大学课件 高等数学 偏导数
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《高等数学偏导数》课件
6. 总结
偏导数在数学中扮演着重要的角色，它不仅可以帮助我们解决实际问题， 还可以拓展我们对多元函数的理解。 随着技术的进步和研究的深入，偏导数的应用将愈发广泛。
7. 参考文献
• 常用高等数学 课件
让我们一起探索高等数学中的偏导数，了解它的定义、性质、应用和几何意 义。这是一门重要而有趣的数学概念，深入了解它将帮助我们更好地理解多 元函数和曲面切平面的关系。
1. 引言
什么是偏导数？偏导数是用来描述多元函数中某个自变量变化对应的函数 变化率的工具。 了解偏导数的应用和重要性将帮助我们解决实际问题，优化函数以及在工 程、经济学等领域中进行分析。
2. 偏导数的定义和求法
• 多元函数的概念 • 偏导数的定义 • 常见偏导数的求法
3. 偏导数的性质
• 可微性和连续性 • 混合偏导数的对称性 • 微分的链式法则
4. 偏导数的应用举例
1. 流量与速度 2. 梯度和方向导数 3. 泰勒公式及其应用
5. 偏导数的几何意义
• 曲面切平面 • 二阶微分与极值判定 • 条件极值
《偏导数的概念》课件
偏导数的几何意义
偏导数在几何上表示函数曲面在某一 点处的切线斜率。
对于二元函数z=f(x,y)，其在点(x0,y0) 处的偏导数即为该点处曲面切线的斜 率。
偏导数的计算方法
通过求导法则进行计算：链式法则、乘积法则、商的法则、复合函数求导 法则等。
对于多元函数的偏导数，需要分别对各个自变量求导，然后根据具体问题 选择合适的方向进行计算。
商的乘积。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其偏导数为各 自函数的偏导数的乘积加上各自函数 对另一变量的导数的乘积。
反函数法则
对于反函数的偏导数，等于原函数在 该点的导数的倒数。
03
CATALOGUE
偏导数在几何中的应用
曲线的切线
总结词
偏导数可以用来求曲线的切线。
详细描述
在几何学中，曲线的切线是曲线在某一点的邻近线段的行为。通过偏导数，我 们可以找到曲线在某一点的切线斜率，从而确定切线的方向和位置。
描述热量在物体中的传递和扩散过程。
电场与磁场
总结词
偏导数在电场和磁场的研究中也有着重要的应用，它可 以帮助我们理解和描述电场和磁场的变化规律。
详细描述
电场和磁场是物理学中两个重要的物理量，它们描述了 电荷和电流产生的场。在研究电场和磁场时，我们常常 需要用到偏导数来描述它们的变化规律。通过偏导数， 我们可以计算出电场和磁场在不同位置的值，从而更好 地理解和描述电场和磁场的变化规律。
THANKS
感谢观看
边际分析
边际分析
偏导数提供了对经济变量边际变化的度量，即当其他条件保持不变时，某一变量变化一 个单位所引起的另一变量的变化量。
边际成本和边际收益
在决策分析中，偏导数用于计算边际成本和边际收益，帮助企业了解产品定价、产量决 策的合理性。
大学数学偏导数PPT课件
例6 设u eax cosby,求u的二阶偏导数 .
解 u aeax cosby, x
u beax sin by, y
2u x2
a2eax
cos by,
2u y2
b2eax
cos
by,
2u abeax sin by, 2u abeax sin by.
xy
yx
定理 若z f ( x, y)的混合偏导数 2z 和 2z 在D内连续, xy yx
f x( x0 , y0 ).
记作 :
z ,
x x x0 y y0
f ,
x x x0 y y0
zx
x x0 ,
y y0
f x ( x0 , y0 ),
f x( x0 , y0 ).
同理z f ( x, y)在( x0 , y0 )处对y的偏导数定义为
lim yz lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) ,
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
x r y r z r
x2 y2 z2
r2 r.
x y z r r r r
◆有关偏导数的两点说明： １、偏导数 z 是一个整体记号 ,不能拆分; x ２、 求分界点处的偏导数要用定义求. 例如, 设z f ( x, y) xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
y y0
z () y x x0
y y0
z x x x0
y y0
z () , x x x0
y y0
《高数偏导数》课件
《高数偏导数》PPT课件
# 高数偏导数
基础知识
多元函数
学习多元函数的概念和特 性，为理解偏导数打下基 础。
偏导数的定义
掌握的意义。
偏导数的几何意义
通过几何图形和实例解释 偏导数的几何意义，加深 理解。
求偏导数的方法
1 隐函数求导
介绍如何求多元函数中的隐函数偏导数。
3 优秀的学习资源推荐
推荐一些优质的学习资源，帮助学生深入学习和提高。
偏导数在计算机科学中的应用
最小二乘法
解释最小二乘法如何利用偏 导数来进行参数估计和数据 拟合。
支持向量机
介绍支持向量机和偏导数在 机器学习中的关联。
神经网络
阐述神经网络及其反向传播 算法中偏导数的作用。
总结
1 复习提醒
总结复习重点，为巩固知识提供指导。
2 特别注意的要点
强调解题过程中需要特别注意的关键要点。
2 利用公式求导
学习利用公式计算多元函数的偏导数，掌握基本技巧。
3 高阶偏导数
引入高阶偏导数的概念，并介绍求解高阶偏导数的方法。
偏导函数的性质
1
连续性
讨论偏导函数的连续性条件，深入研究其数学性质。
2
求导法则
总结偏导函数的求导法则和常见推广公式，为后续应用打下基础。
3
需要注意的问题
强调在处理偏导数时需要注意的特殊情况和常见错误。
# 高数偏导数
基础知识
多元函数
学习多元函数的概念和特 性，为理解偏导数打下基 础。
偏导数的定义
掌握的意义。
偏导数的几何意义
通过几何图形和实例解释 偏导数的几何意义，加深 理解。
求偏导数的方法
1 隐函数求导
介绍如何求多元函数中的隐函数偏导数。
3 优秀的学习资源推荐
推荐一些优质的学习资源，帮助学生深入学习和提高。
偏导数在计算机科学中的应用
最小二乘法
解释最小二乘法如何利用偏 导数来进行参数估计和数据 拟合。
支持向量机
介绍支持向量机和偏导数在 机器学习中的关联。
神经网络
阐述神经网络及其反向传播 算法中偏导数的作用。
总结
1 复习提醒
总结复习重点，为巩固知识提供指导。
2 特别注意的要点
强调解题过程中需要特别注意的关键要点。
2 利用公式求导
学习利用公式计算多元函数的偏导数，掌握基本技巧。
3 高阶偏导数
引入高阶偏导数的概念，并介绍求解高阶偏导数的方法。
偏导函数的性质
1
连续性
讨论偏导函数的连续性条件，深入研究其数学性质。
2
求导法则
总结偏导函数的求导法则和常见推广公式，为后续应用打下基础。
3
需要注意的问题
强调在处理偏导数时需要注意的特殊情况和常见错误。
高等数学 下册-偏导数 ppt课件
p V T RT 1 V T p pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
第八章
机动
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结束
一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim 0 x f ( x x x) f ( x0 ) d y 0 f ( x0 ) lim x 0 x d x x x0
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f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
斜率.
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注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 0 , x2 y2 0
高等数学高数课件 9.2偏导数
0.
可以看出关于y的偏导可通过互换变量x,y而得到。
若将函数的自变量互换后，函数的表达式不变，
则称该二元函数具有对称性，即 z(x, y) z( y, x)
若将函数的自变量互换后，函数的表达式相反，
则称该二元函数具有反对称性，即 z(x, y) -z( y, x)
1）若 z(x, y)具有对称性，计算二阶偏导数时，先
自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
，z
x
或
f
x
(
x
,
y
)
.
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
导数，记作 z y
，f y
，
z
y
或
f
y
(
x,
y).
偏导数的定义
对自变量 y 的偏导数为 f y x, y , … . 偏导数的概念
可推广到二元以上的函数.
例如, 三元函数 u f x, y, z 在 x, y, z处的偏导数
xy
x2 x2
y2 y2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0,
x2 y2 z2.
x换y，y换z， z换x，表达 式不变
证
u x
1 r2
r x
1 r2
x r
x r3
,
2u x 2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
.
由函数关于自变量的对称性, 得
2u y 2
1 r3
3 y2 r5
,
2u z 2
1 r3
3z2 r5
例11 设 f ( x, y)
大学课件高等数学下学期7-2偏导数
y2 y2
)2
.
17/25
设
f
( x,
y)
x3 y x2 y2
0
当( x, y) (0,0),
当(
x,
y
)
求f (0,0).
xy
(0,0)和f
xy
(0,0).
当( x, y) (0,0)时, 按定义得
f x (0,0)
lim x0
f
(0
x,0) x
f
(0,0)
lim 0 x0 x
0
运动. 又如方程
2z x 2
2z y2
0
称为拉普拉斯(laplace)方程, 它在热传导、流体
运动等问题中有着重要的作用.
20/25
练习 1、验证函数 z ln x2 y2 满足拉普拉斯方程:
2z x 2
2z y2
0.
证. 因 z ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ),
2
z x
x2
x
y2
,
2z (x2 y2) x 2x x2 ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2 ,
由x, y在函数表达式中的对称性, 立即可写出
z y y x2 y2 ,
2z y2
x2 y2 ( x2 y2 )2
,
即证.
21/25
练习 3.
f
(
x,
y)
x
2
xy y2
f y
,
x x0 y y0
zy
, x x0
y y0
或
f y ( x0 , y0 ).
3/25
如果函数 z f ( x, y) 在区域D内任一点
高等数学偏导数PPT课件.ppt
故函数 f (x, y) 在点(0, 0) 处不连续.
f
(x, y)
xy x2 y2
( x2 y2 0 ),
f (0, 0) 0
但是
lim f (x , 0) f (0, 0) lim 0 0 ,
x0
x
x0
lim f (0, y) f (0, 0) lim 0 0 ,
y0
y
y0
( f y(0,0))x .
例 验证函数 u( x, y) ln x2 y2 满足拉普
拉斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 ln
x2
y2
1 ln( x2 2
y2 ),
u x
x x2
y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
求偏导数时,只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量,其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 .
例 求 z x2 3xy y2在(1,2)处对 x 的偏导数．
解法一 (用定义)
z x
x 1 y2
lim z(1 x,2) z(1,2)
x0
x
8
.
解法二 (用定义)
f (x x, y, z) f (x, y, z)
fx
(
x,
y,
z)
lim
x0
x
,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f
(x,
y
y, z) y
f
(x,
y, z) ,
fz ( x,
y, z)
f
(x, y)
xy x2 y2
( x2 y2 0 ),
f (0, 0) 0
但是
lim f (x , 0) f (0, 0) lim 0 0 ,
x0
x
x0
lim f (0, y) f (0, 0) lim 0 0 ,
y0
y
y0
( f y(0,0))x .
例 验证函数 u( x, y) ln x2 y2 满足拉普
拉斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 ln
x2
y2
1 ln( x2 2
y2 ),
u x
x x2
y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
求偏导数时,只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量,其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 .
例 求 z x2 3xy y2在(1,2)处对 x 的偏导数．
解法一 (用定义)
z x
x 1 y2
lim z(1 x,2) z(1,2)
x0
x
8
.
解法二 (用定义)
f (x x, y, z) f (x, y, z)
fx
(
x,
y,
z)
lim
x0
x
,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f
(x,
y
y, z) y
f
(x,
y, z) ,
fz ( x,
y, z)
《函数偏导数的应用》课件
详细描述
经济增长模型通常采用偏导数来分析各种经济变量对经济增 长的影响。例如，政府可以通过调整投资、消费、技术进步 等变量的偏导数大小，来预测经济增长的变化，从而制定相 应的经济政策。
牛顿冷却定律
总结词
牛顿冷却定律是描述物体温度随时间变 化的规律，通过偏导数可以分析温度变 化的速率。
VS
详细描述
根据牛顿冷却定律，物体的温度随时间的 变化率与物体和周围环境的温差成正比。 通过引入偏导数，可以进一步分析温度变 化的速度和方向，从而更好地理解物体冷 却或加热的过程。
偏导数的几何意义
在二维平面上，偏导数表示函数图像 在某一点的切线的斜率。在三维空间 中，偏导数表示函数图像在某一点的 切平面与坐标轴的交点。
偏导数的性质
线性性质
对于两个函数的和或差，其偏导数等于各自 偏导数的和或差。
常数倍性质
对于常数倍的函数，其偏导数等于该常数乘以函数 的偏导数。
高阶偏导数
对于一个多变量的函数，其偏导数可以多次 求导，得到高阶偏导数。高阶偏导数的计算 方法与一阶偏导数类似。
信号特征提取
利用偏导数可以提取信号的特征，通过求导数找到信号的突变点 或峰值点，从而提取出信号的特征。
信号分类
利用偏导数可以对信号进行分类，通过求导数找到不同类信号的 特征，从而实现信号的分类。
06
偏导数的实际案例分析
经济增长模型
总结词
经济增长模型是偏导数在实际中应用的经典案例，通过偏导 数分析自变量对因变量的影响程度，为政策制定提供依据。
系统稳定性分析
利用偏导数可以分析控制系统的 稳定性，通过求导数找到系统失 稳的临界点，从而采取相应的措 施提高系统的稳定性。
控制系统优化
经济增长模型通常采用偏导数来分析各种经济变量对经济增 长的影响。例如，政府可以通过调整投资、消费、技术进步 等变量的偏导数大小，来预测经济增长的变化，从而制定相 应的经济政策。
牛顿冷却定律
总结词
牛顿冷却定律是描述物体温度随时间变 化的规律，通过偏导数可以分析温度变 化的速率。
VS
详细描述
根据牛顿冷却定律，物体的温度随时间的 变化率与物体和周围环境的温差成正比。 通过引入偏导数，可以进一步分析温度变 化的速度和方向，从而更好地理解物体冷 却或加热的过程。
偏导数的几何意义
在二维平面上，偏导数表示函数图像 在某一点的切线的斜率。在三维空间 中，偏导数表示函数图像在某一点的 切平面与坐标轴的交点。
偏导数的性质
线性性质
对于两个函数的和或差，其偏导数等于各自 偏导数的和或差。
常数倍性质
对于常数倍的函数，其偏导数等于该常数乘以函数 的偏导数。
高阶偏导数
对于一个多变量的函数，其偏导数可以多次 求导，得到高阶偏导数。高阶偏导数的计算 方法与一阶偏导数类似。
信号特征提取
利用偏导数可以提取信号的特征，通过求导数找到信号的突变点 或峰值点，从而提取出信号的特征。
信号分类
利用偏导数可以对信号进行分类，通过求导数找到不同类信号的 特征，从而实现信号的分类。
06
偏导数的实际案例分析
经济增长模型
总结词
经济增长模型是偏导数在实际中应用的经典案例，通过偏导 数分析自变量对因变量的影响程度，为政策制定提供依据。
系统稳定性分析
利用偏导数可以分析控制系统的 稳定性，通过求导数找到系统失 稳的临界点，从而采取相应的措 施提高系统的稳定性。
控制系统优化
《偏导数同济大学》课件
介绍条件极值和拉格朗日乘数法的概念，以及求解方法。
总结和拓展
知识点回顾和总结
系统回顾所学内容，并总结重点和难点，帮助学 生巩固知识。
学习方法和资源推荐
拓展知识点及其应用
提供一些与多元函数微分学相关的拓展知识和应 用领域，激发学生的兴趣。
分享一些学习该课程的有效方法和推荐的学习资源，帮助学生更好地学习。
《偏导数同济大学》PPT 课件
本课件介绍了《偏导数同济大学》课程的大纲和内容。通过详细讲解偏导数 的定义、求法以及应用，以及高阶偏导数、全微分等高级概念，帮助学生掌 握多元函数微分学的核心知识。
偏导数的定义和求法
多元函数
介绍多元函数的概念和性质，为后续学习偏导数打下基础。
偏导数的定义
详细解释偏导数的概念和意义，让学生理解其在多元函数中的作用。
偏导数的求法
介绍常见的偏导数求法，包括链式法则、隐函数求导等方法。
高阶偏导数和全微分
高阶偏导数
讲解高阶偏导数的定义和求法，并进行性质分析 和简单应用。
全微分
介绍全微分的概念和计算方法，以及它在实际问 题中的应用。
隐函数和参数方程
1
隐函数的概念
解释隐函数的定义和基本思想，帮助学生理解隐函数存在的意义。
2
高阶导数
教授如何计算隐函数的高阶导数，为后续应用打下基础。
3
参数方程的概念
介绍参数方程的定义和性质，以及与隐函数的关系。
多元函数微分学应用
1 一阶微分学应用
讨论一阶微分学在实际问题中的应用，如最优化问题等。
2 极值求解
教授极值求解的方法和技巧，并讲解其在经济学和物理学等领域的应用。
3 条件极值和拉格朗日乘数法
总结和拓展
知识点回顾和总结
系统回顾所学内容，并总结重点和难点，帮助学 生巩固知识。
学习方法和资源推荐
拓展知识点及其应用
提供一些与多元函数微分学相关的拓展知识和应 用领域，激发学生的兴趣。
分享一些学习该课程的有效方法和推荐的学习资源，帮助学生更好地学习。
《偏导数同济大学》PPT 课件
本课件介绍了《偏导数同济大学》课程的大纲和内容。通过详细讲解偏导数 的定义、求法以及应用，以及高阶偏导数、全微分等高级概念，帮助学生掌 握多元函数微分学的核心知识。
偏导数的定义和求法
多元函数
介绍多元函数的概念和性质，为后续学习偏导数打下基础。
偏导数的定义
详细解释偏导数的概念和意义，让学生理解其在多元函数中的作用。
偏导数的求法
介绍常见的偏导数求法，包括链式法则、隐函数求导等方法。
高阶偏导数和全微分
高阶偏导数
讲解高阶偏导数的定义和求法，并进行性质分析 和简单应用。
全微分
介绍全微分的概念和计算方法，以及它在实际问 题中的应用。
隐函数和参数方程
1
隐函数的概念
解释隐函数的定义和基本思想，帮助学生理解隐函数存在的意义。
2
高阶导数
教授如何计算隐函数的高阶导数，为后续应用打下基础。
3
参数方程的概念
介绍参数方程的定义和性质，以及与隐函数的关系。
多元函数微分学应用
1 一阶微分学应用
讨论一阶微分学在实际问题中的应用，如最优化问题等。
2 极值求解
教授极值求解的方法和技巧，并讲解其在经济学和物理学等领域的应用。
3 条件极值和拉格朗日乘数法
偏导数的定义及其计算法-PPT
ln x
例4例 4 求 r x2 y2 z2 的偏导数
解 解 r
x
x r
y
y
x x2 y2 z2 r y x2 y2 z2 r
例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)
p V
V T
T p
1
证 证 因为 p RT V
p V
RT V2
V RT V R p T p
z x
x x0 y y0
f x
x x0 y y0
zx xx0 或 fx(x0 y0)
y y0
类似地 函数zf(xy)在点(x0y0)处对y的偏导数 >>>
一、偏导数的定义及其计算法
❖偏导数的定义
f x (x0,
y0)
lim
x0
f
(x0 x, y0) x
f (x0, y0)
❖偏导数的符号
z x
在区域 D 内连续
那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等
例7例 7 验证函数 z ln
x2 y2
满足方程 2z x2
2z y2
0
证 证 因为 z ln x2 y2 1 ln( x2 y2) 所以 2
z x
x2
x
y2
z y
y x2 y2
2z x2
(x2 y2) x2x (x2 y2)2
证明函数 u
1 r
满足方程
2u x2
2u y2
2u z2
0
其中 r x2 y2 z2
证 证
u x
1 r2
r x
1 r2
x r
x r3
2u x2
1 r3
《高数偏导数》课件
高阶偏导数计算
总结词
高阶偏导数的计算需要遵循一定的规律和技巧。
详细描述
高阶偏导数的计算需要理解二阶偏导数和更高阶偏导数的概念，掌握高阶偏导 数的求导法则，如高阶乘积法则、高阶链式法则等，以便在遇到高阶偏导数时 能够正确计算。
隐函数求导法则
总结词
隐函数求导法则是解决隐函数偏导数的关键。
详细描述
隐函数求导法则是基于复合函数求导法则的扩展，适用于解决由一个方程组确定的隐函数组的偏导数 问题。通过对方程两边同时求导，并利用方程组中其他方程的导数，可以求得隐函数组的偏导数。
法线方程
根据法线方向向量和原点坐标，可以求出法线方 程。
法线与切线的夹角
在曲面上某一点，法线与切线的夹角可以通过求 法线方向向量和切线方向向量的夹角得到。
04ห้องสมุดไป่ตู้
偏导数的计算技巧
链式法则
总结词
链式法则是偏导数计算中的重要技巧，用于计算复合函数的偏导数。
详细描述
链式法则是基于复合函数求导法则的，当一个复合函数中包含多个中间变量时，链式法则能够将外层函数的偏导 数通过中间变量传递到内层函数，从而简化计算过程。
2
如果函数在某点处偏导数不存在，则该函数在该 点处不可微。
3
偏导数的连续性是保证函数可微的必要条件。
可微性的概念
可微性是指函数在某点处的极限值等 于函数在该点的值，即函数在该点处 具有切线。
如果函数在某点处可微，则该点处的 切线存在，且切线的斜率等于该点处 的偏导数值。
可微性的判定
01
如果函数在某点处的左右极限相等，则该函数在该 点处可微。
乘积法则
对于两个函数的乘积的偏导数，其偏导数是各自函数的偏导数的乘积 。
《高等数学偏导数》课件
偏导数的性质
连续性与可导性
偏导数存在时，函数在某点的邻域内 连续。
偏导数存在且连续时，函数在该点的 某邻域内可导。
偏导数的计算法则
链式法则
对于复合函数，求偏导数时需要使用 链式法则。
乘积法则
对于两个函数的乘积，求偏导数时需 要使用乘积法则。
商式法则
对于两个函数的商，求偏导数时需要 使用商式法则。
高阶偏导数
对于高阶偏导数，可以使用递推关系 进行计算。
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
01
对于一个函数，如果它的二阶偏导数存在，则称这个二阶偏导
数为该函数的高阶偏导数。
高阶偏导数的计算
02
高阶偏导数的计算需要使用到前面已经求得的低阶偏导数。
高阶偏导数的几何意义
03
高阶偏导数可以用来描述函数图像的凹凸性、拐点等几何特征
偏导数表示函数曲面在某一点处与坐标轴平 面的交线在该方向的切线斜率。
偏导数的几何意义
切线斜率
对于二元函数，偏导数表示函数曲面在某一点处的切 线斜率。
凹凸性
通过研究偏导数的符号变化，可以判断函数在某一点 的凹凸性。
最值问题
利用偏导数研究函数的极值问题，通过求偏导数等于 零的点，找到可能的极值点。
02
根据不同的标准，最优化方法可以分为多种类型 ，如线搜索方法、信赖域方法、梯度下降法等。
最优化方法的选择依据
选择最优化方法时需要考虑问题的性质、计算资 源、精度要求等因素。
3
最优化方法的优缺点比较
各种最优化方法都有其优点和局限性，需要根据 实际情况进行选择和调整。
05
偏导数在实际问题中的应用
经济问题
在给定函数中寻找最小值或最大值，且附加某些约束条件的数学 问题。
连续性与可导性
偏导数存在时，函数在某点的邻域内 连续。
偏导数存在且连续时，函数在该点的 某邻域内可导。
偏导数的计算法则
链式法则
对于复合函数，求偏导数时需要使用 链式法则。
乘积法则
对于两个函数的乘积，求偏导数时需 要使用乘积法则。
商式法则
对于两个函数的商，求偏导数时需要 使用商式法则。
高阶偏导数
对于高阶偏导数，可以使用递推关系 进行计算。
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
01
对于一个函数，如果它的二阶偏导数存在，则称这个二阶偏导
数为该函数的高阶偏导数。
高阶偏导数的计算
02
高阶偏导数的计算需要使用到前面已经求得的低阶偏导数。
高阶偏导数的几何意义
03
高阶偏导数可以用来描述函数图像的凹凸性、拐点等几何特征
偏导数表示函数曲面在某一点处与坐标轴平 面的交线在该方向的切线斜率。
偏导数的几何意义
切线斜率
对于二元函数，偏导数表示函数曲面在某一点处的切 线斜率。
凹凸性
通过研究偏导数的符号变化，可以判断函数在某一点 的凹凸性。
最值问题
利用偏导数研究函数的极值问题，通过求偏导数等于 零的点，找到可能的极值点。
02
根据不同的标准，最优化方法可以分为多种类型 ，如线搜索方法、信赖域方法、梯度下降法等。
最优化方法的选择依据
选择最优化方法时需要考虑问题的性质、计算资 源、精度要求等因素。
3
最优化方法的优缺点比较
各种最优化方法都有其优点和局限性，需要根据 实际情况进行选择和调整。
05
偏导数在实际问题中的应用
经济问题
在给定函数中寻找最小值或最大值，且附加某些约束条件的数学 问题。
10.2 函数的偏导数 课件 《高等数学》(高教版)
z x
,
z y
.
解
z x
sin( x
y)
x cos(x
y),
z y
x cos(x
y)
例3 求函数 解
在 处的偏导数.
三、偏导数的计算
例4 求三元函数u x2 y y2 z z2 x 的偏导数. 解 u 2xy z2,(将y, z看成常数)
x u 2 yz x2 , y u 2zx y2. z
10.2 函数的偏导数
一、偏导数的定义
对于二元函数z f (x, y),若固定y,只让x变化,则z就成为x 的一元函数,比如说, z f (x, y0 ).这样的一元函数对x的导数 就称为二元函数z对x的偏导数.
定义1 设函数z f (x, y)在点(x0 ,y0 )的某一个邻域内有定义.
固定y
lim f ( y0 y, y0 ) f (x0 ,y0 )
x0
y
记作 z y
, fx (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 ) , zy (x0 ,y0 )或f y (x0 ,y0 )等.
一、偏导数的定义
如果函数z f (x, y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数 都有存在,那么这个偏导数就是x, y的函数,称为函数z f (x, y) 对自变量x的偏导函数.记作
z x
,f x
,
zx或f
x
(
x,
y
)
同样,函数z f (x, y)对自变量y的偏导函数记作
z y
,f y
,
z
y
或f
y
(
x,
y
)
偏导函数也简称为偏导数.
二、偏导数的几何意义
高等数学偏导数PPT课件-精选文档
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 x 的
0 0
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y )对 自变量 x的偏导数，
z f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). x x
f ( x h , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) lim x h 0 h
y
将 y 看成常数时, 是对幂函数求导.
z y 1 yx x
z y x lnx y
a 1 ( x) a x a
将 x 看成常数时, 是对指数函数求导.
x ( a ) aln a x
例
解
求 u e
偏导数，记为
z f x x f ( x , y ) z ， ， 或 . 0 x 0 0 x y y x x x x 0 0 0 x x y y y y
0 0
同理可定义函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 y 的偏导数， 为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y0 ) . x x0 x0 y y0 y y x y y y y
高等数学课件-D92偏导数
偏导数可以表示函数在某一点 处的梯度向量
偏导数的定义： 对于多元函数，
偏导数是函数 在某一点处沿 某一特定方向
上的导数
偏导数的计算 方法：首先确 定偏导数的方 向，然后计算 函数在该方向
上的导数
偏导数的性质： 偏导数具有线 性性、连续性、 可微性等性质
偏导数的应用： 在多元函数优 化、微分方程 求解、物理等 领域有广泛应 用
一定可积。
偏导数的几何意义：表示函数在某 点处沿某一方向的变化率
应用：可微性定理可以用来判断函 数在某点处是否可微，以及计算偏 导数
添加标题
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可微性定理：如果函数在某点处可 微，那么它在该点处沿任意方向的 偏导数都存在
应用实例：在多元函数中，可微性定 理可以用来判断函数在某点处是否可 微，以及计算偏导数，从而解决实际 问题
,
汇报人：
01
02
03
04
05
06
偏导数是函数在某一点处对某个自变量的导数 偏导数表示函数在某一点处对某个自变量的变化率 偏导数是函数在某一点处对某个自变量的局部线性近似 偏导数是函数在某一点处对某个自变量的局部线性近似的斜率
偏导数符号：∂
偏导数计算：通过求导公式计算
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汇报人：
高阶偏导数的计算 方法：使用链式法 则，逐步求导
高阶偏导数的应用 ：在多元函数优化 、物理、工程等领 域有广泛应用
偏导数在求极值中 的应用
偏导数在求最大值 中的应用
偏导数在求最小值 中的应用
偏导数在求极值时 的注意事项
切线方程：切线方程是曲线 在某一点处的切线方程
偏导数的定义：偏导数是函数 在某一点处沿某一方向的导数
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y0
方程为
z
y
f (x, y0 .
y),
O
x0
x
y
由于偏导数 f x ( x0 , y0 ) 等于一元函数 f ( x, y0 )的
导数 f ( x, y0 ) xx0 ,故由一元函数导数的几何意义
9
偏导数
可知:
偏导数 f x ( x0 , y0 )在几何上表示
曲线
z
y
f (x, y) y0
lim
z0
f ( x, y, z z) z
f (x, y,z).
5
偏导数
求多元函数的偏导数并不需要新的方法,
如求f x ( x, y),只需将y 看作常量,利用一元函数 的求导法对x求导即可.
例 求 z x2 y sin y在点(1,0)处的两个偏导数.
解 z 2xy,
x
z x2 cos y, y
2
偏导数
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0 x x0
x
对x的偏导数, 记为
z ,
x x x0 y y0
f ,
x x x0 y y0
z , x
x x0 y y0
或
f x ( x0 , y0 ).
同理, 可定义函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处
x
(
x2 (
x2
y2
) xy y2 )2
2
y
x(x2 y2) (x2 y2)2 .
当( x, y) (0,0)时,按定义得
12
偏导数
f
(
x,
y)
x2
xy
y2
0
求f ( x, y)的偏导数.
当( x, y) (0,0), 当( x, y) (0,0).
z 0, x (1,0)
z 2. y (1,0)
例 求 z x y ( x 0) 的偏导数.
解 z yx y1, z x y ln x
x
y
6
偏导数
例 求f ( x, y, z) (z a xy )sinln x2在点(1,0,2)处的
三个偏导数.
解
f x (1,0,2) [sinln x2 ] x1
2 cosln x2 2
x
x1
f y (1,0,2) (0) y0 0, fz (1,0,2) (0) z2 0.
求某一点的偏导数时, 可将其它变量的值 代入,变为一元函数,再求导, 常常较简单.
7
偏导数
例 已知理想气体的状态方程pV RT ,其中
p为压强,V为体积,T为温度, R为常数,
偏导数
偏导数的概念可以 推广到二元以上函数
如, u f ( x, y, z)在( x, y, z)处
f x ( x,
y,z)
lim
x0
f (x
x,
y,z) x
f (x, y,z),
f y ( x,
y,z)
lim
y0
f
( x,
y
y, z) y
f
( x,
y, z) ,
fz ( x,
y,z)
求证 : p V T 1 V T p
证
p
RT V
p V
RT V2
;
V 偏RpT导数的VT记号R只p ;是一T个整p体RV记号,不Tp能 像VR;
一元函数的导数那样可看成是分子与分母的
微分p 的 商V . T V T p
RT V2
R V RT p R pV
1.
8
偏导数
二、偏导数的几何意义
第二节 偏 导 数
partial derivative
偏导数的定义及其计算法 偏导数的几何意义 高阶偏导数
higher-order partial derivative
小结 思考题 作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y) 在点( x0, y0 )的某邻域
例
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
0
当( x, y) (0,0), 当( x, y) (0,0).
求f ( x, y)的偏导数.
解 当( x, y) (0,0)时,
fx(x, y)
y ( x2 y2 ) xy 2x
( x2 y2 )2
y( y2 x2 ) ( x2 y2 )2 ,
fy(x, y)
在点
z f (x, y)
z
M0 z f ( x, y0 ) Ty
Tx z f ( x0 , y)
M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线对
O
y0
y
x轴的斜率;
x0
x
偏导数 f y ( x0, y0 )在几何上表示
曲线
z
x
f (x, y) x0
在点 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))
对y的偏导数, 为
lim yz lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0 y y0
y
记为
z y
,
x x0 y y0
f y
,
x x0 y y0
zy
, x x0
y y0
或
f y ( x0 , y0 ).
3
偏导数
如果函数 z f ( x, y) 在区域D内任一点
(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数
设二元函数 z f ( x, y)在点 M0( x0 , y0 ) 有
偏导数. 如图,
z z f (x, y)
设M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))
M0 z f ( x, y0 )
为曲面 z f ( x, y) 上的一点,
过点 M0 作平面 y y0 , 此平面
与曲面相交得一曲线, 曲线的
仍是 x、»y 的二元函数, 它就称为函数
z f ( x, y) 对自变量x的偏导函数 (简称偏导数),
记作
Hale Waihona Puke z , xf x,
zx
或
f x ( x, y).
同理, 可定义函数 z f ( x, y) 对自变量y的
偏导函数 (简称偏导数),
记作 z , y
f , y
zy 或
f y( x, y).
4
内有定义，将y固定为y0, 而x在x0处有增量x时, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量).
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0 x x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为
处的切线对y轴的斜率.
10
偏导数
曲线
z
x2 y2 4
,
在点(2,4,5)处的切线
y 4
与x轴正向所成的倾角是多少?
解
fx
(
x,
y)
1 2
x,
f x (2,4) 1 tan
4
曲线
z
x2 4
y2 , 在点(2,4,5)处的切线
x 2
与y轴正向所成的倾角是多少?
11
偏导数