相似三角形分析动态平衡问题修订稿

相似三角形分析动态平

衡问题

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一、考点突破

知识点考纲要求题型分值

牛顿运动定律的应

用会用相似三角形解决动态平衡

问题

选择题6分

二、重难点提示

相似关系的寻找。

动态平衡问题还有一类处理方法是使用相似三角形法。

选定研究对象后，倘若物体受三个力作用而平衡，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化转化为三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例题1 如图所示，杆BC的B端铰接在竖直墙上，另一端C为一滑轮，重力为G的重物上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡，若将绳的A端沿墙向下移，再使之平衡（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则（）

A. 绳的拉力增大，BC杆受压力增大

B. 绳的拉力不变，BC杆受压力增大

C. 绳的拉力不变，BC杆受压力减小

D. 绳的拉力不变，BC杆受压力不变

思路分析：（1）本题比较的是轻绳的A端移动前后的两个平衡状态，两个状态下，滑轮上所受三力均平衡；

（2）B端是铰链，BC杆可以自由转动，所以BC杆受力必定沿杆；

（3）绳绕过滑轮，两段绳力相等，要保证合力沿杆（否则杆必转动），则杆必处于两绳所构成角的平分线上。

方法一：

选取滑轮为研究对象，对其受力分析，如图所示。绳中的弹力大小相等，即T 1＝T 2＝G ，T 1、T 2、F 三力平衡，将三个力的示意图平移可以组成封闭三角形，如图中虚线所示，设AC 段绳子与竖直墙壁间的夹角为θ，则根据几何知识可得，杆对绳子的支持力F ＝

2G sin θ

2，当绳的A 端沿墙向下移时，θ增大，F 也增大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力

增大。

方法二：

图中，矢量三角形与几何三角形ABC 相似，因此

F

mg BC AB

，解得F ＝AB BC

·mg ，当绳的A 端沿墙向下移，再次平衡时，AB 长度变短，而BC 长度不变，F 变大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。

方法三：

将绳的A 端沿墙向下移，T 2大小和方向不变，T 1大小不变，但与T 2所夹锐角逐渐增大，再使之平衡时，画出两段绳子拉力与轻杆的弹力所构成的封闭三角形如图所示，显然F ′大于F ，即轻杆的弹力变大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。

答案：B

例题2 （辽宁省实验中学模拟）如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一个光滑的小孔，质量为m 的小球套在圆环上，一根细线的下端拴着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对线的拉力F 和轨道对小球的弹力N 的大小的变化情况是（ ）

A. F 大小将不变

B. F 大小将增大

C. N 大小将不变

D. N 大小将增大

思路分析：对小球受力分析，其受到竖直向下的重力G ，圆环对小球的弹力N 和线的拉力F 作用，小球处于平衡状态，G 大小方向恒定，N 和F 方向不断在变化，如图所示，可知矢量三角形AGF 1与长度三角形BOA 相似，得出：

AB

F OA N

OB G 1==，又因为在移动过程中，OA 与OB 的长度不变，而AB 长度变短，所以N 不变，F 1变小，即F 变小，故C 选项正确。

答案：C

【综合拓展】极限分析法解决动态平衡问题

运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，使某些量的变化抽象成无限大或无限小去思考解决实际问题的方法。这种方法具有好懂、易学、省时、准确的特点。

示例：A 、B 两小球由轻杆相连，力F 将小球B 缓慢向左推进，试分析F 的大小变化。

思路：利用极限法，要找到F 出现极值的时刻。可以直接从B 被推至竖直墙面时刻入手分析。此时AB 只受重力、支持力，水平方向上没有力的作用，故F 大小为0。这样就可以初步判断出F 是逐渐变小的。接着深入判断F 是否会出现先变大后变小的情况即可。

三力平衡的解题技巧

其中一个力的大小方向都不变，

其中一个力为恒力，

另外一个力的方向不变，

另两个力的大小和方向均发生变化第三个力的大小方向都在变化

动态三角形法相似三角形法

满分训练：如图所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆MN上。现用水平力F拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动。在这一过程中，水平拉力F、环与杆的摩擦力F摩和环对杆的压力F N的变化情况是（）

A. F逐渐增大，F摩保持不变，F N逐渐增大

B. F逐渐增大，F摩逐渐增大，F N保持不变

C. F逐渐减小，F摩逐渐增大，F N逐渐减小

D. F逐渐减小，F摩逐渐减小，F N保持不变

思路分析：物体在3个力的作用下处于平衡状态，根据矢量三角形法，画出力的矢量三角形，如图所示。其中，重力的大小和方向不变，力F的方向不变，绳子的拉力F T与竖直方向的夹角θ减小，由图可以看出，F随之减小，F摩也随之减小，故选项D正确。

答案：D

（答题时间：30分钟）

1. 如图所示，轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在木板上。先将木板水平放置，并使弹簧处于拉伸状态，缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块P刚要沿木板向下滑动，在这个过程中，物块P所受静摩擦力的大小变化情况是（）

A. 先保持不变

B. 一直增大

C. 先增大后减小

D. 先减小后增大

2. 如图所示，在斜面上放两个光滑球A和B，两球的质量均为m，它们的半径分别是R