向量线性运算及其几何意义剖析
解析几何向量的线性运算课件
2
, 即为和向量
1
1.2 向量的线性运算
2. 向量的减法
规定:
= +()
三角不等式:
D B
+()
A
C
| + | | | + | |, | | | | + | |
常用等式:
AB = OB OA, AB = AO BO
1.2 向量的线性运算
例 1 设A, B, C, D是空间中任意四点, 则 AB + CD = AD + CB
前苏联著名几何学家波格列诺夫说过: “ 解析几何没 有严格确定的内容, 对它来说, 决定性的因素, 不是研究 对象, 而是方法”.
因此, 我们学习解析几何主要是掌握它的基本 方法, 而不仅仅在于记住它的某些结论!
课程简介
第一章 向量代数
---- 介绍向量及其基本运算, 由此建立仿射坐标系
第二章 空间解析几何 ---- 用坐标法和向量法讨论空间中某些几何图形及其相关几何问题 包括空间中的平面, 直线, 柱面, 锥面, 旋转面以及二次曲面等
1.2 向量的线性运算
(2) ( + ) = +
不妨假定, , 都不为0. 如果与 平行,
则可设 = , 此时
( + ) = ( + ) = (1+) = ( + )
= + = ++( + )
如果与 不平行, 则可
用作图法证明. 如右图:
1.2 向量的线性运算
例 2 设AC, BD是平行四边形ABCD的两条对角
向量的数乘运算律 :
结合律 ( ) = ( ) = ( ) 分配律 ( + ) = +
向量加法、减法运算及其几何意义
(2)作 OA = a , AB = b
(3)作OB = a + b
B
位移的合成可以看 这种作法叫做向量 作向量加法三角形 加法的三角形法则 法则的物理模型
还有没有其他的做法？
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
若a ， b不共线，则 | a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
a b。
b
a
A
b a
O
B
ab
三角形法则
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作 OACB
a b。
b
a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
ab
C
平行四边形法则
起点相同连对角
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
向量的减法运算及其几何意义说课稿
《向量的减法运算及几何意义》说课稿一、教材分析《向量的减法运算及几何意义》是高中必修四第二章第二节内容，是平面向量线性运算的一种。
在学完向量的加法运算及几何意义后，本节课是对上节课内容的一个转换。
通过类比数的减法，得到向量的减法及几何意义，培养了学生的化归思想和数形结合思想。
这样，不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义的理解，也为后面学习向量的数乘运算及几何意义提供了指导性的思想。
二、学情分析学生已经学习了平面向量的加法运算及几何意义，会运用三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量，具备了一定的作图能力。
这为学习向量的减法运算打下了很好的基础。
类比数的减法运算时，应让学生注意对“被减数”的理解。
三、教学目标知识目标：1.掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用2.掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义3.会求两个向量的差能力目标：培养学生的类比思想、数形结合思想及化归思想情感目标：通过引导学生自主探索，培养学生的自学能力，激发学生学习热情，提高学生的学习积极性及主动性四、教学重点和难点教学重点：向量减法的运算和几何意义教学难点：减法运算时差向量方向的确定五、教学方法及教学手段教学方法：类比法、探究法、讲练结合教学手段：采用多媒体与学案相结合，提高课堂的利用率。
六、教学过程（一）回顾旧知通过提问，复习上节课所学内容（三角形法则：首尾相接连端点。
四边形法则：起点相同连对角及向量加法法则）1．已知a，b。
求作a+b(用三角形法则与平行四边形法则求两个向量的和向量分别如何操作？)引出疑问——加与减是对立统一的两个方面，既然向量可以相加，那么，两个向量可以相减呢设计意图：通过对上节课所学知识的复习，为本节课的学习打下基础。
并自然引出本节课所研究的内容。
（二）引入新课问题: 一架飞机由北京飞往香港,然后再由香港返回北京,我们把北京记作A 点,香港记作B 点,那么这辆飞机的位移是多少?怎样用向量来表示呢?引出相反向量的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a规定：零向量的相反向量仍是零向量.1、若 向量a , b 是互为相反向量,那么,a 与b 满足什么关系2、 – （ – a ) = ________设计意图：与实际生活相联系，让学生体会数学在实际生活中的重要地位。
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若 为常数：
若 、 为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi
向量的线性运算的几何意义
向量的线性运算的几何意义
运算如下：
所谓的向量的线性运算是：向量之间的加减法和数乘运算，统称为向量的线性运算。
这里必须注意的是，在向量的线性运算过程之中，规定先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行运算，若有括号，先算括号内各项。
向量线性运算的规律：
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。
18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a,b为有理数，且不同时等于0），并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。
主要满足以下规律：
交换律：α+β=β+α。
结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)。
数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα。
向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ。
向量加减运算及几何意义
06
总结与展望
回顾本次课程重点内容
向量的基本概念和性质
包括向量的定义、表示方法、大小（模）和方向等基本概念，以及 向量的加法、减法、数乘等运算性质。
向量的加减运算
详细讲解了向量加减运算的法则和几何意义，包括向量加法的平行 四边形法则、三角形法则，向量减法的三角形法则等。
向量加减运算的几何应用
通过举例说明了向量加减运算在解决几何问题中的应用，如求两点 的距离、判断点线关系、计算面积等。
平面向量坐标表示方法
向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴 方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底。任 作一个向量 a，由平面向量基本定理知，有 且只有一对实数 x、y，使得 a = xi + yj。 因此，向量 a 可以表示为 (x, y)，其中 x 称 为向量 a 在 x 轴上的投影（或坐标），y 称 为向量 a 在 y 轴上的投影（或坐标）。
(kl)a=k(la)
分配律
(k+l)a=ka+la，k(a+b)=ka+kb
向量数乘定义与性质
单位元
01
1a=a
零元
02
0a=0
负元
03
(-1)a=-a
数乘对向量长度和方向影响
长度影响
数乘会改变向量的长度。当k>1时，向量长度增大；当0<k<1时，向量长度减小；当 k<0时，向量长度不变但方向相反。
方向影响
当k>0时，数乘后的向量与原向量方向相同；当k<0时，数乘后的向量与原向量方向相 反。
数乘在几何中应用举例
缩放图形
平移向量
在几何图形中，数乘可以用于实现图 形的缩放。例如，将一个多边形每个 顶点坐标都乘以一个相同的实数k， 可以得到一个与原多边形相似、大小 为k倍的新多边形。
[精品]向量的加法、减法几何意义.docx
![[精品]向量的加法、减法几何意义.docx](https://img.taocdn.com/s3/m/a4b82dcb51e2524de518964bcf84b9d528ea2ce9.png)
相同的方向伸长相同的长度。
你能发现力F与R、旦的关系吗？结论：力F对象皮条产生的效果与力§与E共同产生的效果相同，并且力F在以§与互为邻边的平行四边形的对角线上。
大小等于对角线的长。
B从运算的角度看，位移京可以看成是位移届和而的和，力F可以看成力耳与E的和。
即位移、力的合成可看作向量的加法。
1.三角形法则：已知非零向量a、b .在平面内任取一点A ,作AB =a, BC = b ,则向量AC叫做a与b 的和，记作a+b,艮a+b=AB + BC = AC位移合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型2平行四边形法则以同一点0为起点的两个已知向量a、b ,为邻边作平行四边形OACB,则以。
为起点的对角线oc就是。
与片的和。
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型，对于零向量与任一向量我们规定：a + 0 = 0 + a = a从以上讨论可知，不共线向量的加法有两种方法可供选择：(1)三角形法则(2)三角形法平行四边形法则问题：两个共线向量如何相加？1、方向相同：意义类似于有理数加法中的“同号两数相加"，即和向量的长度等于两个向量的长之和，方向与它们相同。
2、方向相反：类似于“异号两数相加”作法运用三角形法则，作法依然可用三角形法制。
a b AC B---------------------- v --------------------- . —AC= a + b和向量的长度等于用较长的模减去较短的模，方向取模较长的向量的方向。
当a, b不共线时，|a+b|<|a| +1b| (即三角形两边之和大于第三边)；当a, b共线且方向相同时,| a+b | = | a| +1 b | ;当a, b共线且方向相反时,|a+b| = |a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b| = |a|-|b| ;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b| = |b|-|a|.练习：P84, 1： (1)、(2), 2： (1)、(2)向量的加法运算及其几何意义课标要求：向量时近代数学中重要和及其的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.考题研究：（2009湖南卷文）如图1, D, E, F分别是AABC的边AB, BC, CA的中点，贝UA. A B+BE+CF=0B. BD-CF + DF = 0AC. AD + CE-CF = GD. BD-JE-FC = Q /\ F考点预测：高考中主要以选择、填空为主，也可能与三角、几何结合出解答题.教材分析:本节课是在学习平面向量基本概念之后的一节比B— C较重要的课，因为引入一个新的量后，考察它的运算及运算律是数学研究中的基本问题，类比数的运算，向量是否能够进行运算呢？向量的工具作用如何发挥呢？这是学生认知冲突的地方，这一冲突正是数学建模思想应运而生，也是激发学生进一步探究数学新知的契机。
向量的运算和几何意义
向量的运算和几何意义向量是几何学中的重要概念，它不仅可以进行运算，还具有重要的几何意义。
本文将对向量的运算和几何意义进行探讨，并分析其在实际应用中的重要性。
一、向量的定义和表示在数学中，向量可以定义为具有大小和方向的量。
向量可以用箭头来表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
一个向量通常用它的起点和终点来表示，也可以用坐标表示。
二、向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。
1. 向量的加法向量的加法即将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
设有向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，则它们的和向量c=(a1+b1, a2+b2)。
2. 向量的减法向量的减法即将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
设有向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，则它们的差向量c=(a1-b1, a2-b2)。
三、向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是向量的两种重要运算。
1. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，用符号“·”表示。
设有向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，它们的数量积为a·b = a1*b1 + a2*b2。
在几何上，向量的数量积表示两个向量之间的夹角的余弦值乘以两个向量的模。
2. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，用符号“×”表示。
设有向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，它们的向量积为c=(0, 0, a1*b2 - a2*b1)。
向量的向量积表示两个向量所在平面的法向量，其模为两个向量构成的平行四边形的面积。
四、向量的几何意义向量在几何中具有重要的意义，可以表示平移、旋转、拉伸等几何变换。
1. 平移向量的几何意义之一是表示平移。
当一个向量作用在一个点上时，该点将按照向量的方向和大小发生平移。
2. 旋转向量的几何意义之二是表示旋转。
当一个向量作用在一个平面上时，该平面将按照向量的方向和大小发生旋转。
高中数学_平面向量的线性运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
教学设计教学目标一、知识与能力：1.掌握向量减法的概念，能准确做出两个向量的差向量，理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算。
2.向量的加法与减法互为逆运算。
二、过程与方法：1.经历向量减法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；2.体会数形结合的数学思想方法.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题.教学重点：向量减法定义的理解。
教学难点：向量减法的意义.教学过程：一、复习回顾：1、向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律2、练习AB + BC =BC + CD =AB + BC + CD =AB + BC + CD + DE =二、师生互动，新课讲解：1、用“相反向量"定义向量的减法(1)“相反向量"的定义：与。
长度相同、方向相反的向量.记作-a(2)规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0如果a、力互为相反向量，则a = -b, b = -a, a + b = 0(3)向量减法的定义：向量a加上的力相反向量，叫做。
与力的差.即：a - b = a + (-万) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2、用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：3、求作差向量：已知向量a、b,求作向量a-b,: (a-b) + b = a + (~b) + b = a + O = a作法：在平面内取一点O,作OA = a, AB = b 则BA = a-b即a -方可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1。
人3表示a-方.强调：差向量“箭头”指向被减数2。
用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a + {-b)B4＞探究：(1)如果从向量。
的终点指向向量方的终点作向量，那么所得向量是上(2)若a//b,如何作出a-b ?a、a a-bO B A B5 0 B Aa a-b a-b.b O A站 B B 0例题精讲:例1(课本P86例3)已知向量a、b、c、d,求作向量a-队c-d.解：在平面上取一点O,作OA = a, OB - b, OC = c, OD = d,练习作图例2.化简：(1) AB-AD-DC；(2) (AB-Cb)-(AC-BD).1.化简：(1)扁亳-元+曲标(2)(AC+m5A)-(DC-5b-OB).三、课堂小结，巩固反思1、向量减法定义2、向量减法的三角形与平行四边形法则3、向量减法的几何意义。
向量的线性运算与空间几何关系
定义：向量积是一个向量运算，可以用来表示两个向量的垂直关系
性质：向量积满足交换律和结合律，但不符合数乘分配律
几何意义：向量积可以表示一个向量在另一个向量上的投影长度和方向
应用：向量积在解决空间几何问题中有着广泛的应用，例如求点到平面的距离、 判断两直线是否平行或垂直等
向量的混合积与空 间几何关系
添加项标题
向量的混合积定义：三个向量的混合积是一个标量，记作 ( a × b ) ·c ， 其 值 为 ( a ·c ) × b - ( b ·c ) × a
添加项标题
几何意义：混合积的几何意义是表示以a、b、c为棱的平行六面 体的体积
添加项标题
性质：混合积的值为0当且仅当向量a、b、c共面
向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积是一个向量c，其模长为|c|=|a||b|sinθ，其中θ为 a和b之间的夹角。
向量的向量积方向：向量积的方向与a和b的夹角垂直，即与a和b构成的平面垂直。
向量的向量积几何意义：向量积表示一个向量在另一个向量上的投影面积。
向量的向量积与空间几何关系：向量积可以用于描述空间几何形状，例如旋转、方向等。
性质：向量减法不满足交换律，即a-b≠b-a，除非两向量相等
添加标题
定义：两个向量a和b的向量积是 一个向量，其模长等于以a和b为 邻边的平行四边形的面积，方向 垂直于a和b所在的平面，与a和b 都垂直。
添加标题
几何意义：向量积可以表示为 两个向量的外积，其几何意义 为一个以a和b为邻边的平行四 边形的有向面积。
添加标题
性质：向量积满足反对称性， 即a×b=-b×a。
添加标题
运算规则：向量积的运算规则 包括分配律、结合律和数乘性 质等。
2.2_平面向量的线性运算2.2.1_向量加法运算及其几何意义
答案：8 2
北偏东 45°
答案：8 2 北偏东 45° 答案：8 2 北偏东 45°
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知识要点一：准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 1．两个法则的使用条件不同 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量 求和．
3．以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作▱OACB，则以 O 为起点的对角线 OC― →就是 a 与 b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 4．对任意两个向量 a、b，均有|a＋b|≤|a|＋|b|. 当 a、b 同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|；当 a、b 反向时有|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)． 5．向量的加法满足交换律和结合律， 即 a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． a＋0＝0＋a＝a.
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知识要点二：向量 a＋b 与非零向量 a，b 的模及方向的关系 1．当向量 a 与 b 不共线时，a＋b 的方向与 a，b 都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|，几何背 景是三角形两边之和大于第三边． 2．当 a 与 b 同向时，a＋b 与 a，b 的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|. 3．当 a 与 b 反向时，若|a|≥|b|，则 a＋b 与 a 的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|. 若|a|＜|b|，则 a＋b 与 b 的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 知识要点三：向量加法的运算律 1．向量加法的交换律：将 a 的起点移至 A 点，将 b 的起点移至 a 的终点，则由 a 的起 点 A 指向 b 的终点 C 的向量 AC― →＝a＋b；同样将 b 的起点移至 A 点，将 a 的起点移至 b 的终点，则由 b 的起点 A 指向 a 的终点 C′的向量 AC′― →＝b＋a，由平行四边形法则知 C 必然和 C′重合，即 a＋b＝b＋a. 2．向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，就可以按照 任意的次序和任意的组合去进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)． 3．向量加法运算满足：A1A2―→＋A2A3― →＋„＋An－ 1An― →＝A1An―→.
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
《向量及其线性运算》课件
详细描述
向量的模是衡量向量大小的量，用符号“| |”表示。向量的模可以通过勾股定理或向量 的点积等公式计算得出。向量的模具有一些基本性质，如非负性、传递性、三角不等式 等。了解向量的模对于解决实际问题非常重要，如物理中的力、速度和加速度等都可以
用向量表示，而向量的模则可以用来衡量这些量的大小。
02
CATALOGUE
向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法的定义与性质
详细描述
向量加法是向量空间的基本运算之一，其定义基于平行四边形法则。向量加法 满足交换律和结合律，即向量加法不依赖于其运算的顺序。
向量的数乘
总结词
数乘的定义与性质
详细描述
数乘是标量与向量的乘法运算，其结果仍为向量。数乘满足结合律和分配律，即 对于任意实数$k$和向量$vec{a}$，有$k(mvec{a}) = (km)vec{a}$。
总结词
向量积表示一个向量在另一个向 量上的投影面积。
详细描述
向量积的大小等于一个向量在另 一个向量上的投影面积，方向与 两向量的正交角有关，遵循右手 定则。
向量积的运算性质
要点一
总结词
向量积满足交换律和结合律，但不满足数乘分配律。
要点二
详细描述
根据向量的运算性质，我们有$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$，并且 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。但是，$lambda(mathbf{A} times mathbf{B}) neq mathbf{A} times lambdamathbf{B}$， 其中$lambda$是标量。
向量的线性运算：减法
向量减法运算中的注意事项
注意向量的方向
在进行向量减法运算时，需要注意被减向量和减向量的方向。如果方向不一致，需要先进 行方向调整再进行减法运算。
注意向量的维度
被减向量和减向量必须具有相同的维度才能进行减法运算。如果维度不同，需要先进行维 度调整再进行减法运算。
注意结果的合理性
在进行向量减法运算后，需要检查得到的结果是否合理。例如，如果得到的结果向量为零 向量或不合理向量（如模长为负数），则需要重新检查计算过程并找出错误原因。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ位移的分解
当已知质点的合位移和其中一个分位移时， 可以通过向量的减法运算求出另一个分位移。 同样地，两个分位移的向量差即为质点的位 移变化量。
05
向量减法的计算技巧与注意
事项
向量减法的计算步骤
确定被减向量和减向量
在进行向量减法运算时，首先需要确定被减向量和减向量，即明 确要进行减法运算的两个向量。
向量的线性运算：减 法
• 向量减法的基本概念 • 向量减法的运算规则 • 向量减法在几何中的应用 • 向量减法在物理中的应用 • 向量减法的计算技巧与注意事项
目录
01
向量减法的基本概念
向量减法的定义
向量减法定义
设有两个向量a与b，它们的差a b是一个向量，其方向与a、b的方 向有关，大小等于a、b的大小之差。
坐标运算性质
坐标运算具有直观性和便捷性，方便进行向量的加减、数乘 等运算。同时，坐标运算也遵循向量加法的交换律和结合律 。
03
向量减法在几何中的应用
求解两点的距离
向量减法与距离公式
在二维或三维空间中，两点间的距离 可以通过对应向量的减法运算和模长 计算得到。
具体应用
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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(3)AB BD CA DC __0___
向量加法
1.OA1+A1A2+A2A3+A3A4+…+An-1An=?
o 2. 1.OA1+A1A2+A2A3+A3A4+…+An-1An+An =?
(2) a b a b a，b共线且同向
rr r r (3) a b a b
rr
rr
a，b反向且 a b
r r r r rr
rr
(4) a b b a a，b反向且 a b
问题探究
探究二：向量加法的代 数运算性质
向量加法满足交换律和结合律吗？
(1)向量加法交r换律r： r r ab ba
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
F1+F2=F
F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线
E
O
F
向量加 法
问题探究
探究一：向量加法的几何 运算法则
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 定
a
b
义
C
C
B
B
A
A
uuur uuur uuur
O
AB BC AC
同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
F1+F2=F
E
O
F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产 生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
向量加法
向量加 法
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
向量1.将加向法量的平平移行到同四一边起形点法物则理: 模型“位移的合成”理解.
2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线
问题a：除了b 零向量，有没有不能用平行四 边形法则求和向量的情况？
r 对于零向量与任一向量a,我们规定
rrrr r a0 0a a
向量加 法
特例：共线向量
a b
A
B
AC a b
方向相同
a b
C
CA
B
AC a b
方向相反
请选用合适符号连接：
rr
rr
a b ____ a b(<,>, ,, )
rr
非零向量a,b处于什么位置时？
r r r r rr
探究
(1) a b a b rr r r
a，b不共线或共线反向 rr
(2)向量加法结合律：
rr r r r r (a+b)+c a (b c)
？？？？？？？？
D (a + b) + c
A
向量加 法
D
a
C
b
b a+b
B
cA
C
a D
c
C
a+b a
a + (b + c) b
B A
b+c b
B a
向量加 法
向量加 法
学以致用
例１.化简 (1)AB CD BC ___A_D____
(><) O
三角形法则
平行四边形法则
(><) O
复习回顾：
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如 何反映的？什么叫零向量和单位向量？
既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
引言：
两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内 涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没 有多大意义的.我们希望两个向量也能相加， 拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值， 这就需要建立相关的原理和法则.
？ 解：如图，设 AB表示水流的 速度，AD表示渡船的速度， AC表示渡船实际过 江的速度.(由平行四边形
D
C
5
法则可以得到)
A B 船从由南AuB岸 uur的AD码得R头tAABC点, 出发到达对
2
岸 码的 头得t码aCnA头点 CCA能 CB 2点 否252,， 回 查52计照 到算这 码 2器9 可种 头得走AC法点 AB，？ 6从8.
20km.
rr r r
rr
2.若a，b满足 a 3，b 5，求 a b 的
rr 最大值，并指出a，b满足什么条件时? rr a b 取到最大值.
向向量量加加法法
课堂小结：
向量加法的物理背景
三角形法则
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法实际应用
向量加法
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加法
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 定
a
b
义
三 角 形 法 则:
平行四边形法则:
C
C
b
B
B
b
b
A
A
a
O
a
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
答：船实际航行速度的大小为 29km/h，方向为东偏北68.
向量加 法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的 航向应该如何?在白纸上作图探究.
D
C
5
A2 B
向量加 法
练习r题
1.若a表示“向南走10km”，
r
b表示“向西走10 3km”，
r 则a
br表示向__南_偏__西__的向量加法问题:
例如:某人从A点向东走到B.然后从B点向北走到C. 思考:这个人所走过的位移是多少?
分析 :由物理知识可以知道:
C
从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.
AB + BC = AC
A
B
向量加法
向量加 法
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点.
例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常 常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南 岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,同时江水的速度为向 东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小和方向.
向量加 法
求船实际航行的速度的大小和方向
向量加 法
方法巩固:
向量加 法
向量加法的三角形法则可
向量加法的三角形法则:
推广到多个向量相加，如： uuur uuur uuur uuur uuur uuur
1.将向量平移使得它们首尾AB相连BC CD DE EF AF ，
2.和向量即是第一个向量的这首时指也向必第须二“个首向尾量相的连尾”.可结合