二、不可约多项式

f s i {1, 2,
, s}, p | f i .
设 p 0, f , g P[ x], p | fg 可推出 p | f 或p | g p 是不可约多项式. 证明： 假定 p 可约 → 存在 f, g , 使得 p fg , f , g < p p | fg ,
1
p2 ( x )
由归纳假设有
ps ( x ) c1 q2 ( x )
qt ( x )
s t.
s 1 t 1,
2. 标准分解式： 对 f ( x ) P[ x ], f ( x ) 1,
f ( x ) 总可表成
f ( x ) cp1r1 ( x ) p2 r2 ( x )
故 cp ( x) 不可约.
3 (定理 5)
p ( x) 不可约， f , g P[ x], p | fg p | f 或 p | g .
性质1 定理4 ( p, f ) 1 p| f . 证明： 若 p | f ， 结论已成立； 若 p | f
a) 推广： p 不可约， p | f1 f 2 b) 逆定理（P 48 补充题 6）:
据题设 p | f 或 p | g ，这与f , g p 矛盾， 且f , g p p | fg
故 p 是不可约多项式 .
四、因式分解及唯一性定理
p( x ) P ( x ), 若 ( f ( x )) 1 ，则 f ( x )可 1. 定理：
唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，若有两个分解式
u2
us
( x ),
f ( x ) g( x ) ri li , i 1,2,
,s
② 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性， 但并未给出一个具体的分解多项式的方法． 实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项 式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项 式的可约性的判定都是非常复杂的．
问题讨论：问题 — f, g∈P[x], 随着P 的扩大，f , g 的因 式有可能增加，那么公因式会不会增加？或说f, g的最 大公因式是否与系数域有关？ 结论：f, g的公因式不会随着系数域P的扩大而改变，即f, g的最大公因式与系数域无关. 分析： f, g的公因式都是其最大公因式的因式 → 问题转 化为：随P扩大，f, g的最大公因式会不会改变？若最大
2
p(x)不可约 c( 0) P, cp ( x) 不可约.
证明： 假定 cp ( x) g ( x)h( x), g , h (cp )
p ( x) [c -1 g ( x )]h( x ), [c 1 g ( x )], h p ，这与 p(x)不可约矛盾，
④ 多项式 p( x ) ( p( x )) 1 不可约,则p(x)的因式 只有非零常数c和 cp(x). (p(x)的平凡因式)
三、不可约多项式的性质
1 p(x)不可约 f P[ x]，p | f 或 ( p, f ) 1 .
d ( 0) P ( p, f ) 1 p不可约 或 证明： 设 ( p, f ) d d | p d cp (c P ) p | f
一、问题的引入
二、不可约多项式
三、不可约多项式的性质
四、因式分解及唯一性定理
一、问题的引入
因式分解与多项式系数所在数域有关
如： x 4 4 x 2 2


x2 2
2
源自文库

2
（在有理数域上）
x 2 x 2

x 2 x

（在实数域上）

x 2 x 2i x
f ( x ) p1 ( x ) p2 ( x )
则 st
ps ( x ) q1 ( x )q2 ( x )
qt ( x )
，且适当排列因式的次序后，有
pi ( x ) ci qi ( x )
其中 ci ( i 1,2,
, s)
是一些非零常数．
证：对 f ( x ) 的次数作数学归纳.
pi ( x ), q j ( x ) i 1,2,
ps ( x ) qt ( x )
, s ; j 1,2,
⑴
, t . 都是不可约
多项式. 对 s 作归纳法． 若 s 1, 则必有 s t 1, f ( x ) p1 ( x ) q1 ( x )
假设不可约多项式个数为 s 1 时唯一性已证. 由 (１ )
ps rs ( x )
其中 c 为 f ( x )的首项系数， pi ( x )为互不相同的，
r Z . 称之为 f ( x ) 首项系数为1的不可约多项式， i
的标准分解式.
说明
① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
f ( x ), g( x ) .
公因式与系数域无关，则公因式也就不会随系数域的扩 大而改变 . 最大公因式是由辗转相除法求得的，故这里问 题的关键是带余除法中的商式q(x)，余式r(x)尽管唯一 确定，是否与系数域无关？→ 事实上，设 f,g∈P[x], P∈P/ → 据带余除法定理，存在唯一的q, r ∈P[x], 使 得 f = qg + r, r = 0或 ∂r＜∂g成立.
1
( f ( x )) 1 时，结论成立． （一次多项式都不可约）
2 设对次数低于n的多项式结论成立．
下证 f ( x ) n 的情形.
若 f ( x )是不可约多项式.
结论显然成立．
若 f ( x )不是不可约多项式，则存在 f1 ( x ), f 2 ( x ), 且 ( f i ( x )) n, i 1,2 使
2i （在复数域上）

二、不可约多项式
定义： 设 p( x ) P[ x ] ，且 p x 1 ，若 p( x )
不能表示成数域 P上两个次数比 p( x ) 低的多项式的 乘积，则称 p( x ) 为数域P上的不可约多项式.
注： ①一个多项式是否不可约依赖于系数域.
②一次多项式总是不可约多项式. ③零多项式与零次多项式无可约，不可约的概念
f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )
由归纳假设 f1 ( x ), f 2 ( x ) 皆可分解成不可约多项式的积.
f ( x )可分解为一些不可约多项式的积.
再证唯一性 . 设 f ( x ) 有两个分解式
f ( x ) p1 ( x ) p2 ( x ) q1 ( x )q2 ( x )
2
则有
f ( x ), g( x ) p1
u1
1
( x ) p2 ( x )
ps ( x ),
s
i min ri , li , i 1,2, , s
f ( x ), g( x ) p1 ( x ) p2 ( x ) ps ui max ri , li , i 1,2, , s
假定另有 q / , r / ∈P / [ x ], 使得 f = q / g + r / , r / = 0 或 ∂ r / ＜ ∂ g 成立 , 因 q , r ∈P /, 故由唯一性得 q = q / , r = r / .
若 f, g∈P/[x], P∈P/ → 据带余除法定理 ,存在唯一 的q, r∈P/[x], 使得 f = qg + r, r = 0或 ∂r＜∂g成立. 假定另有 q / , r / ∈P[ x ], 使得 f = q / g + r / , r / = 0 或 ∂r/＜∂g成立,由于 q/, r/∈P/[x], 故由唯一性得 q = q/, r = r/ .以上讨论说明，带余除法中的商式，余式与系数 域的改变无 关 → 最大公因式的计算完 全 由 带余 除 法中 所得余式确定 , 故最大公因式与系数域无关 → 公因式 存在于最大公因式之中 , 故 f , g 的公因式与系数域的改 变无关（尽管 f , g 的因式随系数域的扩大有可能增加） .
f ( x ), g ( x ) 的标准
f ( x ), g( x ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个．
例如，若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
f ( x ) ap1r1 ( x ) p2 r2 ( x ) g( x ) bp1l1 ( x ) p2 l2 ( x ) ps rs ( x ), ri 0 ps ls ( x ), l i 0
p1 ( x ) q1 ( x )q2 ( x ) qt ( x )
q j ( x ), 使得
p1 ( x ) q j ( x ).
不妨设 q j ( x ) q1 ( x ), 则
p1 ( x ) q1 ( x )
q1 ( x ) c1 p1 ( x ), c1 0
(1)两边消去 q1 ( x ), 即得