高中数学新课程创新教学设计案例50篇__44_数列
高中数学新课程创新教学设计案例50篇__40-43平面向量
40 平面向量的数量积教材分析两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这篇案例从学生熟知的功的概念出发，引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义，介绍向量数量积的运算律及坐标表示．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起，这为解决三角形的有关问题提供了方便，特别是能有效解决线段的垂直等问题．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习．这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用．教学目标1. 理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和数量积的坐标表示，会初步使用平面向量的数量积来处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．2. 通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯．任务分析两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别，这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难．在学习时，要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角余弦值的正负而确定．两向量的数量积“a·b”不同于两实数之积“ab”．通过实例理解a·b＝b·c与a＝c的关系，a·b＝0与a＝0或b＝0的关系，以及（a·b）c＝a（b·c）与（ab）c＝a（bc）的不同．教学设计一、问题情景如图40-1所示，一个力f作用于一个物体，使该物体发生了位移s，如何计算这个力所做的功．由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功．即力f使物体位移x所做的功W可用下式计算．W＝｜s｜｜f｜cosθ．其中｜f｜cosθ就是f在物体前进方向上的分量，也就是力f在物体前进方向上正射影的数量．问题：像功这样的数量值，它由力和位移两个向量来确定．我们能否从中得到启发，把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？二、建立模型1. 引导学生从“功”的模型中得到如下概念：已知两个非零向量a与b，把数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积（内积），记作a·b ＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a与b夹角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a 方向上）的投影．规定0与任一向量的数量积为０．由上述定义可知，两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数．说明：向量a与b的夹角θ是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，其中0≤θ≤π．当θ＝时，称a和b垂直，记作a⊥b．为方便起见，a与b的夹角记作〈a，b〉．2. 引导学生思考讨论根据向量数量积的定义，可以得出（1）设e是单位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）设a·b是非零向量，则a⊥b a·b＝0．（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（这与实数｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解释应用［例题］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b．解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10．［练习］1. 已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影为－2，求：（1）a·ｂ．（2）a在b上的投影．2. 已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求·．四、建立向量数量积的运算律1. 出示问题：从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更富有意义．回忆实数的运算律，你能类比和归纳出向量数量积的一些运算律吗？它们成立吗？为什么？2. 运算律及其推导已知：向量a，b，c和λ∈R，则（1）a·b＝b·a（交换律）．证明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（数乘结合律）．证明：设a，b夹角为θ，当λ＞0时，λa与b的夹角为θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；当λ＜0时，λa与b的夹角为（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；当λ＝0时，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）．总之，（λa）·b＝λ（a·b）；同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法对加法的分配律）．证明：如图40-2，任取一点O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．思考：（1）向量的数量积满足结合律，即（a·b）c＝a（b·c）吗？（2）向量的数量积满足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c吗？五、应用与深化［例题］1. 对实数a，b，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2．类似地，对任意向量a，b，也有类似结论吗？为什么？解：类比完全平方和公式与平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2．其证明是：（a＋b）2＝（a＋b）·（a＋b）＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2．∴有类似结论．2. 已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）．解：（a＋2b）·（a－3b）＝a2－3a·b＋2b·a－6b2＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜2＝－72．3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a与b不共线．当k为何值时，（a＋kb）⊥（a－kb）？解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±．因此，当k＝±时，有（a＋kb）⊥（a－kb）．4. 已知：正方形ABCD的边长为1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1××＋2×1××＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．［练习］1. ｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a与b的夹角θ．2. 在边长为2的正三角形ABC中，求·＋·＋·．六、拓展延伸1. 当向量a，b的夹角为锐角时，你能说明a·b的几何意义吗？如图40-3，a·b，即以b在a上射影的长和ａ的长为两邻边的矩形面积（OA＝OA1）．2. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图40-4，＝＋，＝－．试说明平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系．3. 三个单位向量a，b，c有相同终点且a＋b＋c＝0，问：它们的起点连成怎样的三角形？解法1：如图40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）2＝（－c）2，∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°．同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即该△ABC为等边三角形．解法2：如图40-6，＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋．∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB为菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…4. 在△ABC中，·＝·＝·，问：O点在△ABC的什么位置？解：由·＝·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，同理⊥，⊥．故O是△ABC的垂心．41 两角和与差的余弦教材分析这节内容是在掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．这些内容在高等数学、电功学、力学、机械设计与制造等方面有着广泛的应用，因此要求学生切实学好，并能熟练的应用，以便为今后的学习打下良好的基础．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性．这节课的重点是两角差的余弦公式的推导，难点是把公式中的α，β角推广到任意角．教学目标1. 通过对两角差的余弦公式的探究过程，培养学生通过交流，探索，发现和获得新知识的能力．2. 通过两角差的余弦公式的推导，体会知识的发生、发展的过程和初步的应用过程，培养学生科学的思维方法和勇于探索的科学精神．3. 能正确运用两角差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明．任务分析这节内容以问题情景中的问题作为教学的出发点，利用单位圆中的三角函数线和平面向量的数量积的概念推导出结论，并不断补充推导过程中的不严谨之处．推导过程采用了从特殊到一般逐层递进的思维方法，学生易于接受．整个过程始终结合单位圆，以强调其直观性．对于公式中的α和β角要强调其任意性．数学中要注意运用启发式，切忌把结果直接告诉学生，尽量让学生通过观察、思考和探索，自己发现公式，使学生充分体会到成功的喜悦，进一步激发学生的学习兴趣，调动他们学习的积极性，从而使其自觉主动地学习．教学过程一、问题情景我们已经学过诱导公式，如可以这样来认识以上公式：把角α转动，则所得角α＋的正弦、余弦分别等于cosα和－sinα．把角α转动π，则所得角α＋π的正弦、余弦分别等于－sinα和－cosα．由此，使我们想到一个一般性的问题：如果把角α的终边转动β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦来表示呢？出示一个实际问题：右图41-1是架在小河边的一座吊桥的示意图．吊桥长AB＝ａ（m），A是支点，在河的左岸．点C在河的右岸，地势比A点高．AD表示水平线，∠DAC＝α，α为定值．∠CAB ＝β，β随吊桥的起降而变化．在吊桥起降的过程中，如何确定点B离开水平线AD的高度BE？由图可知BE＝asin（α＋β）．我们的问题是：如何用α和β的三角函数来表示sin（α＋β）．如果α＋β为锐角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）吗？引导学生分析：事实上，我们在研究三角函数的变形或计算时，经常提出这样的问题：能否用α，β的三角函数去表示α±β的三角函数？为了解决这类问题，本节首先来探索α－β的余弦与α，β的函数关系式．更一般地说，对于任意角α，β，能不能用α，β的三角函数值把α＋β或α－β的三角函数值表示出来呢？二、建立模型1. 探究（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引导学生通过特例否定这一猜想．例如，α＝60°，β＝30°，可以发现，左边＝cos（60°－30°）＝cos30°＝，右边＝cos60°－cos30°＝－．显然，对任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．（3）再引导学生从道理上否定这一猜想．不妨设α，β，α－β均为锐角，则α－β＜α，则cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ．2. 分析讨论（1）如何把α，β，α－β角的三角函数值之间建立起关系？要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识？（2）由三角函数线的定义可知，这些角的三角函数值都与单位圆中的某些有向线段有关系，那么，这些有向线段之间是否有关系呢？3. 教师明晰通过学生的讨论，教师引导学生作出以下推理：设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么，OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．4. 提出问题，组织学生讨论（1）当α，β，α－β为任意角时，上述推导过程还能成立吗？若要说明此结果是否对任意角α，β都成立，还要做不少推广工作，可引导学生独立思考．事实上，根据诱导公式，总可以把α，β的三角函数化为（0，）内的三角函数，再根据cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化为锐角的余弦．因此，三、解释应用［例题］1. 求cos15°及cos105°的值．分析：本题关键是将15°角分成45°与30°的差或者分解成60°与45°的差，再利用两角差的余弦公式即可求解．对于cos105°，可进行类似地处理，cos105°＝cos（60°＋45°）．2. 已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）的值．与本题已知条件应先计算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，分析：观察公式Cα＋βcosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β的取值范围来求解．［练习］1. （1）求sin75°的值．（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．（3）化简cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215°－sin215°的值．分析：对于（1），可先用诱导公式化sin75°为cos15°，再用例题1中的结果即可．对于（2），逆向使用公式Cα-β，即可将原式化为cos30°．对于（3），可以把A＋B角看成一个整体，去替换Cα-β中的α角，用B角替换β角．2. （1）求证：cos（－α）＝sinα．（2）已知sinθ＝，且θ为第二象限角，求cos（θ－）的值．（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．分析：（1）和（差）公式可看成诱导公式的推广，诱导公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函数求值问题中，变角是一种常用的技巧，α＝（30°＋α）－30°，这样可充分利用题中已知的三角函数值．3. 化简cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．分析：这里可以把角36°＋α与α－54°均看成单角，进而直接运用公式Cα-β，不必将各式展开后再计算．分析：本题是一道综合题，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只须将已知两式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．四、拓展延伸1. 由任意角三角函数定义，可知角α，β的终边与单位圆交点的坐标均可用α，β的三角函数表示，即α－β角与，两向量的夹角有关，那么能否用向量的有关知识来推导公式Cα-β呢？教师引导学生分析：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．由向量数量积的概念，有·＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．由向量的数量积的坐标表示，有·＝cosαcosβ＋sinαsinβ．于是，有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．依据向量数量积的概念，角α－β必须符合０≤α－β≤π，即在此条件下，以上推导才是正确的．由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，须研究α－β为任意角时，以上推导是否正确．当α－β为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．若θ∈［0，π］，则·＝cosθ＝cos（α－β）；若θ∈［π，2π］，则2π－θ∈［0，π］，且·＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．于是，对于任意角α，β都有2. 教师提出进一步拓展性问题：本节问题情景中，涉及如何用s inα，sinβ，cosα，cosβ来表示sin（α＋β）的问题，试探索与研究sin（α＋β）的表达式．42 两角和与差的正弦教材分析在这节内容中，公式较多，一旦处理不当，将成为学生学习的一种负担．针对这个特点，应充分揭示公式的内在联系，使学生理解公式的形成过程及其使用条件，在公式体系中掌握相关的公式．同时，通过练习使学生能够熟练地运用这些公式．当然，这些公式的基础是两角和差的余弦公式．通过诱导公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α ）＝cosα（α为任意角），可以实现正、余弦函数间的转换，也可推广为sin（α＋β）＝ｃｏｓ［－（α＋β）］＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推导出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四个公式的左边均为两角和与差的正、余弦，右边均为单角α，β的正、余弦形式．不同点为公式Sα+β，Sα-β两边的运算符号相同，Cα+β与Cα-β两边的运算符号相反．Sα+β与Sα-β中右边是两单角异名三角函数的乘积，而Cα-β与Cα+β的右边是两单角同名三角函数的乘积．任务分析这节课计划采用启发引导和讲练结合的教学方式，对三角函数中的每一个公式要求学生会推导，会使用，要求不但掌握公式的原形，还应掌握它们的变形公式，会把“asinｘ＋bcos ｘ”类型的三角函数化成一个角的三角函数．在课堂教学中，将采用循序渐进的原则，设计有一定梯度的题目，以利于培养学生通过观察、类比的方法去分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的思维习惯．在教学中，及时提醒学生分析、探索、化归、换元、类比等常用的基本方法在三角变换中的作用．这节课的重点是准确、熟练、灵活地运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的求值、化简和证明，难点是公式的变形使用和逆向使用．教学目标1. 能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，两角和差的正弦公式，并了解各个公式之间的内在联系．2. 能运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明．3. 通过公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力，同时渗透数学中常用的换元、整体代换等思想方法．教学过程一、问题情景如图42-1，为了保持在道路拐弯处的电线杆OB的稳固性，要加一根固定钢丝绳，要求钢丝绳与地面成75°角．已知电线杆的高度为5m，问：至少要准备多长的钢丝绳？设电线杆与地面接触点为B，顶端为O，钢丝绳与地面接触点为A．在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出钢丝绳的长度．75°角可表示成两个特殊角45°与30°的和，那么sin75°的值能否用这两特殊角的三角函数值来表示呢？二、建立模型1. 探究已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，则sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函数名与cos（α＋β）和cos（α－β）有何关系？通过诱导公式可实现正、余弦函数的转换，即sin（α＋β）＝推导以上公式的方法并不是唯一的，其他推导方法由学生课后自己探索．3. 分析公式的结构特征Sα+β与Sα-β中两边的加减运算符号相同，右边为α与β角的异名三角函数的乘积．应特别注意公式两边符号的差异．三、解释应用［例题一］已知sinα＝－，且α为第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．分析：本题主要训练公式Sα-β与Sα+β的使用．由sinα＝－及α为第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．［练习一］分析：1. （1）强调公式的直接运用，寻找所求角与已知角之间的关系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知条件求出cos（30°＋α）．2. 应注意三角形的内角之间的关系，C＝π－（A＋B），再由诱导公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即转化为求－cos（A＋B）．3. 应注意分析角之间的关系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β还应求出sin （α－β）和cos（α＋β）．解此题时，先把α＋β与α－β看成单角，然后把2β用这两个单角来表示．4. 该题是在已有知识的基础上进一步深化，引导学生分三步进行：（1）求出α＋β角的某个三角函数值．（2）确定角的范围．（3）确定角的值．其中，求α＋β的某个三角函数值时，应分清是求cos（α－β）还是求sin（α－β）．已知向量＝（3，4），若将其绕原点旋转45°到′→的位置，求点P′（x′，y′）的坐标．解：设∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，∴P′ －，．已知向量＝（4，3），若将其绕原点旋转60°，－135°到1，2的位置，求点P1，P2的坐标．［例题三］求下列函数的最大值和最小值．（1）y＝cosｘ－sinx．（2）y＝3sinx＋4cosx．（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）．注：（1），（2）为一般性问题，是为（3）作铺垫，推导时，要关注解题过程，以便让学生充分理解辅助角φ满足的条件．（3）解：考查以（ａ，ｂ）为坐标的点P（ａ，ｂ），设以OP为终边的一个角为φ，则［练习三］求下列函数的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．（2）y＝sinx－sin（x＋）（3）已知两个电流瞬时值函数式分别是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I2的函数式．四、拓展延伸出示两道延伸性问题，引导学生独立思考，然后师生共同解决．1. 已知三个电流瞬时值的函数式分别为I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt ＋60°），求它们合成后的电流瞬时值的函数式I＝I1＋I2＋I3，并指出这个函数的振幅、初相和周期．2. 已知点P（x，y），与原点的距离保持不变绕原点旋转θ角到点P′（x′，y′）（如图42-2），求证：43 三角形边和角关系的探索教材分析初中已研究过解直角三角形，这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广，它们都反映了三角形边、角之间的等量关系，并且应用正、余弦定理和三角形内角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推证运用了从特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形，再推广到钝角三角形，进而得出一般性的结论．余弦定理的推证采用向量的数量积做工具，将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来．对于正、余弦定理的推论，除了这节课的证法之外，还有其他的一些推证方法．教材中还要求，在证明了正、余弦定理之后，让学生尝试用文字语言叙述两个定理，以便理解其实质．当然，就知识而言，正弦定理有三个等式，可视为三个方程；余弦定理的三个式子也可看成三个方程，每个方程中均有四个量，知道其中任意三个量便可求第四个量．这节课的重点是正、余弦定理的证明，以及用正、余弦定理解斜三角形，难点是发现定理、推证定理以及用定理解决实际问题．任务分析这节内容是在初中对三角形有了初步认识的基础上，进一步研究三角形的边、角之间的等量关系．对正弦定理的推导，教材中采用了从特殊到一般的方法，逐层递进，学生易于接受，而余弦定理的证明采用了向量的方法．应用两个定理解三角形时，要分清它们的使用条件．将正、余弦定理结合起来应用，经常能很好地解决三角形中的有关问题．教学目标1. 理解正、余弦定理的推证方法，并掌握两个定理．2. 能运用正、余弦定理解斜三角形．3. 理解并初步运用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决生产、生活中的简单问题．教学设计一、问题情景1. A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图43-1），问：飞机离两探照灯的距离分别是多少？2. 如图43-2，自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时应计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长．（精确到0.01m）问题：（1）图中涉及怎样的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？二、建立模型1. 教师引导学生分析讨论在问题情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的长．组织学生讨论如何利用已知条件求出AC，BC的长度．（让学生思考，允许有不同的解法）结论：如图40-3，作AD⊥BC，垂足为D．由三角函数的定义，知AD＝AC·sinC，AD ＝AB·sinB．由此可得AC·sinC＝AB·sinB．又由∠A，∠B的度数可求∠C的度数，代入上式即可求出AC的长度，同理可求BC 的长度．教师明晰：（1）当△ABC为直角三角形时，由正弦函数的定义，得（2）当△ABC为锐角三角形时，设AB边上的高为CD，根据三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理.（3）当△ABC为钝角三角形时，结论是否仍然成立？引导学生自己推出．（详细给出解答过程）事实上，当∠A为钝角时，由（2）易知.设BC边上的高为CD，则由三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsin（180°－A）．根据诱导公式，知sin（180°－A）＝sinA，∴asinB＝bsinA，即.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理指出了任意三角形中三条边与它对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边、角之间的一种数量关系．思考：正弦定理可以解决有关三角形的哪些问题？2. 组织学生讨论问题情景（2）这一实际问题可化归为：已知△ABC的边AB＝1.95，AC＝1.4，夹角为6°20′，求BC 的长．组织学生讨论：能用什么方法求出BC？（学生有可能有多种不同的解法）教师明晰：如果已知三角形的两边和夹角，这个三角形为确定的三角形，那么怎样去计算它的第三边呢？由于涉及边长及夹角的问题，故可以考虑用平面向量的数量积．（也可用两点间的距离公式）如图，设＝a，＝b，＝c，则c＝a－b．∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c2＝ａ2＋b2－2abcosC．同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB．于是得到以下定理：余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．思考：余弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？3. 进一步的问题勾股定理指出了直角三角形中三边之间的等量关系，余弦定理则指出了一般三角形三边之间的等量关系，那么这两个定理之间存在怎样的关系？如何利用余弦定理来判断三角形是锐角三角形还是钝角三角形？三、解释应用［例题］1. （1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）分析：（1）本题为给出三角形的两角和一边解三角形问题，可由三角形内角和定理先求出第三个角，再两次利用正弦定理分别求出另两边．（2）本题给出了三角形的两边及其中一边的对角，于是可用正弦定理求出b边的对角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有两个值（如图43-8），从而C角与c边的取值也有两种可能．学生在解题时容易丢掉一组解，应引导学生从图形上寻找漏掉的解．2. （1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精确到1′）．分析：本例中的（1）题，给出了两边及其夹角，可先用余弦定理求出第三边，求其他两角时既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）题给出了三边长，可先用余弦定理求出其中一角，然后同样既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他两角．3. AB是底部B不可到达的建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法．分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高．由解直角三角形的知识，只要能知道一点C到建筑物顶部A的距离CA，并能测出由点C观察A 的仰角，就可以计算出建筑物的高．为了求出CA的长，可选择一条水平基线HG（如图43-9），使H，G，B三点在同一条直线上．在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，设CD＝ａ，测角仪器的高为ｈ，则在△ACD中，由正弦定理，得，sin（α－β），从而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝＋h．［练习］1. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．2. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到0.1°，边长精确到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．四、拓展延伸1. 在△ABC中，有正弦定理这涉及比值的连等式．请探索并研究是一个什么样的量，并加以证明．2. 在△ABC中，已知三边的长为ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形状？3. 已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精确到1°）分析：.∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，但当B≈149°时，A＋B＝187°，这与A，B为三角形内角矛盾，故B角只能取31°．由此题与例1中的（2）题的分析可以发现，在已知三角形两边及其一边对角解三角形时，在某些条件下会出现一解或两解的情形，那么会不会出现无解的情形呢？（1）当A为钝角或直角，必须满足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ无解），并且由sinB＝计算B时，只能取锐角，因此，只有一解，如图43-10．（2）当A为锐角时，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，则由sinB＝计算B时，只能取锐角的值，因此，只有一解，如图40-11．②若ａ＜ｂsinA，则由sinB＝，得sinB＞1，因此，无解．如图43-12．③若ａ＝bsinA，则由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ为直角，故只有一解，如图43-13．④若ｂ＞ａ＞bsinA，则sinB＜1，故B可取一个锐角和一个钝角的值，如图43-14．。
高中数学新课程创新教学设计案例50篇__44_数列
数列教材分析这一节课主要研究数列的有关定义，运用概念去解决有关问题，其中，对数列概念的理解及应用，是教学的重点，也是教学的难点。
教学目标1、知识与技能：理解数列及数列的通项公式等有关概念，会根据一个数列的有限项写出这个数列的一个通项公式。
2.、过程与方法：了解递推数列，并会由递推公式写出此数列的若干项。
3、情感态度与价值观：进一步培养学生观察、归纳和猜想的能力。
教学设计一、问题情景传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们研究过1，3，6，10，…由于这些数都能够表示成三角形（如图44-1），他们就将其称为三角形数．类似地，1，4，9，16，…能够表示成正方形（如图44-2），他们就将其称为正方形数。
二、建立模型1.引导学生观察、分析数列的顺序要求，设法用自己的语言描述出数列的定义及有穷数列、无穷数列、递增数列、摆动数列等有关概念像1，4，9，16，…等按照一定规律排列的一列数，就叫作数列。
数列的概念： 按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
注: 从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别。
2.数列的记法数列的一般形式可以写成:,,,,21n a a a ,可简记为}{n a .其中n a 是数列的第n 项。
3.数列的通项公式如果数列}{n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式)(n f a n =来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
注: (1)一个数列的通项公式有时不唯一。
如 ,0,1,0,1,0,1,0,1, 它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ,也可以是|21cos |π+=n a n 。
说课稿高中数学数列教案
说课稿高中数学数列教案一、教学目标：1. 知识与技能：了解数列的概念和性质，掌握等差数列、等比数列的求和公式，能够应用数列相关知识解决实际问题。
2. 过程与方法：通过探究的方式引导学生理解数列的概念和性质，激发学生的思维能力和数学兴趣。
3. 情感态度：培养学生对数学的兴趣和自信心，培养学生合作学习和探究精神。
二、教学重点和难点：1. 教学重点：数列的概念和性质，等差数列、等比数列的求和公式。
2. 教学难点：解决实际问题时如何选取合适的数列模型。
三、教学准备：1. 教材：高中数学教材相关章节。
2. 工具：黑板、彩色粉笔、数学练习册等。
3. 具体内容：数列的概念和分类、等差数列、等比数列的求和公式及实际应用等。
四、教学过程：1. 导入：通过一个生活中的例子引入数列的概念，让学生了解数列的应用和重要性。
2. 探究：引导学生通过观察、探讨和实验等方式理解数列的概念和性质，并引导学生探索等差数列、等比数列的规律。
3. 知识总结：总结数列的分类和特点，讲解等差数列、等比数列的求和公式及应用方法。
4. 锻炼与运用：让学生通过练习题巩固所学知识，并通过实际问题的解决来提高学生的应用能力。
5. 反馈与评价：对学生的课堂表现进行总结评价，激发学生对数学学习的兴趣和信心。
六、板书设计：数列：概念、分类等差数列：性质、求和公式等比数列：性质、求和公式七、教学反思：本节课通过探究和练习相结合的方式，引导学生理解数列的概念和性质，激发学生的学习兴趣和思维能力。
在教学过程中，学生表现积极，能够积极参与到课堂讨论和练习中，但在实际问题的解决过程中，还需要引导学生更加灵活地运用数列知识，提高解决问题的能力。
希望在以后的教学中，能够更好地帮助学生掌握数列相关知识，提高他们的数学水平和运用能力。
高中数学教案：高一数学《数列》教学设计方案
高中数学教案：高一数学《数列》教学设计方案教学目标1．使学生理解的概念，了解通项公式的意义，了解递推公式是给出的一种方法，并能根据递推公式写出的前几项．（1）理解是按一定顺序排成的一列数，其每一项是由其项数唯一确定的．（2）了解的各种表示方法，理解通项公式是第项与项数的关系式，能根据通项公式写出的前几项，并能根据给出的一个的前几项写出该的一个通项公式．（3）已知一个的递推公式及前若干项，便确定了，能用代入法写出的前几项．2．通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3．通过由求的过程，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯．教学建议（1）为激发学生学习的兴趣，体会知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还有物品堆放个数的计算等．（2）中蕴含的函数思想是研究的指导思想，应及早引导学生发现与函数的关系．在教学中强调的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的，次序不同则就是不同的．函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，就有列举法、图示法、通项公式法．由于的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而就有其特殊的表示法——递推公式法．（3）由的通项公式写出的前几项是简单的代入法，教师应精心设计例题，使这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助．（4）由的前几项写出的一个通项公式使学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征（整式，分式，递增，递减，摆动等），由学生归纳一些规律性的结论，如正负相间用来调整等．如果学生一时不能写出通项公式，可让学生依据前几项的规律，猜想该的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系．（5）对每个都有求和问题，所以在本节课应补充前项和的概念，用表示的问题是重点问题，可先提出一个具体问题让学生分析与的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，并给出严格的推理证明（强调的表达式是分段的）；之后再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况．（6）给出一些简单的通项公式，可以求其最大项或最小项，又是函数思想与方法的体现，对程度好的学生应提出这一问题，学生运用函数知识是可以解决的．教学设计示例的概念教学目标1．通过教学使学生理解的概念，了解的表示法，能够根据通项公式写出的项．2．通过定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．3．通过有关实际应用的介绍，激发学生学习研究的积极性．教学重点，难点教学重点是的定义的归纳与认识；教学难点是与函数的联系与区别．教学用具：电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片教学方法：讲授法为主教学过程一．揭示课题今天开始我们研究一个新课题．先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数（板书）象这样排好队的数就是我们的研究对象——．（板书）第三章（一）的概念二．讲解新课要研究先要知道何为，即先要给下定义，为帮助同学概括出的定义，再给出几列数：（幻灯片）①自然数排成一列数：3个1排成一列：无数个1排成一列：的不足近似值，分别近似到排列起来：正整数的倒数排成一列数：函数当依次取时得到一列数：函数当依次取时得到一列数：请学生观察8列数，说明每列数就是一个，中的每个数都有自己的特定的位置，这样就是按一定顺序排成的一列数．（板书）1．的定义：按一定次序排成的一列数叫做．为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述八个为例，让学生练习指出某一个的首项是多少，第二项是多少，指出某一个的一些项的项数．由此可以看出，给定一个，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．（板书）2．与函数的关系可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集．于是我们研究就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待．遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨的表示法．（板书）3．的表示法可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为（板书）（1）列举法．（如幻灯片上的例子）简记为．一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个，把它称作图示法．（板书）（2）图示法启发学生仿照函数图象的画法画的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的为例，做出一个的图象），所得的的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于的项数．从图象中可以直观地看到的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些的项能用其项数的函数式表示出来，即，这个函数式叫做的通项公式．（板书）（3）通项公式法如的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；的通项公式具有双重身份，它表示了的第项，又是这个中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个项与项数的函数关系，给了的通项公式，这个便确定了，代入项数就可求出的每一项．例如，的通项公式，则．值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．除了以上三种表示法，某些相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．（板书）（4）递推公式法如前面所举的钢管的例子，第层钢管数与第层钢管数的关系是，再给定，便可依次求出各项．再如中，，这个就是．像这样，如果已知的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个的递推公式．递推公式是所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．可由学生举例，以检验学生是否理解．三．小结1．的概念2．的四种表示四．作业略五．板书设计（一）的概念涉及的及表示1．的定义2．与函数的关系3．的表示法（1）列举法（2）图示法（3）通项公式法（4）递推公式法探究活动将边长为厘米的正方形分成个边长为1厘米的正方形，数出其中所有正方形的个数．解：当时，共有正方形个；当时，共有正方形个；当时，共有正方形个；当时，共有正方形个；当时，共有正方形个；归纳猜想边长为厘米的正方形中的正方形共有个．。
高中教学数列设计数学教案
高中教学数列设计数学教案
教学内容：数列
一、教学目标
1.了解数列的定义和性质。
2.掌握常见数列的求和公式。
3.能够应用数列知识解决问题。
二、教学重点和难点
重点：数列的定义和性质，常见数列的求和公式。
难点：能够灵活运用数列知识解决问题。
三、教学准备
1.教师准备教案和教学PPT。
2.学生准备数学笔记本和作业本。
四、教学过程
1.引入：通过引入一个简单的问题引出数列的概念，让学生思考数列的定义。
2.概念讲解：讲解数列的定义和性质，包括等差数列、等比数列等常见数列的特点。
3.例题讲解：通过几个例题，帮助学生掌握常见数列的求和公式。
4.练习：让学生做一些练习题，巩固所学知识。
5.拓展：提出一些拓展问题，让学生运用所学知识解决问题。
6.总结：总结本节课的重点内容，梳理学生的思路。
五、教学反馈
1.教师让学生口头回答一些问题，检查他们的理解情况。
2.教师布置相关作业，巩固所学知识。
六、教学手段
1.课堂互动：让学生积极参与，通过讨论和解答问题来加深理解。
2.多媒体辅助：通过PPT呈现数列的概念和例题，提高学生的学习效果。
七、教学总结
本节课通过引入、讲解、练习等环节，使学生初步掌握数列的相关知识，为以后的学习打下坚实基础。
高中数学新课程创新教学设计案例50篇46等差数列的前n项和
高中数学新课程创新教学设计案例50篇46等差数列的前n项和教材剖析等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研讨的基本效果．在理想生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类效果．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法．教材首先经过详细的事例，探求归结出等差数列前ｎ项和的求法，接着推行到普通状况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的了解，经过对详细例子的研讨，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式处置效果．这节内容重点是探求掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能运用公式处置一些实践效果，难点是前ｎ项和公式推导思绪的构成．教学目的1. 经过等差数列前ｎ项和公式的推导，让先生体验数学公式发生、构成的进程，培育先生笼统概括才干．2. 了解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联络，并能用公式处置一些实践效果，培育先生对数学的了解才干和逻辑推理才干．3. 在研讨公式的构成进程中，培育先生的探求才干、创新才干和迷信的思想方法．义务剖析这节内容主要触及等差数列的前ｎ项公式及其运用．对公式的推导，为便于先生了解，采取从特殊到普通的研讨方法比拟适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法动身，一方面引发先生对等差数列求和效果的兴味，另一方面引导先生发现等差数列中恣意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的普通方法，这样自然地过渡到普通等差数列的求和效果．对等差数列的求和公式，要引导先生看法公式自身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的了解和运用，要强化对实例的教学，并经过对详细实例的剖析，引导先生学会处置效果的方法．特别是对实践效果，要引导先生从实践情境中发现等差数列的模型，恰中选择公式．关于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联络，可引导先生拓展延伸．教学设计一、效果情形1. 在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在教员提出效果：〝1＋2＋3＋…＋100＝？〞时，很快地就算出了却果．他是怎样算出来的呢？他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．2. 受高斯算法启示，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．3. 高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推行到求普通等差数列的前ｎ项和？二、树立模型1. 数列的前ｎ项和定义关于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用S n表示，即S n＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．2. 等差数列的求和公式〔1〕如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？关于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：S n＝ａ1＋〔ａ1＋ｄ〕＋〔ａ1＋2ｄ〕＋…＋［ａ1＋〔ｎ—1〕ｄ］，①依据高斯算法，将S n表示为S n＝ａn＋〔ａn—ｄ〕＋〔ａn—2ｄ〕＋…＋［ａn—〔ｎ—1〕ｄ］．②由此失掉等差数列的前ｎ项和公式小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．〔2〕结合通项公式ａn＝ａ1＋〔ｎ—1〕ｄ，又能得怎样的公式？〔３〕两个公式有什么相反点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？先生讨论后，教员总结：相反点是应用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还需要知道ａn，后者还需要知道ｄ．因此，在运用时要依据条件适宜地选取公式．公式自身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的恣意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的〝二次函数〞．三、解释运用［例题］1. 依据以下各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和S n．〔1〕ａ1＝—4，ａ8＝—18，ｎ＝8．〔2〕ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．注：恰中选用公式停止计算．2. 一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？剖析：将条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可失掉两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于ａ1与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1与ｄ，从而失掉所求前ｎ项和的公式．解：由题意知注：〔1〕教员引导先生看法到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或许ａ1，ｎ，ｄ的方程，使先生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及S n这五个量知其三便可求其二．〔2〕此题的解法还有很多，教学时可鼓舞先生探求其他的解法．例如，3. 2000年11月14日教育部下发了«关于在中小学实施〝校校通〞工程的通知»．某市据此提出了实施〝校校通〞工程的总目的：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同规范的校园网．据测算，2001年该市用于〝校校通〞工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，方案每年投入的资金都比上一年添加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在〝校校通〞工程中的总投入是多少？教员引先生剖析：每年〝校校通〞工程的经费数构成公差为５０的等差数列．效果实质是求该数列的前10项的和．解：依据题意，从2001～2020年，该市每年投入〝校校通〞工程的经费都比上一年添加50万元．所以，可以树立一个等差数列｛ａn｝，表示从2001年起各年投入的资金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50．那么，到2020年〔ｎ＝10〕，投入的资金总额为答：从2001～2020年，该市在〝校校通〞工程中的总投入是7250万元．注：教员引导先生规范运用题的解题步骤．4. 数列｛ａn｝的前ｎ项和S n＝ｎ2＋ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？假设是，它的首项与公差区分是什么？解：依据由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为，公差为2的等差数列．思索：普通地，数列｛ａn｝前ｎ项和S n＝Aｎ2＋Bｎ〔A≠０〕，这时｛ａn｝是等差数列吗？为什么？［练习］1. 一名技术人员方案用下面的方法测试一种赛车：从时速10ｋｍ／ｈ末尾，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．假设测试时间是30ｓ，测试距离是多长？2. 数列｛ａn｝的前ｎ项的和为S n＝ｎ2＋ｎ＋4，求这个数列的通项公式．3. 求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．四、拓展延伸1. 数列｛ａn｝前ｎ项和S n为S n＝pn2＋qn＋ｒ〔ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０〕，那么｛ａ｝成等差数列的条件是什么？n2. 等差数列5，4，3，…的前ｎ项和为S n，求使S n最大的序号ｎ的值．剖析1：等差数列的前ｎ项和公式可以写成S n＝ｎ2＋〔ａ1－〕ｎ，所以S n可以看成函数ｙ＝x2＋〔ａ1－〕ｘ〔ｘ∈N*〕．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道S n关于ｎ的图像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以应用二次函数来求ｎ的值．解：由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，所以于是，当ｎ取与最接近的整数即7或8时，S n取最大值．剖析2：由于公差ｄ＝－＜０，所以此数列为递减数列，假设知道从哪一项末尾它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或许是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使然后从中求出ｎ．点评这篇案例从详细的实例动身，引出等差数列的求和效果，在设计上，设计者留意激起先生的学习兴味和探求愿望，经过等差数列求和公式的探求进程，培育先生观察、探求、发现规律、处置效果的才干．对例题、练习的布置，这篇案例留意由浅入深，完整，片面．拓展延伸的设计有新意，有深度，契合先生的看法规律，有利于先生了解、掌握这节内容．就总体而言，这篇案例表达了新课程的基本理念，尤其关注培育先生的数学思想才干和创新才干．另外，这篇案例关于承袭传统教学设计注重〝双基〞、关注先生的落实，同时留意着眼于先生的片面开展，有比拟好的表达。
高中数学新课程创新教学设计案例50篇47等比数列
47 等比数列教学内容分析这节课是在等差数列的基础上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特殊数列———等比数列．重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用，难点是应用．教学目标1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并熟练加以运用．2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力．3. 感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感．任务分析这节内容由于是在等差数列的基础上，运用同样的方法和步骤，研究类似的问题，学生接受起来较为容易，所以应多放手让学生思考，并注意运用类比思想，这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别，而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力．另外，与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注意加以比较．教学设计一、问题情景在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会遇到下面的特殊数列：1. 在现实生活中，经常会遇到下面一类特殊数列．下图是某种细胞分裂的模型．细胞分裂个数可以组成下面的数列：1，2，4，8，…2. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过电子函件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是1，20，202，203，…（3）除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是本利和＝本金×（1＋利率）存期例如，现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）：表47-1时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年10000 10000×1.0198第2年10000×1.0198 10000×1.01982第3年10000×1.0198210000×1.01983第4年10000×1.0198310000×1.01984第5年10000×1.0198410000×1.01985各年末的本利和（单位：元）组成了下面的数列：１００００×１０１９８，１００００×１０１９８２，１００００×１０１９８３，１００００×１０１９８４，１００００×１０１９８５．问题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究？二、建立模型结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特殊到一般的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而归纳出等比数列的定义及符号表示：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即［问题］1. ｑ可以为0吗？有没有既是等差，又是等比的数列？2. 运用类比的思想可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗？如果能得出，试用以上例子加以检验．对于2，引导学生运用类比的方法：等差数列通项公式为ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１与（ｎ－１）个ｄ的和，等比数列的通项公式应为ａｎ等于ａ１与（ｎ－１）个ｑ的乘积，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的几个例子都满足通项公式．3. 你如何论证上述公式的正确性．证法1：同等差数列———归纳法．证法2：类比等差数列，累乘可得，即各式相乘，得ａn＝ａ1ｑn－1．归纳特点：（1）ａn是关于ｎ的指数形式．（2）和等差数列类似，通项公式中有ａn，ａ1，ｑ，ｎ四个量，知道其中三个量可求另一个量．三、解释应用［例题］1. 某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，问：这种物质的半衰期为多长？解：设这种物质最初的质量是1，经过ｎ年，剩留量是ａn．由已知条件，得数列｛ａn｝是一个等比数列，其中ａ1＝0.84，ｑ＝0.84．设ａn＝0.5，则0.84n＝0.5．两边取对数，得ｎｌｇ0.84＝ｌｇ0.5．用计算器计算，得ｎ≈4．答：这种物质的半衰期大约为4年．2. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项与第2项．解：设这个等比数列的第1项是ａ1，公比是ｑ，那么注：例1、例2体现了方程思想的应用，这也是有关等差、等比数列运算中常用的思想方法．3. 已知数列｛ａn｝，｛b n｝是项数相同的等比数列，那么｛ａn b n｝是否为等比数列？如果是，证明你的结论；如果不是，说明理由．解：可以得到：如果｛ａn｝，｛b n｝是项数相同的等比数列，那么｛ａn·b n｝也是等比数列．证明如下：设数列｛ａn｝的公比为ｐ，｛b n｝的公比为ｑ，那么数列｛ａn·b n｝的第n项与第n＋1项分别为ａ1ｐn－1·ｂ1ｑn－1与ａ1ｐn·ｂ1ｑn，即ａ1ｂ1（ｐｑ）n－1与ａ1ｂ1（ｐｑ）n．两项相比，得显然，它是一个与ｎ无关的常数，所以｛ａn·b n｝是一个以ｐｑ为公比的等比数列．特别地，如果｛ａn｝是等比数列，ｃ是不等于0的常数，那么数列｛ｃ·ａn｝也是等比数列．［练习］1. 在等比数列｛ａn｝中，（1）ａ5＝４，ａ7＝６，求ａ9．（2）ａ5－ａ1＝１５，ａ4－ａ2＝６，求ａ3．2. 设｛ａn｝是正项等比数列，问：是等比数列吗？为什么？3. 三个数成等比数列，并且它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数．4. 设等比数列｛ａn｝，｛b n｝的公比分别是ｐ，ｑ．（1）如果ｐ＝ｑ，那么｛ａn＋b n｝是等比数列吗？（2）如果ｐ≠ｑ，那么｛ａn＋b n｝是等比数列吗？四、拓展延伸引导学生分析思考如下三个问题：（1）如果三个数ａ，G，ｂ成等比数列，则G叫作ａ，ｂ的等比中项，那么如何用ａ，ｂ表示G呢？这个式子是三个数ａ，G，ｂ成等比数列的什么条件？（2）在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝2n的数列的图像和函数y＝2x－1的图像．对比一下，你发现了什么？（3）已知数列｛ａn｝满足ａn－ａn－1＝2n（ｎ≥2），数列｛b n｝满足，你会求它们的通项公式吗？五、回顾反思1. 在这节课上，你有哪些收获？2. 你能用几个概念、几个公式来概括等比数列的有关内容吗？试试看．点评这是一节典型的类比教学的案例，这节课的内容与等差数列的内容和研究方法非常相似，但设计者从类比入手，让学生亲自去发现，猜想，解决，无论从问题的提出，还是在解决方式、细节的处理上，和上节均有较大不同．相信这节课除了使学生可以更加熟练地掌握等差数列、等比数列的有关知识及常用的解题思想方法外，对类比思想的运用还会有所感悟和体会．美中不足的是，等比数列的现实模型比较多，而这篇案例在对比方面的运用略显单薄．。
高中数学教学设计 《数列》教学设计-优秀教案
教学学案设计----数列的概念一、教材分析1、教材的地位和作用：本节课讲述的是苏教版高一数学（上）§2.1数列（第一课时）的内容。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的性质等内容做好准备。
学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值有重要的意义。
是学习数列的基础。
2、教学目标A、认知目标：理解并掌握数列的概念；了解数列的通项公式；初步引入“数学建模”的思想方法。
B、能力目标：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
C、情感目标：通过对数列的学习，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
3、教学重点和难点根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为：数列的概念。
由于学生第一次接触数列,对此并不熟悉,因此通过大量的生活实例以及集合的概念对比,归纳数列的定义也是这节课的一个难点。
并以概念为基础，讨论通项公式是本节课的另一个难点。
二、学情教法分析：对于高一学生，知识经验较为缺乏，不完全能够具有抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展，主动探究数学知识的产生。
针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
三、学法指导：在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学程序（本节课的核心）本节课的教学过程由（一）课堂导入（二）新课探究（三）应用举例（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，六个教学环节构成。
高中数学新课数列教案
高中数学新课数列教案教案：数列一、教材内容分析：本节课是高中数学新课数列，主要讲解数列的定义、通项公式、求和公式和常见数列的性质与应用等内容。
该内容是数学的基础知识，对于学生后续的数学学习和应用也起着重要的作用。
通过本节课的学习，能够帮助学生建立数列的概念，掌握数列的相关概念和性质，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学目标：1. 知识与技能目标：（1）能够理解数列的概念，并能够通过数列的通项公式进行数列的推导；（2）掌握数列的求和公式以及求和公式的应用；（3）掌握常见数列的通项公式、求和公式和性质等。
2. 过程与方法目标：（1）通过小组合作学习的方式深化学生对数列的理解和应用；（2）引导学生通过数列的推导和问题的解决，培养学生的数学思维和分析问题的能力；（3）通过课堂互动和练习小结等方式，巩固学生的学习成果。
三、教学过程：1. 情境导入（通过问题引入数列的概念）（5分钟）（1）问题：小明每天早上都去操场跑步，第一天跑了1000米，第二天跑了900米，第三天跑了800米，以此类推，每天跑步的距离减少100米。
请问小明跑步的距离形成了什么规律？（2）导师提示：这个问题中跑步的距离形成了一个规律，我们称之为数列，今天我们就来学习数列相关的知识。
2. 概念解释与实例分析（15分钟）（1）数列的定义：依次排列的一列数的集合叫做数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
（2）数列的表示：用a1，a2，a3，……，an表示数列的前n 项，其中a1是数列的首项，an是数列的第n项。
（3）数列的通项公式：对于一个数列，如果知道数列的首项和公差，可以通过通项公式（an = a1 + (n-1)d）来推导出数列的各项。
（4）数列的求和公式：对于等差数列，可以使用求和公式（Sn = n(a1 + an)/2）来计算数列的前n项的和。
3. 常见数列的性质与应用（20分钟）（1）等差数列的性质与应用：等差数列的首项为a1，公差为d，通项公式为an = a1 + (n-1)d，求和公式为Sn = n(a1 + an)/2。
数学等差数列教案(优秀5篇)
数学等差数列教案（优秀5篇）高一数学等差数列教案篇一一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的`极限等内容做好准备。
而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
二、学生学习情况分析教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。
三、设计思想1.教法⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
⑴分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
⑴讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2.学法引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。
基于学科大概念的高中数学大单元教学设计——以“数列”为例
㊀㊀㊀㊀１２８㊀基于学科大概念的高中数学大单元教学设计基于学科大概念的高中数学大单元教学设计㊀㊀㊀ 以 数列 为例Һ张㊀萌㊀马㊀万㊀（宁夏师范学院，宁夏回族自治区㊀固原㊀７５６０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ新一轮课程改革将培养学生的学科核心素养作为首要任务，并提出要以学科大概念为核心，使课程内容结构化．在此背景下，以学科大概念为核心的单元教学成为落实学科核心素养的有效途径．为此，文章以 数列 单元内容为例，对以学科大概念为核心的大单元教学设计进行了探究，并以 解析课程标准，确定大概念 重整单元内容，制订教学目标 明确评价任务，设计单元学习活动 为单元教学设计流程，以期为一些一线高中数学教师基于大概念理念进行大单元教学设计提供参考．ʌ关键词ɔ学科大概念；单元教学设计；高中数学；数列ʌ基金项目ɔ宁夏科技厅重点研发计划项目（引才专项）项目编号：２０１９ＢＥＢ０４００３引㊀言大概念是由美国学者布鲁纳提出的．大概念并非指某一知识的具体概念，而是指具体知识背后更为本质㊁更为核心的思想或看法，它是对概念间关系的抽象表述，是对事物的性质㊁特征以及事物间的内在关系及规律的高度概括．围绕大概念进行大单元教学，能帮助学生系统地梳理知识㊁重整数学内容结构，有助于学生对知识的深入学习和建构，也有助于发生学习迁移．同时能提高学生的抽象概括能力和思维水平，并在学习过程中逐渐落实学科核心素养．因此，文章以高中数学 数列 单元为例，探讨基于学科大概念的高中数学单元教学设计．一㊁解析课程标准，确定大概念‘普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）“中 数列 被安排在选择性必修课程 函数 主题下，并指出 数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用 ．而函数是刻画客观世界的重要模型，所以 数列 单元的大概念可以确定为 数列是刻画客观世界的重要模型 ．因此可以从函数视角来学习数列，用函数的思想方法研究数列，将函数思想渗透到数列的学习中，让学生真真切切地感受到数列是一类特殊的函数，既能加深对函数的认识，又能将数列统一到函数中，完成知识的整合，同时能培养学生的数学抽象㊁逻辑推理等能力，进而落实学生学科核心素养的培养．二㊁重整单元内容，制订教学目标（一）教材分析数列是普通高中数学教科书选择性必修第二册人教Ａ版第四章的内容，也是高考的重点考查知识之一．１．学科性质数列是刻画客观世界的重要模型，所以数列是一类特殊的函数，是反映自然规律的数学概念．数列本身也是数学的研究对象之一．它不仅有着广泛的实际应用，而且是学习计算机㊁高等数学的基础知识之一．２．知识的上下位关系数列是整个高中数学知识的汇合点，许多高考知识都与数列有着非常密切的联系．在本单元学习之前，学生在义务教育阶段就已经学习掌握了数㊁式㊁方程㊁变量基础知识（变量的概念与图像㊁一次函数㊁二次函数㊁反比例函数）之外，在高中也已经系统学习了集合㊁函数的概念及表示方法㊁函数的基本性质㊁基本初等函数等内容．而在本单元学习之后，数列内容又为后续学生学习一元函数导数㊁数列的极限等内容奠定了基础．３．单元蕴含的数学思想方法数列单元蕴含着非常丰富的数学思想方法，如在数列概念的探究过程中渗透着数学归纳法和特殊到一般的思想；在等差数列㊁等比数列的通项公式的推导过程中渗透着函数思想与方程思想；在运用等差㊁等比数列求解实际问题中渗透着分类讨论㊁转化㊁数形结合等思想．教材中本单元内容如图１所示．但是采用这样的单元设计就容易忽略各个知识体系间固有的内在联系，如数列㊁等差数列㊁等比数列的通项公式之间存在着怎样的联系，等差数列与等比数列的求和公式之间又存在着怎样的联系等．㊀㊀㊀１２９㊀㊀图１㊀教材内容流程图所以通过对 数列 教材内容的分析梳理和确定的大概念，对本章内容进行重新整合，主要由三部分组成：数列基础知识㊁两类特殊数列㊁单元总结与拓展．（二）学情分析１．学生的认知基础在义务教育阶段，学生已经学习了数㊁方程㊁一次函数㊁二次函数等内容，对数的特征和规律有一定的了解，所以可以通过一些生活实例，理解数列的概念以及通项公式．在高中阶段，学生也学习了方程㊁函数㊁不等式等内容，他们能运用方程与函数思想学习数列知识，并能解决一些简单的数列问题．并且对于高中学生来说，他们已经具备一定的数学运算㊁逻辑推理等数学素养，为学习本单元的知识打下良好的基础．２．学生的认知困难虽然学生在之前就已经学了函数㊁方程㊁数与代数等知识，具有一定的知识基础和学习能力，但是学生在学习本单元内容时，仍有如下四点困难：①学生对所学知识只是简单的记忆和理解，缺乏对知识的整合和迁移能力；②学生的数学抽象能力较弱，在学习数列的概念时有一定的难度；③学生运用函数思想解决问题的能力较弱；④学生的数学运算素养较低，而数列这一章涉及较多的计算问题，这就要求学生要有良好的计算能力．（三）单元教学目标单元目标①通过学习生活中简单实例，了解数列的概念性质和表示方法，了解数列是一类特殊的函数；②类比函数的定义㊁表示方法㊁性质等，理解数列的概念和探究数列的函数属性，如表示方法㊁单调性等．③理解等差㊁等比数列的概念以及通项公式，探究并掌握等差㊁等比数列的前ｎ项和公式．④通过观察等差㊁等比数列的通项公式与前ｎ项和公式，体会等差㊁等比数列与函数间的关系．⑤能运用数列知识解决实际问题，并建立数学模型进行求解，感受数学模型在实际生活中的应用和意义．⑥体验通过数学抽象获得数列概念的过程，通过数学运算㊁逻辑推理㊁数学抽象等研究数列相关知识的过程和方法，通过建立数学模型求解实际问题的过程，提高学生解决问题的能力．⑦通过本单元的学习，体会数列是一类特殊的函数，感受数列与函数的共性与差异．续㊀表㊀课时目标课时１ ２ 数列基础知识课时３ ９ 两类特殊数列课时１０ １２ 单元总结与拓展①通过一些日常生活中和一些数学领域中常见的数学实例，了解数列的有关概念；②类比函数的定义，理解数列的序号与项之间的对应关系，从而认识数列是一类特殊的函数；③类比函数的表示方法㊁单调性，掌握数列的三种基本表示方法（图像㊁列表㊁通项公式）及递增（递减）数列以及常数列；④探究数列的递推公式，认识递推公式和通项公式的区别与联系．①通过生活中的实例，理解等差㊁等比数列的概念及通项公式；②理解用倒序相加法 推导等差数列的前ｎ项和公式的过程，并能类比等差数列的前ｎ项和公式的推导方法，用 错位相减法 推导等比数列的前ｎ项和公式；③体会等差数列与一元一次函数的关系；等比数列与指数函数之间的关系；④运用等差㊁等比数列解决实际问题．①引导学生以思维导图或板报的形式，将本单元的内容以大概念为核心进行知识梳理；②发现生活中的数列问题，将其转化为数学问题进行求解；③查阅相关的资料，了解斐波那契数列㊁古代数学家求数列和的方法．三㊁明确评价任务，设计单元学习活动笔者借鉴美国学者威金斯与麦克泰格围绕大概念提出的逆向教学设计，在设计学习活动之前，先考虑通过什么样的评价任务使学生达到教学目标，再设计学生的学习活动．评价任务主要有表现性任务和其他任务．表现性任务是学生通过展示他们的知识能力水平的学习和评价活动，能够产生学习作品或学生表现作为学生学习的证据，例如，绘图作品㊁列表㊁博客文章㊁小论文㊁口头汇报㊁辩论㊁表演等；其他任务主要有：课堂提问㊁观察与交流㊁小组讨论㊁随堂检测㊁单元检测．在具体设计学生单元学习活动时，要始终以学生为主体，紧扣㊀㊀㊀㊀１３０㊀单元主题大概念，合理科学设计组织教学活动，引导学生进行积极㊁主动自觉地探索获取知识，最终落实课程教学的基本目标，发展学生的核心素养．主要呈现 数列 单元的评价任务，具体如下表所示．评价任务表现性任务①根据数学史 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ，理解等比数列．②判断古印度国王能否实现他的诺言（给棋盘发明者奖励的麦粒数），体会等差数列的前ｎ项和公式在实际生活中的应用．③通过学习两类特殊的数列 等差数列与等比数列，学生能够快速完成如下表格．等差数列等比数列定义通项公式前ｎ项和公式性质函数特征基本思想方法④收集本单元有关求数列通项公式和前ｎ项和公式的习题（１０道题），尝试利用数列知识和函数（一次函数㊁二次函数以及指数函数）知识分别解答，比较两种知识解决问题的优缺点．⑤通过实际问题，如旅游收入问题㊁机动车保有量问题㊁城市建设问题，建立数学模型，并得出实际解决方案．⑥搜集㊁查阅数列相关资料，写一篇关于数列发展史或对数列发展作出杰出贡献的人物传记（不少于３０００字），并在班级进行汇报展示．⑦小组分工，查阅斐波那契数列与古代数学家求数列和的方法的相关资料，进一步理解斐波那契数列与古代数学家求数列和的方法，每组讲解一个相关的知识．⑧梳理本章的知识，可以是思维导图，也可以以知识线索（本单元的大概念）编制一个故事（漫画），也可以是手抄报的形式．⑨小组合作讨论如何用数学归纳法验证等差㊁等比数列的通项公式和前ｎ项和公式，将学习成果及时在小组伙伴间分享交流．续㊀表㊀常规任务①课堂提问：教师在实施每一课时教学时，可以通过课堂提问的方式，了解学生对知识的掌握程度．②小组讨论：教师将较有难度的问题，以小组讨论的形式让学生自主完成，通过小组完成的情况来检测学生对知识的掌握程度．③随堂检测：在课堂中教师采用练习题的形式，来检测学生对本节内容的掌握程度．④单元能力检测：学习完每一单元的知识后，教师会采用单元测试卷的方式，了解学生对整个单元知识体系的总体掌握程度．结㊀语上文基于大概念理念，对高中数学 数列 内容进行的单元课程设计．该设计有助于教师系统地梳理知识结构，挖掘数学学科本质，把握教学的重难点，合理安排单元教学主题，设计相应的评价活动和学习活动，促进学生核心素养的发展，也有助于教师提升自身的教学设计能力．ʌ参考文献ɔ［１］何彩霞．化学学科核心素养导向的大概念单元教学探讨［Ｊ］．化学教学，２０１９（１１）：４４－４８．［２］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２２年修订）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０２１：４．［３］朱恒元．‘全日制普通高级中学教科书（必修）㊃数学“第一册（上）第三章 数列 的结构特点和教学体会［Ｊ］．中小学教材教学，２００４（１５）：２－７．［４］格兰特．威金斯，杰伊㊃麦克泰格．追求理解的教学设计（第二版）［Ｍ］．闫寒冰，宋雪莲，赖平，译．上海：华东师范大学出版社，２０１７．［５］雷丽珠．表现性评价：劳动课程评价的实践与思考［Ｊ］．福建教育，２０２３（０９）：３２－３５．［６］郭亮，刘文静，吴桂俊，等．高中数学单元整体设计的教学与实践［Ｊ］．新智慧，２０３３（１７）：７－９．［７］杜忠辉．指向核心素养培育的高中数学单元教学设计与实践［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２３（９）：４８－５０．［８］杨成兴．数学单元教学设计的基本原理与实施策略探究［Ｊ］．当代家庭教育，２０２３（２）：２３９－２４１．［９］杜志伟．基于大概念的高中数学单元整合教学设计 以复数乘法为例［Ｊ］．中学数学教学，２０２０（６）：１－４．。
高中数学必修五数列教案
高中数学必修五数列教案
主题：数列的概念和性质
目标：通过本课的学习，学生能够掌握数列的定义、常见数列的性质和求解方法，提高数学思维和解题能力。
一、引入
1. 引导学生回顾数列的定义和简单性质，如等差数列、等比数列等。
2. 提出问题：在日常生活中，你认为还有哪些是数列的例子呢？
二、展示
1. 介绍数列的定义：数列是按照一定规律排列的数的集合。
2. 介绍常见的数列及其性质：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
3. 分别讲解等差数列和等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式等。
三、练习
1. 练习一：已知等差数列的前项和为50，公差为2，求该数列的第10个项。
2. 练习二：已知等比数列的前三项分别是2，6，18，求该数列的通项公式。
3. 练习三：给出一个数列，让学生判断其是等差数列还是等比数列，并求出其通项公式。
四、拓展
1. 拓展讨论：引导学生思考其他更为复杂的数列形式，如递推数列、调和数列等。
2. 拓展练习：设计一些应用题，让学生巩固对数列的理解和应用能力。
五、总结
1. 总结本课的重点内容和知识点，强调数列的重要性和应用价值。
2. 鼓励学生多进行数列相关练习和思考，提高数学解题能力和建模能力。
六、作业
1. 完成课堂练习题和拓展练习题。
2. 撰写一篇总结本课学习内容的感想。
以上为数列教案范本，希望能够对您的教学工作有所帮助。
数列教案优秀3篇
数列教案优秀3篇数列教案篇一在本节课教学设计中，以学生身边的一个事例为背景，创设一个数学情境，激发了学生的学习兴趣和探究热情，体现了“人人学有价值的数学”的教学理念。
教师引进著名数学家高斯十岁时所做的一道计算题，通过此题的解法让学生发现规律，从而探索出等差数列的前n项和公式的推导过程。
这个过程反映了数学思维方法的灵活性，从学生丰富多彩的解答中，我们看到了“不同的人在数学上得到不同的发展”。
【教学背景】所授班级为普通班，学生的数学认知水平高低不一，所以，教师在问题探究的设置上要体现出知识的层次，力求使所有学生都能参与各种问题的探究。
【教学设计】一、教材分析1.教学内容“等差数列的前n项和”为苏教版必修5第二章第二节的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。
2.地位与作用本节对“等差数列的前n项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其实学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。
对本节的研究，为学习数列求和提供了一种重要的思想方法――倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。
二、目标分析1.教学目标（1）掌握等差数列的前n项和公式及推导过程。
（2）会简单运用等差数列的前n项和公式。
（3）结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。
2.教学重点、难点（1）重点：等差数列前n项和公式的推导和应用。
（2）难点：等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
三、教学模式与教法、学法本课采用“探究―发现”教学模式。
教师的教法：突出活动的组织设计与方法的引导。
学生的学法：突出探究、发现与交流。
四、教学活动设计1.新课引入创设情境：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。
这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是（板书）“1+2+3+4+…+100=？”设计意图：利用实际，生活引入新课，形象直观。
【免费下载】高中数学新课程创新教学设计案例50篇 副本
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高中数学新课程创新教学设计案例 等差数列
45 等差数列教材分析等差数列是高中阶段研究的两种最常见的数列之一．这节内容在一些具体实例的基础上，归纳、抽象、概括出了等差数列的定义及其通项公式．教学重点是等差数例的定义及通项公式的发现过程及有关知识的应用．教学难点是理解公式的实质并加以灵活运用．教学目标1. 理解等差数列的概念，掌握其通项公式及实质并会熟练应用．2. 通过对等差数列概念及通项公式的归纳、抽象和概括，体验等差数列概念的形成过程，培养学生的抽象、概括能力．3. 培养从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想，并锻炼学生归纳、猜想、论证的能力．任务分析这节课是在实例的基础上，采用从特殊到一般，再从一般到特殊的思想，对此，学生接受起来并不太困难．对于等差数列的定义及通项公式的发现，要完全地放给学生自己讨论，探究，以便于充分调动学生的主观能动性，使其充分体验到成功的乐趣．对于通项公式，不要只看表面，更要看到公式的实质———四个量之间的一个等量关系，以便于以后运用方程思想灵活解决有关问题．教学设计一、问题情景在现实生活中，经常会遇到下面的特殊数列．1. 我们经常这样数数，从0开始，每隔5个数一次，可以得到数列：，______________ ，______________ ，______________ ，______________ ，…2. 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低，最低降至5m，那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，______________ ，______________ ，______________ ，______________ ，．3. 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息．按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）．例如，按活期存入10000元钱，年利率是%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是______________ ，______________ ，______________ ，______________ ，______________ ．问题：上面的数列有什么共同特点你能用数学语言（符号）描述这些特点吗二、建立模型一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即ａn＋1－ａn＝d（n∈N＋）．［问题］（1）如果三个数ａ，A，ｂ成等差数列，那么A叫ａ，ｂ的等差中项．你能用ａ，ｂ表示A吗（2）你能猜想出问题情景中的3个数列各自的通项公式吗（3）一般地，对于等差数列｛ａn｝，你能用基本量ａ1，ｄ来表示其通项吗解法1：归纳：ａ1＝ａ1，ａ2＝ａ1＋ｄ，ａ3＝ａ1＋2ｄ，…，ａn＝ａ1＋（ｎ－1）d．解法2：累加：ａ2－ａ1＝ｄ，ａ3－ａ2＝ｄ，…，ａn－ａn-1＝ｄ，各式相加，得ａn－ａ1＝（ｎ－1）ｄ，∴ａn＝ａ1＋（ｎ－1）ｄ．［思考］（1）这个通项公式有何特点是关于n的几次式的形式ｄ可以等0吗（2）此公式中有几个量［结论］（1）等差数列通项公式是关于n的一次式的形式，ｎ的系数为ｄ．当ｄ＝0时，该数列为常数列．（2）此公式中有四个量，即ａn，ａ1，ｎ，ｄ，知道其中任何三个可求另外一个，所以，通项公式实质是四个量之间的关系．三、解释应用［例题］1. （1）求等差数列8，5，2，…的第20项．（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项如果是，是第几项2. 某市出租车的计价标准为元／千米，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，须要支付多少车费解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客须要支付元．所以，可建立一个等差数列｛ａn｝来计算车费．令ａ1＝，表示4km处的车费，公差ｄ＝．那么，当出租车行至14km处时，ｎ＝11，此时须要支付车费ａ11＝＋（11－1）×＝（元）．答：须要支付车费元．3. 已知数列｛ａn｝的通项公式为ａn＝pn＋ｑ，其中ｐ，ｑ为常数，且ｐ≠０，那么这个数列一定是等差数列吗分析：判定｛ａn｝是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看ａn－ａn-1（ｎ＞1）是不是一个与ｎ无关的常数．解：取数列｛ａn｝中的任意相邻两项ａn与ａn-1（ｎ＞1），求差，得ａn－ａn-1＝（ｐｎ＋ｑ）－［ｐ（ｎ－１）＋ｑ］＝ｐｎ＋ｑ－（ｐｎ－ｐ＋ｑ）＝ｐ．它是一个与ｎ无关的数．所以｛ａn｝是等差数列．［练习］1. 在等差数列中，（1）已知ａ5＝－1，ａ8＝2，求ａ1与ｄ．（2）已知ａ1＋ａ6＝12，ａ4＝7，求ａ9．2. 已知｛ａn｝是等差数列．（1）2ａ5＝ａ3＋ａ7是否成立2ａ5＝ａ1＋ａ9是否成立（2）2ａn＝ａn－2＋ａn＋２（ｎ＞2）是否成立2ａn＝ａn－k＋ａn＋k（ｎ＞ｋ＞0）是否成立3. 已知数列｛ａn｝，｛b n｝的通项公式分别为ａn＝ａn＋2，b n＝b n＋1（ａ，ｂ是常数），且ａ＞ｂ，那么这两个数列中的序号与数值均相等的项的个数有几个四、拓展延伸（1）在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝3n－5的数列的图像，并说出这个数列的图像有什么特点．该图像与ｙ＝3ｘ－5的图像有什么关系据此，你能得出一般性的结论吗（2）通项公式的四个量中知道其中三个量可求另一个量，你能据此编出一些不同的题目吗（3）对于两个次数相同的等差数列｛ａn｝和｛b n｝，｛ａn＋b n｝，｛ａn·b n｝，（ｂｎ≠0）是否为等差数列点评教师能否调动学生的积极性和能否真正培养学生能力，提高课堂效率，很大程度上取决于教师能否设计出既符合教材要求又符合学生的认知水平的问题．这节课正是通过恰当地设计一系列问题，层层递进，使问题得到了全面解决，这样不仅锻炼了学生思维，培养了学生能力，而且也充分体现了新课程的理念．值得一提的是，利用归纳的方式引导学生建立概念并及时在应用中深化，是这篇案例的突出特点．。
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44 数列
教材分析
这节课主要研究数列的有关概念，并运用概念去解决有关问题，其中，对数列概念的理解及应用，既是教学的重点，也是教学的难点．
教学目标
1. 理解数列及数列的通项公式等有关概念，会根据一个数列的有限项写出这个数列的一个通项公式．
2. 了解递推数列，并会由递推公式写出此数列的若干项．
3. 进一步培养学生观察、归纳和猜想的能力．
任务分析这节内容以往很少涉及，对学生来说，既新又抽象，所以，须要依靠实例进行教学．数列与函数的关系应在函数定义的基础上加以理解．由若干项写出数列的一个通项公式是难点，但这又是锻炼学生的归纳、猜想能力的极好机会，应大胆让学生亲自归纳和猜想．
教学设计
一、问题情景
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们研究过1，3，6，10，…由于这些数都能够表示成三角形（如图44-1），他们就将其称为三角形数．类似地，1，4，9，16，…能够表示成正方形（如图44-2），他们就将其称为正方形数．
二、建立模型
1. 引导学生观察、分析数列的顺序要求，设法用自己的语言描述出数列的定义及有穷数列、无穷数列、递增数列、摆动数列等有关概念像1，4，9，16，…等按照一定规律排列的一列数，就叫作数列．
［练习］
下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列和摆动数列？
（1）全体自然数构成数列
0，1，2，3，…
（2）1996～2002年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列
82，93，105，119，129，130，132．
（3）无穷多个3构成数列
3，3，3，3，…
（4）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位：元）
100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01．
（5）－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，……构成数列
－1，1，－1，1，…
（6）的精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列
1，1.4，1.41，1.414，…
2，1.5，1.42，1.415，…
2. 引导学生根据实例、项和第n项等概念发现数列与函数的关系
如：数列1，2，0，－1，3，8，…，第1项是1，第4项是－1，……由此可以发现，对于一个给定的数列，当确定了项的位置后，这个数列的项也随之唯一确定．一般地，数列可以看作定义域为Ｎ（或其子集）的函数当自变量依次为1，2，3，…时的一系列函数值．
［问题］
数列既然可以看作一列函数值，那么“这个函数”可以如何表示？一定有解析式吗？你能举出一些有解析式的例子吗？根据学生的讨论，探究，得出：数列可以用列表、图像和函数解析式来表示，从而，解析式即为数列的通项公式．
三、解释应用
［例题］
1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
（1）1，－，，－．
（2）2，0，2，0．
解：（1）.
（2）可以写成也可以写成a n＝1＋（－1）n-1，（其中n＝1，2，…）．
注：对于（2），可以引导学生得到不同的结论，从而发现，根据数列的前若干项写出的通项公式不一定唯一．
2. 下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形．在下图4个三角形中，黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像．
解：如图44-3，这4个三角形中的黑色三角形的个数依次为1，3，9，27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，并且指数为序号减1．所以，这个数列的一个通项公式是a n＝3n-1．
在直角坐标系中的图像见下图：
3. 设数列满足
试写出这个数列的前5项．
解：∵a1＝1，
注：像这样给出数列的方法叫逆推法．
［练习］
1. 数列的前5项分别是以下各数，试分别写出各数列的一个通项公式．
2. 已知数列｛a n｝满足a1＝1，a n＝－1（n＞1），试写出它的前5项．
3. 已知数列的通项公式为a n＝n2－10n＋10，那么这个数列从第n项起各项的数值是否逐渐增大？从第n项起各项的数值是否均为正数？
四、拓展延伸
教师引导学生分析思考下面的两个问题（可以在课堂上或课后完成）：
1. 已知数列｛a n｝满足，问：此数列有无最大项和最小项？
2. 通常用S n表示数列｛a n｝的前n项的和，即S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n．已知｛a n｝的前n项和S n＝n2－3n＋2，试求｛a n｝的通项公式．一般地，如何用S n表示a n呢？
点评
这篇案例通过实例阐述了数列的有关概念，注意揭示了知识发生、发展的过程，比较好地调动了学生参与探索的积极性和主动性．问题情景设计新颖，合理；问题提出得准确，恰当；总体设计完整，清晰．另外，该案例还关注了学生科学地提出和解决问题的能力的培养．
美中不足的是，自“问题情景”到“建立模型”两个环节的“交接处”显得有些跳跃，步骤有些过简．。