大学课件 高等数学 偏导数

内有定义，将y固定为y0, 而x在x0处有增量x时, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量).
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0 x x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为
仍是 x、»y 的二元函数, 它就称为函数
z f ( x, y) 对自变量x的偏导函数 (简称偏导数),
记作
z , x
f x
,
zx
或
f x ( x, y).
同理, 可定义函数 z f ( x, y) 对自变量y的
偏导函数 (简称偏导数),
记作 z , y
f , y
zy 或
f y( x, y).
4
2 cosln x2 2
x
x1
f y (1,0,2) (0) y0 0, fz (1,0,2) (0) z2 0.
求某一点的偏导数时, 可将其它变量的值 代入,变为一元函数,再求导, 常常较简单.
7
偏导数
例 已知理想气体的状态方程pV RT ,其中
p为压强,V为体积,T为温度, R为常数,
设二元函数 z f ( x, y)在点 M0( x0 , y0 ) 有
偏导数. 如图,
z z f (x, y)
设M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))
M0 z f ( x, y0 )
为曲面 z f ( x, y) 上的一点,
过点 M0 作平面 y y0 , 此平面
与曲面相交得一曲线, 曲线的
在点
z f (x, y)
z
M0 z f ( x, y0 ) Ty
Tx z f ( x0 , y)
M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线对
O
y0
y
x轴的斜率;
x0
x
偏导数 f y ( x0, y0 )在几何上表示
曲线
z
x
f (x, y) x0
在点 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))
例
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
0
当( x, y) (0,0), 当( x, y) (0,0).
求f ( x, y)的偏导数.
解 当( x, y) (0,0)时,
fx(x, y)
y ( x2 y2 ) xy 2x
( x2 y2 )2
y( y2 x2 ) ( x2 y2 )2 ,
fy(x, y)
lim
z0
f ( x, y, z z) z
f (x, y,z).
5
偏导数
求多元函数的偏导数并不需要新的方法,
如求f x ( x, y),只需将y 看作常量,利用一元函数 的求导法对x求导即可.
例 求 z x2 y sin y在点(1,0)处的两个偏导数.
解 z 2xy,
x
z x2 cos y, y
z 0, x (1,0)
z 2. y (1,0)
例 求 z x y ( x 0) 的偏导数.
解 z yx y1, z x y ln x
x
y
6
偏导数
例 求f ( x, y, z) (z a xy )sinln x2在点(1,0,2)处的
三个偏导数.
解
f x (1,0,2) [sinln x2 ] x1
第二节 偏 导 数
partial derivative
偏导数的定义及其计算法 偏导数的几何意义 高阶偏导数
higher-order partial derivative
小结 思考题 作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y) 在点( x0, y0 )的某邻域
偏导数
偏导数的概念可以 推广到二元以上函数
如, u f ( x, y, z)在( x, y, z)处
f x ( x,
y,z)
lim
x0
f (x
x,
y,z) x
f (x, y,z),
f y ( x,
y,z)
lim
y0
f
( x,
y
y, z) y
f
( x,
y, z) ,
fz ( x,
y,z)
x
(
x2 (
x2
y2
) xy y2 )2
2
y
x(x2 y2) (x2 y2)2 .
当( x, y) (0,0)时,按定义得
12
偏导数
f
(
x,
y)
x2
xy
y2
0
求f ( x, y)的偏导数.
当( x, y) (0,0), 当( x, y) (0,0).
求证 : p V T 1 V T p
证
p
RT V
p V
RT V2
;
V 偏RpT导数的VT记号R只p ;是一T个整p体RV记号,不Tp能 像VR;
一元函数的导数那样可看成是分子与分母的
微分p 的 商V . T V T p
RT V2
R V RT p R pV
1.
8
偏导数
二、偏导数的几何意义
y0
方程为
z
y
f (x, y0 .
y),
O
x0
x
y
由于偏导数 f x ( x0 , y0 ) 等于一元函数 f ( x, y0 )的
导数 f ( x, y0 ) xx0 ,故由一元函数导数的几何意义
9
偏导数
可知:
偏导数 f x ( x0 , y0 )在几何上表示
曲线
z
y
f (x, y) y0
处的切线对y轴的斜率.
10
偏导数
曲线
z
x2 y2 4
,
在点(2,4,5)处的切线
y 4
与x轴正向所成的倾角是多少?
解
fx
(
x,
y)
1 2
x,
f x (2,4) 1 tan
4
曲线
z
x2 4
y2 , 在点(2,4,5)处的切线
x 2
与y轴正向所成的倾角是多少?
11
偏导数
对y的偏导数, 为
lim yz lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0 y y0
y
记为
z y
,
x x0 y y0
Biblioteka Baidu
f y
,
x x0 y y0
zy
, x x0
y y0
或
f y ( x0 , y0 ).
3
偏导数
如果函数 z f ( x, y) 在区域D内任一点
(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数
2
偏导数
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0 x x0
x
对x的偏导数, 记为
z ,
x x x0 y y0
f ,
x x x0 y y0
z , x
x x0 y y0
或
f x ( x0 , y0 ).
同理, 可定义函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处