高数偏导数

0 0
同理可定义 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为 f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) ， lim ∆y→0 ∆y 记为 ∂ z ，∂f ， z y x = x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) .
∂y
x = x0 y = y0
xy , 求f x (0, 0), f y ( 0, 0).
| x⋅0|−0 = 0 = f y (0,0). ［解］ f x (0,0) = lim x →0 x 的导数， ③ 先求z = f ( x , y0 )对x的导数，再代入 x = x0 . x , 求f x ( x ,1). 如：设 f ( x , y ) = x + ( y − 1) arcsin y
= x y + x y = 2z .
原结论成立． 证完】 原结论成立． 证完】 【
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x ∂z ∂z 【例 3】 设 z = arcsin 2 】 ，求 ， . 2 ∂x ∂y x +y
∂z 【解】 = ∂x
=
1 x2 1− 2 x + y2
′ x ⋅ x2 + y2 x
【证】
RT RT ∂p p= ⇒ =− 2; V V ∂V
RT ∂V R V= = ; ⇒ p ∂T p
∂T V pV = ; T= ⇒ ∂p R R RT V = −1. ⋅ =− pV R
RT R ∂p ∂V ∂T ⋅ ⋅ = − 2 ⋅ p V ∂V ∂ T ∂p
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2.【有关偏导数的几点说明】 【有关偏导数的几点说明】 (1) 偏导数
的二阶偏导数按变量的不同分为以下两类： 函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数按变量的不同分为以下两类：
①［二阶纯偏导数］ 二阶纯偏导数］ ∂ ∂z ∂ 2 z ∂ ∂z ∂ 2 z = 2 = f yy ( x , y ) = 2 = f xx ( x , y ), ∂y ∂ y ∂y ∂x ∂ x ∂ x 二阶混合偏导数］ ②［二阶混合偏导数］
( , 按定义可知： 当 x, y) = (0,0)时 按定义可知：
f ( ∆x ,0) − f (0,0) 0 f x (0,0) = lim = lim = 0, ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x ∆x f ( 0, ∆ y ) − f ( 0, 0 ) 0 f y (0,0) = lim = lim = 0, ∆y → 0 ∆y → 0 ∆ y ∆y
( x , y ) ≠ (0,0) . ( x , y ) = (0,0)
但函数在原点处并不连续( 知极限不存在,故不连续 但函数在原点处并不连续(令y=kx,知极限不存在 故不连续). 知极限不存在 故不连续).
偏导数存在 思考题】 【思考题】连续
连续. 连续. 偏导数存在. 偏导数存在.
举例说明（见小结之后思考题） 举例说明（见小结之后思考题） 思考题 结论】 【结论】 可偏导 连续
x 1 . ===== − 2 2 sgn y x +y
( y ≠ 0)
∂z 教材例4自阅 自阅) 不存在． (教材例 自阅) 不存在． x≠0 ∂y
y=0
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为常数） 【例 4】 已知理想气体的状态方程 pV = RT （ R 为常数） 】 ∂ p ∂ V ∂T 求证： 求证： ⋅ ⋅ = − 1. ∂ V ∂T ∂p
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(3). 【偏导数存在与连续的关系】 偏导数存在与连续的关系】 一元函数中在某点可导 连续， 连续，
连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， xy ( x , y ) ≠ (0,0) 2 2 【例5】 设 f ( x , y ) = x + y 】 0 ( x , y ) = (0,0)
f x ( x + ∆x , y ) − f x ( x , y ) 定义式】 【定义式】 f xx ( x , y ) = lim ∆x → 0 ∆x f x ( x , y + ∆y ) − f x ( x , y ) lim 其余类推 f xy ( x , y ) = ∆y→0 ∆y
∂ ∂z ∂ 2 z ∂ ∂z ∂ 2 z = f yx ( x , y ) = f xy ( x , y ) , = = ∂x ∂y ∂y∂x ∂y ∂x ∂x∂y
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(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及 阶偏导数。 样可得：三阶、四阶、 以及n 阶偏导数。 (3) ［定义］二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。 定义］二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 高阶偏导数。 ∂3z 二阶偏导数及 【例 6】设 z = x 3 y 2 − 3 xy 3 − xy + 1，求二阶偏导数及 3 . 】 ∂x ∂z ∂z 2 2 3 = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x; 【解】 = 3 x y − 3 y − y, ∂x ∂y 2 3 2 ∂ z ∂ z 2 ∂ z 2 = 2 x 3 − 18 xy; = 6y , = 6 xy , 3 2 ∂y 2 ∂x ∂x
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z
Ty
M0
z = f ( x0 , y) x = x0
Tx
z = f ( x, y0 ) y = y0
o
x0
y0
β
y
x
α
( x 0 , y0 )
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几何意义】 【几何意义】
偏导数 f x ( x0 , y0 )就是曲面被平面 y = y0所截的曲线 在点 M0 处的切线 M0Tx 对 x轴的斜率 tanα .
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二、高阶偏导数
1. 【高阶偏导数的定义】 高阶偏导数的定义】 ∂z ∂z (1)若 z = f ( x , y ) 的一阶偏导数 = f x ( x , y ) ， = f y ( x , y ) 的 若 ∂x ∂y 偏导数饿 存在， 二阶偏导数。 偏导数饿仍存在，则称它们是函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数。
∂z ∂f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). ∂x ∂x
同理可以定义函数 z = f ( x , y )对自变量 y 的偏
∂z ∂ f 导数， 导数，记作 ， ， z y 或 f y ( x , y ) . ∂y ∂ y
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(3)【多元函数的偏导数】 【多元函数的偏导数】 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u = f (x , y , z) 在(x , y , z) 处
∂y
x = x0 y = y0
y = y0
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(2)【二元函数在区域内的偏导数】 【二元函数在区域内的偏导数】
如果函数 z = f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 的偏导数都存在， 的函数， 就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z = f ( x , y )对 的偏导数， 自变量 x 的偏导数，
( y2 =| y |) | y | x2 + y2 y2 ⋅ ======= 2 2. 2 2 3 | y| x +y (x + y )
∂z = ∂y
1 x2 1− 2 x + y2
′ x = ⋅ x2 + y2 y
x2 + y2 ( − xy ) ⋅ | y| ( x 2 + y 2 )3
y( y 2 − x 2 ) 2 f x ( x , y ) = ( x + y 2 )2 0
( x , y ) ≠ ( 0,0) , ( x , y ) = ( 0,0)
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x( x 2 − y 2 ) 2 f y ( x , y ) = ( x + y 2 )2 0
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处的偏导数． 【例 1】 求 z = x 2 + 3 xy + y 2 在点 (1, 2) 处的偏导数． 】
【解】
∂z = 2x + 3 y ; ∂x
x =1 y= 2
∂z = 3x + 2 y . ∂y
∂z ∴ ∂x ∂z ∂y
= 2×1 + 3× 2 = 8 , = 3×1 + 2× 2 = 7 .
f ( x + ∆x , y , z ) − f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) = lim , ∆x → 0 ∆x f ( x , y + ∆y , z ) − f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) = lim , ∆y → 0 ∆y
f ( x , y , z + ∆z ) − f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) = lim . ∆z → 0 ∆z
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(4). 【偏导数的几何意义】 偏导数的几何意义】 (复习 反函数求导法则的几何意义 复习:反函数求导法则的几何意义 复习 反函数求导法则的几何意义)
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z = f ( x , y ) 上一点,
如图
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求 f ( x , y )的偏导数 .
( , 【解】 当 x, y) ≠ (0,0)时
y( x + y ) − 2 x ⋅ xy y( y 2 − x 2 ) f x ( x, y) = , = 2 2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y )
2 2
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x ( x 2 + y 2 ) − 2 y ⋅ xy x ( x 2 − y 2 ) f y ( x, y) = , = 2 2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y )
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 )， 若 lim
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f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) 存在， 存在 ， 则称 ∆x→0 ∆x 的偏导数， 之为 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数，记为
∂z ∂f zx x=x0 ， fx ( x0 , y0 )， . 或 x= x0 x= x0 y= y0 ∂x y= y ∂x y= y
一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 三、小结 思考题
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一、偏导数的定义及其计算法
1.【偏导数的定义】 . 偏导数的定义】 (1)【二元函数在一点处的偏导数】 【二元函数在一点处的偏导数】 定义】 的某一邻域内有定义， 【 定义】 设 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有定义，当 y 固 定 在 y0 而 x 在 x 0 处 有 增 量 ∆x 时 ， 相 应 地 函 数 有 增 量
x =1 y= 2
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【例 2】设 z = x ( x > 0, x ≠ 1)， 】
y
x ∂z 1 ∂z + = 2z . 求证 y ∂x ln x ∂y
∂z 【证】 yx y −1 , = ∂x
∂z x y ln x , = ∂y
x ∂z 1 ∂ z x y −1 1 y x ln x + = yx + ln x y ∂x ln x ∂y y
∂z (2) 求 的方法： 的方法： ∂x ( x0 , y0 )
∂u 是一个整体记号，不能拆分; 是一个整体记号，不能拆分; ∂x
∂z 再代值； ① 先求出偏导函数 x ，再代值； ∂
分界点、不连续点处的偏导数要用定义求 处的偏导数要用定义 ② 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； ［例如］ 设z = f ( x , y ) = 例如］
偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x = x0 所截得的 曲线在点 M0 处的切线 M0Ty 对 y轴的斜率 tanβ .
【练习】课本 69 ， 练习】课本P 习题9—2 第5题 习题 题
2 2 z = x + y 5. 曲线 ( 4 在点 2,4,5)处的切线对于x 轴 y = 4 z′ (2,4,5) = tanα x ? 的倾角是多少