第二节 传输线方程及其解

第二节 传输线方程及其解
传输线方程是传输线理论的基本方程，是描述传输线 上电压、电流变化规律及其相互关系的微分方程。 一、时变传输线方程 如图2-6， 对dz 等效 电路, 应用 基尔霍夫 定律得: i(z,t)
i(z+dz,t) u(z+dz,t)
u(z,t)
(1)
整理得时变传输线方程 ( 分布参数电路微分方 程 )：
Z in (l ) Z 0
Z L j Z 0 tg l Z 0 j Z L tg l
(2 11b)
Z in (n
l
2
) ZL
Z in (
2n 1 4
l)
Z
2 0
ZL
4. 输入导纳
Yin ( z ) 1 Z0 1 ZL 1 Z in ( z ) Y0 YL jY0 tg z Y0 jYL tg z (2 11c)
1 2
式中，A1 、 A2为积分常数(复数)，其值取决于长线的 端接条件(边界条件)。上式带入式(22)得
I ( z) 1 dU ( z ) Z dz

Z
( A1e
z
A2 e )
z
( z ) A e z A e z U 1 2 即： ( z ) 1 ( A e z A e z ) 1 2 I Z0
e ch z
z
e 2
z
， sh z
e
z
e 2
z

式(2-4b)又称终端方程。
第三节 均匀无耗长线的基本特性
均匀无耗长线的分布参数 R0=0，G0=0，L0、C0均匀 分布, 与位置 z 无关。当 满足条件R0 << w L0 及 G0 << w C0 ，可近似作为无耗长线分析。 一、传播特性 1. 传播常数 j 为一复数, 表示行波每经过单位长度振幅 和相位的变化。 (无耗) ( R0 jw L0 )(G0 jw C0 ) jw L0 C0 j 衰减常数=0，相位常数 w
、i I， jw ， 将时变传输线方程式(2)中的 u U t
2. 时谐均匀长线的波动方程 式(2-2)对 z 求导：
d U ( z) dI ( z ) Z 0 2 dz dz 2 d I ( z) dU ( z ) Y 0 2 dz dz
( ch j z cos z,
2. 相速和相波长 1) 相速vp 相速vp 即波的等 相位面的运动速度。 w t± z =常数
vp dz dt
sh j z sin z )
w
( 2 7)
均匀无耗长线中波的相速 1 w vp L0C0 对均匀双导线，L0、C0代入得
此时，坐 标原点 z 0 选 在终端，以-z 代 z 进行坐标 以 变换，式(2-3c) 代入(2-4a)解得 变为
U ( z ) A1e z A2 e z U i ( z ) U r ( z ) 1 z z I ( z) ( A1e A2 e ) I i ( z ) I r ( z ) Z0
得
Z L j Z 0 tg z U ( z) Z in ( z ) Z0 I ( z) Z 0 j Z L tg z
(2 11a )
3. Zin(z)的性质 (1) Zin(z)随位置z而变，且与负载 ZL有关； (2)无耗传输线的输入阻抗呈周期性变化，具有l/4变 换性和l/2重复性。
j2 z
2. 用反射系数 G(z) 表示沿线电压、电流分布
U ( z ) U i ( z )[1 G( z )] I ( z ) I i ( z ) [1 G( z )] (2 12c)
3. G(z)与终端反射系数 G2 的关系 把 z =0 代入式 (2-12a) 得终端反射系数 G2
U (0) U L ， I (0) I L
( 2 4a )
Z I )， A 1 (U I ) Z A1 (U 2 0 2 2 2 0 2 2 2
1
代入(2-4a)整理得
U ( z ) U 2 ch z I 2 Z 0 sh z sh z I ch z I ( z) U 2 2 Z0 (2 4b)
(2 3e)
得时谐均匀长线的波动方程(电报方程)： d 2U ( z ) 2 U ( z) 0 2 dz (2 3a ) 2 d I ( z) 2 I ( z) 0 2 dz 这是一个二阶齐次常微分方程。、、 分别为 传输线的传播常数、衰减常数和相位常数。 3. 时谐均匀传输线波动方程的解 1) 电压、电流的通解 (1) 通解的表达式 均匀传输线的 与 z 无关，式(2-3a)的电压通解为 ( z ) A e z A e z U
r
ln
D d

(2 6c)
特性导纳Y0 : Y0
三、输入阻抗
1 Z0
1. 输入阻抗的定义
U ( z) Z in ( z ) I ( z)
2. Zin(z)的计算公式
U 2 I 2 Z L 代入(2-4e)(讲义 P13)得：
U ( z ) I 2 ( Z L cos z j Z 0 sin z ) I2 ( Z 0 cos z j Z L sin z ) I ( z ) Z0
2
dI ( z ) dz
YU ( z )
dU ( z ) dz
ZI ( z )
d 2U ( z ) ZYU ( z ) 0 dz 2 2 d I ( z) YZ I ( z ) 0 dz 2
令 ZY ( R0 jw L0 )(G0 jw C0 ) j
( z ) U ( z ) e j u ( z ) U 0 ( z ) I ( z ) e j i ( z ) I 0
(3)
得时谐场的传输线方程： dU ( z ) R0 jw L0 ) I ( z ) ZI ( z ) （ dz (2 2) dI ( z ) G0 jw C0 )U ( z ) YU ( z ) （ dz 式中 Z R0 jw L0 — 单位长度传输线的串联阻抗， Y G0 jw C0 — 单位长度传输线的并联导钠。 时谐场的传输线方程 (2-2) 暂时撇开时间因子 e jw t， 而只研究沿线电压 、 电流的复数幅度与传输线位置之间 的关系，是一维空间的问题。

（无耗线）
L0 C0
v p

1
1 v p C0
(2 10)
L0C0
Z0表征了传输线固有的特性。 平行双线的L0、C0代入上式可得： 平行双线的特性阻抗计算公式：
Z0
1

1

ln
D r

120
r
ln
D r

(2 6b)
同轴线的特性阻抗计算公式：
Z0 2 ln D d 60
u ( z , t ) U 0 ( z ) cos[w t u ( z )] Re [U ( z ) e jw t ] ( z ) e jw t ] i ( z , t ) I 0 ( z ) cos[w t i ( z )] Re [ I 式中：
代入得
l p
2


2
w L0C0
f
c
r

l r
( 2 9d )
缩波现象
当介质为空气时， r
1 v p c, l p l 。 ，
二、特性阻抗
U i ( z) U r ( z) Z0 ( z) I I ( z)
i r
R0 jw L0 G0 jw C0
i ( z , t ) u ( z , t ) R0 i ( z , t ) L0 z t i ( z , t ) G u ( z , t ) C u ( z , t ) 0 0 z t ( 2)
二、时谐传输线方程及其解 1. 时谐传输线方程 对于角频率为w 的余弦信号
Y0
特性导纳
YL
负载导纳
用于并联电路。
四、反射系数 从传输功率的观点来看，入射波和反射波的相对幅值 是很重要的指标。反射波的幅度越小, 传输到负载的功率 就越大。可用反射系数G(z)来衡量线上波的反射情况。 1. 定义 U r ( z) 电压反射系数： GU ( z ) U i ( z) 电流反射系数： 代入式(2-4a)得：
GU ( z ) A2 A1 e
j2 z
I r ( z) GI ( z ) I ( z)
i
Fra Baidu bibliotek
， GI ( z )
A2 A1
e
j2 z
(2 12)
电压反射系数与电流反射系数等模而相位相差 ， 通常采用便于测量的电压反射系数作为反射系数G(z)。
G( z ) GU ( z ) GI ( z ) A2 A1 e
G2
A2 A1

j
A2 e A1 e
2
j
2
j 1

A2 A1
e
j ( 2 1)
G2 e
(2 12d )
式中
A e j 1 — 终端电压入射波，相位角为 ， A1 U i 2 1 1 A e j 21— 终端电压反射波，相位角为 。 A2 U r 2 2 2
(2 3c)
式中
Z0
Z


Z Y

R0 jw L0 G0 jw C0
(2 3d )
Z0 称为长线的特性阻抗。
(2) 入射波与反射波 分析电报方程通解的表达式(2-3c)
U ( z ) A1e z e j z A2 e z e j z U i ( z ) Ur ( z ) 1 z j z z j z I ( z) ( A1e e A2 e e ) I ( z ) Ir ( z ) i Z0
L0 C0 ( 2 9a )
j 代入式(2-4b)得均匀无耗传输线的终端方程为
U ( z ) U 2 cos z I 2 j Z 0 sin z j sin z I cos z I ( z) U 2 2 Z0
(2 4e)
电压、视在电流。且有：
U i ( z) U r ( z) Z0 I ( z) I ( z)
i r
R0 jw L0 G0 jw C0
(2) 电压、电流的终端条件解 时谐传输线方程的通解式(2-3c) 中的常数A1、A2必 须用边界条件、即端接条件确定。其中终端条件解是最 常用的。 已知终端电压 U L 、电流 I L ， 求沿线电压、电流的 表达式。
vp 1
(2 9b)


c
c
r
0 0 1
(2 9c)
1, r
慢波现象
2) 相波长 lp 相波长 lp ：行波在一个周期内等相位面沿传输方向 移动的距离。
l p vp T
vp f

2

(2 8)
均匀无耗双导线， w L0C0 w w 0
式中含e-j z 的项表示沿z方向(由信号源向负载方向)传播的 行波，为入射波；含ej z 的项表示沿-z方向(由负载向信号 源方向)传播的行波，为反射波。
沿线任何一处的电压 U (z )(或电流 I (z ))等于该处电压 (或电流)的入、反射波的叠加，U ( z )、I ( z ) 分别称为视在