高三数学第二轮专题复习系列:(6)不等式

合集下载

2016年高考理科数学总复习不等式及推理证明6-4

2016年高考理科数学总复习不等式及推理证明6-4

题 组 层 级 快 练
第 4页
第七章
不等式及推理与证明
高考调研
新课标版 ·数学(理) ·高三总复习
课 前 自 助 餐
第 5页
第七章
不等式及推理与证明
高考调研
新课标版 ·数学(理) ·高三总复习
1.基本不等式
a+b 若 a, b∈R+, 则 2 ≥ ab, 当且仅当 a=b 时取“=”.
这一定理叙述为:两个正数的算术平均数 不小于 它们的 几何平均数.
第31页
第七章
不等式及推理与证明
高考调研
新课标版 ·数学(理) ·高三总复习
y 9x 当且仅当x= y ,即 y=3x 时,取等号. 1 9 又x +y =1,∴x=4,y=12. ∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16.
【答案】 16
第32页
第七章
不等式及推理与证明
高考调研
探究2
新课标版 ·数学(理) ·高三总复习
第23页
9 5 2 9 = - 5-9+3=4 5.
第七章 不等式及推理与证明
高考调研
新课标版 ·数学(理) ·高三总复习
②设 4x-5=t,则 t≠0. 1 ∴y=t+ t +3. 当 t>0 时,y≥2+3=5; 当 t<0 时,y≤-2+3=1. ∴函数的值域为(-∞,1]∪[5,+∞).
第24页
3.若x+2y=4,则2x+4y的最小值是(
A.4 C.2 2 答案 B B.8 D.4 2
)
解析
∵2x+4y≥2 2x· 22y=2 2x+2y=2 24=8,当且仅
当 2x=22y,即 x=2y=2 时取等号, ∴2x+4y 的最小值为 8.

2015高三复习:第6单元-不等式-数学(理科)-人教A版(逐字编辑)

2015高三复习:第6单元-不等式-数学(理科)-人教A版(逐字编辑)

返回目录
使用建议
2.教学建议 不等式是知识和应用的结合体,在复习中既要照顾到 其基础性、也要照顾到其应用性,具体在教学中要注意如 下几点: (1)在各讲的复习中首先要注意基础性,这是第一位 的复习目标.由于各讲的选题偏重基础,大多数例题、变 式学生都可以独立完成,在基础性复习的探究点上要发挥 教师的引导作用,引导学生独立思考完成这些探究点,教 师给予适度的指导和点评.
n n a > b 开方法 性质8:a>b>0,(n∈N,n≥2)⇔__________( 1 1 则). < a b 倒数法则). 性质9:ab>0,a>b⇔________(
返回目录
第33讲
双 向 固 基 础
不等关系与不等式
—— 链接教材 ——
1.[教材改编] 完成一项装修工程,请木工需付工资 每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工人工资预算 2000元,设木工x人,瓦工y人,则工人人数满足的关系式 是_____________________.
5x+4y≤200, * x , y ∈ N
[答案]
返回目录
第33讲
双 向 固 基 础
不等关系与不等式
[解析] 依题意, 得 50x+40y≤2000, 即 5x+4y≤200, 故所满足的不等式组为
5x+4y≤200, * x , y ∈ N
返回目录
第33讲
不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 基本不等式
单元网络
返回目录
核心导语
一、不等式的性质与解法 1.比较法——判断或证明两个数的大小的基本方 法. 2.三个“二次”——注意二次函数的图像、一元二 次方程的根、一元二次不等式的密切联系. 二、简单的线性规划问题 1.平面区域——根据特殊点的位置确定不等式表示 的平面区域. 2.实际问题——解题的关键是列出线性约束条件, 写出目标函数.

【新课标】高三数学二轮精品专题卷_不等式

【新课标】高三数学二轮精品专题卷_不等式

高三数学二轮精品专题卷:不等式考试范围:不等式一、选择题(本大题共15小题,每小题5分,共75分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合}{01|=-=ax x A ,∈≤=x x x B ,2log 12<{N },且A B A = ,则a 所有可能组成的集合是( ) A .φB .}{31 C .}{41,31 D .}{41,31,02.(理)设∈b a ,R ,则使b a >成立的一个充分不必要条件是( ) A .33b a >B .0)(log 4>b a -C .22b a >D .ba 11<(文)已知点),2(),1,(a a A 在直线01=++y x 的异侧,则a 满足的关系是( ) A .()2,3--B .[]2,3--C .),2()3(+∞---∞ ,D .)3,2( 3.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=125|,2)3(log |21x x B x x A >,则A B =( ) A .()3,1- B .[)+∞,3 C .[]3,1- D .)1,2(-- 4.下列函数中,最小值为2的函数为( ) A .xx y 1+= B .4522++=x x yC .422++=x x yD .x xy 22sin sin 1+=5.函数)),0((cos 12cos cos )(22π∈-⋅=x xx x x f 的最小值是( ) A .2-B .1-C .322-D .432-6.(理)已知1(0)()1(0)x x f x x x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩,则不等式0)1()3(>+-+x f x x 的集是( ) A .{}1>x x B .{}31|<<x x C .{}∞+<<x x 3|D .{}21|<<x x(文)设lg 1(0)()24(0)xx x f x x ⎧+<=⎨->⎩,则0)(>x f 的解集是( )A .),1()1,(+∞--∞B .),2()2,(+∞--∞C .),2()1,(+∞--∞D .),2()0,(+∞-∞7.已知2)(x x f =,m x g x -=)21()(,对于[]2,1∈x 时,)()(x g x f ≥恒成立,则m 的取值范围( )A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,415B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21C .),3(+∞D .),4(+∞8.(理)已知方程02=++b ax x ,其中一根在区间)1,0(,另一根在区间)0,1(-,则22)4(++=b a z 的最小值是 ( ) A .3B .9C .4D .16.(文)如果实数y x ,满足关系400440x y x y x y +-≤⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩,则511--+x y x 的取值范围是( ) A .[]4,3B .[]3,2C .],[4757 D .],[3757 9.(理)若实数y x ,满足124y x x y ⎧≥+⎨-+≥⎩,则y x z +=2的最大值是( ) A .6B .7C .8D .9(文)若yx ,满足约束条件04004x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩,则y x z -=3的最小值是( ) A .2-B .3-C .4-D .5-10.(理)已知实数y x ,约束条件28022x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则1++y x 的最小值是( ) A .3B .23C .5D .4(文)已知y x ,满足线性规划400240x y y x x y +-<⎧⎪->⎨⎪+->⎩,则144622+--+y x y x 的取值范围是( ) A .[]14,2B .)14,2(C .[]113,2+D .)113,2(+11.(理)定义在R 的函数||)1ln(2x x y ++=,满足)1()12(+-x f x f >,则x 满足的关系是 ( )A .)0,(),2(-∞+∞B .)1,(),2(-∞+∞C .),3()1,(+∞-∞D .)1,(),2(--∞+∞(文)已知0(l o g )(>a x x f a=且)1≠a 满足)0)(()1(2><b b f b f +,则1)11(>xf -的解集是 ( ) A .}<<{ax x 10|B .}<<{a x x -110|C .}<<{ax x 11|D .}<<{ax x -111| 12.为迎接建党90周年,某汽车制造厂,生产两种型号的豪华大客车,A 型号汽车每辆利润是0.8万元,B 型号汽车利润是0.4万元,A 型号汽车不得少于4辆,B 型号汽车不得少于6辆,但该厂年生产能力是一年生产两种型号的汽车的和不超过30辆,求该汽车制造厂的最大利润是 ( ) A .21.2B .20.4C .21.6D .21.813.(理)设y x ,满足约束条件2044000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数)0,0(>>b a by ax z +=的最大值为6,则)21(log 3ba +的最小值为( ) A .21B .3C .2D .4 (文)已知ba 111<<,则下列结论不正确的是( )A .a b b a log log >B .2)11(log )(log 22>ba b a +++C .2log log >a b b a +D .a b a b b a b a log log log log ++> 14.已知函数)1(121--+=<x xx y 的最大值是( ) A .223- B .223+ C .8D .10 15.下列命题正确的个数为( )①已知31,11≤-≤≤+≤-y x y x ,则y x -3的范围是[]7,1;②若不等式)1(122--x m x >对满足2≤m 的所有m 都成立,则x 的范围是)(213,217+-; ③如果正数b a ,满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是[)+∞,8④5.02131)31(,3log ,2log ===c b a 大小关系是c b a >>A .1B .2C .3D .4二、填空题(本大题共15小题,每小题5分,共75分,把答案填写在题中横线上)16.函数)1(log 221-=x y 的定义域是 .17.已知函数⎩⎨⎧=≤+-)10(3)1(442)(x x x x x x f <>,则不等式4)(1<<x f 的解集为 .18.(理)不等式a ax x -->32对一切43≤≤x 恒成立,求实数a 的取值范围是 .(文)已知集合}>{0322--=x x x A ,}{02≤++=c bx ax x B ,若B A =}<{43≤x x ,=B A R ,则22c aa b +的最小值为 . 19.已知0>x ,0>y ,且412=+yx ,若6222--≥+m m y x 恒成立,则m 的取值范围是 .20.)(x f y =是R 上的减函数,其图像经过点)1,0(A 和)1,3(-B ,则不等式1)2011(<-x f 的解集是 .21.若二元一次不等式组11+30x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示平面区域为M ,若抛物线px y 22=经过区域M ,则实数p 的取值范围是 . 22.若不等式1122+-+++-x x mx x x m x >的解集为R ,则实数m 的取值范围是 .23.(理)关于x 的不等式022>++bx ax 的解集为)31,21(-,则不等式6)1(>bx x a +-的解集为 .(文)已知函数14)(2++=ax ax x f ,若)(')(x f x f >对一切实数x 恒成立,则a 的取值范围是 .24.函数d cx bx x x f +++=23)(在区间[]2,2-上是减函数,则c b +的最大值为 . 25.已知函数12)(+=x x f ,a x x g +=)(,若存在∈x R ,使得)()(x g x f ≤成立,则实数a 的取值范围是 .26.(理)如图,在矩形ABCD 中,4,2==AD AB ,M 是BC 的中点,N 是矩形内(含边界)内任意一点,则AN AM ⋅(文)设函数11)(--+=x x x f ,则使)2()12(+=+x f x f 成立的x 的取值范围是 .27.如图做一个面积为4平方米,形状为下面是矩形,上面是等腰直角三角形的框架,用料最省为 .28.关于x 的不等式满足|)2(log ||sin ||)2(log sin |x x x x x x -+-+<的解集是 . 29.设有四个命题:①关于x 的不等式023)2(2≥+--x x x 的解集为{}2|≥x x ; ②若函数12--=kx kx y 的值恒小于0,则04<<k -; ③xx y 22sin 3sin +=的最小值32; ABMCN④若∈c b a ,,R ,22bc ac >,则b a >;其中正确命题的题号是 .30.设函数满足0)()(=-+x f x f ,且)(x f 在[]2,2-是减函数,1)2(-=f ,若函数12)(2++≤ta t x f 对所有[]2,2-∈x ,[]1,1-∈a 时,则t 的取值范围是 .。

高三数学(理科)二轮复习-不等式

高三数学(理科)二轮复习-不等式

2014届高三数学第二轮复习第3讲 不等式一、本章知识结构:实数的性质二、高考要求(1)理解不等式的性质及其证明。

(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理,并会简单应用。

(3)分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

(4)掌握某些简单不等式的解法。

(5)理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。

三、热点分析1.重视对基础知识的考查,设问方式不断创新.重点考查四种题型:解不等式,证明不等式,涉及不等式应用题,涉及不等式的综合题,所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查,常考常新,创意不断,设问方式不断创新,图表信息题,多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯,值得引起我们的关注.2.突出重点,综合考查,在知识与方法的交汇点处设计命题,在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想,不等式又为研究函数提供了重要的工具,不等式与函数既是知识的结合点,又是数学知识与数学方法的交汇点,因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时,将不等式的重点知识以及其他知识有机结合,进行综合考查,强调知识的综合和知识的内在联系,加大数学思想方法的考查力度,是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度,充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托,因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景,并与高等数学知识及思想方法相衔接,立意新颖,抽象程度高,有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点,考查容量之大、功能之多、能力要求之高,一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值,借助不等式来考查学生的应用意识.不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。

高三数学第六章-不等式知识点归纳

高三数学第六章-不等式知识点归纳

高中数学第六章-不等式考试内容:不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.考试要求:(1)理解不等式的性质及其证明.(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.(4)掌握简单不等式的解法.(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│§06. 不等式知识要点1.不等式的基本概念(1)不等(等)号的定义:.<-⇔a<b=a⇔>>-=-⇔b0b;a;baabab(2)不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3)同向不等式与异向不等式.(4)同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质(1)a⇔>(对称性)a<bb(2)c⇒>a>>,(传递性)acbb(3)c+⇒>>(加法单调性)cbaba+(4)d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向不等式相加) (5)d b c a d c b a ->-⇒<>,(异向不等式相减) (6)bc ac c b a >⇒>>0,.(7)bc ac c b a <⇒<>0,(乘法单调性)(8)bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向不等式相乘)(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>(异向不等式相除)11(10),0a b ab a b>>⇒<(倒数关系) (11))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) (12))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(开方法则) 3.几个重要不等式 (1)0,0||,2≥≥∈aa R a 则若(2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号) (3)如果a ,b 都是正数,那么.2a b +(当仅当a=b 时取等号)极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则:○1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号)0,2b aab a b>+≥(5)若则(当仅当a=b 时取等号)2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时,或(7)||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式(1)平均不等式: 如果a ,b 都是正数,那么2112a ba b+≤+(当仅当a=b 时取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数):特别地,222()22a b a b ab ++≤≤(当a = b时,222()22a b a b ab ++==)),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式:22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注:例如:22222()()()ac bd abcd +≤++. 常用不等式的放缩法:①21111111(2)1(1)(1)1n nn n n n n n n n-==-≥++--p p1)n ==≥pp(2)柯西不等式: 时取等号当且仅当(则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或 则称f(x)为凸(或凹)函数. 5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法(1)整式不等式的解法(根轴法).步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论;②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ (3)无理不等式:转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域 ○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f (4).指数不等式:转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>(5)对数不等式:转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩(6)含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值; ○2应用数形思想; ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注:常用不等式的解法举例(x 为正数):①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-,③111||||||()2x x x xxx+=+≥与同号,故取等。

恒成立或存在性问题课件-2024届高三数学二轮复习

恒成立或存在性问题课件-2024届高三数学二轮复习
专题研究一 恒成立或存在性问题
要点 解决恒成立或有解问题的常见结论 下列是恒成立问题的一些常见结论: (1)不等式f(x)≥0在定义域内恒成立,等价于f(x)min≥0; (2)不等式f(x)≤0在定义域内恒成立,等价于f(x)max≤0; (3)不等式f(x)>g(x),x∈(a,b)恒成立,等价于F(x)=f(x)-g(x)>0,x∈(a,b) 恒成立.
例1 已知a≠0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R).若对任意x∈[-2,1],不等式 f(x)<32恒成立,求a的取值范围.
【解析】 方法一:因为f(x)=ax(x2-4x+4)=ax3-4ax2+4ax. 所以f′(x)=3ax2-8ax+4a=a(3x2-8x+4)=a(3x-2)(x-2). 当a>0时,f(x)在-2,23上单调递增, 在23,1上单调递减. 故f(x)的最大值为f23=3227a<32,即a<27.
即22aa+ +b4+ b+1= 2=0, 0,解得ab= =- -1313, . 经验证,符合题意. (2)在 14,1 上存在x0,使得不等式f(x0)-c≤0成立,只需c≥f(x)min,x∈ 14,1, 因为f′(x)=-23-31x2+1x=-2x2-3x32x+1=-(2x-1)3x(2 x-1), 所以当x∈14,12时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
题型二 存在性问题
例2 已知函数f(x)=-ax2+ln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若存在x∈(1,+∞),f(x)>-a,求实数a的取值范围. 【解析】 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-2ax+1x=1-x2ax2.
当a≤0时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.

[名校联盟]2012届高三数学二轮复习06讲 集合、简单逻辑用语、推理与证明

[名校联盟]2012届高三数学二轮复习06讲 集合、简单逻辑用语、推理与证明

考查时,可以以任何一个其它知识点为载体,因
而重点不在于作为载体的具体知识点,而在于理
解和把握推理的方式与方法、证明的分类与应用.
5.分析法的特点是“执果索因”,综合法的特点是
“由因导果”,两种方法在证明的思路上恰恰相
反,分析法有利于寻找解题思路,综合法便于证
明过程的表达叙述,两种方法各有所长,在解决 具体问题时,综合应用相得益彰. 6.数学归纳法为新增加内容,考查理科学生的应用 意识和能力,备考中要重点理解数学归纳法的使 用原理、使用步骤及其特点,能较熟练地应用解 决与自然数有关的部分命题.
所以 1 x y 2和 1 y x 2中至少有一个成立 .
规律方法总结
1.对于含有n个元素的集合,其子集、真子集、非空 子集、非空真子集的个数分别为2n、2n-1、2n-1、 2n-2. 2. U(A∩B)= UA∪ UB; U(A∪B)= UA∩ UB;
A∩B=AA∪B=BAB
2 1 2
log ( b 1)
2 1 2
只要证 2 log ( a b ) log ( a 1) log ( b 1).
1 1 1 2 2 2 2 2
只要证 log ( a b ) log
1 2 1 2
1 2
( a
1)( b 1) ( a b 0 ),
程叙述模式为:“要证××,只需证××”或
“要证××,即证××”.
变式训练3
1) 1 2
1
当a+b>0时,求证: ( a b ) 1 log ( a log
1 2
2
2
1 2
2
1
2
log ( b 1).

高中数学高三第六章不等式一元二次不等式及其解法(教案)

高中数学高三第六章不等式一元二次不等式及其解法(教案)

高三一轮复习 6.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。

【重点难点】1。

教学重点:会解一元二次不等式并了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;2。

教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力;【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】环节二:意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.解析[由题可得f(x)<0对于x∈[m,m+1]恒成立,即错误!解得-错误!〈m〈0.答案错误!知识梳理:知识点1 三个“二次”的关系ΔacΔ〉0Δ=0Δ数+a〉象次有两相异实根有两相等实根没有ax2+bx+c=0(a>0)的根x1,x2(x1<x2)x1=x2=-错误!ax2+bx+c〉0 (a>0)的解集{x|x〈x1或x〉x2}{x|x≠x1}Rax2+bx+c<0 (a〉0)的解集{x|x1〈x<x2}∅∅知识点2 用程序框图表示ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程1.必会结论;(1)(x-a)(x-b)〉0或(x-a)(x-b)〈0型不等式解法教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。

由常见问题的解决和总结,使学。

高三数学二轮复习重点

高三数学二轮复习重点

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一:函数与不等式,以函数为主线,不等式和函数综合题型是考点函数的性质:着重掌握函数的单调性,奇偶性,周期性,对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察,并且有时会考察具体函数的这些性质,有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数:一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数,初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解,高中阶段更多的是将它与导数进行衔接,根据抛物线的开口方向,与x轴的交点位置,进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序,这样可以判断导数的正负,最终达到求出单调区间的目的,求出极值及最值。

不等式:这一类问题常常出现在恒成立,或存在性问题中,其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法,均值不等式,这些不等式的基础知识点需掌握,还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题,掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二:数列。

以等差等比数列为载体,考察等差等比数列的通项公式,求和公式,通项公式和求和公式的关系,求通项公式的几种常用方法,求前n项和的几种常用方法,这些知识点需要掌握。

专题三:三角函数,平面向量,解三角形。

三角函数是每年必考的知识点,难度较小,选择,填空,解答题中都有涉及,有时候考察三角函数的公式之间的互相转化,进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形,向量的综合性问题,当然正弦,余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化,是一个很重要的知识衔接点,它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四:立体几何。

立体几何中,三视图是每年必考点,主要出现在选择,填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系,通过向量这一手段求空间距离,线面角,二面角等。

另外,需要掌握棱锥,棱柱的性质,在棱锥中,着重掌握三棱锥,四棱锥,棱柱中,应该掌握三棱柱,长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点,当然常考察的方法为间接证明。

专题五:解析几何。

高三数学复习第六章 不等式、推理与证明

高三数学复习第六章  不等式、推理与证明
数学(6省专版)
演 练 知 能 检 测
第一节
不等关系与不等式
[归纳· 知识整合]
回 扣 主 干 知 识
突 破 热 点 题 型
1.比较两个实数大小的法则 设a,b∈R,则 a-b>0 (1)a>b⇔ ; a-b=0 (2)a=b⇔ ; a-b<0 (3)a<b⇔ . 2.不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b⇔_____ b<a a>b,b>c⇒______ a>c 注意 ⇔ ⇒ ⇔
[例3] 个结论: (1)(2012· 湖南高考)设a>b>1,c<0,给出下列三
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c).
其中所有的正确结论的序号是 ( )
演 练 知 能 检 测
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
数学(6省专版)
=(x-1)2+1>0, ∴3x2-x+1>2x2+x-1.
演 练 知 能 检 测
数学(6省专版)
第一节
不等关系与不等式
回 扣 主 干 知 识
aa-b aabb a-b b-a a-b 1 a-b (2)abba=a b =a b =b . aa-b a ∵当a>b,即a-b>0,b>1时,b >1,
第一节
不等关系与不等式
c d (2)已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0, a - b >0(其中a,
回 扣 主 干 知 识
b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个 不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是 ( )

高中数学高三第六章不等式数学归纳法(教案)

高中数学高三第六章不等式数学归纳法(教案)

高三一轮复习 6.7 数学归纳法【教学目标】1.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【重点难点】1。

教学重点:了解数学归纳法的原理并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题;2。

教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力;【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】叫做数学归纳法.2.数学归纳法的框图表示1.必知关系;数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法,第一步是递推的“基础”,第二步是递推的“依据",两个步骤缺一不可.2.必清误区;运用数学归纳法应注意以下两点:(1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求选择合适的起始值.(2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明n =k+1时,命题也成立的过程中一定要用到它,否则就不是拨从而提高学生的解题能力和兴教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。

强理解记忆,提高解题技能。

k+1·错误!=错误!,要证当n=k+1时结论成立,只需证错误!≥错误!,即证错误!≥k+1k+2,由基本不等式得错误!=错误!≥错误!成立,故错误!≥错误!成立,所以,当n=k+1时,结论成立.由①②可知,n∈N*时,不等式错误!·错误!·……·错误!〉错误!成立.跟踪训练:1。

已知数列{a n},a n≥0,a1=0,a错误!+a n+1-1=a错误!。

求证:当n∈N*时,a n<a n+1.【证明】(1)当n=1时,因为a2是方程a错误!+a2-1=0的正根,所以a1〈a2。

(2)假设当n=k(k∈N*)时,。

高三数学二轮复习高考不等式题型总结

高三数学二轮复习高考不等式题型总结

高考冲刺篇、---不等式(αωξ)题型1:恶心配凑法1.若,112160022=+b a b a ,>,>则bb a a −+−634最小值为 .2.已知,>,>,>000c b a 则()ac bc c b a ++++252222的最小值为 . 3.已知,>,>,>200c b a 且2=+b a ,则252−+−+c c ab c b ac 的最小值为 .4.已知,>>0,0y x 且1=+y x ,则xy y x ++22的最大值为 .5.若[]1,1−∈x ,则()2214x x x−+−的最大值为 . 6.已知,>>0,0y x 则()()75211222++++y x y x 的最小值为 .7.已知R c b a ∈,,,5222=++c b a ,则2786c bc ab +−的最大值为 .8.已知,>,>00b a ,4=+b a 则111122+++b a 的最大值为 .9.已知,>>0,0y x ,213213=+++y x y x 则yx 1−的最小值为 .10.已知,>,>21b a 则()41222−+−+b a b a 的最小值为 . 11.已知,>>0,0y x ,26421=+++yy x x 则xy 的最大值为 .12.若00,0>,>>z y x ,且1222=++z y x ,则zxy z 11++的最小值为 .13.若,>,>00b a ()()324ab b a =−,则ba 11+的最小值为 .题型2:配积消元法和换元法1.已知,>>0,0y x 且14522=−+y xy x ,则22812y xy x −+的最小值为 .2.若12,,22=−+∈∈y xy x R y R x ,则222252yxy x y x +−−的最大值为 .3.已知()()()()y x P C B A ,,1,3,2,1,1,2−−满足()()1−=⋅⨯⋅OB OP OA OP ,则2OP OCOP ⋅的最大值为 .4.若,>,>10b a 且2=+b a ,则1221−+b b a 的最小值为 . 5.已知,>>0,0y x 则yx y y x x 23+++的最大值为 . 题型3:导数法和函数法1.已知00,0>,>>z y x ,且,63=++z y x 则z y x 323++的最小值为 .2.已知00,0>,>>z y x ,且,2=++z y x 则z y x ++2331的最小值为 . 3.若,4,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πβα则()()βαβα++−sin 2sin 的最大值为 .题型4:设值左右法1.已知,>,>00b a 且b a b a 13612+≤++,则ba ab 3+的最大值为 .题型5:费马点1.00,0>,>>z y x ,且()92=−+xy y x ,,()162=−+yz z y ,()252=−+zx x z ,则=++zx yz xy .题型6:设比例关系法1.已知,>,>00b a ,333b a b a −=+若122≤+kb a 恒成立,则k 的最大值为 .2.设[]2,1,∈b a ,则abb a 22+的最大值为 .3.已知,>>0,0y x 则2222282yx xy y x xy +++的最大值为 .题型7:参数法1.已知,>,>,>000c b a 且222c b a =+,则abc c b a 333++的最小值为 .2.x x 3154−+−的最大值为 .3.若,,R b a ∈,6222=+b a 则3−a b 的最大值为 . 题型8:万能k 法和主元法1.若,>,>00b a 且对于任意的b a ,,()2223442a ab b k a ab ++≤+恒成立,则k 的最大值为 . 2.若,>>0,0y x xy yx y x 4344=+−,则y 的最大值为 .3.已知,>,>,>000c b a (),bc c b a a =++则cb a +的最大值为 .4.若,14,,22=++∈∈y xy x R y R x 则y x +2的最大值为 .5.若()b a b b a +≥+γ228对任意R b a ∈,恒成立,则γ的最大值为 .6.若,>>0,0y x 则()yx y x 2122+++的最小值为 .7.若,>>0,0y x ()4=−y x xy ,则y x +的最小值为 .8.若,>>0,0y x ()4=+y x xy ,则y x +2的最小值为 .9.若,>>0,0y x ()422=+y x y x ,则y x +的最小值为 .答案:题型1 1.4 2.4 3.105+ 4.89 5.2 6.21 7.45 8.452+ 9.21− 10.6 11.4 12.223+ 13.22题型2 1.37 2.42 3.425 4.213 5.53题型3 1.437 2.1213 3.5题型4 1.91题型5 1.38题型6 1.6 2.25 3.32题型7 1.22+ 2.2 3.1题型8 1.22 2.31 3.212− 4.5102 5.4 6.552 7.32 8.32 9.2。

高中数学_不等式复习(基础篇)教学设计学情分析教材分析课后反思

高中数学_不等式复习(基础篇)教学设计学情分析教材分析课后反思

高考专题复习之六――不等式(基础篇)学情分析一、整体情况1、所教学生为文科实验班,共34人,是高三新成立的班,这些学生在高一、高二时都分布在平行班中,高一、高二时学生在班内相对较好。

2、数学数学基础相对较好,但数学学习习惯不够规范,具体表现在:书写不规范、思维不够清晰,缺乏思维的深度、数学运算能力不强、在数学问题中对数学知识和方法的提取与转化能力弱、缺少做题的灵活性个性品质需要再进一步提高二、本部分知识掌握情况对于本部分知识,学生在新授课和一轮复习时对一些基础题型已经能够较熟练地处理,再加之新授课中对基本题型如不等式性质的运用、解一元二次不等式等相关的单一的基本题型已经掌握较好,本节课的重点是通过对典型问题的解读分析,在思维上让学生再进一步提高,使学生能够站在更高的高度看待与不等式有关的问题,对知识点的辨认、提取、讨论、解决方面能够再上一个台阶。

三、教学目标知识1、进一步掌握不等式的性质2、掌握基本不等式的特征及运用条件3、掌握一元二次不等式与对应一元二次方程和一元二次函数的关系方法1、能较清晰地识别、辨认并能有针对性地处理与不等式有关的常见题型.2、能够较熟练地解一元二次不等式3、能够较熟练地运用基本不等式求最大(小)值4、初步掌握分类讨论的分类标准思想1、进一步提高分类整合、数形结合的能力2、通过观察、归纳、抽象等方式,培养学生求真求实的科学精神,体会数学的应用价值,提高学生的逻辑推理能力和学数学用数学的意识.四、教学策略与教学手段根据复习课的特点以及数学知识的特点,在课堂上主要采用以题促学、以题促思、学生在老师指导下进行互助合作的模式;在复习基本题型的同时突出复习重点、攻克思维难点,同时辅以多媒体演示,最大限度地提高教学效率。

高考专题复习之六:不等式(基础篇)效果分析对于本节课,我认为自己做到了以下几点:1、对所教学生的学习情况做了细致、全面的了解和分析;2、对所复习知识点在高考中的地位和作用做了全面的分析;3、对所选题目进行了精心的筛选,力争做到具有代表性,能反应高考考查的方向;4、对重点难点的突破做到了循序渐进;5、在课堂控制方面坚持以学生为主体充分挖掘学生的潜力;学生方面:1、对不等式部分有了更深刻的认识;2、对于不等式部分在高考中的地位和作用认识更到位;3、从思维层面上对不等式相关的综合题目有了一定的理性认识.专题复习之六――不等式(基础篇)教材分析一、考试大纲及考试说明的要求:1、不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2、一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.3、基本不等式:2a b +≥ (0,0)a b ≥≥ (1)了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.二、教材分析1、本部分教材是高中数学必修五中的内容,由于本部分知识即具有知识性、工具性的特点,但在整个数学知识体系中本部分有着举足轻重的作用。

[精品]新高三数学第二轮专题复习不等式知识的综合应用优质课教案

[精品]新高三数学第二轮专题复习不等式知识的综合应用优质课教案

高三数学第二轮专题复习:不等式知识的综合应用高考要求不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一,作为解决问题的工具,与其他知识综合运用的特点比较突出不等式的应用大致可分为两类一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题;另一类是建立函数关系,利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法,使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题重难点归纳1应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题,在解决这些问题时,关键是把非不等式问题转化为不等式问题,在化归与转化中,要注意等价性2对于应用题要通过阅读,理解所给定的材料,寻找量与量之间的内在联系,抽象出事物系统的主要特征与关系,建立起能反映其本质属性的数学结构,从而建立起数学模型,然后利用不等式的知识求出题中的问题典型题例示范讲解例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米,盖子边长为a米,(1)求a关于h的解析式;(2)设容器的容积为V 立方米,则当h 为何值时,V 最大?求出V 的最大值(求解本题时,不计容器厚度)命题意图 本题主要考查建立函数关系式,棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值知识依托 本题求得体积V 的关系式后,应用均值定理可求得最值错解分析 在求得a 的函数关系式时易漏h >0技巧与方法 本题在求最值时应用均值定理解 ①设h ′是正四棱锥的斜高,由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='⋅+12222412214h a a a h a 消去)0(11:.2>+='a h a h 解得 ②由)1(33122+==h h h a V (h >0)得 2121)1(31=⋅=++=hh h h hh V 而 所以V ≤61,当且仅当h =h1即h =1时取等号故当h =1米时,V 有最大值,V 的最大值为61立方米例2已知a ,b ,c 是实数,函数f (x )=ax 2+bx +c ,g (x )=ax +b ,当-1≤x ≤1时|f (x )|≤1(1)证明 |c |≤1;(2)证明 当-1 ≤x ≤1时,|g (x )|≤2;(3)设a >0,有-1≤x ≤1时, g (x )的最大值为2,求f (x )命题意图 本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质,以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力知识依托 二次函数的有关性质、函数的单调性是药引,而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂错解分析本题综合性较强,其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解,以及对条件“-1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用;绝对值不等式的性质使用不当,会使解题过程空洞,缺乏严密,从而使题目陷于僵局技巧与方法本题(2)问有三种证法,证法一利用g(x)的单调性;证法二利用绝对值不等式 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系(1)由条件当=1≤x≤1时,|f(x)|≤1,取x=0得|c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1(2)证法一依题设|f(0)|≤1而f(0)=c,所以|c|≤1当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,于是g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1)∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2, g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,因此得|g(x)|≤2 (-1≤x≤1);当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数, g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1),∵|f(x)|≤1 (-1≤x≤1),|c|≤1∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2综合以上结果,当-1≤x≤1时,都有|g(x)|≤2证法二 ∵|f (x )|≤1(-1≤x ≤1)∴|f (-1)|≤1,|f (1)|≤1,|f (0)|≤1,∵f (x )=ax 2+bx +c ,∴|a -b +c |≤1,|a +b +c |≤1,|c |≤1,因此,根据绝对值不等式性质得|a -b |=|(a -b +c )-c |≤|a -b +c |+|c |≤2, |a +b |=|(a +b +c )-c |≤|a +b +c |+|c |≤2,∵g (x )=ax +b ,∴|g (±1)|=|±a +b |=|a ±b |≤2,函数g (x )=ax +b 的图象是一条直线,因此|g (x )|在[-1,1]上的最大值只能在区间的端点x =-1或x =1处取得,于是由|g (±1)|≤2得|g (x )|≤2,(-1<x <1))21()21(])21()21([])21()21([)2121(])21()21[()(,)21()21(4)1()1(:22222222--+=+-+--++++=--++--+=+=∴--+=--+=x f x f c x b x a c x b x a x x b x x a b ax x g x x x x x 证法三当-1≤x ≤1时,有0≤21+x ≤1,-1≤21-x ≤0,∵|f (x )|≤1,(-1≤x ≤1),∴|f )21(+x |≤1,|f (21-x )|≤1; 因此当-1≤x ≤1时,|g (x )|≤|f )21(+x |+|f (21-x )|≤2(3)解 因为a >0,g (x )在[-1,1]上是增函数,当x =1时取得最大值2,即g (1)=a +b =f (1)-f (0)=2 ①∵-1≤f (0)=f (1)-2≤1-2=-1,∴c =f (0)=-1因为当-1≤x ≤1时,f (x )≥-1,即f (x )≥f (0),根据二次函数的性质,直线x =0为f (x )的图象的对称轴,由此得-ab 2<0 ,即b =0由①得a =2,所以f (x )=2x 2-1例3设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),方程f (x )-x =0的两个根x 1、x 2满足0<x 1<x 2a1(1)当x ∈[0,x 1)时,证明x <f (x )<x 1;(2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称,证明 x 0<21x解 (1)令F (x )=f (x )-x ,因为x 1,x 2是方程f (x )-x =0的根,所以F (x )=a (x -x 1)(x -x 2) 当x ∈(0,x 1)时,由于x 1<x 2,得(x -x 1)(x -x 2)>0,又a >0,得F (x )=a (x -x 1)(x -x 2)>0,即x <f (x )x 1-f (x )=x 1-[x +F (x )]=x 1-x +a (x 1-x )(x -x 2)=(x 1-x )[1+a (x-x 2)]∵0<x <x 1<x 2<a1,∴x 1-x >0,1+a (x -x 2)=1+ax -ax 2>1-ax 2>0∴x 1-f (x )>0,由此得f (x )<x 1(2)依题意 x 0=-ab2,因为x 1、x 2是方程f (x )-x =0的两根,即x 1,x 2是方程ax 2+(b -1)x +c =0的根∴x 1+x 2=-ab 1-∴x 0=-aax ax a x x a a b 2121)(22121-+=-+=,因为ax 2<1,∴x 0<2211x a ax学生巩固练习1 定义在R 上的奇函数f (x )为增函数,偶函数g (x )在区间[0,+∞)的图象与f (x )的图象重合,设a >b >0,给出下列不等式,其中正确不等式的序号是( )①f (b )-f (-a )>g (a )-g (-b ) ②f (b )-f (-a )<g (a )-g (-b )③f (a )-f (-b )>g (b )-g (-a ) ④f (a )-f (-b )<g (b )-g (-a )A ①③B ②④C ①④D ②③2 下列四个命题中 ①a +b ≥2ab ②sin2x +x2sin 4≥4 ③设x ,y 都是正数,若yx91 =1,则x +y 的最小值是12 ④若|x -2|<ε,|y -2|<ε,则|x -y |<2ε,其中所有真命题的序号是__________3 某公司租地建仓库,每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站__________公里处4 已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ,a >0),设方程f (x )=x的两实数根为x 1,x 2(1)如果x 1<2<x 2<4,设函数f (x )的对称轴为x =x 0,求证x 0>-1;(2)如果|x 1|<2,|x 2-x 1|=2,求b 的取值范围参考答案1 解析 由题意f (a )=g (a )>0,f (b )=g (b )>0,且f (a )>f (b ),g (a )>g (b )∴f (b )-f (-a )=f (b )+f (a )=g (a )+g (b )而g (a )-g (-b )=g (a )-g (b )∴g (a )+g (b )-[g (a )-g (b )]=2g (b )>0,∴f (b )-f (-a )>g (a )-g (-b ) 同理可证 f (a )-f (-b )>g (b )-g (-a ) 答案 A2 解析 ①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”④式 |x -y |=|(x -2)-(y -2)|≤|(x -2)-(y -2)|≤|x -2|+|y -2|<ε+ε=2ε 答案 ④3 解析 由已知y 1=x20;y 2=0 8x (x 为仓库与车站距离)费用之和y =y 1+y 2=0 8x + x20≥2xx 208.0⋅=8当且仅当0 8x =x20即x =5时“=”成立 答案 5公里处4 证明 (1)设g (x )=f (x )-x =ax 2+(b -1)x +1,且x >0∵x 1<2<x 2<4,∴(x 1-2)(x 2-2)<0,即x 1x 2<2(x 1+x 2)-4,12)42(212)(212)()(2121)(21)11(21221212121210-=++->++-=++-+>-+=---⋅=-=x x x x x x x x x x a a b a b x 于是得(2)解由方程g (x )=ax 2+(b -1)x +1=0可知x 1·x 2=a1>0,所以x 1,x21°若0<x 1<2,则x 2-x 1=2,∴x 2=x 1+2>2, ∴g (2)<0,即4a +2b -1<0 ① 又(x 2-x 1)2=44)1(22=--a ab∴2a +1=1)1(2+-b (∵a >0)代入①式得, 21)1(2+-b <3-2b ② 解②得b <412°若 -2<x 1<0,则x 2=-2+x 1<-2∴g (-2)<0,即4a -2b +3<0 ③ 又2a +1=1)1(2+-b ,代入③式得21)1(2+-b <2b -1 ④ 解④得b 47综上,当0<x 1<2时,b <41,当-2<x 1<0时,b >47。

高三数学第二轮复习知识点归纳

高三数学第二轮复习知识点归纳

高三数学第二轮复习知识点归纳(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改,请根据实际需要进行调整和使用,谢谢!并且,本店铺为大家提供各种类型的经典范文,如演讲稿、总结报告、合同协议、方案大全、工作计划、学习计划、条据书信、致辞讲话、教学资料、作文大全、其他范文等等,想了解不同范文格式和写法,敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as speech drafts, summary reports, contract agreements, project plans, work plans, study plans, letter letters, speeches, teaching materials, essays, other sample essays, etc. Want to know the format and writing of different sample essays, so stay tuned!高三数学第二轮复习知识点归纳高考没有足够的时间让你反复验算,更不容你一再地变换解题方法,下面是本店铺为大家整理的高三数学第二轮复习知识点归纳,仅供参考,喜欢可以收藏与分享哟!高三数学第二轮复习知识点归纳1、混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念,命题p 的否定是否定命题所作的判断,而“否命题”是对“若p,则q”形式的命题而言,既要否定条件也要否定结论。

2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质

2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质

第二篇 专题六 第1讲一、选择题1.(2021·全国甲卷)设f (x )是定义域为R 的奇函数,且f (1+x )=f (-x ).若f ⎝⎛⎭⎫-13=13,则f ⎝⎛⎭⎫53=( C )A .-53B .-13C .13D .53【解析】 方法一:由题意得f (-x )=-f (x ), 又f (1+x )=f (-x )=-f (x ), 所以f (2+x )=f (x ),又f ⎝⎛⎭⎫-13=13, 则f ⎝⎛⎭⎫53=f ⎝⎛⎭⎫2-13=f ⎝⎛⎭⎫-13=13.故选C.方法二:由f (1+x )=f (-x )知函数f (x )的图象关于直线x =12对称,又f (x )为奇函数,所以f (x )是周期函数,且T =4⎪⎪⎪⎪0-12=2, 则f ⎝⎛⎭⎫53=f ⎝⎛⎭⎫53-2=f ⎝⎛⎭⎫-13=13,故选C.2.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1-x ),x <0,22x -1,x ≥0,则f (-3)+f (log 2 3)等于( B )A .112B .132C .152D .10【解析】依题意f (-3)+f (log 2 3)=log 2 4+22log 2 3-1=2+2log 2 92=2+92=132.3.设函数f (x )=4x 23|x |,则函数f (x )的图象大致为( A )【解析】观察函数解析式发现,x 是以平方、绝对值的形式出现的,所以f (x )为偶函数,排除B ;当x >0时,f (x )=4x 23x ,当x →+∞时,f (x )→0,排除C ;因为f (2)=4×2232=169<2,选项D 中f (2)>2,所以D 不符合题意.4.(2022·济宁模拟)函数y =f (x )是定义域为R 的奇函数,且对于任意的x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<1成立.如果f (m )>m ,则实数m 的取值集合是( C )A .{0}B .{m |m >0}C .{m |m <0}D .R【解析】令g (x )=f (x )-x , 因为f (x )为奇函数,所以g (x )为R 上的奇函数,不妨设x 1<x 2, 由f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<1成立可得f (x 1)-f (x 2)>x 1-x 2,即f (x 1)-x 1>f (x 2)-x 2,所以g (x 1)>g (x 2),即g (x )在R 上单调递减, 由f (m )>m 得g (m )>0=g (0), 所以m <0.故选C.5.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +2)=f (x ),当x ∈[-1,0]时,f (x )=-x -2,则( B ) A .f ⎝⎛⎭⎫sin π6>f ⎝⎛⎭⎫cos π6 B .f (sin 3)<f (cos 3) C .f ⎝⎛⎭⎫sin 4π3<f ⎝⎛⎭⎫cos 4π3 D .f (2 020)>f (2 019)【解析】由f (x +2)=f (x ),得f (x )是周期函数且周期为2,根据f (x )在x ∈[-1,0]上的图象和f (x )是偶函数可得f (x )在[0,1]上是增函数.对于A ,0<sin π6<cos π6<1,∴f ⎝⎛⎭⎫sin π6<f ⎝⎛⎭⎫cos π6,A 错误; 对于B ,0<sin 3<-cos 3<1,∴f (sin 3)<f (-cos 3)=f (cos 3),B 正确; 对于C ,0<-cos4π3<-sin 4π3<1, ∴f ⎝⎛⎭⎫cos 4π3<f ⎝⎛⎭⎫sin 4π3,C 错误; 对于D ,f (2 020)=f (0)<f (2 019)=f (1),D 错误.6.定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2.则函数f (x )=(1⊕x )x -(2⊕x ),x ∈[-2,2]的最大值为( C )A .-1B .1C .6D .12【解析】当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2; 当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2.又∵y =x -2,y =x 3-2在R 上都为增函数,且f (x )在x =1处连续, ∴f (x )的最大值为f (2)=23-2=6.7.(2020·全国Ⅱ)设函数f (x )=ln |2x +1|-ln |2x -1|,则f (x )( D ) A .是偶函数,且在⎝⎛⎭⎫12,+∞单调递增 B .是奇函数,且在⎝⎛⎭⎫-12,12单调递减 C .是偶函数,且在⎝⎛⎭⎫-∞,-12单调递增 D .是奇函数,且在⎝⎛⎭⎫-∞,-12单调递减 【解析】f (x )=ln |2x +1|-ln |2x -1|的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12. 又f (-x )=ln |-2x +1|-ln |-2x -1| =ln |2x -1|-ln |2x +1| =-f (x ),∴f (x )为奇函数,故排除A ,C. 当x ∈⎝⎛⎭⎫-12,12时, f (x )=ln (2x +1)-ln (1-2x )=ln 2x +11-2x =ln ⎝⎛⎭⎫-1+21-2x . ∵y =-1+21-2x 在⎝⎛⎭⎫-12,12单调递增, ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫-12,12上单调递增.故排除B. 当x ∈⎝⎛⎭⎫-∞,-12时, f (x )=ln (-2x -1)-ln (1-2x )=ln -2x -11-2x=ln2x +12x -1=ln ⎝⎛⎭⎫1+22x -1,∵y =1+22x -1在⎝⎛⎭⎫-∞,-12上单调递减, ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫-∞,-12上单调递减. 故选D.8.对任意实数a ,b ,定义运算“⊙”:a ⊙b =⎩⎪⎨⎪⎧a ,a -b ≤2,b ,a -b >2.设f (x )=3x +1⊙(1-x ),若函数f (x )与函数g (x )=x 2-6x 在区间(m ,m +1)上均为减函数,则实数m 的取值范围是( C )A .[-1,2]B .(0,3]C .[0,2]D .[1,3]【解析】由题意得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x >0,3x +1,x ≤0,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减,函数g (x )=(x -3)2-9在(-∞,3]上单调递减.若函数f (x )与g (x )在区间(m ,m +1)上均为减函数,则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0,m +1≤3,得0≤m ≤2.故选C.二、填空题9.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x ≤0,4x ,x >0,则满足f (x )+f (x -1)≥2的x 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫12,+∞__.【解析】∵函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x ≤0,4x ,x >0,∴当x ≤0时,x -1≤-1,f (x )+f (x -1)=2x +1+2(x -1)+1=4x ≥2,无解;当⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x -1≤0,即0<x ≤1时, f (x )+f (x -1)=4x +2(x -1)+1=4x +2x -1≥2,得12≤x ≤1;当x -1>0,即x >1时,f (x )+f (x -1)=4x +4x -1≥2,得x >1. 综上,x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12,+∞.10.(2021·山西太原模拟)若a >0且a ≠1,且函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x ,x ≥1,ax +a -2,x <1,在R 上单调递增,那么a 的取值范围是__(1,2]__.【解析】 a >0且a ≠1,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x ,x ≥1,ax +a -2,x <1在R 上单调递增,可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1,a ≥2a -2,解得a ∈(1,2].11.对于函数y =f (x ),若存在x 0使f (x 0)+f (-x 0)=0,则称点(x 0,f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x ,x <0,kx +2,x ≥0,若曲线f (x )存在“优美点”,则实数k 的取值范围是__(-.【解析】当x <0时,f (x )=x 2+2x 关于原点对称的函数是y =-x 2+2x (x >0), 由题意得,y =-x 2+2x (x >0)与y =kx +2有交点, 即-x 2+2x =kx +2(x >0)有解,∴k =-x -2x +2(x >0)有解,又-x -2x +2≤-22+2,当且仅当x =2时等号成立,∴k ≤2-2 2.12.(2020·全国Ⅲ)关于函数f (x )=sin x +1sin x 有如下四个命题:①f (x )的图象关于y 轴对称; ②f (x )的图象关于原点对称; ③f (x )的图象关于直线x =π2对称;④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是__②③__. 【解析】∵f (x )=sin x +1sin x的定义域为{x |x ≠k π,k ∈Z }, f (-x )=sin (-x )+1sin (-x )=-sin x -1sin x =-f (x ),∴f (x )为奇函数,关于原点对称,故①错误,②正确. ∵f ⎝⎛⎭⎫π2-x =cos x +1cos x , f ⎝⎛⎭⎫π2+x =cos x +1cos x , ∴f ⎝⎛⎭⎫π2-x =f ⎝⎛⎭⎫π2+x ,∴f (x )的图象关于直线x =π2对称,故③正确.当x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,0时,f (x )<0,故④错误. 三、解答题13.(2020·江苏省南京市高三联考)已知f (x )是定义在区间(-1,1)上的奇函数,当x <0时,f (x )=x (x -1).已知m 满足不等式f (1-m )+f (1-m 2)<0,求实数m 的取值范围.【解析】当x <0时,f (x )=x (x -1),可得f (x )在(-1,0)上单调递减;由f (x )是定义在区间(-1,1)上的奇函数,可得f (x )也是区间(-1,1)上的减函数. 因为f (1-m )+f (1-m 2)<0, 所以f (1-m )<f (m 2-1),可得如下不等式组:⎩⎪⎨⎪⎧-1<1-m <1,-1<m 2-1<1,1-m >m 2-1,得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <2,0<m <2或-2<m <0,-2<m <1,解得:0<m <1.所以实数m 的取值范围为(0,1).。

高三数学高考专题复习系列导学案不等式-算术平均数与几何平均数

高三数学高考专题复习系列导学案不等式-算术平均数与几何平均数

第2课时 算术平均数与几何平均数1.a>0,b>0时,称 为a ,b 的算术平均数;称 为a ,b 的几何平均数.2.定理1 如果a 、b ∈R ,那么a 2+b 22ab (当且仅当 时 取“=”号)3.定理2 如果a 、b ∈+R ,那么2b a +≥ (当且仅当a =b 时取“=”号)即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.已知x 、y ∈+R ,x +y =P ,xy =S. 有下列命题:(1) 如果S 是定值,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值 .(2) 如果P 是定值,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值 .例1.设a 、b ∈R +,试比较2b a +, ab ,222b a +,ba 2+的大小. 解:∵a 、b ∈R +,∴b a 11+≥2ab 1即b a 112+≤ab ,当且仅当a =b 时等号成立.又42)2(222ab b a b a ++=+≤42222b a b a +++ =222b a + ∴2b a +≤222b a + 当且仅当a =b 时等号成立. 而ab ≤2b a + 于是b a 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +(当且仅当a =b 时取“=”号). 说明:题中的b a 112+、ab 、2b a +、222b a +分别叫做正数的调和平均数,几何平均数,算术平均数,平方平均数.也可取特殊值,得出它们的大小关系,然后再证明.变式训练1:(1)设,a R ∈b ,已知命题:p a b =;命题222:22a b a b q ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,则p 是q 成立的 ( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 解:B.解析: a b =是22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭等号成立的条件. (2)若,,a b c 为△ABC 的三条边,且222,S a b c p ab bc ac =++=++,则( )A .2S p ≥B . 2p S p <<C .S p >D .2p S p ≤<解:D .解析:2222221()[()()()]0,2S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥, 又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+<∴2222(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

高考数学第二轮专题复习系列(6)不等式一、本章知识结构:实数的性质二、高考要求(1)理解不等式的性质及其证明。

(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理,并会简单应用。

(3)分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

(4)掌握某些简单不等式的解法。

(5)理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。

三、热点分析1.重视对基础知识的考查,设问方式不断创新.重点考查四种题型:解不等式,证明不等式,涉及不等式应用题,涉及不等式的综合题,所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查,常考常新,创意不断,设问方式不断创新,图表信息题,多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯,值得引起我们的关注.2.突出重点,综合考查,在知识与方法的交汇点处设计命题,在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想,不等式又为研究函数提供了重要的工具,不等式与函数既是知识的结合点,又是数学知识与数学方法的交汇点,因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时,将不等式的重点知识以及其他知识有机结合,进行综合考查,强调知识的综合和知识的内在联系,加大数学思想方法的考查力度,是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度,充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托,因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景,并与高等数学知识及思想方法相衔接,立意新颖,抽象程度高,有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点,考查容量之大、功能之多、能力要求之高,一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值,借助不等式来考查学生的应用意识.不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。

高考试题中有以下几个明显的特点:不等式的性质 均值不等式 不等式的证明 不等式的解法 不等式的应用 比较法 综合法 分析法 其它方法 一元一次不等式 一元二次不等式 分式高次不等式 含绝对值不等式 函数性质的讨论 最值的计算与讨论 实际应用问题(1)不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多,单独考查不等式的试题题量很少。

(2)选择题,填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题,特别是应用题和压轴题几乎都与不等式有关。

(3)不等式的证明考得比得频繁,所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法,而放缩法作为一种辅助方法不容忽视。

四、复习建议1.力求熟练掌握不等式的性质,以最大限度地减少不等式解题中可能出现的失误。

2.对于不等式的证明,应略高于教材上有关例题和习题的难度。

必须重视演练与其它内容综合在一起的证明题,特别是综合教材上的例题与习题、创新题。

3.对于解不等式,一般不需超出教材上的例题和习题的难度,也不要超出教材上的例题和习题所涉及的范围,但对于需要分类求解的不等式应给予充分的注意,而这类习题的分类一般不超过两层。

4.熟练掌握利用平均值不等式求最值的方法及其使用条件,并重视在几何和实际问题中的应用。

5,通过训练,使学生掌握等价转化思想和化归思想,培养学生的代数推理能力,提高学生应用不等式知识解决问题的能力.6.重视数学思想方法的复习根据本章上述的命题趋向我们迎考复习时应加强数学思想方法的复习.在复习不等式的解法时,加强等价转化思想的训练与复习.解不等式的过程是一个等价转化的过程,通过等价转化可简化不等式(组),以快速、准确求解.加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中,如含参数等问题,一般要对参数进行分类讨论.复习时,学生要学会分析引起分类讨论的原因,合理的分类,做到不重不漏.加强函数与方程思想在不等式中的应用训练.不等式、函数、方程三者密不可分,相互联系、互相转化.如求参数的取值范围问题,函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.在不等式的证明中,加强化归思想的复习,证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程,既可考查学生的基础知识,又可考查学生分析问题和解决问题的能力,正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材,复习时应引起我们的足够重视.利用函数f (x )=x + (a >0)的单调性解决有关最值问题是近几年高考中的热点,应加强这方面的训练和指导.7.强化不等式的应用高考中除单独考查不等式的试题外,常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识,加强不等式应用能力,是提高解综合题能力的关键.因此,在复习时应加强这方面训练,提高应用意识,总结不等式的应用规律,才能提高解决问题的能力. 如在实际问题应用中,主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法,求最值时要注意等号成立的条件,避免不必要的错误. 五、典型例题不等式的解法 【例1】解不等式:a x a->-12解:原不等式可化为:2)2()1(--+-x a x a >0,即[(a -1)x +(2-a )](x -2)>0. 当a >1时,原不等式与(x -12--a a )(x -2)>0同解. 若12--a a ≥2,即0≤a <1时,原不等式无解;若12--a a <2,即a <0或a >1,于是a >1时原不等式的解为(-∞,12--a a )∪(2,+∞). 当a <1时,若a <0,解集为(12--a a ,2);若0<a <1,解集为(2,12--a a ) 综上所述:当a >1时解集为(-∞,12--a a )∪(2,+∞); 当0<a <1时,解集为(2,12--a a ); 当a =0时,解集为∅; 当a <0时,解集为(12--a a ,2). 【例2】设不等式x 2-2ax +a +2≤0的解集为M ,如果M ⊆[1,4],求实数a 的取值 范围.解:M ⊆[1,4]有n 种情况:其一是M =∅,此时Δ<0;其二是M ≠∅,此时Δ>0,分三种情况计算a 的取值范围.设f (x )=x 2 -2ax +a +2,有Δ=(-2a )2-(4a +2)=4(a 2-a -2) (1)当Δ<0时,-1<a <2,M =∅[1,4](2)当Δ=0时,a =-1或2.当a =-1时M ={-1} [1,4];当a =2时,m ={2}[1,4]. (3)当Δ>0时,a <-1或a >2.设方程f (x )=0的两根x 1,x 2,且x 1<x 2,那么M =[x 1,x 2],M ⊆[1,4]⇔1≤x 1<x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-210071803a a a a a 或,解得:2<a <718,∴M ⊆[1,4]时,a 的取值范围是(-1,718). 【例3】解关于x 的不等式:()()()0]12[log 1log 42>+->-a x a x .解:原不等式等价于()()()⎪⎩⎪⎨⎧+->->+->-121012012x a x x a x ①,即()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--->>02121x a x a x x .由于1>a ,所以a 121-<,所以,上述不等式等价于()()⎪⎩⎪⎨⎧>--->0212x a x ax ② 解答这个含参数的不等式组,必然需要分类讨论,此时,分类的标准的确定就成了解答的关键.如何确定这一标准?(1)当21<<a 时,不等式组②等价于⎪⎩⎪⎨⎧<>->a x x ax 或212此时,由于()01122<--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a ,所以 a a <-12.从而212><<-x a x a或. (2)当2=a 时,不等式组②等价于⎪⎩⎪⎨⎧≠>223x x所以223≠>x x ,且.(3)当2>a 时,不等式组②等价于⎪⎩⎪⎨⎧><->a x x ax 或212 此时,由于212<-a ,所以,a x x a><<-或212. 综上可知:当21<<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-212x a x a x 或; 当2=a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠>223x x x ,且;当2>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-a x x a x 或212.【例4】解关于x 的不等式:()102log log 4≠>-<-a a x x a a , 解:原不等式等价于()⎪⎩⎪⎨⎧-<->-≥-22log log 402log 0log 4x x x x a a a a ⎩⎨⎧<>≤<⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<⇔0log 3log 4log 20log 3log 4log 22x x x x x x a a a a a a 或 4log 3≤<⇔x a ,∴当a>1时,原不等式的解集为{}43a x a x ≤<当01<<a 时,原不等式的解集为{}34a x a x <≤ 【例5】设函数()12--=x ax x f ,(1)当2=a 时,解不等式()1)(f x f ≤;(2)求a 的取值范围,使得函数()x f 在[)+∞,1上为单调函数. 讲解:(1)2=a 时,()1)(f x f ≥可化为:()1122-≤-x x ,等价于:()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≥-1140122x x x ① 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-01012x x ② 解①得 351≤≤x ,解②得 1-≤x .所以,原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤1351x x x 或.(2)任取[)+∞∈,1,21x x ,且21x x <,则()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+--=-+----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111122212121222122212122212122221121x x x x a x x x x x x x x a x x x x a x ax x ax x f x f要使函数()x f 在[)+∞,1上为单调函数,需且只需:11222121-+-+>x x x x a 恒成立,(或11222121-+-+<x x x x a 恒成立).因此,只要求出11222121-+-+x x x x 在条件“[)+∞∈,1,21x x ,且21x x <”之下的最大、最小值即可.为了探求这个代数式的最值,我们可以考虑极端情况,如:1,121→=x x ,容易知道,此时11222121-+-+x x x x +∞→;若考虑+∞→<21x x ,则不难看出,此时11222121-+-+x x x x 1→,至此我们可以看出:要使得函数()x f 为单调函数,只需1≤a .事实上,当1≤a 时,由于011222121>-+->+x x x x 恒成立,所以,111222121>-+-+x x x x .所以,在条件“[)+∞∈,1,21x x ,且21x x <”之下,必有:()()021>-x f x f .所以,()x f 在区间[)+∞,1上单调递减.当1>a 时,由(1)可以看出:特例2=a 的情况下,存在()⎪⎭⎫⎝⎛=351f f .由此可以猜想:函数()x f 在区间[)+∞,1上不是单调函数.为了说明这一点,只需找到[)+∞∈,1,21x x ,使得()()21x f x f =即可.简便起见,不妨取11=x ,此时,可求得111222>-+=a a x ,也即:()a a a f f =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=11122,所以,()x f 在区间[)+∞,1上不是单调函数.另解:()21x f x a x '=--,对[)1,x ∈+∞,易知:当1x →时,21x x →+∞-;当x →+∞时,211x x →-;所以当[)1,x ∈+∞时,211x x >-,从而只须1a ≤,必有()0f x '<,函数在[)1,x ∈+∞上单调递减。

相关文档
最新文档