矩阵的相似变换

例 1 求A = 1 2 2 征向量
1 A I 2 2 2 2
2 1 2
2 2 1
的全部特征值和对应的特
1 2 2
1 2 2
0 (5 )(1 ) 2 1 2 (5 ) 1 1 2 (5 ) 0 1 0 0 1 2 1 1 2 1

的几何重数 与代数重数m 满 特征值

对应的特征向量为 x1 , x2 ,, xn )为一多项式，则 f (A )的特征值为f(i ), 又设f( i = 1,2,3…..n 且 i 所对应的特征向量 xi 也同 时为f(i )所对应的特征向量。

典型例题分析
1）特征值于特征向量的计算
注2 方程组(A I)x 0 的解空间N(A I) 称为A的属于 的特征子空间，而把 dim N(A I) n r (A I) 称 为 的几何重数，记作

注3
足 1 m 1.3 设A为n阶方阵，A的n个特征值 1, 2 , n
设A为实对称矩阵，则有 (1) A的特征值都是实数； (2) A的不同特征值对应的特征向量正交 (3) A可正交对角化，既存在正交阵Q使 Q1 AQ QT AQ 其中 diag 是A的特征 (1 , 2 , n ) 1 , 2 ,, n 值注 注 正交阵Q的求法 对A的k（k>1）重特征根 ，将求出的的基础解系正 交化,这样合并后得到的n个特征向量 1 , 2 ,, n

ij nn
x
aij ) nn (
第一步：求出方程 A I 0的所有根 , , ，即为 A的全部特征值 第二步：对每个不同的 i ，解其次方程组(A i I) =0，求出一个基础解系 i , i ,, i , 即为A的属于 i 的线形无关特征向量。 t t t 则为A的属于i 的全部特征向
n n i 1
n
i
i 1
ii

i 1
i
A
注1 若 , 是A的分别属于特征值 , 的特征 向量， ，则 不是A 的特征向量
1 2
1
2
1
2
1
2
若 ，u 分别是A，B的特征值，则 也未必是 未必是A+B的特征值 ， AB的特征值 T A 注3 A 与 有相同的特征值，但特征向量 未必相同 注4 正交阵A的特征值只能是1或-1
T
二特征值与特征向量的性质

2.1 设 1, 2 , n是方阵A的互不相同的特征值， x1 , x2 ,, xn 是分别与之对应的特征向量 ， 则 x1 , x2 ,, xn 线性无关 2.2 属于同一特征值 的特征向量的任意非零组合 仍是属于 的特征向量 2.3 设n阶方阵A的n 个特征值为 1, 2 ,, n ，则 tr (A)
2 3
2
2
2 2 2
0 0 0
如下形式 x1 x2 x3 0
T 1 , 1 , 0 x 1 , x 0 取 2 得 3
取 x2 0, x3 1得 1, 0, 1 2 ,3均为A的二重特征值2,3 1 的特征向量，全 部特征向量为 k 2 2 k33 其中 k 2 , k3 不全为 零

i
不仅仅线形无关,而且相互正交,再将每一个
i
单位化,则可得到标准正交特征向量组 1 , 2 ,, n 令Q= , , ,则Q为正交矩阵,且满足 Q AQ
T
1
2
n
矩阵的相似变换
一
二 三 四
特征值与特征向量 特征值与特征向量的性质 相似矩阵的相关概念 对称矩阵的对角化
aij ) nn (
一 特征值与特征向量 1.1 定义 设A是一个n阶的方阵，若对数 ， 存在非零n维向量x，使Ax= x成立，则称 是A的特征值，x是A的属于 的特征向量。 注1 特征值问题是对于方阵而言的。 注2 特征向量必须是非零向量 1.2 特征值与特征向量的求法 （1）若A=(a ) 为具体矩阵(即具体给出)求解步 骤为：
1 2 n
1 2 ki
1
i1
2
i2
ki
iki
量。 注1 称 f () A I 为A的特征多项式，其为 的n次 多项式。
f () A I 0
称为A的特征方程，其在复数域内必 有n个根（包括重根 ）

所以n阶方阵总共有n个特征值，特征值 的重数称为


的代数重数，记做 m
4.2对角化的方法
（1） 求出A的所有的特征值 1 , 2 ,, n 其 中互 不相等的特征值为 i , i ,, i (r<n). (2) 若A可对角化，则k重特征值 必对应k个线形 无关的特征向量,求出每一个齐次方程组 (A rk x) 0 (k=1,2,…,r) .的基础解系，合并后必可得到A的n个 线形无关的特征向量 1 , 2 ,, n
注2
三 相似矩阵的相关概念

3.1 定义：设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩
1 P 阵P，使 AP B
，则称A相似与B。

3.2 基本性质 自反性：A与A相似； 对称性：A相似与B，则B也相似与A； 传递性：A相似与B，B 相似与C，则A相似与 C 3.3 相似矩阵的性质
若 P 1 AP B ，即A相似与B，则 （1）
所以A的全部特征值为 1 5, 2,3 1
当 1 5
可知
4 A 1 I 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 4 2 2 6 6
3
4
1
1 1 0
2 1 0
2 ~ 2 4 4
2 ~ 0 2 0
1 2
6 ~ 0 6 0
x x 2x 0 所以 (A 1I)x 0 就可写成 T x x 0 令x2 1的基础解 系1 1,1,1 1 就是矩阵A对应于 1 5 的特征向量，全部 特征向量为 k11 (k1 0) 2 2 1 1 1 (A I)x 0 可写 当2,3 1时 A I 2 所以 2 2 2 ~ 0 0 0

1 2 r

（3） 令p = 1 , 2 ,, n 且有 P 1 AP 或 A PP 1
1 2 n
则P可逆，
来自百度文库

注 P的每一列 i 的排列序应与 中对应的 的排序相 同
4.3 实对称矩阵的正交对角化
(2)
A B
A I B I
(3) tr (A) tr (B)
(4) A I B I 从而A与B有相同的特征值
。
(5)
r ( A) r (B)
四 对称矩阵的对角化

4.1 n阶矩阵A可对角化的条件 (1) A可对角化的充要条件是A有n个线 性无关的特征向量 （2）若A有n个互不相等的特征值，则A 可对角化 注 这是充分而非必要条件 （3）A可对角化的条件是对A的任一特 征值，有 m