22第二十二讲空间线线线面面面之间位置关系

第二十二讲 空间线线、线面、面面之间的位置关系

一、引言

（一）本节的地位：空间线线、线面、面面之间的位置关系，特别是平行与垂直的位置关系，是立体几何中的重要内容，也是我们继续研究空间角和空间距离的基础，是高考的重点考查方向

（二）考纲要求：了解平面公理及推论；掌握直线与平面平行的判定定理与性质定理，两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．

（三）考情分析：本讲内容在高考中，主要考查线线、线面、面面平行与垂直位置关系的判定及其性质，题型以选择题为主，解答题极有可能在第一个小问题中出现，主要考查空间想象能力、逻辑推理与计算能力以及文字语言、图形语言和符号语言相互转化的能力．

二、考点梳理

1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：

（1）相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；

（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点；

（3）异面直线：不同在任何．．

一个平面内，没有公共点． 2．直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

该定理可用符号表示为：,,a b αα⊄⊂且////a b a α⇒．

定理揭示出直线与平面的平行关系的证明可以转化为直线与直线的平行关系的证明．正确理解和应用定理，应注意是“平面外”的一条直线和“平面内”一条直线平行．

3．平面与平面平行的判定

平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

该定理可用符号表示为：,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒．

定理揭示出平面与平面平行关系的证明可以转化为直线与平面平行关系的证明．利用此判定定理证明两个平面平行，必须同时具备以下两个条件：（1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面；（2）这两条直线必须相交．

4．直线与平面平行的性质

直线与平面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． 该定理可用符号表示为：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒．

此性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法．利用此定理证明两条直线平行时，必须同时满足以下三个条件：（1）直线a 和平面α平行；（2）平面α和平面β相交于直线b ；

（3）直线a 在平面β内．

5．平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

该定理可用符号表示为：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒．

此定理揭示出由平面与平面平行可以得到直线与直线平行．

我们可以看到，通过直线与直线平行可以判定直线与平面平行；通过直线与平面平行可

以判定平面与平面平行；而由直线与平面平行的性质定理，可以得出直线与直线平行；由平面与平面平行的定义与性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行．这揭示出直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．

6．直线与平面垂直的判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

该定理可用符号表示为：,,,,a b a b P l a l b l ααα⊂⊂=⊥⊥⇒⊥．

定理揭示出直线与平面垂直关系的证明可以转化为直线与直线垂直关系的证明．利用此判定定理证明直线与平面垂直，必须同时具备以下两个条件：（1）平面内有两条直线垂直于已知直线；（2）这两条直线必须相交．

7．两个平面的垂直及判定

两个平面相交，如果它们所成的二面角为直二面角，就说这两个平面互相垂直． 两个平面垂直的判定定理：

一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直．

8．直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行．

这个定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行，同时也揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系．

9．平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

定理揭示出直线与平面垂直关系的证明可以转化为直线与直线垂直关系的证明．利用此定理证明直线与平面垂直，必须同时具备以下三个条件：（1）两个平面互相垂直；（2）直线在其中一个平面内；（3）直线与交线垂直．

三、典型例题选讲

例1 （2007辽宁）若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）

A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥

B ．若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ

C ．若m β⊥，//m α，则αβ⊥

D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥

解析：选项A ，直线m 与平面α的位置关系各种可能都有；选项B ，平面α与平面β也可能相交；选项C ，∵//m α，过m 作平面γ交平面α于m '，则//m m '．又因为m β⊥，所以m β'⊥．由面面垂直的判定定理可知，a β⊥；选项D ，平面β与γ也可能相交或平行．

故正确选项为C ．

归纳小结：本题重点考查了直线与平面以及平面与平面的位置关系．提高空间想象能力和逻辑推理能力是问题解决的关键，同时，要注意培养思维的完备性和严谨性，既要考虑特殊情况，也要考虑一般结论，切不可以偏概全．

例2 （2007湖南）如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是1AB 、1

BC 的中点，则以下结论中不成立的是( )

A ．EF 与1B

B 垂直

B ．EF 与BD 垂直

C ．EF 与C

D 异面

D ．EF 与11AC 异面

解析：连结1B C ，则1B C 与1BC 相交于点F ．