(完整版)高等数学偏导数第一节题库
高等数学-偏导数的求法
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
14
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z
y (1, 2)
3
例2
求
f (x, y) x y yx (x 1)2 ( y 2)3 arctan
fx (1,2), f y (1,2)
ex 4 y2 1
解 : f x (1,2) [ f (x,2)] x1 [ x2 2x 0] x1
2z y 2
2x3 18xy
3z 6y2
x3
11
三、函数全微分
二元函数
当x, y 取得增量x, y 时如何方便
求出全增量 Z f x x, y y f x, y
引例:设有一圆柱体,受压后方式变形,它的底面半径由
r 变化到 r r, 高度由 h 变化到 h h. 问圆柱体体积
V 改变了多少.
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
注: 此为证明二元函数可微的方法!
16
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z x y
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.且
高数 偏导数 知识点与例题精讲
导数，记作
z y
，
f y
，
z
y
或
f
y
(
x
,
y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
fx(x, y,z)
lim
x0
f ( x x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
x
y
3、设u
x
y z
, 则u
__________;u
__________;
x
y
u ____________. z
4、设z
arctan
y ,则2z x x 2
________; 2 z y 2
_______;
2 z ____________. xy
显然 fxy(0,0) f yx (0,0).
问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
例 9 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉
高阶偏导数
纯偏导 混合偏导（相等的条件）
1. 偏导数的概念及有关结论 • 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法
先代后求
大一高数1-9的习题答案
大一高数1-9的习题答案大一高数1-9的习题答案大一高数是大学数学的基础课程之一，对于理工科学生来说是非常重要的一门课程。
在学习过程中，习题是帮助我们巩固知识、提高能力的重要工具。
下面我将为大家提供大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。
第一章：极限与连续1. 求以下极限：a) lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)答案：2b) lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)答案：2c) lim(x→0) sinx / x答案：12. 判断以下函数在给定点是否连续：a) f(x) = x^2 + 3x - 2, x = 2答案：连续b) f(x) = 1 / x, x = 0答案：不连续第二章：导数与微分1. 求以下函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1答案：f'(x) = 6x - 2b) f(x) = sinx + cosx答案：f'(x) = cosx - sinxc) f(x) = e^x + ln(x)答案：f'(x) = e^x + 1 / x2. 求以下函数的微分：a) f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1答案：df(x) = (6x^2 - 10x + 3)dx b) f(x) = √x + ln(x)答案：df(x) = (1 / (2√x) + 1 / x)dx 第三章：定积分1. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) x^2 dx答案：1 / 3b) ∫(1 to 2) 2x dx答案：3c) ∫(0 to π) sinx dx答案：22. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) (x^3 + 2x^2 + x) dx 答案：7 / 12b) ∫(1 to 2) (2x^2 + 3x + 1) dx答案：19 / 3第四章：不定积分1. 求以下函数的不定积分：a) ∫(3x^2 - 2x + 1) dx答案：x^3 - x^2 + x + Cb) ∫(2sinx + cosx) dx答案：-2cosx + sinx + C2. 求以下函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 3x^2 + x) dx答案：(1 / 2)x^4 + x^3 + (1 / 2)x^2 + C b) ∫(e^x + 1 / x) dx答案：e^x + ln|x| + C第五章：级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^2)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n)答案：发散2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛第六章：多元函数微分学1. 求以下函数的偏导数：a) f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2答案：∂f / ∂x = 2x + 2y, ∂f / ∂y = 2x + 2yb) f(x, y) = sinx + cosy答案：∂f / ∂x = cosx, ∂f / ∂y = -siny2. 求以下函数的全微分：a) f(x, y) = x^3 + 2xy^2答案：df = (3x^2 + 2y^2)dx + (4xy)dyb) f(x, y) = e^x + ln(y)答案：df = e^xdx + (1 / y)dy第七章：多元函数积分学1. 求以下二重积分：a) ∬(D) x^2 dA, D为单位圆盘答案：π / 3b) ∬(D) y dA, D为正方形区域，顶点为(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 答案：12. 求以下二重积分：a) ∬(D) (x + y) dA, D为上半平面答案：无穷大b) ∬(D) (2x + 3y) dA, D为单位正方形答案：5 / 2第八章：无穷级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^3)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n^2 / 2^n)答案：收敛第九章：常微分方程1. 求以下常微分方程的通解：a) dy / dx = x^2答案：y = (1 / 3)x^3 + Cb) dy / dx = 2x + 1答案：y = x^2 + x + C2. 求以下常微分方程的特解：a) dy / dx = y^2, y(0) = 1答案：y = 1 / (1 - x)b) dy / dx = 2x, y(0) = 3答案：y = x^2 + 3以上是大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。
高等数学偏导数第一节题库
【090101】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】【试题内容】设z y x yx y =++arctan 122，求该函数的定义域。
【试题答案及评分标准】x ≠0为该函数的定义域。
10分【090102】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】求函数的定义域。
【试题答案及评分标准】10分【090103】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设，其中x ≠0，假如当 x =1时，z y =+12，试确定f x ()及z 。
【试题答案及评分标准】x =1时，z f y y ==+()12，所以f x x ()=+125分 z x y x x xx y =+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+122210分【090104】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z x y f x y =++-()，已知y =0时， z x =2，求f x ()和z 。
【试题答案及评分标准】y =0时，z x =2，得x f x x +=()2 所以f x x x ()=-25分 所以z x y x y x y x y y =++---=-+()()()22210分【090105】【计算题】【中等0.5】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y f x =+-()1，其中x y ≥≥00,，假如y =1时z x =，试确定函数f x ()和z 。
【试题答案及评分标准】y =1时，z f x x =+-=11() 所以f x x ()-=-113分令x t x t -==+112,()所以f t t t t f x x x ()(),()=+-=+=+11222227分所以()z y x x y x x y =+-+-=+-≥≥()(),1211002 10分【090106】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】 【试题内容】求极限 。
高等数学基础概念解读及例题演练-偏导数及多元复合函数的求导法则
存在，那么称极限为函数z= J(x,y） 在点（布，Yo ） 处对于x的偏导数，记作
一｜。＇ZI
δ!X lx=xo
;:ll'I ，斗ax lx=xo
,z;lx＝句或兀（xo ,Yo ). )I＝均
类似的，函数 z =f(x,y） 在点（x。. ，Yo ） 对y的偏导数定义为
lim ／（布，Yo +11y)-f（句，Yo )
dt
［答案J e' (cost-sint)+cost
第三节全微分及全微分形式不变性 设函数Z = f(x,y） 在点。，y） 的某邻域内有定义，如果函数在点（x,y） 的全增量
&=f(x＋缸， y+6y)-f(x,y)
可以表示为 ＆＝AAt+B6y+o(p),
其中 A,B 不依赖于 llx和6y ，而仅与 x和y 有关， p=o（」（At)2+(6y）勺，那么称函数
az , az 例13设
z=f(lnx
＋
一），其中函数
y
f(u
）
可微，贝tlx
一
ax
＋
Y'�
一
命
＝
［答案JO
(2012年，数学二）
f 例14设 z = f(x+ y,x-y，圳，其中 具有二阶连续偏导数， 求dz 与£ axay 乙
λ（
［答案］飞
’＋J;’＋yj3' I)dx＋飞（刀’＋儿’＋乓f；＇ I）命；
【解题步骤】理清函数与变元之间的关系z (1）画出函数结构图，理清函数间复合关系，注意到哪些变元是自变量，中间变量，因变量． (2）注意函数映射是多元函数，还是一元函数， 注意导数符号的不同． (3）先对中间变量求偏导，再乘以中间变量对自变量的偏导数．
高等数学第一章测试题
高等数学第一章测试题测试题一：导数与求导法则1. 求以下函数的导数：(a) $y = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 4$(b) $y = \sqrt{2x^3 + 5x^2 - 3x + 1}$(c) $y = e^x \cdot \ln{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$2. 利用导数的定义计算以下函数在给定点处的导数：(a) $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$，在点$x = 2$处的导数(b) $g(x) = \frac{1}{x^2}$，在点$x = -1$处的导数(c) $h(x) = \sin{x}$，在点$x = \frac{\pi}{4}$处的导数3. 根据给定函数的导数，确定函数的表达式：(a) 已知函数$f'(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$，求$f(x)$。
(b) 已知函数$g'(x) = \frac{1}{x^2} - 3x$，求$g(x)$。
(c) 已知函数$h'(x) = e^x \cdot \cos{x}$，求$h(x)$。
测试题二：微分与应用1. 计算以下函数在给定点处的微分：(a) $y = \sqrt{x^2 + 3x + 2}$，在点$x = 2$处的微分(b) $y = e^x \cdot \ln{x}$，在点$x = 1$处的微分(c) $y = \sin{x} \cdot \cos{2x}$，在点$x = \frac{\pi}{6}$处的微分2. 使用微分，求以下函数的近似值：(a) $f(x) = \sqrt[3]{x}$，当$x$接近于$8$时的近似值(b) $g(x) = \ln{(1 + x)}$，当$x$接近于$0$时的近似值(c) $h(x) = e^{2x}$，当$x$接近于$0$时的近似值3. 利用微分进一步求解以下问题：(a) 当物体从起点开始以速度$v(t) = 5t - 2$移动时，求$t = 3$时的位移。
偏导数(习题课)
的二元函数，记作 z f (x, y) 其中x, y为自变量， z为因变量，(x, y)变化的范围 D称为函
数的定义域。设点 (x0, y0 ) D,则，z f (x, y)称为对应于 (x0, y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
Hale Waihona Puke 2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) yx
JPZX９
学生练习：
1.求下列函数的偏导数:
(1) z xe y
(2) z arctan x y
2.求下列函数的二阶偏导数:
(1) z exy
(2) z sin2 (x y)
JPZX10
x x2 y2
f y(x, y) 1 2
2y 1
x2 y2
y x2 y2
所以
f (3,4) 1 3 2 55
f y(0,5) 11 0
JPZX5
高阶偏导数
高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设
函数z f (x, y)在区域D内具有偏导数：
§18～6 偏导数（习题课）
• 复习回忆:
1.二元函数的定义 2.偏导数的概念 3.二元函数的偏导数 4.高阶偏导数
• 例题分析: • 学生练习:
例一: 例二: 例三:
JPZX1
二元函数的定义 定义1 设有三个变量 x, y和z,如果当变量 x, y在某一给定
的二元有序实数对 D内任取一对值 (x, y)时，变量z按照一定
x
z ex cos(2x y) y
高等数学11.2多元函数的偏导数和全微分-精选文档
高等数学
主讲人 宋从芝
11.2
多元函数的偏导数与全微分
本讲概要 偏导数的概念 高阶偏导数
全微分
一、偏导数的概念
１.偏导数的定义
定义1 设函数 z = f(x , y) 在点 P0(x0 , y0)及其近旁 有定义. 若极限
f ( x xy ,0 ) f ( x ,y ) 0 0 0 l i m x 0 x
2 z z z ; (x fyx ,y ) z yx y x y y x x
z z 2z y y y 2 y y
. (x fyy ,y ) z yy
(x, y) 称为二阶混合偏导数. (x, y) 及 fyx 其中 fxy
类似的，可以定义三阶、四阶、… 、n 阶偏导数，
而 f ( x ,y ) , 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数， x f ( x , y ) 称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数. y
偏导数都存在， 那么这个偏导数是 x , y 的函数，此函 数称为函数 z = f ( x , y ) 对自变量 x 的偏导函数， 记作
z , f ( x, y), z (x fx ,y ). x 或 x x 可以定义函数 z = f (x , y) 对自变量 y 的偏导 类似地，
代入等式左边得
u u u x y z
2 2 2
2
2
2
4 x y z 4 u 4 x 4 y 4 z
2 2 2
3.偏导数的几何意义
我们知道 一元 函数 y = f (x) 的导数的几何 意义是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , y0) 处切线的斜率， 而二元函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0) 处的偏导数， 实际上就是一元函数 z = f ( x , y0) 及 z = f (x0 , y ) 分别在点 x = x0 及 y = y0 处的导数． 因此二元函 数 z = f (x , y) 的偏导数的几何意义 也是曲线切线 的斜率.
高数下偏导数例题
例1． 设222(,),(,){(0,0)}xyf x y x y D x y=∈=-+ ，讨论极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →。
解：令y mx =，2222(,)(0,0)0lim (,)lim 1x y x y mxx mx mf x y x m x m →→=⋅==++——随m 的不同而不同。
所以，(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在。
例2．设22222(,)()x y f x y x y x y =+-，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →， 解：取y x =，则2222(,)(0,0)0lim (,)lim 10x y x y x x y f x y x y →→===+， 取0y =，则2(,)(0,0)00lim (,)limlim000x y x x y xf x y x →→→====+，故(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在。
注：若取2y x =，则22222224(,)(0,0)0()1lim(,)lim ()2x y x y x x x x x f x y x x x x →→=--==-+，也能证明。
例3（1）设y z x =，求z x ∂∂，zy∂∂ （2）设22sin y zx u e y=+，求u x ∂∂，u y ∂∂，u z ∂∂例4．设2(,)arctan y f x y x-=，求(1,2)y f解：（二种解法）下面的例子指出，00(,)x f x y 和00(,)y f x y 不蕴含f 在0P 处连续，这是与一元导数的不同之处。
例5．22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(,)x f x y 和(,)y f x y 在2 上都存在，但(,)f x y 在原点不连续。
证：当(,)(0,0)x y ≠时，22222()(,)()x y y x f x y x y -=+；22222()(,)()y x x y f x y x y -=+；当(,)(0,0)x y =时，00(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→→--===，(0,0)0y f =；例6．求22z x y xy =-的全微分dz 及点(1,1)处的全微分；解：因222,2z zxy y x xy x y∂∂=-=-∂∂在2 上连续，故22(2)(2)dz xy y dx x xy dy =-+-， 所以(1,1)dz dx dy =-。
大学高等数学各章节练习题
第一章 极限与连续一、填空1、设11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则[]()___________.f f x =2、若数列{}n x 收敛，则数列{}n x 一定 。
3、若0lim ()x x f x A →=,而0lim ()x x g x →不存在,则0lim(()())x x f x g x →+ .4、当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小,则_______=a5、设函数()f x 在点0x x =处连续，则()f x 在点0x x =处是否连续.6、设21))((,sin )(x x f x x f -==ϕ,则)(x ϕ的定义域为_________7、如果⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则__=a8、 曲线22x e x y -=的渐近方程为__________________二、选择9、如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么( ） （A))()(x g x f +在0x 点处间断 (B ）)()(x g x f -在0x 点处间断 （C))()(x g x f +在0x 点处连续 （D ）)()(x g x f +在0x 点处可能连续. 10、设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞=,则下列断言正确的是( )（A ）若n x 发散，则n y 必发散. (B)若n x 无界，则n y 必有界 （C)若n x 有界，则n y 必为无穷小（D ）若1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小。
11、已知0()lim0x f x x→=，且(0)1f =，那么（ ）（A)()f x 在0x =处不连续。
(B ）()f x 在0x =处连续。
（C ）0lim ()x f x →不存在。
（D ）0lim ()1x f x →=12、设2()43x x f x x x+=- ，则0lim ()x f x →为（ ）（A ）12 (B ）13 (C) 14 （D)不存在 13、设2(1)sin ()(1)x xf x x x-=-，那么0x =是函数的（ ） （A ）无穷间断点.（B ）第二类间断点。
高等数学偏导数第一节题库
【试题答案及评分标准】 x 0 为该函数的定义域。
10 分【090102 】【计算题】【较易】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】【试题内容】求函数 ux 2y 2arcsin的定义域。
zx 2 y 2 10 分【试题答案及评分标准】 11z【090103 】【计算题】【较易】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】【试题内容】设 z xf ( y) ，此中 x 0 ，假如当 x 1 时， z 1y 2 ，试确立 f ( x)x及 z 。
【试题答案及评分标准】时， zf ( y)1 y2 ，因此 f ( x)1 x 25 分x 12z x 1y x x 2 y 210 分xx【 090104 】【计算题】【较易】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】【试题内容】设 zx yf ( x y) ，已知 y0 时， z x 2 ，求 f ( x) 和 z 。
【试题答案及评分标准】 y0 时， z x 2 ，得 xf ( x)x 2因此 f (x) x 2 x5 分 因此 z xy ( x y) 2( x y) ( x y) 22 y10 分【090105 】【计算题】【中等】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】 【试题内容】设 z y f ( x 1) ，此中 x 0, y 0 ，假如 y 1时 z x ，试确立函数 f ( x) 和 z 。
【试题答案及评分标准】y 时， z 1 f (x 1) x 因此 f ( x 1)x 13分1令x 1 t x (t 1 2, ) 因此f (t )(t 1) 21 t2 2t , f ( x)x 22x7 分因此 z y ( x1)2 2( x 1)y x 1 x 0, y 010 分【090106 】【计算题】【较易】【多元函数的极限】 【极限的计算】【试题内容】求极限limy sin 2 x。
x 0xy 11y【试题答案及评分标准】解： limy sin 2 xx 0 xy 11yy sin 2x ( xy 11)6 分limxyx 0y 0= 410 分【090107 】【计算题】【较易】【多元函数的极限】 【极限的计算】1x 2y 1 ) 【试题内容】求极限。
微积分偏导数习题答案
微积分偏导数习题答案微积分是数学中的一门重要分支，其应用广泛，包括物理学、工程学、经济学等领域。
在学习微积分的过程中，偏导数是一个重要的概念。
偏导数可以理解为多元函数在某一点上沿着某个坐标轴的变化率。
在解决实际问题时，我们常常需要计算偏导数。
本文将通过一些典型的习题，给出相应的解答，以帮助读者更好地理解和掌握偏导数的概念和计算方法。
偏导数的计算方法主要有两种：直接计算和间接计算。
直接计算是指直接对多元函数进行求导，而间接计算则是通过利用已知的函数关系进行求导。
下面我们将通过一些具体的习题，来展示这两种计算方法的应用。
1. 假设有一个函数 f(x,y)=3x^2+2xy+y^2，求函数在点 (1,2) 处沿着 x 轴的偏导数。
直接计算方法：对于多元函数 f(x,y)，我们可以分别对 x 和 y 进行求导。
在这个例子中，我们只需要对 x 进行求导，而将 y 视为常数。
所以，对于f(x,y)=3x^2+2xy+y^2，我们有∂f/∂x=6x+2y。
将点 (1,2) 代入该式，即可得到函数在该点处沿着 x 轴的偏导数为∂f/∂x=6(1)+2(2)=10。
间接计算方法：我们可以通过利用已知的函数关系进行求导。
在这个例子中，我们可以将函数 f(x,y) 看作是两个函数的和，即 f(x,y)=g(x)+h(x,y)，其中g(x)=3x^2，h(x,y)=2xy+y^2。
对于 g(x)，我们可以直接求导得到 dg/dx=6x。
对于 h(x,y)，我们可以将其看作是两个函数的乘积，即 h(x,y)=p(x)q(y)，其中p(x)=2x，q(y)=x+y。
对于 p(x)，我们可以直接求导得到 dp/dx=2。
对于 q(y)，我们可以直接求导得到 dq/dy=1。
然后，我们可以利用链式法则，即∂f/∂x=dg/dx+d(h(x,y))/dx=dg/dx+(dh(x,y)/dp)(dp/dx)，来计算函数 f(x,y) 在点(1,2) 处沿着 x 轴的偏导数。
高等数学 第九章 9-2偏导数
561§9. 2 偏 导 数内容提要：偏导数的定义、计算、几何意义；高阶偏导数 重点分析：偏导数的计算难点分析：多元函数偏导数与一元函数导数之间的联系与区别因为多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。
在本节中，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。
一、偏导数的定义及其计算法 1、定义一元函数()y f x = ，00()()()limlim x x y f x x f x f x x x→→+-'==二元函数 000(,),(,),(,)z f x y x y D P x y D =∈∈考虑0y y =，x 从00x x x →+ ，000100(,)(,)P x y P x x y →+ 偏增量 0000(,)(,)x z f x x y f x y =+-（p12）定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量),(),(0000y x f y x x f -∆+，如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数，记为0y y x x xz ==∂∂，0y y x x xf ==∂∂，00y y x x xz ==或),(00y x f x 。
（也可记作,x x z f ''）即 0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆。
注：偏导记号为一整体记号，不能拆分。
562同理，yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数，记为0y y x x yz ==∂∂，0y y x x yf ==∂∂，00y y x x yz ==或),(00y x f y 。
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xy 2 x2 2 y 4
不存在，故
f (x, y) 在（ 0， 0）不连续。
y0
8分 10 分
【090126 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的连续性】 【多元函数的连续性】
【试题内容】讨论函数 f (x, y)
2 xy x2 y2 0
( x, y) ( 0,0)
在点（ 0， 0）处的连续性。
xy( x y) x2 y2 0
(x, y) (0,0) 在点（ 0，0）处的连续性。 ( x, y) (0,0)
【试题答案及评分标准】
xy(x y) 解：由于 x 2 y2
x2 y x2 y2
（当 x 0, y 0 时）
y2 x x2 y2
xy
0
8分
所以 lim f (x, y) 0 f ( 0,0) x0 y0
故 f ( x, y) 在（ 0， 0）处连续。
10 分
【090124 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的连续性】 【多元函数的连续性】
【试题内容】讨论函数 f (x, y)
xy2 x2 y2 0
x2 y2 0
在点（ 0， 0）处的连续性。
x 2 y2 0
【试题答案及评分标准】
xy 2
y2
解：由于
【090106 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限 lim y sin 2 x 。 x 0 xy 1 1
y0
【试题答案及评分标准】
解： lim y sin 2 x x 0 xy 1 1
y0
y sin 2x ( xy 1 1)
lim
6分
x0
xy
y0
=4
10 分
( x, y) (0,0) 在点（ 0， 0）处的连续性。 ( x, y) (0,0)
【试题答案及评分标准】
解：由于 lim
xy 2
x 0 x2 2y4
lim
x3
x 0 x2 2y4
lim x x 01 2x2
0
4分
yx 0
xy 2
y4
1
lim
x y2
0
x2
2y4
lim
y0
y4
2y4
3
y0
则 lim x0
【试题内容】试求函数
f (x, y)
xy
的间断点。
sin 2 x sin 2 y
【试题答案及评分标准】
解：显然当 ( x, y) (m,n) m, n Z 时， f ( x, y) 没定义，故不连续。 5 分
又 f (x, y)
xy
sin 2 x
sin 2
是 初 等 函 数 ， 所 以 除 点 (m,n) （ 其 中 y
【试题内容】试求函数 f (x, y, z) ln
1
的间断点。
x2 y2 z2 1
【试题答案及评分标准】
解：因为在区域 x 2 y 2 z2 1 及 x 2 y 2 z2 1 连续，故间断点为 x 2 y 2 z2 1 。
10 分 【090115】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的连续性】 【多元函数的间断点】
【090107 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限
1 lim
x0 y0
x2 y x3 y2
1 sin( xy) 。
【试题答案及评分标准】
解：原式 = lim
x2y sin( xy)
4分
x y
0 0
x3 y 2 (1
x 2 y 1)
1
sin( xy)
lim
x2 x2
y2 y 2 的连续性。
【试题答案及评分标准】
x2 y2
解：由于 f ( x, y)
x2
是初等函数，所以除（ 0，0）点以外处处连续。
y2
6分
但在（ 0,0）点， f ( x, y) 没定义，则在（ 0,0）点不连续。
10 分
【090119】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的连续性】 【多元函数的连续性】
【试题内容】求极限
lim
x0
3y3 x2
2 yx 2 xy y 2
。
y0
【试题答案及评分标准】
3y3 2 yx 2 解： x 2 xy y2
y
(3y 2 2x 2 ) x2 xy y 2
3y2 2x2
3( y2 x2 )
又 x 2 xy y 2
6 1 (x2 y2)
6分
2
lim y 0
8分
x0
y0
故原式 =0
m, n Z ）以外处处连续。
10 分
【090117】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的连续性】 【多元函数的间断点】
【试题内容】求函数 f ( x, y)
1 x sin
y 0
y 0 的间断点。 y0
【试题答案及评分标准】
解：只需讨论 x 轴上的点（ y 0 ）
对于（ 0， 0）点，由于 lim f (x, y) 0 f (0,0) x0 y0
【试题答案及评分标准】 y 0 时， z x2 ，得 x f ( x) x2
所以 f (x) x 2 x
5分
所以 z x y ( x y) 2 ( x y) ( x y) 2 2 y
10 分
【090105 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的概念】 【多元函数的定义域】
【试题内容】设 z y f ( x 1) ，其中 x 0, y 0 ，如果 y 1时 z x ，试确定函
8分
x y
0 0
1
x2y 1
xy
1
10 分
2
【090108 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限
lim x 04
y0
x
xye
。
16 xy
【试题答案及评分标准】
解： lim x 04
y0
xye x 16 xy
xyex (4 16 xy)
lim
8分
x0
xy
y0
10 分
【090111】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限
lim ( x 2 y 2 )x 2 y 2 x 0 1 cos( x 2 y 2 )
。
y0
【试题答案及评分标准】
解：原式 = lim (x 2 y 2 ) x 2 y 2
x y
0 0
1 (x2
y2 )2
=－8
10 分
【090109 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】求极限 lim( x 2 x0 y0
y) sin 1 。 x
【试题答案及评分标准】
解：由于 lim( x 2 y) 0
1 sin 1
8分
x0
x
y0
所以原式 =0
10 分
【090110】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的极限】 【极限的计算】
【试题内容】试求函数 f (x, y) sin 1 的不连续点。 xy
【试题答案及评分标准】
解：由于 f (x, y)
1 sin
是初等函数， 所以除 xy
0 的点以外处处连续。
xy
5分
在 xy 0 （即 x 轴和 y 轴）上点 f ( x, y) 没定义，因而不连续。 10 分
【090116】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的连续性】 【多元函数的间断点】
y
xy
0 x2 y2
x2 y2 x2 y2
x2
y2
xy
0
（当 x 0, y 0 时）
6分
所以
lim
x0
x3 x2
y3 y2
0
f (0,0)
8分
y0
故 f ( x, y) 在（ 0， 0）点连续。
10 分
【090123 】【计算题】 【中等 0.5】【多元函数的连续性】 【多元函数的连续性】
【试题内容】讨论函数 f (x, y)
数 f (x) 和 z。
【试题答案及评分标准】
y 1时， z 1 f ( x 1) x 所以 f ( x 1) x 1
3分
令 x 1 t , x (t 1) 2 所以
f (t ) (t 1) 2 1 t 2 2t , f ( x) x2 2 x
7分
所以 z y ( x 1)2 2( x 1) y x 1 x 0, y 0 10 分
( x, y) (0,0)
【试题答案及评分标准】
解：由于
lim 2 xy x 0 x2 y2
lim 2kx2 x 0 x2 k2 x2
2k 1 k 2 （ k 为常数）
6分
y kx 0
则
lim
x0
2xy x2 y 2
不存在，
8分
y0
故 f ( x, y) 在（ 0， 0）不连续。
10 分
【090127 】【证明题】 【中等 0.6】【多元函数的概念】 【 【试题内容】
【090101 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的概念】 【多元函数的定义域】
【试题内容】设 z
y
arctan
x
1
y x2
，求该函数的定义域。
y2
【试题答案及评分标准】 x 0 为该函数的定义域。
【090102 】【计算题】 【较易 0.3】【多元函数的概念】 【多元函数的定义域】