16-5驻波解析

16.6 驻波
波疏
波密媒质：反射点出现波节
u1 u2
1 2

1u1 2u 2
2
即在反射点反射波的相位有 突变
——半波损失
16.6 驻波

波密
波疏媒质： 反射点出现波腹
u1
u2
12
1u1 2u 2
即在反射点入射波和反射波同相
16.6 驻波

反射波和入射波叠加形成驻波 反射点的振动是入射波和反射波在该点引 起振动的叠加
16.6 驻波
（2）驻波的表达式为
y y入 y反
t x t x A cos 2（ ) A cos 2( ) T T 2 2 2 A sin x sin t T 2 （3）波节处 sin x0 2 x k, (k 0,1,2, ,10) k x 2
t x A cos 2( ) T
y入B
t l A cos 2( ) T
16.6 驻波
y入B
y反B
t l A cos 2( ) T
t l A cos[ 2( ) ] T
反射波在B点的振动方程
反射波的表达式
t l (l x) y反 A cos[ 2( ) 2 ] T t x y反 A cos( 2 21 2 ) T t x A cos 2( ) T
选择题. 某时刻驻波波形曲线如图所示，则a，b两 点处振动的相位差是
√
A. π
B. π/ 2
C. 0
D. 无法确定
y
o
a
b
x
16.6 驻波
三、驻波的能量
体积元dV 的振动动能和弹性势能
1 1 y 2 2 dEk (dm) v ( dV )( ) 2 t 2 1 y 2 1 2 y 2 dEp EdV ( ) dVu ( ) 2 x 2 x 2π y 2 A cos x cos t
O 入射波 P x
B l 反射波
X
解
(1) 入射波在B点的振动方程为
y入B
t l A cos 2π( ) T
16.6 驻波
O
入射波 P x
B 反射波 l
X
反射波在B点的振动方程
y反B
t l A cos 2π( ) π T
任取一点P，其坐标为x，P点的振动比B点 的振动相位落后
一、驻波的振幅
cos
2π

x 1
2π
xk

2

2π
x kπ
波腹
,
k 0,1,2,3,...
cos
2π

x0
x (2k 1) , 4

π x (2k 1) 2
k 0,1,2,3,... 波节
16.6 驻波

在波腹位置，质点的振幅最大 在波节位置，质点始终静止（振幅为零）
16.6 驻波
16.6.4 弦线上的驻波与简正模式
在两端拉紧、绳长为L 的弦上的波经两端 反射后在弦上形成驻波，两端点均为波节。
n 驻波波长必须满足条件 l n , n 1,2,3,... 2 u 2l ——不连续 n n n
n
2l
这些频率称为弦振动的本征频率，对应的 振动方式称为简正模式。 最低的频率称为基频，其它整倍数频率为谐频。

dEk 2dVA cos (
2 2 2
2π
1 y 2 2 π 2 2 2 dEp EdV ( ) 2dVA sin x cos2 t 2 x

x) sin t
2
16.6 驻波
dEk 2dVA cos (
2 2 2
2π
(1) cos t = ±1 各质点的位移达到最大,dEk为零， 势能 dEp 不为零。波节处势能最大；在波腹处势 能最小。势能集中在波节附近。
3 5 7 9 x 0, , , ,2 , ,3 , ,4 , ,5 2 2 2 2 2
波腹的坐标

π sin x 1 x (2k 1) x (2k 1) 2 4 3 5 7 9 11 13 15 17 19 x , , , , , , , , , 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
2π y2 A cos( t x)
2π x) A cos( t 2π x)
x)
A cos( t
2 A cos


2π

x cos t
16.6 驻波
演示程序：驻波
y 2 A cos
2π

x cos t
O
16.6 驻波
16.5.2 驻波的特征 2π y 2 A cos x cos t
2π
2π
16.6 驻波
例题* 两人各执长为l 的绳的一端，以相同的角 频率和振幅在绳上激起振动，右端的人的振动比 左端的人的振动相位超前，试以绳的中心为坐标 原点描写合成驻波。由于绳很长，可不考虑反射。 绳上的波速设为u 。 解 设左端的振动为y1 =Acos t，则右端的振动 为 y2=Acos ( t + ）。 设右行波的波动表达式(以绳的中心为坐标原点)
演示程序：驻波
16.6 驻波
概念检测 图中画出一向右传播的简谐波 在t 时刻的波形图，BC为波密介质 的反射面，波由P 点反射，则反射 波在t 时刻的波形图为
B
16.6 驻波
当波从波疏介质垂直入射到波密介质界面上反
射时，有半波损失，观察反射波波形
16.6 驻波
t x 例题 有一平面简谐波 y入 A cos 2π( ) T 向右传播，在距坐标原点O 为l=5 的B 点被垂直界 面反射，设反射有半波损失，反射波的振幅近似等 于入射波振幅。试求：(1) 反射波的表达式；(2) 驻波 的表达式；(3) 在原点O 到反射点B 之间各个波节和 波腹的坐标。
A
B
弦线一端A系在一固定的音叉上，另一端B跨过定滑 轮吊一重物，使弦线中有一定张力，B是支点，使弦 线在B处不能振动。
16.6 驻波
当音叉振动时，产生一列沿弦线向右传播的波，当 此波传到B点时反射形成向左传播的反射波
16.6 驻波
驻波方程
y1 A cos( t
2π
y y1 y2
x l x l A cos[ (t )] A cos[ (t ) ] u 2u u 2u x l 2 A cos( ) cos( t ) u 2 2u 2
当 = 0 时， x = 0处为波腹； 当 = 时， x = 0处为波节
2π
反射波的表达式
(l x)

t l (l x) y反 A cos 2π( ) π 2π T
16.6 驻波
反射波的表达式
t x 2l y反 A cos 2π( ) π T
l=5
t x y反 A cos[ 2π( ) 21π] T t x y反 A cos 2π( ) T
(2) 驻波Fra Baidu bibliotek表达式为
t x t x y y入 y反 A cos 2π( ) A cos 2π( ) T T 2π 2π 2 A sin x sin t T
16.6 驻波
(3) 驻波波节 2π sin x0
2π


x kπ
点O 到点B 之间的波节
k x 2
2u
在右端即x=l/2处，
l y 2 A cos[ (t ) 2 ] A cos( t ) 2u l 2 2u
y2=Acos ( t + ）
16.6 驻波
y y1 y2
x l y 1 A cos[ (t )] u 2u x l y2 A cos[ (t ) ] u 2u
xk

2
,
k 0,1,2,3,...
x (2k 1) , 4

k 0,1,2,3,...
相邻波腹（节）间距
2 相邻波腹和波节间距 4
演示程序：驻波的波腹和波节
16.6 驻波
二、驻波的相位
y 2 A cos
2π
在波节x = /4两侧

x cos t
演示程序：弦线上的驻波
16.6 驻波
两端固定的弦振 动的简正模式
一端固定一端自由 的弦振动的简正模式
ln
n
2
n 1,2,
l
1 n l (n ) n 1,2, 2 2
1
2
l
1
4
2 2 l 2
33 l 2
32 l 4 53 l 4
16.6 驻波
笛中的驻波
A O -A A O -A A O -A A O -A
A O -A
B
P
C
P
P
（A）
(B) P ( D)
P (C)
16.6 驻波
例7.6 有一平面简谐波
y入
向右传播，在距坐标原点O为l=5λ的B点被垂直界面反射， 设反射处有半波损失，反射波的振幅近似等于入射波振 幅。求： 入射波 P B （1）反射波波动方程 X x O l （2）驻波方程 反射波 （3）在原点O到反射点B之间各个波节和波腹的坐标。 解（1）入射波在B点的振动方程
波腹处势能始终为0 (2) cos t = 0 各质点都回到平衡位置，此时所有 质点的势能dEp都为零；而动能dEk达到最大，而 且动能集中在波腹附近。
2 2 2 2π 2 dEp 2dVA sin x cos t
x) sin 2 t
波节处动能始终为0
16.6 驻波
当波节点间质点振幅最大时： y A B
势能曲线 X
驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化， 在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能 主要集中在波腹，势能主要集中在波节。.

驻波中能量没有向前传播 驻波是媒质的一种特殊运动状态，它是稳定态
演示程序：驻波的能量
16.6 驻波
16.5.3 半波损失
Z = u 媒质的特性阻抗 波密媒质： Z 值较大 波疏媒质： Z 值较小
16.6 驻波
16.5 驻波
16.5.1 驻波的形成 16.5.2 驻波的特征 16.5.3 半波损失 16.5.4 弦线上的驻波与简正模式
16.6 驻波
当海浪从悬崖或码头反射的时候，能看到它与 入射波叠加后形成一个固定的浪头，这就是驻波
16.6 驻波
16.5.1 驻波的形成
驻波的形成 沿x 轴正、反两方向传播的两列简谐波，如果它 们的振动频率和振幅都相同，初相差恒定，就会叠加 形成驻波
L (2n 1)
n
4
n=1 n=2
2L n 2n 1 u u n (2n 1) n 4L
基频： 第一谐频
n=3
n=4
n 1, 2,3.
Second harmonics
u 1 4L
3u 2 4L
5u 3 4L
16.6 驻波
一、驻波的形成 沿x 轴正、反两方向传播的两列简谐波，如 果它们的振动频率和振幅都相同，初相差恒定， 就会叠加形成驻波 。 二、驻波的特征
左侧：/4 x /4 2 A cos
2π
2π

x0
x0
右侧：/4 x 3/4
2 A cos

在波节两侧，质点的振动相位相反，振动 的速度方向相反； ——在波节处产生的相位跃变 在相临两波节之间，质点的振动相位相同， 振动的速度方向相同。
演示程序 ：驻波的相位
16.6 驻波


小 结
波腹处质点的振幅最大；波节处质点始终静止。
在波节两侧质点的振动相位相反，振动的速度方 向相反；在相临两波节之间质点的振动相位相同， 振动的速度方向相同。 驻波中能量没有向前传播。

2l 三、弦线上的驻波与简正模式 n n
16.6 驻波
例：图中画出一向右传播的简谐波 在t时刻的波形图，BC为波密介质 的反射面，波由P点反射，则反射 波在t时刻的波形图为:
x y1 A cos[ (t ) 1 ] u
设左行波的波动表达式(以绳的中心为坐标原点)
x y2 A cos[ (t ) 2 ] u
16.6 驻波
l 绳的中心为坐标原点，在左端 x 2 y1 =Acos t
l y1 A cos[ (t ) 1 ] A cos t 2u l 1