四川大学线性代数教材第一章第一节
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2 r3 11
2 7 1 0 0 2 1 7 11 33 0 0 2 2
1 0 2 7 0 2 1 7 0 0 1 3 1 0 0 1 0 2 0 4 0 0 1 3
方程组的解是一组满足 方程组的n元数组( x1 , x2 , xn ),
方程组的全部解的集合 称为其解集。
例:
x1 3 x2 7 x1 x2 2 x1 x2 2 A. B. C. 2 x1 x2 4 x1 x2 2 x1 x2 3
3. 一个方程的常数倍加在另一个方程上。 三种初等变换可以将线性方程组化为与之等价的方程组. 特别地,可以将方程组化为容易求解的阶梯形方程组. 这就是高斯消元法。 注意到，在高斯消元法求解方程组的过程中，参与运算 的实际上是方程组各变量的系数及常数项。
m n 矩阵
由m n个(实或复)数aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)排成 m行n列的数表 a11 a 21 a m 1
x1
2 x3 7 2 x2 x3 7 x3 3
r2 1r3
r1 (2)r3
1 x1 4 2 x2 x3 3
1 r2 ( ) 2
1 x1 x2 2 x3 3
1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3
用方程组A的第二个方程减去第一 个方程，可得B的 第二个方程； 用方程组A的第一个方程加上第三 个方程，可得B的 第三个方程；
所以方程组A的解是B的解，从而它们有相同 的解。
等价。 含有相同变量的两个方 程组同解，则称它们
线性方程组的初等变换
1. 交换方程组中两个方程的顺序；
2. 在一个方程的两边都乘以一个非零的常数；
作用在增广矩阵上的对应于线性方程组的三种初等 变换称为矩阵的初等行变换： 1.对换变换—交换矩阵的两行；
2.数乘变换—将某行全体元素都乘以某非零常数；
3.倍加变换—把某行用该行与另一行的常数倍的和
替换，即把另一行的常数倍加到该行上。
注意： 1.矩阵的初等行变换是可逆的，且其逆变换是同类 型的初等行变换。 2.如果两个矩阵可通过一系列的初等行变换相互转 化，则称这两个矩阵是行等价的。 定理 若两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这 两个方程组同解。
B的第三个方程减去第一 个方程得
2 x1 2 x2 x3 8 2 x1 2 x2 x3 4 —————————— 2 x3 4
所以方程组B的解一定是方程组A的解。
2 x1 2 x2 -x3 4 2 x1 2 x2 x3 4 A. x2 1 B. 2 x1 x2 x3 3 2 x 2 x x 8 2 x 4 3 2 3 1
x1 2 x 2 x 3 0 2 x2 x3 7 2 x x x 1 2 3 1
1 2 1 0 0 2 1 7 2 1 1 1 1 2 1 0 0 2 1 7 0 5 3 1
从几何上看，上面的方 程组都是涉及平面上两 条直线 的交点问题。 方程组A有唯一解(1,2)，方程组B有无穷 多解，方程组C无解。
一个线性方程组的解有下列三种情况：
无解；有唯一解；有无穷多解。
ห้องสมุดไป่ตู้
如果一个线性方程组有唯一解或者无穷多解，则 称之为相容的；如果无解，则称之为不相容的。
线性方程组的两个基本问题：
x1 2 x 2 x 3 0 r3 (2)r1 2 x2 x3 7 5x 3x 1 2 3
x1 2 x 3 7 r1 (1)r2 2 x2 x3 7 5 11 33 r3 r2 x3 2 2 2
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 对于线性方程组 a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
a11 a 21 a m 1 a12 a 22 am 2 a1n a2n a mn b1 b2 bm a11 a 21 a m 1 a12 a 22 am 2 a1n a2n a mn
第一节
线性方程组 高斯消元法与矩阵
线性方程组的相关概念
n元线性方程 a1 x1 a2 x2 an xn b
其中a1 , a2 ,an为未知量x1 , x2 , xn的系数， b为常数项，n为正整数。
含m个方程的n元(m n)线性方程组为
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
称为方程组的增广矩阵，
称为系数矩阵。
一个线性方程组与一个增广矩阵一一对应， 增广矩阵的一行对应一个方程， 系数矩阵的列数对应未知量个数。 线性方程组的初等变换就对应增广矩阵的行之间的 相应变换。 利用矩阵记号，可以简化求解线性方程组。
例 求解线性方程组 x1 2 x 2 x 3 0 2 x2 x3 7 2 x x x 1 2 3 1 解: 分别采用方程组与矩阵记号表示消元求解过程
解: 方程组A易得解x1 2, x2 1, x3 2,
方程组B看起来要复杂一些，实 际上与A同解。
将B的第一个方程与第二个 方程相加得 2 x1 2 x2 x3 4
2 x1 x2 x3 3 —————————— x2 1
2 x1 2 x2 -x3 4 2 x1 2 x2 x3 4 A. x2 1 B. 2 x1 x2 x3 3 2 x 2 x x 8 2 x 4 3 2 3 1
a12 a 22 am 2 a1n a2n a mn
元素 ， 数aij称为矩阵第i行第j列的
矩阵包含的行数、列数 称为矩阵的维度，
通常用大写字母A, B等来表示矩阵，根据需 要也可将 矩阵记为Amn , A (aij ), 或(aij )mn 等。
1. 方程组是否相容，即解的存在性问题。 2. 如果解存在，是否只有一个，即解的唯一性问题。
例: 解方程组
2 x1 2 x2 -x3 4 A. x2 1 2 x3 4
2 x1 2 x2 x3 4 B. 2 x1 x2 x3 3 2 x 2 x x 8 2 3 1
2 7 1 0 0 2 1 7 11 33 0 0 2 2
1 0 2 7 0 2 1 7 0 0 1 3 1 0 0 1 0 2 0 4 0 0 1 3
方程组的解是一组满足 方程组的n元数组( x1 , x2 , xn ),
方程组的全部解的集合 称为其解集。
例:
x1 3 x2 7 x1 x2 2 x1 x2 2 A. B. C. 2 x1 x2 4 x1 x2 2 x1 x2 3
3. 一个方程的常数倍加在另一个方程上。 三种初等变换可以将线性方程组化为与之等价的方程组. 特别地,可以将方程组化为容易求解的阶梯形方程组. 这就是高斯消元法。 注意到，在高斯消元法求解方程组的过程中，参与运算 的实际上是方程组各变量的系数及常数项。
m n 矩阵
由m n个(实或复)数aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)排成 m行n列的数表 a11 a 21 a m 1
x1
2 x3 7 2 x2 x3 7 x3 3
r2 1r3
r1 (2)r3
1 x1 4 2 x2 x3 3
1 r2 ( ) 2
1 x1 x2 2 x3 3
1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3
用方程组A的第二个方程减去第一 个方程，可得B的 第二个方程； 用方程组A的第一个方程加上第三 个方程，可得B的 第三个方程；
所以方程组A的解是B的解，从而它们有相同 的解。
等价。 含有相同变量的两个方 程组同解，则称它们
线性方程组的初等变换
1. 交换方程组中两个方程的顺序；
2. 在一个方程的两边都乘以一个非零的常数；
作用在增广矩阵上的对应于线性方程组的三种初等 变换称为矩阵的初等行变换： 1.对换变换—交换矩阵的两行；
2.数乘变换—将某行全体元素都乘以某非零常数；
3.倍加变换—把某行用该行与另一行的常数倍的和
替换，即把另一行的常数倍加到该行上。
注意： 1.矩阵的初等行变换是可逆的，且其逆变换是同类 型的初等行变换。 2.如果两个矩阵可通过一系列的初等行变换相互转 化，则称这两个矩阵是行等价的。 定理 若两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这 两个方程组同解。
B的第三个方程减去第一 个方程得
2 x1 2 x2 x3 8 2 x1 2 x2 x3 4 —————————— 2 x3 4
所以方程组B的解一定是方程组A的解。
2 x1 2 x2 -x3 4 2 x1 2 x2 x3 4 A. x2 1 B. 2 x1 x2 x3 3 2 x 2 x x 8 2 x 4 3 2 3 1
x1 2 x 2 x 3 0 2 x2 x3 7 2 x x x 1 2 3 1
1 2 1 0 0 2 1 7 2 1 1 1 1 2 1 0 0 2 1 7 0 5 3 1
从几何上看，上面的方 程组都是涉及平面上两 条直线 的交点问题。 方程组A有唯一解(1,2)，方程组B有无穷 多解，方程组C无解。
一个线性方程组的解有下列三种情况：
无解；有唯一解；有无穷多解。
ห้องสมุดไป่ตู้
如果一个线性方程组有唯一解或者无穷多解，则 称之为相容的；如果无解，则称之为不相容的。
线性方程组的两个基本问题：
x1 2 x 2 x 3 0 r3 (2)r1 2 x2 x3 7 5x 3x 1 2 3
x1 2 x 3 7 r1 (1)r2 2 x2 x3 7 5 11 33 r3 r2 x3 2 2 2
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 对于线性方程组 a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
a11 a 21 a m 1 a12 a 22 am 2 a1n a2n a mn b1 b2 bm a11 a 21 a m 1 a12 a 22 am 2 a1n a2n a mn
第一节
线性方程组 高斯消元法与矩阵
线性方程组的相关概念
n元线性方程 a1 x1 a2 x2 an xn b
其中a1 , a2 ,an为未知量x1 , x2 , xn的系数， b为常数项，n为正整数。
含m个方程的n元(m n)线性方程组为
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
称为方程组的增广矩阵，
称为系数矩阵。
一个线性方程组与一个增广矩阵一一对应， 增广矩阵的一行对应一个方程， 系数矩阵的列数对应未知量个数。 线性方程组的初等变换就对应增广矩阵的行之间的 相应变换。 利用矩阵记号，可以简化求解线性方程组。
例 求解线性方程组 x1 2 x 2 x 3 0 2 x2 x3 7 2 x x x 1 2 3 1 解: 分别采用方程组与矩阵记号表示消元求解过程
解: 方程组A易得解x1 2, x2 1, x3 2,
方程组B看起来要复杂一些，实 际上与A同解。
将B的第一个方程与第二个 方程相加得 2 x1 2 x2 x3 4
2 x1 x2 x3 3 —————————— x2 1
2 x1 2 x2 -x3 4 2 x1 2 x2 x3 4 A. x2 1 B. 2 x1 x2 x3 3 2 x 2 x x 8 2 x 4 3 2 3 1
a12 a 22 am 2 a1n a2n a mn
元素 ， 数aij称为矩阵第i行第j列的
矩阵包含的行数、列数 称为矩阵的维度，
通常用大写字母A, B等来表示矩阵，根据需 要也可将 矩阵记为Amn , A (aij ), 或(aij )mn 等。
1. 方程组是否相容，即解的存在性问题。 2. 如果解存在，是否只有一个，即解的唯一性问题。
例: 解方程组
2 x1 2 x2 -x3 4 A. x2 1 2 x3 4
2 x1 2 x2 x3 4 B. 2 x1 x2 x3 3 2 x 2 x x 8 2 3 1