惩罚函数法例题

1 3 ( x 1) x2 g1 ( x ) 0, g 2 ( x ) 0 3 1 1 ( x 1)3 x r ( x 1) 2 g1 ( x ) 0, g 2 ( x ) 0 1 2 1 3 1 ( x 1)3 x r ( x ) 2 g1 ( x ) 0, g 2 ( x ) 0 1 2 2 3 求偏导，得 1 ( x1 1)3 x2 r ( x1 1) 2 r ( x2 ) 2 g1 ( x ) 0, g 2 ( x ) 0 3
用内点法求 2 2 min f ( x) x1 x2 s.t. g ( x) x1 1 0 的约束极值点。 解: 用内点法求解该问题时，首先 构造内点惩罚 k r 2 2 函数: ( x, r ) x1 x2 x1 1 用解析法求函数的极小值，运用极值条件： k r 2 0 x 2 x1 k 3 2 x 1 2 x 4 x 2 x r 0 1 1 1 1 1 2 x2 0 2 x 0 2 x 2
即：
r k 2 x13 4 x12 2 x1 x2 0
x2
x1
4
3
r(k)
2
1
0
-1
-2
-3 -0.5
x1
0 0.5 1 1.5
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
由图可见, 在可行域内, x 1 随着 r 的减小而减小 . 当x 2 = 0 时, 目标函数值随着 x 1 的减小而减小. 当 r 0 时, 惩罚函数的最优点趋近于原目标函数 的极值点 [ 1 , 0 ]
1 x2 1 2rx2
g ( x) x 0 g ( x) x 0
2 2 2 2
无约束目标函数极小化问题的极值点系列为： 1 g x 0 不成立 1 x1* (r ) 2 1 r r 4r 1 r 1 1 4 / r g1 x 0
用外点法求解下列有约束优化问题
1 min f ( x ) ( x1 1)3 x2 3 s.t. g1 ( x ) x1 1 0
g 2 ( x ) x2 0 1 ( x, r ) ( x1 1)3 x2 r[min(0, x1 1)]2 r[min(0, x2 )]2 3
f * (r )
-49.9977
-4.9474 0.1295 2.0001 2.6582
-0.80975
-0.45969 0.23607 0.83216 0.99800 1
-50.00000
-5.00000 -0.50000 -0.05000 -0.00050 0
8/3
8/3
内点法与外点法的比较
惩罚项 罚因子 初始点 寻得边界最 优点
在域内逼近
内点法
外点法
域内(边 界内侧) 垒墙 域外(边 界外侧 堆土堆)
递减
必须域 内
递增
可域内， 在域外逼近 也可域 外
内点法适用于只含不等式约束的优化问题，外点法还可含等式约束
解：惩罚函数为：
70
4.5 0 3.5 2.5 1.5 0.5 1 4 3 2 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
70 60 50
40 30
70 60 50 40
60 50
40 30
30
20 20
20
10
10
10
5
2 ( x 1) g1 ( x) x1 1 0 1 2 x1 ( x1 1) 2r ( x1 1) g1 ( x ) x1 1 0


g2 x 0 0 x (r ) g2 x 0 0.5/ r 当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。
* 2
r
0.01
0.1 1 10 1000 ∞
* x1
* x2
* (r )
-24.9650
-2.2344 0.9631 2.3068 2.6624