洛伦兹力问题及解题策略知识讲解

解析 根据题意可推知：带电粒子在电场中做类平抛运动，由Q点进入磁
场，在磁场中做匀速圆周运动，最终由O点射出(轨迹如图所示)．
(1)根据对称性可知，粒子在Q点时速度大小为v，方向与-y轴方向成45°，
则有：v sin 45°＝v0 ① 在 P 到 Q 过程中：
qEl＝12mv2－12mv20
②
v0
v
Bq4L2＋d2 v2> 4md
练习3.如图所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里 的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电荷量大小为q的粒 子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v0射入，粒子的重力不计， 求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。
[思路]确定粒子的电性→判定洛 伦兹力的方向→画运动轨迹→ 确定圆心、半径、圆心角→确 定运动时间及离开磁场的位置。
解：作出粒子运动轨迹如图。 设粒子在电场中加速后速度为v,所需时间为t1。 由动能定理及运动学知识（或动量定理） 得：
或
→
→O 3
60O
v A→
M
→
60O
O1
→
N
× ××××
× ××××
× ××××
60O O2
× ××××
× ××××
× ××××
→
→O 3
60O
v A→ M
→
60O O1
→
× ××××
①
竖直方向 mg－μFN=ma
②
解得 a=(mg+μqvB－μqE)/m ③
源自文库
v↑→f洛↑→FN↓→f↓→F合↑→a↑
可见小球做加速度增加的加速运动，在f=0，即FN=0时， 加速度达到最大，由②式得：amax=g
此时速度可由①式得 v1
E B
，但速度继续增大，洛伦兹
力增大，支持力反向，受力如图乙.有：
× ××××
× ××××
60O O2
× ××××
N× × × × ×
× ××××
洛伦兹力问题解题策略小结
一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律
1、带电粒子在磁场中（ v⊥B）运动只受洛仑兹力， 粒子做匀速圆周 运动 。
2、轨道半径：R
mv qB
3、周期：T 2 m
qB
二、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法
v0
s
v
vy
例8.如图所示，空间分布着如图所示的匀强电场E（宽度为L）和匀强磁场B（两 部分磁场区域的磁感应强度大小相等，方向相反），一带电粒子电量为q，质量 为m（不计重力），从A点由静止释放，经电场加速后进入磁场穿过中间磁场进 入右边磁场后能按某一路径而返回A点，重复前述过程。求中间磁场的宽度d和 粒子的运动周期。
得粒子在磁场中的运动时间 t2＝132600°°T＝23πqmB
离开磁场时的位置为( 3qmBv0，0)
[答案]
4πm 3qB
(－ 3qmBv0，0)或23πqmB
( 3qmBv0，0)
练习4. 如图，水平向右的匀强电场场强为E， 水平方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 为B.其间有竖直固定的绝缘杆，杆上套有一带正 电荷量为q，质量为m的小球，小球与杆间的动 摩擦因数为μ.已知mg>μqE.现使小球由静止释放， 试求小球在下滑过程中的最大加速度和最大速度.
磁场，离开磁场时速度方向偏转了60°角．试求：
(1)粒子做圆周运动的半径；
(2)粒子的入射速度；
(3)粒子在磁场中运动的时间．
60°
解.(1)设带正电的粒子从磁场区域射出点为c，根据对称
性可知，从径向射入的电荷必然也径向射出，所以射入
方向与射出方向反向延长线交于磁场圆心O点，如右图
所示。通过作a点射入方向与c点射出方向的垂线，交点
例8.如图所示，空间分布着如图所示的匀强电场E（宽度为L）和匀强磁场B（两 部分磁场区域的磁感应强度大小相等，方向相反），一带电粒子电量为q，质量 为m（不计重力），从A点由静止释放，经电场加速后进入磁场穿过中间磁场进 入右边磁场后能按某一路径而返回A点，重复前述过程。求中间磁场的宽度d和 粒子的运动周期。
即为圆弧的圆心O’，则圆心角等于偏向角等于600 ，即
∠aO′c＝60°，所示轨道半径为：
(2)根据圆周运动的规律有：
60°
(3)电荷在磁场中运动的时间与圆心角成正比，由图可知
三、带电粒子在复合场中的计算题
例7.如图所示，在xOy坐标平面的第一象限内有沿-y方向的匀强电场，在第四象限 内有垂直于平面向外的匀强磁场．现有一质量为m，带电荷量为+q的粒子(重力不 计)以初速度v0沿-x方向从坐标为(3l，l)的P点开始运动，接着进入磁场后由坐标 原点O射出，射出时速度方向与y轴正方向夹角为45°，求： (1)粒子从O点射出时的速度v和电场强度E； (2)粒子从P点运动到O点过程所用的时间；
洛伦兹力问题及解题策略
纵观广东省近十年物理高考对洛伦兹力问题的考查情况可知，近 十年高考均涉及了洛伦兹力问题，并且大部分时候都以压轴计算题的 形式出现，且分值居高不下。由此可见，洛伦兹力问题是高考命题的 热点之一，其重要性由此可见一斑。
高考对洛伦兹力问题的考查，侧重于知识应用方面的考查，难度 相对较大，对考生的空间想象能力及物理过程、运动规律的综合分析 能力要求较高。所以对洛伦兹力问题必须引起高度的重视。
由①②解得：E＝m2qvl02.
(2)粒子在 Q 点时沿－y 方向速度大小 vy＝vcos 45° P 到 Q 的运动时间 t1＝vay＝qvEy .
m P 到 Q 沿－x 方向的位移为：s＝v0t1， 则 OQ 之间的距离为： OQ ＝3l－s， 粒子在磁场中的运动半径为 r，则有： 2r＝ OQ ， 粒子在磁场中的运动时间 t2＝14×v2πr. 粒子由 P 到 O 的过程中的总时间 T＝t1＋t2， 解得：T＝2＋π4vl0.
解得 v1＝B4qmd.
设粒子刚好打在上极板右边缘时，
由图知：R22＝L2＋(R2－d2)2，所以 R2＝4L24＋d d2，
又 R2
＝
mv2，解得 Bq
v2＝Bq44Lm2＋d d2.
综上分析，要使粒子不打在极板上，
其入射速率应满足以下条件：
v<B4qmd或
Bq4L2＋d2 v2> 4md
答案：v<B4qmd或
间与周期的关系。
t t T T
T 2 3600
2 360
例1.确定下列常见的各运动电荷在磁场中运动的圆心
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
A
（7）
例2. 如下图所示，匀强磁场磁感应强度为 B＝0.2 T，方向垂直纸面向里．在磁场中P 点引入一个质量为m=2.0×10-8kg、带电荷量为q＝5×10-6C 的正粒子，以v＝10m/s的速 度垂直于磁场方向开始运动，运动方向如图所示，不计粒子重力，磁场范围足够大． (1)请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹． (2)粒子做匀速圆周运动的半径和周期为多大？
练习2．如下图所示，长为L、间距为d的平行金属板间，有垂直于纸 面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，两板不带电，现有质量为m、电 荷量为q的带正电粒子(重力不计)，从左侧两极板的中心处以不同速 率v水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v应满足什么条件？
解析：设粒子刚好打在上极板左边缘时(如图所示)． R1＝d4，又由 Bqv＝mvr2，得 R1＝mBvq1，
［解析］ 做好小球运动过程的动态分析，找出极值对应的条件. 小球释放瞬间，受重力mg，水平向右的电场力F=qE，杆给小球向左
的弹力FN，FN与F平衡，则FN=qE，向上的摩擦力f，因为mg>μqE，所以 小球加速下滑.
小球运动后，出现向左的洛伦兹力f洛=qvB，小球受力如 图甲所示，则有
水平方向 FN+qvB=qE
解：(1)由左手定则可知，正 粒子在匀强磁场中应向 P 点 上方偏，轨迹如右图
例2. 如下图所示，匀强磁场磁感应强度为 B＝0.2 T，方向垂直纸面向里．在磁场中P 点引入一个质量为m=2.0×10-8kg、带电荷量为q＝5×10-6C 的正粒子，以v＝10m/s的速 度垂直于磁场方向开始运动，运动方向如图所示，不计粒子重力，磁场范围足够大． (1)请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹． (2)粒子做匀速圆周运动的半径和周期为多大？
(1)过Ｏ点和P点作速度方向的垂线，两线交点即为电子在磁场中做匀 速圆周运动的圆心，如图所示，则可知
①
②
Ｄ
由①式可解得:
③
由①③式可解得: OP 2mv0 sin qB
(2)电荷在磁场中运动的时间与圆心角成正比，由图可知
③
2 R
T
④
v0
由③④得 T 2 m
qB
t=2θT=2θ•2πm=2θm 2π 2π qB qB
d
B
例3. 如图所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁场方向(磁感应强度为B)并 垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来 射入方向的夹角为θ＝30°.求电子穿越磁场轨迹的半径和运动的时间．
d
B
解析 如图所示．由直角三角形OPN知，电子的轨
d
迹半径
B
电子在磁场中运动周期为
电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为θ＝30°，故电子
在磁场中的运动时间为
P
P
解：如右图所示：
(式中R为圆轨道的半径)
得：
圆轨道的圆心位于OP的中垂 线上，由几何关系可得
联立①、②两式，解得
y
v
pl o
F洛 θ
x
θθ
v
二、带电粒子在磁场中的临界问题
例5. 如图，宽度为d的匀强有界磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右的两条 边界线．现有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ＝ 45°，要使粒子不能从右边界NN′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？
[解析] 当带电粒子带正电时，轨迹如图中OAC，对粒子，由于 洛伦兹力提供向心力，则
qv0B＝mRv20，R＝mqBv0， T＝2qπBm 故粒子在磁场中的运动时间 t1＝234600°°T＝43πqmB
粒子在 C 点离开磁场 OC＝2R·sin60°＝
3mv0 qB
故离开磁场的位置为(－ 3qmBv0，0) 当带电粒子带负电时，轨迹如图中 ODE 所示，同理求
祝同学们学习快乐！
练习1.电子质量为m电荷量为q,以速度v0与x轴成θ角射入磁感应强度为B 的匀强磁场中，最后落在x轴上的P点，如图所示，求: （1）的op长度; （2）电子由O点射入到落在P点所需的时间t.
【解析】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，应根据已知条件首先确定 圆心的位置，画出运动轨迹.所求距离应和半径R相联系，所求时间应和粒子 转动的圆心角θ、周期T相联系.
解析： 粒子的半径与速度成正比，可作出带电粒子运动
的轨迹如右图所示，当其运动轨迹与NN′边界线相切于P
点时，这就是具有最大入射速率vmax的粒子的轨迹．所以：
d=R(1－cos 45°)
① 由①②解得：
②
例6. 分布在半径为r的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向
里．电荷量为q、质量为m的带正电的粒子从磁场边缘a点沿圆的半径aO方向射入
2.半径、周期的计算：带电粒子垂直磁场方向射入磁场，只受洛伦兹力，将做匀
速圆周运动，如右动画所示，所以有：
qvB m v2 R
R mv qB
T 2 R v
T 2 m
qB
3．圆心角和运动时间的确定：如右图，由几何
知识可得偏向角等于圆心角等于弦切角的两倍，
即：φ=α=2θ ,知道圆心角，就可以找出运动时
1、作出带电粒子在磁场中两个位置所受洛仑兹力，沿其方向延长线的交点确定 圆心，从而确定其运动轨迹。
2、作出带电粒子在磁场中某个位置所受洛仑兹力，沿其方向的延长线与圆周上 两点连线的中垂线的交点确定圆心，从而确定其运动轨迹。
3、①圆周上任意两点连线的中垂线过圆心 ②圆周上两条切线夹角的平分线过圆心 ③过切点作切线的垂线过圆心
学习内容
一、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心的确定及半 径、周期和在磁场中运动时间的有关问题；
二、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的临界问题； 三、带电粒子在复合场中运动的有关问题。 说明：本节课侧重过程和思维分析，计算过程从简。
一、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心的确定 及半径、周期和在磁场中运动时间的有关问题
解：(1)由左手定则可知，正
粒子在匀强磁场中应向 P 点
上方偏，轨迹如右图
(2)由 r＝
mv qB
得
r＝0.2
m
由T＝
2πm qB
得T＝0.126 s.
例3. 如图所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁场方向(磁感应强度为B)并 垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来 射入方向的夹角为θ＝30°.求电子穿越磁场轨迹的半径和运动的时间．