高中数列教学案完整版

第三章数列

第一教时

教材：数列、数列的通项公式

目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。过程：

一、从实例引入（P110） 1．堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10

2．正整数的倒数 5

,41,31,21,1

3．，，，，的不足近似值，，精确到414.141.14.11001.01.012

4． -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,… 5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…

二、提出课题：数列

1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性） 2．名称：项，序号，一般公式n a a a ,,,21 ，表示法{}n a 3．

通项公式：n a 与n 之间的函数关系式

如数列1： 3+=n a n 数列2：n

a n 1

数列4：*,)1(N n a n n ∈-= 4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；

有穷数列、无穷数列。

5．

实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n }）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。 6．

用图象表示：— 是一群孤立的点例一（P111 例一略）三、关于数列的通项公式 1．不是每一个数列都能写出其通项公式（如数列3）

2．

数列的通项公式不唯一如数列4可写成 n n a )1(-=和

???-=1

n a *,2*,12N k k n N k k n ∈=∈-=

3．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二（P111 例二）略

四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列

各数： 1．1，0，1，

0 *,2)1(11

N n a n n ∈-+=

+ 2．32-

，83，154-，24

5，356

- 1)1(1)1(2

-++?-=n n a n n 3．7，77，777，7777 )110(9

-?=

n n a 4．-1，7，-13，19，-25，31 )56()1(--=n a n n

5．23，45，169，25617

122

12-+=n n n a

五、小结： 1．数列的有关概念 2．

观察法求数列的通项公式

六、作业：练习 P112 习题 3．1（P114）1、2 《课课练》中例题推荐2 练习 7、8

第二教时

教材：数列的递推关系

目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n 项。过程：

一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）

二、例一：若记数列{}n a 的前n 项之和为S n 试证明：???-=-1

S S S a n n n )1()2(=≥n n

证：显然1=n 时，11S a =

当1≠n 即2≥n 时 n n a a a S +++= 21 1211--+++=n n a a a S

∴ n n n a S S =--1 ∴??

?-=-1

1S S S a n n n )1()

2(=≥n n 注意：1? 此法可作为常用公式

2? 当)(11S a =时满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a

例二：已知数列{}n a 的前n 项和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n

求数列{}n a 的通项公式。解：1．当1=n 时，111==S a

当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合 34-=n a n 2．当1=n 时，311==S a

当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(122=-----++=

∴ ?

??=n a n 23

)2()1(≥=n n

三、递推公式（见课本P112-113 略）以上一教时钢管的例子 3+=n a n

从另一个角度，可以： 1

11+==-n n a a a

)

2()

1(≥=n n

“递推公式”定义：已知数列{}n a 的第一项，且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。例三（P113 例三）略

例四已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ．

解一：可以写出：21=a ，22-=a ，63-=a ，104-=a ，…… 观察可得：)1(42)4)(1(2--=--+=n n n a n 解二：由题设： 41-=-+n n a a

∴

32211-=--=--=------n n n n n n a a a a a a

)

+412-=-a a

)1(41--=-n a a n

∴ )1(42--=n a n 例五已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ．

解一：21=a 22222=?=a 323222=?=a 观察可得： n n a 2=

解二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即

=-n n

a a ∴

2322112------=????n n n n n n n a a

a a a a a a ∴ n n n a a 2211=?=- 四、小结：由数列和求通项

递推公式（简单阶差、阶商法）五、作业：P114 习题3．1 3、4

《课课练》 P116-118 课时2中例题推荐 1、2 课时练习 6、7、8

第三教时

教材：等差数列（一）

目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。过程：

一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……

3，0，-3，-6，……

21，102，103，10

，……

)1(312--=n a n 12，9，6，3，……

特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差” 二、得出等差数列的定义：（见P115）注意：从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．．。 1．名称：AP 首项 )(1a 公差 )(d 2．若0=d 则该数列为常数列 3．寻求等差数列的通项公式：

d a d d a d a a d

a d d a d a a d

a a 3)2(2)(1134112312+=++=+=+=++=+=+=

由此归纳为 d n a a n )1(1-+= 当1=n 时 11a a = （成立）注意: 1? 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数

2? 如果通项公式是关于n 的一次函数，则该数列成AP 证明：若A n B A B A n A B An a n )1()()1(-++=++-=+= 它是以B A +为首项，A 为公差的AP 。

3? 公式中若 0>d 则数列递增，0

三、例题：注意在d n a a n )1(1-+=中n ，n a ，1a ，d 四数中已知三个可以求出另一个。例一（P115例一）

例二（P116例二）注意：该题用方程组求参数例三（P116例三）此题可以看成应用题四、关于等差中项：如果b A a ,,成AP 则2

a A +=

证明：设公差为d ，则d a A += d a b 2+=

∴A d a d

a a

b a =+=++=+2

22 例四《教学与测试》P77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数c b a ,,使这五个数成AP ，求此数列。

解一：∵AP c b a 成7,,,,1- ∴b 是-1与7 的等差中项 ∴ 3271=+-=

b a 又是-1与3的等差中项 ∴12

1=+-=a

c 又是1与7的等差中项 ∴52

3=+=

c 解二：设11-=a 75=a ∴

d )15(17-+-= 2=?d ∴所求的数列为-1，1，3，5，7 五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项六、作业： P118 习题3．2 1-9

第四教时

教材：等差数列（二）

目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。过程：

一、复习：等差数列的定义，通项公式

二、例一在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N q p n m ,,,且q p n m +=+ 求证：1? q p n m a a a a +=+ 2? d q p a a q p )(-+=

证明：1?

设首项为1a ，则

q p a d q a d p a a a d n m a d n a d m a a a q p n m )2(2)1()1()2(2)1()1(111111-++=-++-+=+-++=-++-+=+

∵

q p n m +=+ ∴

q p n m a a a a +=+

2? ∵

d p a a p )1(1-+=

d p a d q p d q a d q p a q )1()()1()(11-+=-+-+=-+

∴ d q p a a q p )(-+=

注意：由此可以证明一个定理：设成AP ，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和，即： =+=+=+--23121n n n a a a a a a 同样：若p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ 例二在等差数列{}n a 中，

1? 若a a =5 b a =10 求15a 解：155102a a a += 即152a a b += ∴ a b a -=215 2? 若m a a =+83 求 65a a + 解：65a a +=m a a =+83

3? 若 65=a 158=a 求14a

解：d a a )58(58-+= 即 d 3615+= ∴ 3=d 从而 33396)514(514=?+=-+=d a a

4? 若 30521=+++a a a 801076=+++a a a 求

151211a a a +++

解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 …… ∴ 11162a a a += 12272a a a += …… 从

而

)(151211a a a +++ +=+++)(521a a a 2)(1076a a a +++

∴

151211a a a +++ =2)(1076a a a +++ -)(521a a a +++

=2×80-30=130 三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1．定义法：即证明 )(1常数d a a n n =-- 例三《课课练》第3课例三

已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 232-=，求证数列{}n a 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。解：12311=-==S a 当

2≥n 时

56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n

1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n

首项11=a )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成AP 且公差为6

2．中项法：即利用中项公式，若c a b +=2 则c b a ,,成AP 。

例四《课课练》第4 课例一

已知a 1，b 1，c 1成AP ，求证 a

c b +，b a c +，c b

a +也成AP 。

证明： ∵a 1，b 1，c 1成AP ∴c

a b 1

12+= 化简得：

)(2c a b ac +=

c a ac ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b 2

222222)(++=+++=+++=+++ =b c

a c a

c a ac c a +?=++=+22

)()()(22 ∴

c b +，b a c +，c b

a +也成AP

3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n 的一次函数这一性质。

例五设数列{}n a 其前n 项和322+-=n n S n ，问这个数列成AP 吗？解： 1=n 时 211==S a 2≥n 时 321-=-=-n S S a n n n

∵321-=n a a n 不满足 ∴ ?

??-=322

n a n 21≥=n n

∴ 数列{}n a 不成AP 但从第2项起成AP 。四、小结：略

五、作业：《教学与测试》第37课练习题《课课练》第3、4课中选

第五教时

教材：等差数列前n 项和（一）

目的：要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题。过程：

一、引言：P119 著名的数学家高斯（德国 1777-1855）十岁时计算

1+2+3+…+100的故事

故事结束：归结为 1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和

2．高斯的解法是：前100项和2)

1001(100100+?=S

即2

)

(1n n a a n S += 二、提出课题：等差数列的前n 项和 1．证明公式1：2

)

(1n n a a n S +=

证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②

①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2

)

(1n n a a n S +=

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。 2．推导公式2

用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1 但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2

)1(1d

n n na S n -+

= 此公式要求n S 必须具备三个条件：d a n ,,1 （有时比较有用）总之：两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个 3．例一（P120 例一）：用公式1求n S 例二（P120 例一）：用公式2求n 学生练习：P122练习 1、2、3

三、例三（P121 例三）求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和。

解：由1007

147100=

即：7，14，21，…，98 是为首项71=a AP a 的9814=

∴ 7352

)

987(14=+?=

n S 答：略例四已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，

由此可以确定求其前n 项和的公式吗？解：由题设： 31010=S 122020=S

得： ???=+=+122019020310451011d a d a ?

??==?64

1d a

∴ n n n n n S n +=?-+

=2362

)

1(4 四、小结：等差数列求和公式

五、作业（习题3．1） P122-123

第六教时

教材：等差数列前n 项和（二）

目的：使学生会运用等差数列前n 项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。过程：

一、复习：等差数列前n 项和的公式

二、例一在等差数列{}n a 中 1? 已知488=S 16812=S 求1a 和d ；

解：???=+=+16866124828811d a d a 81-=?a 4=d

2? 已知4053=+a a ，求17S ．解：∵40153171=+=+a a a a ∴3402

172)(1717117=?=+=

a a S 例二已知{}n a ，{}n

b 都成AP ，且 51=a ，151=b ，100100100=+b a 试求数列{}n n b a +的前100项之和100S ．解：60002

)100

155(1002)(10010010011100=++?=+++?=

b a a a S

例三一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。

解一：设首项为1a ，公差为d

则????

?????=

??+??++=?+173222566225

6)(635421112121

11d

a d d a d a 5=?d

解二：?????==+27

32354

奇偶偶奇S

S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶 5=?d

例四已知：n n a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）*N n ∈ 问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？

解：1? ???<-=≥-+=+02lg 10240

2lg )1(10241n a n a n n

3403340112

lg 1024

2lg 1024<

n n ∴3402=n 2? 0)2lg (2

)

1(1024=--+

=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小令：0=n S 即 1024+0)2lg (2

)

1(=--n n 得：99.680412

lg 2048

≈+=

n ∵ *N n ∈ ∴6805=n

例五项数是n 2的等差数列，中央两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根，求证此数列的和是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。（02>n S ）

解：依题意：p a a n n =++1

∵p a a a a n n n =+=++121 ∴np a a n S n n =+=

)

(2212

∵0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x

∴ 0)lg (lg 2=-np x ∴n S np x 2== （获证）

例六（机动，作了解）求和

1? n +++++

++++++ 3211

32112111 解：)1

1(2)1(23211+-=+=++++=

n n n n n a n

∴ 12)111(2)111()3121()211(2+=+-=??

????

+-++-+-=n n n n n S n

2? )12()34()9798()99100(22222222-+-++-+- 解：原式=505050101502

)

3199(37195199=?=?+=++++ 三、作业《精编》P167-168 6、7、8、9、10

第七教时

教材：等差数列的综合练习

目的：通过练习，要求学生对等差数列的定义，通项公式，求和公式及其性质有深刻的理解。过程：

一、复习：1．等差数列的定义，通项公式—关于n 的一次函数 2．判断一个数列是否成等差数列的常用方法 3．求等差数列前n 项和的公式二、处理《教学与测试》P79 第38课例题1、2、3 三、补充例题《教学与测试》备用题

1．成等差数列的四个数之和为26，第二数和第三数之积为40，求这四个数．解：设四个数为d a d a d a d a 3,,,3++--

则：???=+-=++++-+-40

))((26

)3()()()3(d a d a d a d a d a d a

由①： 213=

a 代入②得： 2

3±=d ∴ 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2．

2．在等差数列{}n a 中，若21512841=+---a a a a 求15S ．解：∵124151a a a a +=+ ∴ 28-=a 而3015815-==a S

3．已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和．解：由题设 a S n = b S n =2 ∴a b a a a n n n -=+++++221 而

)(2)()(22132|21221n n n n n n n a a a a a a a a a +++=++++++++++ 从而：

)()()(32|212221213n n n n n n n n a a a a a a a a a S +++++++++++=+++ )(3)(3221a b a a a n n n -=+++=++ 四、补充例题：（供参考，选用）

4．已知11=a ，n n a n S 2= )1(≥n 求n a 及n S ．

解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11

-+-=n n a n n a ∵11=a ∴312=a 31423?=a 3142534??=a 31

4253645???=a

∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=

n n n n n n n a n ∴1

22+==n n

a n S n n

5．已知*)(2

142

N n a S n n n ∈-

-=- 求n n a a a 和11,+的关系式及通项公式n a 解： 121

412

1111=?-

-==-a a S a

???--=--=-+++-2

)1(112

4214n n n n n n

a S a S

?②-①：21112121--+++-+-=n n n n n a a a 即：n n n a a 21

211+=+

将上式两边同乘以n 2得： 12211+=-+n n n n a a 即：12211=--+n n n n a a 显然：{}n n a 12-是以1为首项，1为公差的AP ∴ n n a n n =?-+=-1)1(121 ∴ 1

n n n a

6．已知n n n S a a 2311+==-且，求n a 及n S ．

解：∵1--=n n n S S a ∴ n n n S S 221=-- ∴

211

=---n n n n S S 设n

n n S b 2

则{}n b 是公差为1的等差数列 ∴11-+=n b b n

又：∵2322111===

a S

b ∴21

+=n S n n ∴12)12(-+=n n n S 当2≥n 时 212)32(--+=-=n n n n n S S a

∴????+=-2

)32(3n n n a )2()1(≥=n n 1

2)12(-+=n n n S 7．设)1(433221+++?+?+?=n n a n 求证：2)1(2)1(2

+<<+n a n n n 证：∵ n n n n =>+2)1( 2

2)21()1(2+=+<+n n n n

∴ 2

2)1(+<

)

12(31321++++<<++++n a n n

∴2

)1(2)1(2

+<<+n a n n n 五、作业：《教学与测试》第38课练习题P80

第八教时

教材：等比数列（一）

目的：要求学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式并会根据它进行有关计算。过程：

一、1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例：得一个数列：

63322,,2,2,2,1 (1)

2.数列： ,625,125,25,5 (2)

,41,21,1-- (3)

观察、归纳其共同特点：1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q )

2? 隐含：任一项00≠≠q a n 且 3? q = 1时，{a n }为常数二、通项公式：

,64(22

2:)1()2

()21(1)3(555)2(221)1(111

111

131********N n n a q q

a a a a q q a a q a a q a q a a q a q a a q a a n n n n n n n n n

n n n n n n n

n n ∈≤?==?=-=-?==?==?=?==????????=====-------且如：数列缩后图象上的孤立点。

是经过指数函数纵向伸图象：：：：如数列：或

三、例一：（P127 例一）实际是等比数列，求 a 5

∵a 1=120, q =120 ∴a 5=120×1205-1=1205≈2.5×1010 例二、（P127 例二）强调通项公式的应用例三、求下列各等比数列的通项公式：

1．a 1=-2, a 3=-8 解：2

4213±=?=?=q q q a a

n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或

2．a 1=5, 且2a n +1=-3a n

解：111)2

(552

-+-?=∴=-==

n n n n a a a a q 又：

3．a 1=5, 且

1+=+n n

a a n n 解：n

n a a a a a a n n a a n n n n 1

,,32,2

1123121-===∴+=-+

以上各式相乘得：n

a n a n 3

11==

四、关于等比中项：

如果在a 、b 中插入一个数G ，使a 、G 、b 成GP ，则G 是a 、b 的等比中项。

ab G ab G G

a G ±=?=?=2（注意两解且同号两项才有等比中项）

例：2与8的等比中项为G ，则G 2=16 G=±4

例四、已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，求证：

,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成GP 。证：由题设：b 2=a c 得：

2333)3

(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=?++=?++ ∴

,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成GP 五、小结：等比数列定义、通项公式、中项定理

六、作业：P129 习题3．4 1—8

第九教时

教材：等比数列（二）

目的：在熟悉等比数列有关概念的基础上，要求学生进一步熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断一个数列是否成等比数列的方法。过程：

一、复习：1、等比数列的定义，通项公式，中项。 2、处理课本P128练习，重点是第三题。二、等比数列的有关性质：

1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方。

2、若q p n m +=+，则q p n m a a a a =。

例一：1、在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a 。解：∵109181a a a a =，∴205

100

110918===

a a a a

2、在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前七项之积。解：()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b =

∵5362712

4b b b b b b b ===，∴前七项之积()

218733373

2==? 3、在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，求8a ，解：14582

5454255358-=-?=?

==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-?=a ∴14588-=a

三、判断一个数列是否成GP 的方法：1、定义法，2、中项法，3、通项公式法例二：已知无穷数列 ,10,10,10,105

0-n ，

求证：（1）这个数列成GP

（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的

，（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。

证：（1）51

101010

==---n n n n a a （常数）∴该数列成GP 。

（2）

1011010

1015

15===-+-+n n n n a a ，即：5101

+=n n a a 。（3）5

15110

-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p 。

∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1，∴?

?????∈--+51

n 5

21010

q p ，（第1-+q p 项）。例三：设d c b a ,,,均为非零实数，()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ，求证：c b a ,,成GP 且公比为d 。

证一：关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根， ∴()()044222

2≥+-+=?b a c a b ，∴()

2≥--ac b

则必有：02=-ac b ，即ac b =2，∴c b a ,,成GP 设公比为q ，则aq b =，2aq c =代入

()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a ∵()0122≠+a q ，即0222=+-q qd d ，即0≠=q d 。证二：∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b abd d a ∴()()02

=-+-c bd b ad ，∴b ad =，且c bd =

∵d c b a ,,,非零，∴

d b

a b ==。四、作业：《课课练》P127-128课时7中练习4~8。

P128-129课时8中例一，例二，例三，练习5，6，7，8。

第十教时

教材：等比数列的前n 项和

目的：要求学生掌握求等比数列前n 项的和的（公式），并了解推导公式所用的方法。过程：

一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。二、引进课题，采用印度国际象棋发明者的故事，

即求63

6264228421+++++= s ①

用错项相消法推导结果，两边同乘以公比：

64636422168422+++++= S ②

②－①：1221646464-=+-=S 这是一个庞大的数字>1．84×19

10，

以小麦千粒重为40g 计算，则麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出来的。三、一般公式推导：设n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 乘以公比q ，n n n n qa a a a a qS +++++=-132 ②

①-②：()n n qa a S q -=-11，1≠q 时：()

q a q aq a q qa a S n

n n n --=--=--=1111111

1=q 时：1na S n =

注意：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个，

（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1

-n q

不要混淆，

（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。

四、例1、（P131，例一略）——直接应用公式。例2、（P131，例二略）——应用题，且是公式逆用（求n ），要用对数算。例3、（P131-132，例三略）——简单的“分项法”。例4、设数列{}n a 为 1

4,3,2,1-n nx

x x x ()0≠x 求此数列前n 项的和。

解：（用错项相消法） 1324321-+++++=n n nx x x x S ① ()n

n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ② ①-②()n

n n nx x x x S x -++++=--1211 ，

当1≠x 时，

()()x

nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n

n n -++-=-+--=---=-++1111111111 ()()

111x nx x n S n n n -++-=

当1=x 时，()2

14321n n n S n +=

++++=

五、小结：（1）等比数列前n 项和的公式，及其注意点，（2）错项相消法。再介绍两种推导等比数列求和公式的方法，（作机动）法1：设n n a a a a S ++++= 321 ∵{}n a 成GP ，∴

q a a a a a a a a n n =====-1

2312 由等比定理：

,1321321q a a a a a a a a n n =++++++++- 即：q a S a S n

n n =--1

当1≠q 时，()

q a q q a a S n

n n --=--=11111

当1=q 时，1na S n =

法2：1

12111-++++=n n q a q a q a a S

(

121111-+++++=n q a q a q a a q a

()n n n a S q a qS a -+=+=-111

从而：()?-=-q a a S q n n 11当1≠q 时q

a a S n n --=

11（下略）

当1=q 时1na S n = 六、作业：P132-133 练习 ①，②，③

习题3．5 ①，②，③，④，⑤

第十一教时

教材：等比数列《教学与测试》第40、41课

目的：通过处理有关习题以达到复习、巩固等比数列的有关知识与概念的目的。过程：

一、复习：等比数列的有关概念，等比数列前n 项和的公式二、处理《教学与测试》第40课：例一、（P83）先要求x ，还要检验（等比数列中任一项a n ≠0, q ≠0）例二、（P83）注意讲：1?“设”的技巧

2? 区别“计划增产台数”与“实际生产台数” 例三、（P83）涉及字母比较多（5个），要注意消去a 2, a 4

例四、（备用题）已知等比数列{a n }的通项公式1)21

(3-?=n n a 且：

n n n n a a a b 31323++=--，求证：{b n }成GP

证：∵1)2

(3-?=n n a

∴132********)2

(3)21(3)21(3-----++=++=n n n n n n n a a a b

3333)2

(421)41211()21(3--=++=n n

∴

31)2

(=+n n b b ∴{b n }成GP 三、处理《教学与测试》第41课：

例一、（P85）可利用等比数列性质a 1a n = a 2 a n -1, 再结合韦达定理求出a 1与a n （两解），

再求解。

例二、（P85）考虑由前项求通项，得出数列{a n }，再得出数列{

a 1

}，再求和——注意：从第二项起．．．．是公比为2

的GP 例三、（P85）应用题：先弄清：资金数=上年资金×（1+50%）-消费基金。然后逐一推

算，用数列观点写出a 5，再用求和公式代入求解。

高中数学等差数列性质总结大全

等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 . （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． ` （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。？（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

上海市2020届高三数学试题分类汇编：数列(含解析)

高三上期末考试数学试题分类汇编数列一、填空、选择题 1、（宝山区2019届高三）如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q = 2、（崇明区2019届高三）已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立. 函数1()|sin ()|n n f x x a n =-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m = 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是 3、（奉贤区2019届高三）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 l i m 3n n n n n S a S a →∞-<+，则q 的取值范围是（） A. (0,1) B. (2,)+∞ C. (0,1] (2,)+∞ D. (0,2) 4、（虹口区2019届高三）已知7个实数1、2-、4、a 、b 、c 、d 依次构成等比数列，若成这7 个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为 5、（金山区2019届高三）无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是 6、（浦东新区2019届高三）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S . 若936S =，则348a a a ++= 7、（普陀区2019届高三）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%，照此推算，此人2019年的年薪为万元（结果精确到0.1） 8、（青浦区2019届高三）已知无穷等比数列{}n a 各项的和为4，则首项1a 的取值范围是 9、（松江区2019届高三）已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++= 10、（徐汇区2019届高三）若数列{} n a 的通项公式为* 2()111n n a n N n n =∈+，则 l i m n n a →∞ =___________. 11、（杨浦区2019届高三）在无穷等比数列{}n a 中，121 lim()2 n n a a a →∞ ++???+= ，则1a 的取值范围是 12、（长宁区2019届高三）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11 2 n n n a a ++= ，若数列{}n S 收敛于

高中数列经典题型-大全教学教材

高中数列经典题型-大全

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学：《递推数列》经典题型全面解析类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）。例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ： ),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。 32,121==x x Θ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 13212+=++，求n a 。类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-) 2()1(11n S S n S a n n n 与例：已知数列{}n a 前n 项和2214-- -=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a . 类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 )()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

(word完整版)高中数学等差数列练习题

一、过关练习： 1、在等差数列{}n a 中，2,365-==a a ，则1054a a a Λ++= 2、已知数列{}n a 中，() *+∈+==N n a a a n n 3 111,111，则50a = 3、在等差数列{}n a 中，,0,019181=+>a a a 则{}n a 的前n 项和n S 中最大的是 4、设数列{}n a 的通项为()*∈-=N n n a n 72，则1521a a a +++Λ= 二、典例赏析：例1、在等差数列{}n a 中，前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a （1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求n 例2、在等差数列 {}n a 中，（1）941,0S S a =>，求n S 取最大值时，n 的值；（2）1241,15S S a ==，求n S 的最大值。例3、已知数列{}n a 满足()22,21 2 1≥-==-n a a a a a a n n ，其中a 是不为零的常数，令a a b n n -=1 （1）求证：数列{}n b 是等差数列（2）求数列{}n a 的通项公式三、强化训练： 1、等差数列{}n a 中，40,19552==+S a a ，则1a = 2、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为 3、等差数列{}n a 中，,4,84111073=-=-+a a a a a 记n n a a a S +++=Λ21，则13S 等于 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10,10010010==S S ，则110S = 。 5、在ABC ?中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值作业 A 组： 1、在a 和b 两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为 2、已知方程 ()()02222=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则n m -等于 B 组： 3、已知一元二次方程()()()02=-+-+-b a c x a c b x c b a 有两个相等的实根，求证： c b a 1,1,1成等差数列 4、已知数列 {}n a 的通项公式是254-=n a n ，求数列{}n a 的前n 项和

普通高中数学教学大纲

更多免费资料请访问：豆丁教育百科普通高中数学教学大纲2002年4月全日制普通高级中学数学教学大纲中华人民共和国教育部制订数学是研究空间形式和数量关系的科学。数学能够处理数据、观测资料，进行计算、推理和证明，可提供自然现象、社会系统的数学模型。随着社会的发展，数学的应用越来越广泛。它是人们参加社会生活、从事生产劳动和学习、研究现代科学技术的基础；它在培养和提高思维能力方面发挥着特有的作用；它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。高中数学是义务教育后普通高级中学的一门主要课程。它是学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生产、日常生活和进一步学习的必要基础，对形成良好的思想品质和辩证唯物主义世界观有积极作用。因此，使学生在高中阶段继续受到数学教育，提高数学素养，对于提高全民族素质，为培养社会主义现代化建设所需要的人才打好基础是十分必要的。一、教学目的高中数学教学应该在9年义务教育数学课程的基础上进一步做到：使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何、概率统计、微积分的基础知识、基本技

能，以及其中的数学思想方法。在数学教学过程中注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力。努力培养学生数学思维能力，包括：空间想象能力、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断。激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值，从而进一步树立辩证唯物主义世界观。二教学内容的确定和安排更多免费资料请访问：豆丁教育百科高中数学教学内容应精选那些在现代社会生活、生产和科学技术中有着广泛应用的，为进一步学习所必需的，在理论上、方法上、思想上是最基本的，同时又是学生所能接受的知识。在内容安排上，既要注意各部分知识的系统性，注意与其他学科的相互配合，更要注意符合学生的认识规律，还要注意与义务教育初中数学内容相衔接。高中数学分必修课、选修课，选修课包括选修Ⅰ和选修Ⅱ。必修课总计280课时，选修Ⅰ总计44课时，

高中数学等差数列教案3篇

高中数学等差数列教案3篇教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。等差数列教案一【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊

到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重

引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】一：创设情境，引入新课

上海高中数学数列的极限(完整资料)

【最新整理，下载后即可编辑】 7.6 数列的极限课标解读： 1、理解数列极限的意义； 2、掌握数列极限的四则运算法则。目标分解： 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即||a a n -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限。注：a 不一定是{}n a 中的项。 2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim =∞→n n ；③ ) 1|(|0lim <=∞ →q q n n ； 3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ，当 a a n n =∞ →lim ， b b n n =∞ →lim 时，b a b a n n n ±=±∞→)(lim ； b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ； )0(lim ≠=∞→b b a b a n n n 4、两个重要极限： ① ?? ???<=>=∞→00100 1lim c c c n c n 不存在

②?? ???-=>=<=∞ →11||111||0 lim r r r r r n n 或不存在问题解析：一、求极限：例1：求下列极限： (1) 3 21 4lim 22 +++∞→n n n n (2) 2 4323lim n n n n n -+∞→ (3) )(lim 2n n n n -+∞ → 例2：求下列极限： (1) )23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ； (2) ])23()13(11181851521[lim +?-++?+?+?∞→n n n 例3：求下式的极限：

高中数学数列教学课件

高中数学数列教学课件高中数学数列教学课件一、教材分析 1、教材的地位和作用：数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入"数学建模"的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于

发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为： ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。由于学生第一次接触不完全归纳法，对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对"数学建模"的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。二、学情教法分析：对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。三、学法指导：在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的

(完整版)高中数学等差数列教案

等差数列教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质教学过程：引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6）数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1）数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1）由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？