 与的大小，取对数构造()ln f x x e x =-，易证e e ππ>． 例3、设)(),(x g x f 二阶可导，当0>x 时，)()(x g x f ''>''，且)0()0(g f =，)0()0(g f '='，求证：)()(0x g x f x >>时，． 提示：令)()()(x g x f x F -=，需两次求导．例4、当0,0>>y x 时，求证：2ln )(ln ln y x y x y y x x ++≥+．提示：令)2(2)()(0)(,ln )(y x f y f x f t f t t t f +≥+⇒>''=．例5、0,0,0>>>>αβy x ，求证：βββααα11)()(y x y x +>+．提示：其等价于11ln[1())]ln(1())yyxxαββα+>+，令1()ln(1)t f x a t =+，0>a ．若1a =，原命题成立，现证明()f t 在0,1t a >≠时单调递减22ln (1)ln(1)()'()(1)(1)t t tttta a a a g t f t t a t a -++==++，'()ln [ln ln(1)]t t t g t a a a a =-+1a >时，'()0g t <，则()(0)0gt g <<；01a <<时，'()0g t >，则()l i m ()0t gt gt →+∞<=．例6、设1,10>≤≤p x ，求证：1)1(211≤-+≤-ppp x x.提示：令p p x x t f )1()(-+=，求其在]1,0[的最值． 例7、设)(x f 在(1,1)-内有0)(<''x f ，且2sincos )(lim2=-→xx x f x ，求证：()1f x ≤．证明：易知,1)0(=f 2200()cos sin cos 1(0)lim lim 0sin x x f x x x f x x x→→--'=⋅+= 令 1)()(-=x f x F ，求其最大值，因0)()(,0)0(,0)0(<''=''='=x f x F F F ，则易证．例8、若x y <<0及1>p ，求证：)()(11y x px y x y x py p p p p -<-<---． 提示：令()p f t t =，在],[y x 上对)(t f 应用拉氏定理．例9、在],0[a 上，()f x M ''≤，且)(x f 在),0(a 内取最大值，求证：Ma a f f ≤'+')()0(．证明：设,0)],([max )(0a c x f c f ax <<=≤≤则0)(='c f在],[],,0[a c c 对)(x f '分别应用拉氏定理，则易证． 题型四 积分不等式 主要方法（1）应用定积分的不等式性质(如比较定理，估值定理及函数绝对值积分不等式 （2）函数的单调性（构造辅助函数） 积分中值定理（3）微分中值定理（被积函数具有可导条件） 常伴于其中 例1、设0>p ，求证：1111<+<+⎰pxdx p p .提示：1111<+<-pp xx ，用积分不等式性质.例2、求证：22sin 0x dx π>⎰.提示：22222sin sin sin sin sin 2sin ()()x tt t t t t x dx dt dt dt dt ttttt πππππππ===+=-+⎰⎰⎰⎰⎰.例3、已知)(x f 满足：对212121)()(],,[,x x x f x f b a x x -≤-∈∀ 求证：2)(21)()()(a b a f a b dx x f ba-≤--⎰.证明：左[()()]b af x f a dx =-⎰2)(21)()()(a b dx a x dx a f x f baba-=-≤-≤⎰⎰.例4、设'()f x 在[0,2]π上连续且大于零，求证：202()sin [(2)(0)]f x nxdx f f nππ≤-⎰.提示：22011()sin [(2)(0)]'()cos f x nxdx f f f x nxdxnnπππ=--+⎰⎰分部积分，则220112()sin [(2)(0)]'()cos [(2)(0)]f x nxdx f f f x nx dx f f nnnππππ≤-+≤-⎰⎰.例5、设)(x f 在],[b a 上连续且严格单增，求证：⎰⎰<+babadx x xf dx x f b a )(2)()(.证明：令],[,)(2)()()(b a x dt t tf dt t f x a x F xax a∈-+=⎰⎰则0)]()([)()()()(<-=+-='⎰⎰xaxadt x f t f dt t f x f x a x F∴ ba >，总有0)()(=<a Fb F ，原不等式成立.例6、设(),()f x g x 在]1,0[上有连续的导数，且(0)0,f ='()0,'()0f x g x ≥≥ 求证：对[0,1]a ∈，1'()()()'()()(1)af xg x dx f x g x dx f a g +≥⎰⎰.提示：令1()'()()()'()()(1)aF a f x g x dx f x g x dx f a g =+-⎰⎰'()'()()'()(1)0F a f a g a f a g =-≤，于是，()F a 在[0,1]a ∈时单调递减则()(1)0F a F ≥=，得证．例7、设'()f x 在]1,0[上连续， 01(0)(1)0,max '()x f f M f x ≤≤===，求证：10()4M f x dx ≤⎰.证明：⎰⎰⎰-+-≤121211)1()()0()()(dxf x f dx f x f dx x f⎰⎰-'+'=1212211)1()()(dx x f xdx f ξξMdx x xdx M 41])1([121210=-+≤⎰⎰.三、课后练习1、证明：当1<x ，总有4arctan 11arctan π=--+x xx ．2、求证：⎰⎰⎰++=+101)(ln )()1(ln)(ln dt t f dt t f t f dt t x f x．3、()f x 是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰（2）证明()()()202x t tg x f t f s ds dt+⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．4、设)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b =， 求证：方程()()2b a f x f x -=+在(,)a b 内至少有一根．5、设)(x f 在R 上连续，且(())f f x x =，则存在一点R ξ∈，使()f ξξ=．6、设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且0)(>x g ， 求证：),(b a ∈∃ξ，使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．7、)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且⎰=-bab f dx x f ab )()(1求证：在),(b a 至少存在一点ξ，使0)(='ξf ．8、)(x f 于],[b a 连续，),(b a 可导，求证：),(b a ∈∃ξ，使)()()()(ξξξf f ab a af b bf '+=--．9、)(x f 在]1,0[上可微，且⎰=21)(2)1(dx x xf f ：试证：)1,0(∈∃ξ，使0)()(='+ξξξf f ．10、设)(x f 在[]2,1上连续，在)2,1(上可微，且21)1(=f ，2)2(=f ，则存在一点()2,1∈ξ使0)()(2='-ξξξf f ．11、设)(x f 在[]1,0上可微，⎰-=k x dx x f xe k f 11)()1(，)1(>k ，证明存在一点()1,0∈ξ，使得)(11)(ξξξf f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=' 12、函数)(x f 可导，则)(x f 的两个零点之间必有函数)()(/x f x f -的一个零点． 13、设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 上可微，且0)()(==b f a f ，则存在一点()b a ,∈ξ使0)()(2='+ξξλξf f ． 14、设函数)(x f 在],0[+∞上可导，2)0(π=f ，且xx f 1arctan)(0≤≤，证明存在),0(+∞∈ξ，使1)()1(/2-=+ξξf ．15、设)(x f 在),(b a 上具有二阶导数，且0)()(,0)()(>''==b f a f b f a f 证明：(,)a b η∃∈，使0)(=''ηf ．16、设)(x f 于]1,0[连续，)1,0(可导，且1)1()0(==f f ，1)21(=f ，求证：（i ）)1,21(∈∃η，使ηη=)(f ，（ii ）对任意实数λ，),0(ηξ∈∃，使1])([)(=--'ξξλξf f ． 17、当0>x 时，求证：1ln(1)1xe x x->++.18、当0x >时，求证：1arctan 2x x π+>.19、当π<<x 0时，求证：πxx >2sin .20、当0>x 时，证明：2111)1(x xex ++<+.21、当 0a b <<时，求证:2()lnb b a ab a->+ .22、当0>x 时，试证：22)1(ln )1(-≥-x x x . 23、已知q p ,是大于1的常数，且111=+qp 求证：对0>∀x ，有x qxp p≥+11.24、求证：1212-+≥n n n ),1(为自然数n n ≥.25、对于1,1≥>n a ，求证：21111211ln )1(na aa a n a n n n n <-<+++.26、设b a <<0，求证：abab a b ba a 1ln ln 222<--<+.27、证明:当0,sin 2cos sin 2cos a b b b b b a a a a πππ<<<++>++时.28、设)(x f 处处可导，则（D ）A -∞='-∞=-∞→+∞→)(lim ,)(limx f x f x x 则 B -∞=-∞='-∞→-∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则C +∞='+∞=+∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则 D +∞=+∞='+∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则29、设在]1,0[上，0)(>''x f 则)0()1(),1(),0(f f f f -''或)1()0(f f -的大小顺序是 )0()0()1()1(f f f f '>->'.30、设)(),(x g x f 正值且可导， 0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有（A ）A )()()()(x g b f b g x f >B )()()()(x g a f a g x f >C )()()()(b g b f x g x f >D )()()()(a g a f x g x f > 31、设1)(lim=→xx f x ，且0)(>''x f ，求证：x x f ≥)(.32、求证：14401ln(12)11dx x+<<+⎰.33、设)(x f 在]1,0[上连续且递减，求证：当10<<λ时，⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f λλ..34、设40tan nn I xdxπ=⎰，2n ≥，求证：112(1)2(1)n I n n <<+-.35、设)(x f 在]1,0[上可积，且当01x y ≤<≤时，()()arctan arctan f x f y x y -≤-，又(0)1f =，求证：101()ln 22f x dx ≤⎰.36、设)(x f '在],0[a 上连续，且0)0(=f ，求证：20()max ()2a x aaf x dx f x ≤≤'≤⎰.。
导函数性质及其应用
f ( x 0 ), 同理有 f ( x 0 ) = A 2 = f (x 0 ), 与已知矛盾。 ( 2) 若 f ( x ) 在 x 0 点为第二类 ( 无穷 ) 间断点, 则 f ( x 0 ),
收稿日期 : 2009- 04- 13 作者简介 : 海红 ( 1964) ) , 女 ( 蒙古族 ) , 内蒙古通辽人 , 副教授。
a - b = b + 3 = a- b - b= a a= 1 , 解得: 。 a- b = b+ 3= a- b b=- 1 例 4 . 设 f (x) = 解: x sin
2
1 ,x > 0 c x , f ( 0 ) 存在吗 ?
c
0 , x[ 0 f ( x ) 在 x = 0 点 连 续, f ( x ) = 1 1 2x sin - cos , x > 0 c c x x , f- ( 0) = 0 , 但是 f+ ( 0 ) 0 ,x [ 0 振荡不存在 , 但不能断定 f ( 0 ) 不存在. 回到传统的 方法 上去 , 显 然 f- ( 0 ) = 0 , 另 外 f+ ( 0 ) = x sin
+
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5武警学院学报 6 2009 年第 8 期 ( 总第 159 期 )
# 基础研究 #
g(x ) - g(a) < 0 , 所 以由保号 性知在 a 的 附近有 x- a g ( x ) < g ( a) 成立, 同理, 在 b 的附近有 g ( x ) < g ( b ) 成立 , 所以连续函数 g ( x ) 在 [ - a, a] 内取得最小值, 有 F erm a t定理得 g ( F ) = 0= f (F ) - c= 0 。 实际 上 , 由前面的定理 1 和定理 2 , 也容易理解这个定理 成立, 即导函数在其定义域内任意点要么连续要么 不离开导数值振荡, 因此导函数无论连续与否 , 导数 值都应 / 充满 0导函数的值域, 因此介值定理仍然成 立。 1 . 2 推论 由定 理 1 、 定 理 2 我 们 不 难 得 到, 如 果 函 数 f ( x ) 在某点的领 域内 处 处可 导 , 即 f ( x ) ( 其中 x X x 0 ), 则 ( 1 ) f ( x ) 在该 点的 左 右极 限 存在 且 相 等, f ( x ) 在 该 点 可 导 且 f ( x ) 在 该 点 连 续; ( 2 ) f ( x ) 在该 点 的左 右 极 限存 在 不 相等 或 者 至 少一 个 单 侧 极 限 为 无 穷 大 时 , f ( x ) 在 该 点 不 可 导; ( 3 ) f ( x ) 在 该 点 的 一 侧 或 两 侧 同 时 振 荡, f ( x ) 在该点可能可导。 2 应用举例 2 . 1 定理 1 、 定理 2 的应用 例 1. 设 f ( x ) = 吗? 解 : 用导数的定义分别求出 f+ ( 0 ) 和 f- ( 0 ) 来 判断是一种通用普适的方法, 但通常不够简单 . 利用 定理 1 、 定理 2 的结论得 , 因为 f (x ) 在 x = 0点连续, 且 f (x) =
导数的介值定理(达布定理)
导数的两大特性：1.导数的介值性（达布定理）。
2.导数无第一类间断点1.达布定理
证法二：不妨设f'₊(a)<f'₋(b)，对任意介于f'₊(a)、f'₋(b)的实数k有：
f'₊(a)<k<f'₋(b)构造函数：F(x)=f(x)-kx。
若F(a)=F(b)，则由罗尔中值定理：存在ε∈(a,b)使F'(ε)=0。
不妨设F(a)＜F(b)，又F'₊(a)＜0，由极限保号性，存在
χ∈（a,b）使F（χ）＜F（a）。
从而F(χ)<F(a)<F(b)。
由介值定理存在
ζ∈(χ,b)，使F(ζ)=F(a)。
又由罗尔中值定理，存在ξ∈(a,ζ)，使F'(ξ)=0。
所以无论如何总存在x∈(a,b)使F'(x)=0即f'(x)=k。
导函数的零点定理：其实和达布定理是等价的，可以等同
2.导数无第一类间断点
下张图是非严格性的证明（把ξ看成x的复合函数其实不大严谨）
其中在证法二中，若f'（x）在x₀的极限存在，也可以用洛必达法则代替微分中值定理。
f'（x）在某点振荡间断的例子
根据上述定理及内容，我们给出两个比较有用的结论：
导数极限定理相关内容https:///p/359081150注：见下图
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草稿。
二阶导数的介值定理
二阶导数的介值定理哎呀，说起二阶导数的介值定理，这可真是个让人头疼的话题。
不过，别担心，咱们今天就用大白话聊聊这个让人头大的数学概念。
首先，得说说这个定理是干嘛的。
简单来说，二阶导数的介值定理就是告诉我们，如果一个函数的二阶导数在某个区间上连续，那么这个区间上至少存在一个点，使得这个点的二阶导数值等于这个区间上二阶导数的平均值。
听起来是不是有点绕？别急，我给你举个例子。
想象一下，你手里拿着一个弹簧，你开始慢慢地拉伸它。
这个弹簧的伸长量，我们可以看作是一个函数，而你施加的力，就是这个函数的导数。
当你继续拉伸，弹簧的伸长速度会变化，这个变化的速度，就是二阶导数。
现在，如果你在两个点之间拉伸弹簧，那么根据二阶导数的介值定理，至少存在一个点，这个点的伸长速度（二阶导数）等于这两个点之间伸长速度的平均值。
举个例子，假设你从弹簧的自然长度开始，慢慢拉伸到10厘米，然后又慢慢拉伸到20厘米。
在这个过程中，弹簧的伸长速度（二阶导数）会先增加，然后减少。
根据介值定理，至少存在一个点，这个点的伸长速度正好是10厘米到20厘米之间伸长速度的平均值。
这个定理在数学上的应用可多了，比如在物理学中分析物体的运动，或者在经济学中分析成本和收益的变化。
但是，对于我们这些普通人来说，理解这个定理最好的方式就是通过生活中的实例。
所以，下次当你看到有人在拉伸弹簧，或者在分析一个函数的凹凸性时，不妨想想这个二阶导数的介值定理。
它虽然听起来复杂，但其实就在我们身边，悄悄地影响着我们的生活。
好了，关于二阶导数的介值定理，咱们就聊到这儿。
希望这个例子能让你对这个抽象的数学概念有更直观的理解。
别忘了，数学其实就在我们身边，它并不遥远，也不难懂，只要你愿意去发现。
导数与中值定理归纳举例
x
x 0
1
1 1 f ( )1 f ( ) f ( 0) n n lim lim f (0) 1 1 1 n n 0 n n
17
1 例 设 f ( x )可导且满足 f (0) 0, f (0) 1,求 lim n f n n
(为f ( x )的导函数 )
1
注：若已知f ( x ) 在 x 0 处可导，则
f (a x ) f (a x ) lim x 0 x f ( a x ) f (a ) f (a ) f ( a x ) lim x 0 x
f (a x ) f (a ) f (a x ) f (a ) lim lim x 0 x 0 x x 2 f (a )
( lim [(b sin 2 x ) 1] 0 b 1 0 b 1)
x 0
f ( x ) f ( 0) e 1 1 1 lim lim 2a x 0 x 0 x0 x a 2
5
x a
1 nis 2 x 0 x mil x
1 f 0 1 lim n f (0) 1 解： n f lim n n n 1 0 n
18
例 设 ( x )是单调可导函数 f ( x )的反函数，
3 且 f (1) 2, f (1) ,求( 2) 。 3
x 2 )x (' f 0 x 时 0 x 当 1 1 soc nis x 2 ) x ( ' f 0 x 时 0 x 当 ： 解 x x 性 续 连 的) x ( ' f 论 讨 0 x
0 0 x
导 可 续 连 否 是) x ( f ( )
教育教学 导数的介值定理的几种证明
导数的介值定理的几种证明达布中值定理：设 y=f(x) 在 (A,B) 区间中可导，且 [a,b] 包含于 (A,B) ，f′(a)<f′(b) ，则对于任意给定的η:f′(a)<η<f′(b) ,都存在一点ξ∈(a,b) ,使得 f′(ξ)=η。
证明：构造函数 g(x)=f(x)−ηx ,则g′(a)=limx→ag(x)−g(a)x−a=f′(a)−η<0g′(b)=limx→bg(x)−g(b)x−b=f′(b)−η>0由极限保号性∃δ1>0,∀x∈(a,a+δ1)，恒有 g(x)−g(a)x−a<0，即 g(x)<g(a) .同样∃δ2>0,∀x∈(b−δ2,b) ，恒有 g(x)−g(b)x−b>0，即 g(x)<g(b) .由于 g(x) 在 [a,b] 上连续，必能在 [a,b] 取得最大值和最小值，由 g(x)<g(a) , g(x)<g(b) ，可知最小值只能由区间 (a,b) 内的点取得，设该点为ξ由于在区间内部取得的最值一定是极值以及g(x) 在 (a,b) 内任意一点处都可导，由费马定理可知 g′(ξ)=f′(ξ)−η=0 ，即，f′(ξ)=η，ξ∈(a,b) 。
证毕一、用达布定理证明在区间(A,B)内导函数f′(x)没有第一类间断点和无穷间断点。
证明：先证明导函数f′(x)在区间(A,B)内没有第一类间断点设f′(x) 在 x0∈(A,B)处的左右极限都存在。
设 limx→x0−f′(x)=X , limx→x0+f′(x)=Y 若 limx→x0+f′(x)=Y≠f′(x0) ,设 f′(x0)>Y ，令ε=f′(x0)−Y>0 .由于 limx→x0+f′(x)=Y ，则∃δ>0,∀x∈(x0,x0+δ) ,恒有 |f′(x)−Y|<ε2=f′(x0)−Y2 ，即 f′(x)<f′(x0)+Y2在 (x0,x0+δ) 内取一点α，必然有 f′(α)<f′(x0)+Y2<f′(x0)在 [x0,α] 区间上应用达布定理，对于，f′(x0)+Y2，∃ξ∈(x0,α)⊆(x0,x0+δ) ,使f′(ξ)= f′(x0)+Y2 ,但与∀x∈(x0,x0+δ) , f′(x)<f′(x0)+Y2 相矛盾。
介值定理历史
介值定理历史介值定理是微积分中的重要定理之一，它在数学分析和物理学中有广泛的应用。
介值定理最早由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯在19世纪提出，是他在研究实数域上的连续函数时得到的重要成果。
介值定理的核心思想是：如果一个函数在一个闭区间上连续，并且在这个区间的两个端点上取到了不同的值，那么它在这个区间内可以取到这两个值之间的任意值。
换句话说，介值定理保证了连续函数在一段区间上的取值范围。
为了更好地理解介值定理的含义，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个函数f(x)，它在闭区间[a, b]上连续，并且f(a) = 1，f(b) = 5。
根据介值定理，我们可以得出结论：在区间[a, b]内，函数f(x)可以取到1和5之间的任何值。
也就是说，无论我们选择任何一个介于1和5之间的数，都可以在区间[a, b]内找到对应的x值。
这个定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，介值定理可以用来证明存在着一种价格，使得市场上的需求和供应达到均衡。
在物理学中，介值定理可以用来证明存在着一种时间点，使得物体在这个时间点的位置与初始位置之间的距离等于它在这段时间内移动的总距离。
介值定理还可以应用于工程学、生物学等领域的问题。
介值定理的证明过程比较复杂，需要运用到一些微积分的知识，包括函数的连续性、导数等概念。
在证明过程中，通常会使用到罗尔定理和柯西中值定理等相关定理。
这些定理可以看作是介值定理的衍生定理，通过这些定理的推导和运用，可以得出介值定理的结论。
总结起来，介值定理是微积分中的重要定理，它保证了连续函数在一个闭区间内的取值范围，并在数学分析和物理学中有着广泛的应用。
通过介值定理，我们可以证明在一些实际问题中存在着一些特殊的数值或时间点，这些点具有重要的意义。
虽然介值定理的证明过程较为复杂，但它的应用却十分广泛，为人们解决了许多实际问题，展示了数学在现实中的重要性。
零点定理介值定理
零点定理介值定理零点定理是数学中一个重要的定理，它的全称是罗尔定理或零点定理。
它的主要内容是：如果一函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，在(a,b)内是可导的，且f(a) = f(b)，那么一定存在一点c∈(a,b)，使得f′(c) = 0。
换而言之，零点定理说明了在这样的情况下，一定会存在一点使得函数的一阶导数为零。
这个点被称为该函数在[a,b]上的一个转折点或极值点。
而这样的点在物理或经济学等领域中经常出现，因此这个定理在实际中有很多应用。
而介值定理也是数学中一个重要的定理，它的全称是零的介值定理。
它通常被描述为：“如果f(x)在区间[a,b]上为连续的，并且f(a)和f(b)异号，那么在(a,b)内至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c) = 0。
”这个定理是建立在零点定理的基础之上的，它的主要内容是：如果一函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，并且两个端点数值异号，那么在这个区间内一定会存在一个零点。
介值定理和零点定理都是基本分析学中的重要定理，它们的核心思想是函数在一个区间背后内必然有一些相关的特点。
零点定理关注的是导数的特性，而介值定理则关注函数值的特性。
而这些特性往往在实际问题中是非常有用的。
例如，在经济领域中，零点定理可以用来研究生产函数的转折点或极值点，以便更好地理解哪些因素对经济生产效率的提高有贡献。
而介值定理则可以用来解决一些预测性问题，比如预测股票价格、汇率等变化的趋势。
总之，零点定理和介值定理在不同领域中都有着重要的应用。
它们的建立给我们提供了一种研究函数本质特征和在某一区间内的行为的方法。
在实际工作中，这些定理经常被用来揭示问题的本质特征，为我们的决策提供了一定的指导作用。
中值定理应用
(∫
x
a
′ x f (t )dt = f ( x) ， 利用变限积分的函数 ∫ f (t )dt 作
a
)
辅助函数。 本题提示：本题直接用连续函数的介值定理比较困难，可考虑作辅助函数：
F ( x) = ∫ f (t )dt 。显然有 F (0) = F (π ) = 0 ，但要证本题结论，还需要找 F ( x) 的一个零
xe− x f ( x) = C 故可作出辅助函数 F ( x) = xe− x f ( x) ，对已知条件使用积分中值定理，
然后对辅助函数应用罗尔定理即可。 ） 例 9、设 f ( x) 在 [0,1] 内上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (0) = 0 ，但当 x ∈ (0,1) 时，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( x) > 0 ，求证对任意自然数 n ，在 (0,1) 内存在 ξ ，使
3、定理 5（拉格朗日（Lagrange）定理）
如果函数 f ( x ) 满足： （1）在闭区间 [ a , b] 上连续； （2）在开区间 (a, b) 内可导， 那么在 (a, b) 内至少有一点 ξ ( a < ξ < b) ，使得 f (b) − f ( a ) = f ′(ξ )(b − a ) 。
1 证明： （1）存在η ∈ ( ,1) ，使 f (η ) = η ； 2
（2）对任意自然数 λ ，必存在 ξ ∈ (0,η ) ，使 f ′(ξ ) − λ[ f (ξ ) − ξ ] = 1 （提示：(1)直接用介值定理即可； （2）令 F ( x) = e− λ x [ f ( x) − x] 利用罗尔定理） 例 12、假设函数 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 存在二阶导数，并且 g ′′( x) ≠ 0,
导函数介值性定理的推广及其应用(李霞04级)
李霞（楚雄师范学院数学系2004级2班）指导老师郎开禄摘要：本文给出了导函数介值性定理的几种推广形式，并讨论了导函数介值性定理的应用.关键词：导函数；介值定理；推广；应用Generalizations and applications of the derived functionintermediate value theoremAbstract:In t his paper ,several generalization forms and applications of the derived function intermediate value theorem are discussed.Key words:the derived function ;intermediate value theorem; generalization; application导师评语：在[6]([6].介值定理的推广及其应用[J].陕西工学院学报,2000,4:70-76)从不同方面推广了连续函数介值定理,并深入讨论了其应用.李霞同学的毕业论文<<导函数介值定理的推广及其应用>>深入的从不同方面推广了导函数介值定理,获得了广义的导函数介值定理(文中的定理10及其推论,定理14、定理18、定理22、定理26及定理27),并深入讨论了其应用.李霞同学的毕业论文<<导函数介值定理的推广及其应用>>选题具有理论与实际意义,通过深入研究, 进行利了大量的仔细的推理论证,获得了广义的导函数介值定理,并深入讨论了其应用.该论文完成有相当的难度和技巧性,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中,悟性好,钻研性强,能吃苦,其应用部分独立完成.前 言导函数介值性定理在研究函数性质方面起着重要的作用,受文[2]、[3]、[4]、[6]的启发,本文讨论了导函数介值性定理的推广,得到了导函数介值性定理的几种推广形式,并讨论了导函数介值性定理的应用.1导函数介值性定理定理]1[1 (导函数介值性定理或达布定理）若函数)(x f 在],[b a 上为可导函数,且)()(''b f a f -+≠,k 为介于)('a f +与)('b f -之间的任一实数,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得k f =)('ξ.证明 令kx x f x F -=)()(,则)(x F 在],[b a 上可导,因k 介于)('a f +与)('b f -之间,不妨设)()(''b f k a f -+<<,则0)()(,0)()(''''>-=<-=--++k b f b F k a f a F ,即,0)()(lim ,0)()(lim >--<---+→→bx b F x F a x a F x F b x a x故存在0>δ,使),(δ+∈a a x 时,0)()(<--a x a F x F ,),(b b x δ-∈时,0)()(>--bx b F x F ,即),(),()(δ+∈<a a x a F x F ,),(),()(b b x b F x F δ-∈< (1)因为)(x F 在],[b a 上连续,故)(x F 在],[b a 上存在最小值,即存在一点],[b a ∈ξ,使)(x F 在点ξ取得最小值,由(1)可知b a ,≠ξ,这就说明ξ是)(x F 的极小值点,由费马定理知0)('=ξF ,即k f =)('ξ,),(b a ∈ξ.2 导函数介值性定理的推广2.1 导函数介值性定理的几个推论定理2 若)('x f 在],[b a 上连续,且0)()(''<⋅-+b f a f ,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)('=ξf .证明 由连续函数的零点存在定理直接而得.推论 若)('x f 在],[b a 上连续,且0)()(''≤⋅-+b f a f ,则至少存在一点],[b a ∈ξ,使得0)('=ξf .证明 (1)若0)('=+a f ,或0)('=-b f ,则取,a =ξ或,b =ξ有0)('=ξf ; (2)若0)('≠+a f ,且0)('≠-b f ,则0)()(''<⋅-+b f a f ,于是由定理2知至少存在一点),(b a ∈ξ使得0)('=ξf .故综上所述,至少存在一点],[b a ∈ξ,使得0)('=ξf .定理3 若函数)(x f 在],[b a 上可导,且0)()(''<⋅-+b f a f ,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)('=ξf .证明 因0)()(''<⋅-+b f a f ,故不妨设0)('<+a f ,且0)('>-b f ,则)(0)(''b f a f -+<<,于是由导函数介值性定理, 至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)('=ξf .推论 若函数)(x f 在],[b a 上可导,且0)()(''≤⋅-+b f a f ,则至少存在一点],[b a ∈ξ,使得0)('=ξf .证明 (1)若0)('=+a f ,或0)('=-b f ,则取,a =ξ或,b =ξ有0)('=ξf ; (2)若0)('≠+a f ,且0)('≠-b f ,则0)()(''<⋅-+b f a f ,于是由定理3知至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)('=ξf .故综上所述,至少存在一点],[b a ∈ξ,使得0)('=ξf .2.2 导函数介值性定理的推广2.2.1 导函数介值性定理的推广一定理4 若函数)(x f 在],[b a 上存在n 阶导数,且)()()()(b f a f n n -+≠,k 为介于)()(a f n +与)()(b f n -之间的任意一个实数,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得k f n =)()(ξ.证明 将)()(x fn 直接用导函数介值性定理,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得k f n =)()(ξ.定理]2[5 若)(x f ,)(x g 均在],[b a 上可导,并且在],[b a 上,0)('≠x g ,k 为介于)()(''a g a f 与)()(''b g b f 之间任何值,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得k g f =)()(''ξξ.证明 设)()()()(''''b g b f k a g a f <<,再令 ⎪⎩⎪⎨⎧=--)()()()()()('')(a g x ga f x f a g a f x F .,],,(,a xb a x =∈ ⎪⎩⎪⎨⎧=--)()()()()()('')(b g x g b f x f b g b f x G .,),,[,b x b a x =∈则)(),(x G x F 在],[b a 上连续,因)()()()(''''b g b f k a g a f <<,则无论)()(''a g a f ,)()(''b g b f ,)()()()(a g b g a f b f --三者位置关系如何,k 或在)()(''a g a f 与)()()()(a g b g a f b f --之间,或在)()()()(a g b g a f b f --与)()(''b g b f 之间.(1)若k 在)()(''a g a f 与)()()()(a g b g a f b f --之间,则k 在)(a F 和)(b F 之间.而)(x F 在],[b a 上连续且)()(b F a F ≠,由连续函数介值性定理,存在),(0b a x ∈,使得k x F =)(0,即k a g x g a f x f =--)()()()(00,而函数)(x f 和)(x g 在],[0x a 上都连续,在),(0x a 上都可导,)('x f 和)('x g 不同时为零,)()(0x g a g ≠,根据Cauchy 微分中值定理知,存在一点),(),(0b a x a ⊂∈ξ,使得k a g x g a f x f g f =--=)()()()()()(00''ξξ. (2)同理若k 在)()()()()()()()(b g a g b f a f a g b g a f b f --=--与)()(''b g b f 之间,则k 在)(a G 和)(b G 之间.而)(x G 在],[b a 上连续且)()(b G a G ≠,由连续函数介值性定理,存在),(0b a x ∈,使得k x G =)(0,即k b g x g b f x f =--)()()()(00,而函数)(x f 和)(x g 在],[0b x 上都连续,在),(0b x 上都可导,)('x f 和)('x g 不同时为零,)()(0x g b g ≠,根据Cauchy 微分中值定理知,存在一点),(),(0b a b x ⊂∈ξ,使得k b g x g b f x f g f =--=)()()()()()(00''ξξ.故综上所述, 至少存在一点),(b a ∈ξ,使得k g f =)()(''ξξ. 2.2.2 导函数介值性定理的推广二定理6 设函数)(x f 在),(b a 内可导,)(lim 'x f ax +→,)(lim 'x f bx -→存在,且)(lim )(lim ''x f k x f bx ax -+→→<<,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).证明 因为k x f ax <+→)(lim ',故存在01>δ,1:δ+<<∀a x a x ,有k x f <)(',又因为k x f bx >-→)(lim ',故存在02>δ,b x b x <<-∀2:δ,有k x f >)(',取),(),,(2211b b x a a x δδ-∈+∈,则)()(2'1'x f k x f <<,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21b a x x ⊂∈ξ,使得k f =)('ξ.推论 设函数)(x f 在),(b a 内可导,)(lim 'x f ax +→,)(lim 'x f bx -→存在,且0)(lim )(lim ''<⋅-+→→x f x f bx ax则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)('=ξf .证明 因0)(lim )(lim ''<⋅-+→→x f x f bx ax ,不妨设0)(lim '<=+→A x f ax ,0)(lim '>=-→B x f bx ,则B A <<0,由定理6,至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)('=ξf .定理7 设函数)(x f 在),(+∞a 内可导,)(lim 'x f ax +→,)(lim 'x f x +∞→存在,且)(lim )(lim ''x f k x f x ax +∞→→<<+,则至少存在一点),(+∞∈a ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).证明 因k x f ax <+→)(lim ',且k x f x >+∞→)(lim ',故存在0>G ,0>δ,使得),(,)('δ+∈<a a x k x f ,),(,)('+∞∈>G x k x f取),(),,(21+∞∈+∈G x a a x δ,则)()(2'1'x f k x f <<,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21+∞⊂∈a x x ξ,使得k f =)('ξ.推论 设函数)(x f 在),(+∞a 内可导,)(lim 'x f ax +→,)(lim 'x f x +∞→存在,且0)(lim )(lim ''<⋅+∞→→+x f x f x ax ,则至少存在一点),(+∞∈a ξ,使得0)('=ξf .证明 因0)(lim )(lim ''<⋅+∞→→+x f x f x ax ,不妨设0)(lim '<=+→A x f ax ,0)(lim '>=+∞→B x f x ,则B A <<0,由定理7,至少存在一点),(+∞∈a ξ,使得0)('=ξf .定理8 设函数)(x f 在),(b -∞内可导,)(lim 'x f x -∞→,)(lim 'x f bx -→存在,且)(lim )(lim ''x f k x f bx x -→-∞→<<,则至少存在一点),(b -∞∈ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).证明 因k x f x <-∞→)(lim ',且k x f bx >-→)(lim ',故存在0>G ,0>δ,使得),(,)('G x k x f --∞∈<,),(,)('b b x k x f δ-∈>取),(),,(21b b x G x δ-∈--∞∈,则)()(2'1'x f k x f <<,于是由导函数介值性定理, 至少存在一点),(),(21b x x -∞⊂∈ξ,使得k f =)('ξ.推论 设函数)(x f 在),(b -∞内可导,)(lim 'x f x -∞→,)(lim 'x f bx -→存在,且0)(lim )(lim ''<⋅-→-∞→x f x f bx x ,则至少存在一点),(b -∞∈ξ,使得0)('=ξf .证明 因0)(lim )(lim ''<⋅-→-∞→x f x f bx x ,不妨设0)(lim '<=-∞→A x f x ,0)(lim '>=-→B x f bx ,则B A <<0,由定理8,至少存在一点),(b -∞∈ξ,使得0)('=ξf .定理9 设函数)(x f 在),(+∞-∞内可导,)(lim 'x f x -∞→,)(lim 'x f x +∞→,存在,且)(lim )(lim ''x f k x f x x +∞→-∞→<<,则至少存在一点),(+∞-∞∈ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).证明 因k x f x <-∞→)(lim ',故存在01>G ,使得对1:G x x -<∀,有k x f <)(',又因为k x f x >+∞→)(lim ',故存在02>G ,使得对2:G x x >∀,有k x f >)(',取),(11G x --∞∈,),(22+∞∈G x ,则)()(2'1'x f k x f <<,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21+∞-∞⊂∈x x ξ,使得k f =)('ξ.推论 设函数)(x f 在),(+∞-∞内可导,)(lim 'x f x -∞→,)(lim 'x f x +∞→存在,且0)(lim )(lim ''<⋅+∞→-∞→x f x f x x ,则至少存在一点),(+∞-∞∈ξ,使得0)('=ξf .证明 因0)(lim )(lim ''<⋅+∞→-∞→x f x f x x ,不妨设0)(lim '<=-∞→A x f x ,0)(lim '>=+∞→B x f x ,则B A <<0,由定理9,至少存在一点),(+∞-∞∈ξ,使得0)('=ξf .定理6、定理7、定理8、定理9及推论可统一为：定理10 设函数)(x f 在),(b a 内可导,)(lim 'x f ax +→,)(lim 'x f bx -→存在,且)(lim )(lim ''x f k x f bx ax -+→→<<,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得k f =)('ξ,(k 为常数).其中),[+∞-∞∈a ,],(+∞-∞∈b ,)(lim )(lim ''x f x f x x -∞→-∞→=+,)(lim )(lim ''x f x f x x +∞→+∞→=-.推论 若函数)(x f 在),(b a 内可导,)(lim 'x f ax +→,)(lim 'x f bx -→存在,且0)(lim )(lim ''<⋅-+→→x f x f bx ax ,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)('=ξf ,其中),[+∞-∞∈a ,],(+∞-∞∈b ,)(lim )(lim ''x f x f x x -∞→-∞→=+,)(lim )(lim ''x f x f x x +∞→+∞→=-.2.2.3 导函数介值性定理的推广三定理11 设函数)(x f 在),(b a 内可导,-∞=+→)(lim 'x f ax ,0)(lim '>>=-→k B x f bx ,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).证明 因为-∞=+→)(lim 'x f ax ,故对任意的0>K ,存在01>δ,对1:δ+<<∀a x a x ,有k K x f <<-<0)(',又因为0)(lim '>>=-→k B x f bx ,故存在02>δ,对b x b x <<-∀2:δ,有k x f >)(',取),(),,(2211b b x a a x δδ-∈+∈,则)()(2'1'x f k x f <<,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21b a x x ⊂∈ξ,使得k f =)('ξ.定理12 设函数)(x f 在),(b a 内可导,0)(lim '<<=+→k A x f ax ,+∞=-→)(lim 'x f bx ,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).证明 因为0)(lim '<<=+→k A x f ax ,故存在01>δ,对1:δ+<<∀a x a x ,有k x f <)(',又因为+∞=-→)(lim 'x f bx ,则对任意的0>K ,存在02>δ,对b x b x <<-∀2:δ,有k K x f >>>0)(',取),(),,(2211b b x a a x δδ-∈+∈,则)()(2'1'x f k x f <<,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21b a x x ⊂∈ξ,使得k f =)('ξ.定理13 设函数)(x f 在),(b a 内可导,-∞=+→)(lim 'x f ax ,+∞=-→)(lim 'x f bx ,且)(lim )(lim ''x f k x f bx ax -+→→<<,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).证明 因为-∞=+→)(lim 'x f ax ,故111:,0,0δδ+<<∀>∃>∀a x a x K ,有0)(1'<-<K x f ,又因为+∞=-→)(lim 'x f bx ,故b x b x K <<-∀>∃>∀222:,0,0δδ,有0)(2'>>K x f ,取),(),,(2211b b x a a x δδ-∈+∈,则)(0)(2'211'x f K K x f <<<-<,又由已知知k 介于)(1'x f 与)(2'x f 之间,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21b a x x ⊂∈ξ,使得k f =)('ξ.定理11、定理12、定理13可统一为：定理14 设函数)(x f 在),(b a 内可导,)0,[)(lim '-∞∈=+→A x f ax ,],0()(lim '+∞∈=-→B x f bx ,且B k A <<,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).定理15 设函数)(x f 在),(+∞a 内可导,-∞=+→)(lim 'x f ax ,0)(lim '>>=+∞→k B x f x ,则至少存在一点),(+∞∈a ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).证明 因为-∞=+→)(lim 'x f ax ,故对任意的0>K ,存在0>δ,对δ+<<∀a x a x :,有k K x f <<-<0)(',又因为0)(lim '>>=+∞→k B x f x ,故存在0>G ,对G x x >∀:,有k x f >)(',取),(1δ+∈a a x ,),(2+∞∈G x 则)()(2'1'x f k x f <<,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21+∞⊂∈a x x ξ,使得k f =)('ξ.定理16 设函数)(x f 在),(+∞a 内可导,0)(lim '<<=+→k A x f ax ,+∞=+∞→)(lim 'x f x ,则至少存在一点),(+∞∈a ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).证明 因为0)(lim '<<=+→k A x f ax ,故存在0>δ,对δ+<<∀a x a x :,有k x f <)('，又因为+∞=+∞→)(lim 'x f x ,故对任意的0>K ,存在0>G ,对G x x >∀:,有k K x f >>>0)('，取),(),,(21+∞∈+∈G x a a x δ,则)()(2'1'x f k x f <<,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21+∞⊂∈a x x ξ,使得k f =)('ξ.定理17 设函数)(x f 在),(+∞a 内可导,-∞=+→)(lim 'x f ax ,+∞=+∞→)(lim 'x f x ,k 为介于∞-到∞+之间的任一实数,则至少存在一点),(+∞∈a ξ,使得k f =)('ξ.证明 因为-∞=+→)(lim 'x f ax ,故对任意的01>K ,存在0>δ,对δ+<<∀a x a x :,有0)(1'<-<K x f ,又因为+∞=+∞→)(lim 'x f x ,故对任意的02>K ,存在0>G ,对G x x >∀:,有0)(2'>>K x f ,取),(),,(21+∞∈+∈G x a a x δ,则)(0)(2'211'x f K K x f <<<-<,又由已知知k 介于)(1'x f 与)(2'x f 之间,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21+∞⊂∈a x x ξ,使得k f =)('ξ.定理15、定理16、定理17可统一为：定理18 设函数)(x f 在),(+∞a 内可导,)0,[)(lim '-∞∈=+→A x f ax ,],0()(lim '+∞∈=+∞→B x f x ,且B k A <<,则至少存在一点),(+∞∈a ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).定理19 设函数)(x f 在),(b -∞内可导,-∞=-∞→)(lim 'x f x , 0)(lim '>>=-→k B x f bx ,则至少存在一点),(b -∞∈ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).证明 因为-∞=-∞→)(lim 'x f x ,故对任意的0>K ,存在0>G ,对G x x -<∀:,有k K x f <<-<0)(',又因为0)(lim '>>=-→k B x f bx ,故存在0>δ,对b x b x <<-∀δ:,有k x f >)(',取),(),,(21b b x G x δ-∈--∞∈,则)()(2'1'x f k x f <<,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21b x x -∞⊂∈ξ,使得k f =)('ξ.定理20 设函数)(x f 在),(b -∞内可导,0)(lim '<<=-∞→k A x f x , +∞=-→)(lim 'x f bx ,则至少存在一点),(b -∞∈ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).证明 因为0)(lim '<<=-∞→k A x f x ,故存在0>G ,对G x x -<∀:,有k x f <)(',又因为+∞=-→)(lim 'x f bx ,故对任意0>K ,存在0>δ,对b x b x <<-∀δ:,有k K x f >>>0)(',取),(),,(21b b x G x δ-∈--∞∈,则)()(2'1'x f k x f <<,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21b x x -∞⊂∈ξ,使得k f =)('ξ.定理21 设函数)(x f 在),(b -∞内可导,-∞=-∞→)(lim 'x f x , +∞=-→)(lim 'x f bx ,k 为介于∞-到∞+之间的任一实数,则至少存在一点),(b -∞∈ξ,使得k f =)('ξ.证明 因为-∞=-∞→)(lim 'x f x ,故对任意01>K ,存在0>G ,对G x x -<∀:,有0)(1'<-<K x f ,又因为+∞=-→)(lim 'x f bx ,故对任意02>K ,存在0>δ,对b x b x <<-∀δ:,有0)(2'>>K x f ,取),(),,(21b b x G x δ-∈--∞∈,则)(0)(2'211'x f K K x f <<<-<,又由已知知k 介于)(1'x f 与)(2'x f 之间,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21b x x -∞⊂∈ξ,使得k f =)('ξ.定理19、定理20、定理21可统一为：定理22 设函数)(x f 在),(b -∞内可导,)0,[)(lim '-∞∈=-∞→A x f x , ],0()(lim '+∞∈=-→B x f bx ,且B k A <<,则至少存在一点),(b -∞∈ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).定理23 设函数)(x f 在),(+∞-∞内可导,-∞=-∞→)(lim 'x f x , 0)(lim '>>=+∞→k B x f x ,则至少存在一点),(+∞-∞∈ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).证明 因为-∞=-∞→)(lim 'x f x ,故对任意0>K ,存在01>G ,对1:G x x -<∀,有k K x f <<-<0)(',又因为0)(lim '>>=+∞→k B x f x ,故存在02>G ,对2:G x x >∀,有k x f >)(',取),(),,(2211+∞∈--∞∈G x G x ,则)()(2'1'x f k x f <<,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21+∞-∞⊂∈x x ξ,使得k f =)('ξ.定理24 设函数)(x f 在),(+∞-∞内可导,0)(lim '<<=-∞→k A x f x , +∞=+∞→)(lim 'x f x ,则至少存在一点),(+∞-∞∈ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数).证明 因为0)(lim '<<=-∞→k A x f x ,故存在01>G ,对1:G x x -<∀,有k x f <)(',又因为+∞=+∞→)(lim 'x f x ,故对任意0>K ,存在02>G ,对2:G x x >∀,有k K x f >>>0)(',取),(),,(2211+∞∈--∞∈G x G x ,则)()(2'1'x f k x f <<,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21+∞-∞⊂∈x x ξ,使得k f =)('ξ.定理25 设函数)(x f 在),(+∞-∞内可导,-∞=-∞→)(lim 'x f x ,+∞=+∞→)(lim 'x f x ,k 为介于∞-到∞+之间的任一实数,则至少存在一点),(+∞-∞∈ξ,使得k f =)('ξ.证明 因为-∞=-∞→)(lim 'x f x ,故对任意01>K ,存在01>G ,对1:G x x -<∀,有0)(1'<-<K x f ,又因为+∞=+∞→)(lim 'x f x ,故对任意02>K ,存在02>G ,对2:G x x >∀,有0)(2'>>K x f ,取),(),,(2211+∞∈--∞∈G x G x ,则)(0)(2'211'x f K K x f <<<-<,又由已知知k 介于)(1'x f 与)(2'x f 之间,于是由导函数介值性定理,至少存在一点),(),(21+∞-∞⊂∈x x ξ,使得k f =)('ξ.定理23、定理24、定理25可统一为:定理26 设函数)(x f 在),(+∞-∞内可导,)0,[)(lim '-∞∈=-∞→A x f x ,],0()(lim '+∞∈=+∞→B x f x ,且B k A <<,则至少存在一点),(+∞-∞∈ξ,使得k f =)('ξ.(k 为常数). 定理14、定理18、定理22、定理26可统一为:定理27 设函数)(x f 在),(b a 内可导,)0,[)(lim '-∞∈=+→A x f ax ,],0()(lim '+∞∈=-→B x f bx ,且B k A <<,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得k f =)('ξ,(k 为常数).其中),[+∞-∞∈a ,],(+∞-∞∈b ,)(lim )(lim ''x f x f x x -∞→-∞→=+,)(lim )(lim ''x f x f x x +∞→+∞→=-.3 导函数介值性定理的应用一般地,研究函数或导函数的整体性质的常用工具是中值定理和泰勒公式,而很少见到利用导函数的介值性定理,下面通过举例说明导函数的介值性定理结合中值公式和泰勒公式也可以解决某些分析问题.3.1 结合中值定理研究导函数的性质 例1 设f 为],[b a 上的n 阶可导函数,且0)()()2()2(==--b fa fn n ,存在),(b a c ∈,使得0)()2(>-c fn ,证明:至少存在两点)2,1)(,(=∈i b a i ξ使得0)()(<i n f ξ.证明 由于0)()()2()2(==--b fa fn n ,0)()2(>-c f n ,故在],[c a 及],[b c 上应用Lagrange中值定理,存在),(1c a ∈η,),(2b c ∈η,使得0)()()(,0)()()()2()2(2)1()2()2(1)1(<--=>--=------cb c f b f f a c a f c f fn n n n n n ηη,又在],[21ηη上应用导函数的介值性定理,存在),(213ηηη∈使得0)(3)1(=-ηn f ,再对)()1(x f n -分别在],[31ηη和],[23ηη上再用Lagrange 中值定理,存在),(311ηηξ∈,),(232ηηξ∈,使得0)()()(,0)()()(323)1(2)1(2)(131)1(3)1(1)(<--=<--=----ηηηηξηηηηξn n n n n n f f f f f f.例2 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,在),(b a 内n 阶可导,)()2(x f n -在],[b a 上的最小值在),(b a 内某点c 处取得,证明:存在)2,1)(,(=∈i b a i ξ使得0)()(≥i n f ξ.证明 由于)()2(c fn -是],[b a 上)()2(x f n -的最小值,因此],[),()()2()2(b a x c f x f n n ∈≥--,对)()2(x f n -在],[c a 和],[b c 上应用Lagrange 中值定理,存在),(1c a ∈η,使得0)()()()2()2(1)1(≤--=---ac a f c f fn n n η,存在),(2b c ∈η,使得0)()()()2()2(2)1(≥--=---cb c f b f fn n n η,因此0)()(2)1(1)1(≤⋅--ηηn n f f ,对)()1(x fn -在],[21ηη上应用导函数的介值性定理,存在],,[213ηηη∈使得0)(3)1(=-ηn f .对)()1(x f n -在],[31ηη和],[23ηη上再应用Lagrange 中值定理,存在),(311ηηξ∈,使得0)()()(131)1(3)1(1)(≥--=--ηηηηξn n n f f f,存在),(232ηηξ∈,使得0)()()(323)1(2)1(2)(≥--=--ηηηηξn n n f f f.即存在)2,1)(,(=∈i b a i ξ,使得0)()(≥i n fξ.3.2 结合泰勒公式研究导函数的性质例3 设函数)(x f 在区间],[b a 上n 次可导(n 为奇数), 证明:存在),(b a c ∈,使得．)(!2)()2(!52)()2(!32)())(2()()()(1)5(45'''23'c f n a b b a fa b b a f a b a b b a f a f b f n n n ⋅-+++⋅-++⋅-+-++=- 证明 将)(a f ,)(b f 分别在2ba +点做泰勒展开,得 3'''2''')2)(2(!31)2)(2(!21)2)(2()2()(b a b a f b a b a f b a b a f b a f a f -++-++-+++=，nn b a f n b a b a f b a b a f )2)((!1)2)(2(!51)2)(2(!41)(5)5(4)4(-++-++-++ξ (1) 3'''2''')2)(2(!31)2)(2(!21)2)(2()2()(a b b a f a b b a f a b b a f b a f b f -++-++-+++=，a b f n a b b a f a b b a f nn )2)((!1)2)(2(!51)2)(2(!41)(5)5(4)4(-++-++-++η (2)(2)式减(1)式,+-++-++-+=-5)5(3'''')2)(2(!52)2)(2(!32))(2()()(a b b a f a b b a f a b b a f a f b f )]()([)2(!1)()(ηξn n n f f a b n +-+, 即++⋅-++⋅-+-++=)2(!52)()2(!32)())(2()()()5(45'''23'ba f ab b a f a b a b b a f a f b f)]()([!2)()()(ηξn n n n f f n a b +⋅-+, 当ηξ=时,即)()()()(ηξn n f f =时,c 取ξ或者η；当ηξ≠时,即)()()()(ηξn n f f≠时,由导函数的介值性定理,在ξ与η之间必存在一点c ,使得)]()([21)()()()(ηξn n n f f c f +=,所以．)(!2)()2(!52)()2(!32)())(2()()()(1)5(45'''23'c f n a b b a f a b b a f a b a b b a f a f b f n n n ⋅-+++⋅-++⋅-+-++=- 例4 设函数)(x f 在区间],[b a 上n 次可导(n 为奇数),且)()(b f a f =,)2()2(''''b a f b a f +=+0)2()2()2()5(=+==+=-ba fb a f n , 证明:0)()(=x fn 在),(b a 内有解.证明 将)(a f ,)(b f 分别在2ba +点做泰勒展开,得 3'''2''')2)(2(!31)2)(2(!21)2)(2()2()(b a b a f b a b a f b a b a f b a f a f -++-++-+++=，nn b a f n b a b a f b a b a f )2)((!1)2)(2(!51)2)(2(!41)(5)5(4)4(-++-++-++ξ (1) 3'''2''')2)(2(!31)2)(2(!21)2)(2()2()(a b b a f a b b a f a b b a f b a f b f -++-++-+++=，nn a b f n a b b a f a b b a f )2)((!1)2)(2(!51)2)(2(!41)(5)5(4)4(-++-++-++η (2) 又由于)()(b f a f =,0)2()2()2()2()2()5(''''=+==+=+=+-ba fb a f b a f b a f n , 则(1)式减(2)式,0)2)((!1)2)((!1)()(=---n n n n a b f n b a f n ηξ, 即0)()()()(=+ηξn n f f,从而0)()()()(≤⋅ηξn n f f ,故由导函数的介值性定理,必存在一点],[ηξ∈c ,使得0)()(=c f n .例5 设)(x f 在区间],[b a 上连续,在),(b a 内有n 阶连续导数(n 为偶数),试证:至少存在一点),(b a c ∈,使得．0)(!2)()2(!42)()2(!22)()2(2)()()(1)4(34''2=⋅---+⋅--+⋅--+-+-c f n b a b a f b a b a f b a b a f b f a f n n n 证明 将)(a f ,)(b f 分别在2ba +点做泰勒展开,得 3'''2''')2)(2(!31)2)(2(!21)2)(2()2()(b a b a f b a b a f b a b a f b a f a f -++-++-+++=，nn b a f n b a b a f b a b a f )2)((!1)2)(2(!51)2)(2(!41)(5)5(4)4(-++-++-++ξ (1) 3'''2''')2)(2(!31)2)(2(!21)2)(2()2()(a b b a f a b b a f a b b a f b a f b f -++-++-+++=，nn a b f n a b b a f a b b a f )2)((!1)2)(2(!51)2)(2(!41)(5)5(4)4(-++-++-++η (2) (1) 式加(2)式,+-++-+++=+442'')2)(2(!42)2)(2()2(2)()(b a b a f b a b a f b a f a f b f)]()([)2(!1)()(ηξn n n f f b a n +-+, 当ηξ=时,即)()()()(ηξn n f f =时,c 取ξ或者η；当ηξ≠时,即)()()()(ηξn n f f≠时,由导函数的介值性定理,在ξ与η之间必存在一点c ,使得)]()([21)()()()(ηξn n n f f c f +=,即．0)(!2)()2(!42)()2(!22)()2(2)()()(1)4(34''2=⋅---+⋅--+⋅--+-+-c f n b a b a f b a b a f b a b a f b f a f n n n 例6 设)(x f 在区间),(+∞-∞上n 次可微且有界,(n 为偶数),试证:存在一点),(+∞-∞∈c ,使得0)()(=c fn .证明 用反证法,假若)()(x fn 不变号,不妨设0)()(>x f n ,则)()1(x f n -严格单调递增,取),(0+∞-∞∈x ,使0)(0)1(≠-x f n ,(1)若0)(0)1(>-x fn ,则当0x x >,),(0x x ∈ξ,并令+∞→x 时有10)1(200''00'0))(()!1(1))((!21))(()()(----++-+-+=n n x x f n x x x f x x x f x f x f ξ;))(()!1(1))((!21))(()(100)1(200''00'0+∞→--++-+-+>--n n x x x f n x x x f x x x f x f (2)若0)(0)1(<-x fn ,则当0x x <,),(0x x ∈ξ,并令-∞→x 时有10)1(200''00'0))(()!1(1))((!21))(()()(----++-+-+=n n x x f n x x x f x x x f x f x f ξ ．x x x f n x x x f x x x f x f n n +∞→--++-+-+>--100)1(200''00'0))(()!1(1))((!21))(()( 这与)(x f 有界矛盾,故)()(x fn 变号,由导函数的介值性定理,存在一点),(+∞-∞∈c ,使0)()(=c f n .3.3 求导函数和函数的零点对一般函数的零点存在性问题常用的方法是连续函数的介值性定理或微分中值定理,但由于可导函数的导函数不一定连续,故此时若已知导函数的取值情况（不是函数的取值情况）时,上面方法不适用,而应用导函数的介值性定理来研究.例]3[7 设函数)(x P 和)(x Q 在),(b a 内可微,且存在两点),(,21b a x x ∈,使得0))()()(())()()((2'22'1'11'<+⋅+x Q x P x P x Q x P x P ,证明:函数)()()(''x Q x P x P +在),(b a 内至少有一个零点.证明 令Q(x)e)()(x P x F =,则Q(x)''Q(x)'Q(x)''e ))()()((e )()(e )()(x Q x P x P x Q x P x P x F +=+=,由已知条件得,0)()(2'1'<x F x F ,据导函数的介值性定理,存在),(b a ∈ξ,使得0)('=ξF ,从而0)()()(''=+ξξξQ P P ,即函数)()()(''x Q x P x P +在),(b a 内至少有一个零点.例8 设函数)(x f 和)(x g 在),(b a 内可微,且存在两点),(,21b a x x ∈,使得0))()()()(())()()()((2''22''21''11''1<-⋅-x f x g x g x f x f x g x g x f ,证明:函数)()()()(''''x f x g x g x f -在),(b a 内至少有一个零点.证明 令)()()()()(''x f x g x g x f x F -=,则)()()()()()()()()()()()()('''''''''''''x f x g x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f x F -=--+=,由已知条件得,0)()(2'1'<x F x F ,据导函数的介值性定理,存在),(b a ∈ξ,使得0)('=ξF ,从而0)()()()(''''=-ξξξξf g g f ,证明:函数)()()()(''''x f x g x g x f -在),(b a 内至少有一个零点.例9 设函数)(x f 在),(b a 内可微,且存在),(,21b a x x ∈,使得0))()(())()((2'22121'1111<+⋅+--x f x x f nx x f x x f nx n n n n ,则函数)()('1x f x x f nxn n +-在),(b a 内至少有一个零点.证明 令)()(x f x x F n=,则)()()('1'x f x x f nxx F n n +=-,由已知条件得,0)()(2'1'<x F x F ,据导函数的介值性定理,存在一点),(b a ∈ξ,使得0)('=ξF ,从而0)()('1=+-ξξξξf f n n n ,即函数)()('1x f x x f nx n n +-在),(b a 内至少有一个零点.例10 设121=+++n a a a ,证明:方程k x a x a x a n n =+++ 221在)1,0(内必有实根.证明 令13221132)(+++++=n n x n a x a x a x F ,则)(x F 在]1,0[上可导,且 )0(1)1(,0)0(,)('21''221'F a a a F F x a x a x a x F n n n ≠=+++==+++= ,据导函数的介值性定理,存在一点)1,0(∈ξ使得k F =)('ξ,从而k a a a nn =+++ξξξ 221,即方程k x a x a x a nn =+++ 221在)1,0(内必有实根.例11 已知)!2(!21)(22n x x x x g n ++++= ,证明:)('x g 在),(+∞-∞内有零点,其中n 为正整数.证明 由于)!12(!21)(122'-++++=-n x x x x g n ,即 ))!12(1!2111()(32221212'-++++=----n xx x x x g n n n n , 故+∞=+∞→)(lim 'x g x ,-∞=-∞→)(lim 'x g x ,据导函数的介值性定理,)('x g 在),(+∞-∞内至少有一个零点.例]7[12 设)(x f 在区间),(+∞-∞上具有二阶导数,且0)(''>x f ,0)(lim '>=+∞→αx f x ,0)(lim '<=-∞→βx f x ,又存在一点0x ,使0)(0<x f .试证明:方程0)(=x f 在),(+∞-∞上有且仅有两个实根.证明 由于''()0f x >,故'()f x 严格单调递增,(1)因为0)(lim '>=+∞→αx f x ,故存在0a >,使得'()0f a >,又x a >时,存在(,)a x ξ∈,使得'()()()()f x f a f x a ξ=+-,'()()()f a f a x a ≥+-→+∞,()x →+∞,即lim ()x f x →+∞=+∞;(2)又因为0)(lim '<=-∞→βx f x ,故存在0<b ,使得'()0f b <,又x b <时,存在(,)x b ξ∈,使得'()()()()f x f b f x b ξ=+-,'()()()f b f b x b ≥+-→+∞,()x →-∞,即lim ()x f x →-∞=+∞.又由已知,存在一点0(,)x ∈-∞+∞,使0)(0<x f ,故()0f x =在(,)-∞+∞上至少有两个实根.此外,因''()0f x >,故'()f x 严格单调递增,且0)(lim '>=+∞→αx f x ,0)(lim '<=-∞→βx f x ,从而由导函数的介值性定理,存在唯一一点(,)c ∈-∞+∞,使得'()0f c =,且（i ）当(,]x c ∈-∞时,'()0f x <,即()f x 在(,]c -∞上由+∞单调递减到负数; （ii ）当[,)x c ∈+∞时,'()0f x >,即()f x 在[,)c +∞上由负数单调递增到+∞.从而c 是(f 00.故综上所述,()f x 有且仅有两个实根.参考文献：[1] 华东师大数学系.数学分析[M](上册).北京:高等教育出版社,2004:93-94.[2] 阎庆旭,李少琪,万丽.微分达布(Darboux)定理的几种新证法及其推广[J].数学的实践与认识,2003,11:143.[3] 潘继斌.达布(Darboux)定理及其应用[J].湖北师范学院学报(自然科学版),2000,1:78-80. [4] 苏农.关于导函数的介值性的简单应用[J].高等数学研究,2006,5:55-56.[5] 朱来义.微积分中的典型例题分析与习题[M].北京:高等教育出版社,2004:112. [6] 叶国炳.介值定理的推广及其应用[J].陕西工学院学报,2000,4:70-76.[7] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006:233-234.致谢在论文的选题及撰写过程中得到郎开禄老师的悉心指导.郎老师不仅指导我学习撰写论文,而且教我做人.在此,衷心的感谢郎开禄老师对我论文的精心指导与帮助！)。
【精编范文】介值定理的证明-实用word文档 (9页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==介值定理的证明篇一：用介值定理证明原函数的存在性用介值定理直接证明[?f(t)dt]'?f(x) a?证明F(x??x)?F(x)??x??xxf(t)dt,因为f(t)在[a,b]上连续，从而m?f(x)?M，F(x??x)?F(x)F(x??x)?F(x)?M，从而存在x???x??x，使得=f(?)（介?x?xF(x??x)?F(x)值定理）。
lim=f(x) 所以F’(x)=f(x) ?x?0?xm?篇二：介值定理的一些应用介值定理的一些应用摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。
本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。
介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。
文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。
最后举例说明介值定理在生活中的应用。
关键词：介值定理方程不等式应用介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。
此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。
介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。
介值性定理：设函数f(x)在闭区间?a,b?上连续。
并且函数f?a?与函数f?b?不相等。
如果?是介于f?a?和f?b?之间的任何实数f?a??f?b?，则至少存在一点x0??a,b?使得f???f?b?或f?a????x.0???.推论：根的存在定理如果函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，并且f?a?和f?b?满足f?a?f?b??0，那么至少存在一点x0，使得f?x.0??0.即是方程f?x?=0在?a,b?内至少有一个根。
1.介值定理在方程根的问题上的应用利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。
用开区间套定理证明罗尔定理
用开区间套定理证明罗尔定理罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家罗尔在17世纪提出的。
罗尔定理是微积分中的一个基本定理，它是导数的介值定理的一个特殊情况。
下面，我们将使用开区间套定理来证明罗尔定理。
我们先回顾一下罗尔定理的表述：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在开区间$(a,b)$内可导，如果$f(a)=f(b)$，则在$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f'(c)=0$。
我们使用反证法来证明罗尔定理。
假设在区间$(a,b)$内没有满足$f'(c)=0$的点，也就是说$f'(x)\neq0$对于所有$x\in(a,b)$成立。
根据介值定理，$f'(x)$在区间$(a,b)$上要么恒为正，要么恒为负。
假设$f'(x)>0$对于所有$x\in(a,b)$成立，那么$f(x)$在$(a,b)$上严格单调递增。
由于$f(a)=f(b)$，则有$f(a)<f(x)<f(b)$对于所有$x\in(a,b)$成立。
这与$f(x)$在$(a,b)$上严格单调递增矛盾，因此假设不成立。
同样地，假设$f'(x)<0$对于所有$x\in(a,b)$成立，那么$f(x)$在$(a,b)$上严格单调递减。
由于$f(a)=f(b)$，则有$f(a)>f(x)>f(b)$对于所有$x\in(a,b)$成立。
这与$f(x)$在$(a,b)$上严格单调递减矛盾，因此假设不成立。
假设$f'(x)\neq0$对于所有$x\in(a,b)$成立是不成立的。
即存在某一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=0$。
这就证明了罗尔定理。
通过上述证明，我们使用了开区间套定理来证明了罗尔定理。
开区间套定理是微积分中一个重要的定理，它的证明过程相对简单，但具有很强的实用性。
它为我们证明了罗尔定理提供了重要的工具，使得我们能够更好地理解和应用罗尔定理。
微分中值定理与导数的应用总结
1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理1、0lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=⇔=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα⇔: ，这是两个等价无穷小之间的关系3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ=4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠=结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得()f C ζ=。
5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。
第三章 微分中值定理和导数的应用1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ=2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=-3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()()'()f b f a f g b g a g ζζ-=-拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。
4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。
罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。
当然也有用第一章的零点定理的。
但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。
而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。