必修2立体几何公式定理

（必修2）空间几何体的公式定理

一、空间几何体

1、多面体的结构特征

（1）棱柱的上下底面 ，侧棱都 且 ，上底面和下底面是 的多边形； （2）棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 的三角形； （3）棱台可由 的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形 。

2、旋转体的机构特征

（1）圆柱可以由矩形绕其 旋转得到；

（2）圆锥可以由直角三角形绕其 旋转得到；

（3）圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可以由 的平面截圆锥得到。

（4）球可以由半圆或圆绕其 旋转得到。

注意：简单几何体是指棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台和球，简单组合体是由简单几何体拼接或截去（挖去）一部分而成的几何体。柱体、台体的底面相互平行，棱台侧棱的延长线、圆台母线的延长线各交于一点。柱体、台体、锥体的关系如图所示：

3、空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用 得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 的，三视图包括 、 、 . 注意：①画三视图时，侧视图画在正视图的正右方，保持高度一致；俯视图画在正视图的正下方，保持宽度一致。②对于能看到的几何体轮廓线画成实线，看不到的轮廓线应用虚线画出。由三视图还原简单组合体时，注意根据虚线、实线确定轮廓。③给出三视图求表面积和体积时，依据“正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的宽和高，俯视图反映几何体的长和宽”来确定表面积公式和体积公式里涉及的基本量。

4、空间几何体的直观图

画空间几何体的直观图常用 画法，基本步骤：

（1）在已知图形中取相互垂直的x 轴，y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x ’轴，y ’轴，两轴相交于点O ’，且使'''

x y z ∠= .

（2）已知图形中平行于x 轴、y 轴的线段，在直观图中分别平行于 ；

（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中长度 ，平行于y 轴的线段，长度变为 ；

（4）在已知图形中过O 点作z 轴垂直于xOy 平面，在直观图中对应的z ’轴也垂直于x ’O ’y ’平面，已知图形中平行于z 轴的线段，在直观图中仍平行于z ’轴且长度 。

注意：由直观图还原平面多边形时，多关注轴上的点和与轴平行的线，长度注意遵循斜二测的“横竖不变，纵减半，平行位置保持不变”的作图原则。

6、几何体的表面积

（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是；

（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面积展开图分别是、、；它们的表面积等于。

二、点线面的位置关系

1、几种有关公面、共点、共线的证明：

（1）三点共线：

（2）三线共点：

（3）点线共面：⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

纳入法：同一法：

2、几类平行的证明

（1）证明线线平行的基本方法：①

②

③

④

⑤

（2）证明线面平行的基本方法：①

②

（3）证明面面平行的基本方法：①

②

③

④

3、几类垂直关系的证明

（1）证明线线垂直的基本方法：

①

②

（2）证明线面垂直的基本方法：

①

②

③

④

⑤

（3）证明面面垂直的基本方法：

①

②

4、空间角

（一）异面直线所成角

1）异面直线所成角的定义：过空间任一点O，分别引直线a’//a,b’//b,则a’和b’的所成锐角或直角叫做异面直线a,b的所成角。

范围：

时，称e异面直线a,b垂直。记作：a⊥b

当异面直线所成角为π

2

2）异面直线所成角的判定方法：平面外一点与平面内一点连线与平面内不过此点的直线异面。

3)异面直线所成角的求法：

①几何法：作→证→算。

做：作平行线，平移至相交；可以利用中位线、成比例、平行四边形等提供平行线。证：证明某角是异面直线所成角或其补角。算：在三角形中求角。

②公式法：斜立平余弦定理

（二）线面角

【注意】关于平行垂直的定理公里关联框架: