初二期中复习最短路径+角平分线+全等三角形综合

（一）最短路径

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧

例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

（根据：两点之间线段最短.）

二、两点在一条直线同侧

例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．

三、一点在两相交直线内部

例1：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，

ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

例2：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造

在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直

线，桥要与河垂直）

A·

B

M

N

E

例3：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

例4：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的

最短路线。

四、综合应用

例1：如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，问如何恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短？

例2：

A O

B

E

N

C

M

A

O

B

D

·C H

F

D

（二）角平分线性质判定

1、角平分线的性质定理：

注意两点：（1）角平分线上的点到角两边的距离相等（2）一对全等三角形

经典例题透析

类型一：角平分线性质的应用

1、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，点D在BC上，且BC=24，CD:DB=3:5

求：D到AB的距离。

思路点拨:点到直线的距离是经过该点作直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。

举一反三：

【变式】如图，∠ACB=90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F.

求证：AE=CF

类型二：角平分线的判定

2、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为

∠BAC的平分线。

思路点拨：由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。

总结升华：应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了“垂直”的条件。如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性。

举一反三：

【变式】如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O

(1) 若DB⊥AC,CE⊥AB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。

(2) 若D，E不是垂足，是否有同样的结论？并证明你的结论。

类型三、角平分线的综合应用

一、已知角平分线，构造三角形

例题:如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

求证：

1

()

2

BE AC AB

=-

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段

如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。

求证：∠BAP＋∠BCP=180°。

N

P

E

D C

B

A

2

1

F

E

D C

B

A

其他的角相等。

例1：图1，已知D O ⊥BC ，O C =O A ，O B =O D ，问CD =AB 吗？

[变形1]：请说明△BCE 是直角三角形。

[变形2]：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，

B C E ，，在同一条直线上，连结CD ． （彩图为提示）

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：CD ⊥BE

E B

A

O

C

D

E

B

A

O

C D

图1

图2

A

C B

E

D

图1

A

C B

E

D