高中数学《曲线与方程》(2)课件 新人教版A版必修2
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∴所求轨迹方程为 x2 y2 3x 2y 0 (在已知圆内部一段弧对应的方程)
①直接法
例 2.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解:设 M (x, y) ,A (x1, y1) ,B (x2 , y2 )
y
则 由方xy 程xy11组22xy22
设直线
y kx x2 y2
l
6
的方程为
x 4 y 10
y
0
kx
消去 y 得 (1 k 2 )x2 (6 4k)x 9 0
A
M
B
0
l
C
x
∴
x y
3 1
k
x1
2k k2 3 2k 1 k2
x2
6 4k 1 k2
消去参数
, k
x1 得
的关系, 构成 F(x, y)=0 即可.
2.定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的 定义，则可用曲线定义写出方程。如高一求直线方程
今天探讨其他方法-------求曲线的方程（2）
例 1 . △ A B C 的 顶 点 B 、 C 的 坐 标 分 别 为 ( 0 , 0 ) 、 ( 4 , 0 ) , A B 边 上 的 中 线 的 长 为 3 , 求 顶 点 A 的 轨 迹 方 程 .
(x3)2y248 x2 y2 25
作业(选做题):1. 动点在圆 x2 y 2 1 上移动时，它与
定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是(C )
(A) (x 3)2 y 2 4
(B) (x 3)2 y 2 1
(C) (2x 3)2 4 y 2 1
(D) (x 3)2 y 2 1
例 2.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解：设 M（ 动 x,y） 点 ,C(3,2)
y
Al
CM AB
k y2,kk yo
x3 cm
ab
om x0
M
B
C
y2• y 1 x3 x
0
x
∴化简得 x2 y2 3x 2 y 0
2.1.2求曲线的方程 （2）
教学重点难点
重点: 求曲线方程的四种方法、步骤
难点： 四种方法的实施技巧
求曲线方程是解析几何研究的重要问题之， 是高考解答题取材的源泉.掌握方法和步骤 是本课的重点. 求曲线方程是几何问题得以代数化研究的 先决，过程类似数学建模的过程，是课堂 上必须突破的难点.
复习：1求曲线的方程轨迹方程的一般步骤:
∴ O C 的 中 点 O 的 坐 标 为 (3,1)
BCOຫໍສະໝຸດ 且 OC 1320
x
∵M 为 AB 的中点, ∴由圆的性质可知 MC⊥OM
∴点 M 在以 OC 为直径的圆 O 上. ∵圆 O 的方程为 (x 3)2 ( y 1)2 13
返回
(下面同法一)
2妙! 4
11
练习
课堂小结
求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐 标，及相关点的坐标; 二、(限)找条件，由条件(代)列方程; 三、化简方程. 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.
B
C
M
0 y
A
x
练2.已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲 线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.
结，求轨迹方程的常见方法:
①直接法 ② 定义法 ③代入法
1.直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过 建立x, y之间的关系, 构成 F(x, y)=0 即可.
解:设 A 的坐标分别为 (x, y) ,AB 的中点 D 的坐标为 (x1, y1)
y 由中点坐标公式可知
x1
y1
x 2 y 2
(x, y)
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
x2
9 1 k2
x2 y2 3x
2
y
0
例 2.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解:设 M (x, y)
y Al
设 x2 y2 6x 4y 9 0 的 圆 心 M
为 C,则 C 的坐标为(3,2).
2
2
2.点 M (x, y) 与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x 8 的距离
的比为 1 ,则动点 M 的轨迹方程为( D )
2
(A) x2 y2 1
y2
0
36
.
y
0C
Mx
注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
思考2:直接法 法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了
练1:已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线 CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的 直线与y轴交于点B ，设点M是线段AB的中点， 求点M的轨迹方程。
2.定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种 已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。
3.代入法:求次动点，代入次动点得几何条件
这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利用动点P’(x’,y’)是定曲 线F(x,y)=0上的动点,另一动点P(x，y)依赖于P’(x’,y’)，那么可寻 求关系式x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程F(x’,y’)=0中，得到动点P 的轨迹方程.设主动点，
一：建立适当的坐标系， 设 曲线上任一点的坐标，及相关点的坐标
二：限列条件 三：代坐标化列返程 四：化简方程
以上步骤用一句话概括就是:建．设．现．(．限．;)．代．化．. 证明所得方程 可以省略 为所求的曲线方程 .
复习2求轨迹方程的常见方法:
①直接法 ② 定义法
1.直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过建立x, y之间
以上步骤用一句话概括就是:建．设．现．(．限．)．代．化．.
求轨迹方程的常见方法:
①直接法 ② 定义法 ③代入法 ④参数法
求曲线方程的过程中: 1.充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程 可以使过程变得简洁.(数形结合!) 2.有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系 是相当困难的,这时我们要巧妙地借助与它 相关的点来分析,会更容易发现问题中的代 数关系,从而列出方程.(相关点坐标分析法, 代入法)
①直接法
例 2.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解:设 M (x, y) ,A (x1, y1) ,B (x2 , y2 )
y
则 由方xy 程xy11组22xy22
设直线
y kx x2 y2
l
6
的方程为
x 4 y 10
y
0
kx
消去 y 得 (1 k 2 )x2 (6 4k)x 9 0
A
M
B
0
l
C
x
∴
x y
3 1
k
x1
2k k2 3 2k 1 k2
x2
6 4k 1 k2
消去参数
, k
x1 得
的关系, 构成 F(x, y)=0 即可.
2.定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的 定义，则可用曲线定义写出方程。如高一求直线方程
今天探讨其他方法-------求曲线的方程（2）
例 1 . △ A B C 的 顶 点 B 、 C 的 坐 标 分 别 为 ( 0 , 0 ) 、 ( 4 , 0 ) , A B 边 上 的 中 线 的 长 为 3 , 求 顶 点 A 的 轨 迹 方 程 .
(x3)2y248 x2 y2 25
作业(选做题):1. 动点在圆 x2 y 2 1 上移动时，它与
定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是(C )
(A) (x 3)2 y 2 4
(B) (x 3)2 y 2 1
(C) (2x 3)2 4 y 2 1
(D) (x 3)2 y 2 1
例 2.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解：设 M（ 动 x,y） 点 ,C(3,2)
y
Al
CM AB
k y2,kk yo
x3 cm
ab
om x0
M
B
C
y2• y 1 x3 x
0
x
∴化简得 x2 y2 3x 2 y 0
2.1.2求曲线的方程 （2）
教学重点难点
重点: 求曲线方程的四种方法、步骤
难点： 四种方法的实施技巧
求曲线方程是解析几何研究的重要问题之， 是高考解答题取材的源泉.掌握方法和步骤 是本课的重点. 求曲线方程是几何问题得以代数化研究的 先决，过程类似数学建模的过程，是课堂 上必须突破的难点.
复习：1求曲线的方程轨迹方程的一般步骤:
∴ O C 的 中 点 O 的 坐 标 为 (3,1)
BCOຫໍສະໝຸດ 且 OC 1320
x
∵M 为 AB 的中点, ∴由圆的性质可知 MC⊥OM
∴点 M 在以 OC 为直径的圆 O 上. ∵圆 O 的方程为 (x 3)2 ( y 1)2 13
返回
(下面同法一)
2妙! 4
11
练习
课堂小结
求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐 标，及相关点的坐标; 二、(限)找条件，由条件(代)列方程; 三、化简方程. 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.
B
C
M
0 y
A
x
练2.已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲 线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.
结，求轨迹方程的常见方法:
①直接法 ② 定义法 ③代入法
1.直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过 建立x, y之间的关系, 构成 F(x, y)=0 即可.
解:设 A 的坐标分别为 (x, y) ,AB 的中点 D 的坐标为 (x1, y1)
y 由中点坐标公式可知
x1
y1
x 2 y 2
(x, y)
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
x2
9 1 k2
x2 y2 3x
2
y
0
例 2.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解:设 M (x, y)
y Al
设 x2 y2 6x 4y 9 0 的 圆 心 M
为 C,则 C 的坐标为(3,2).
2
2
2.点 M (x, y) 与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x 8 的距离
的比为 1 ,则动点 M 的轨迹方程为( D )
2
(A) x2 y2 1
y2
0
36
.
y
0C
Mx
注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
思考2:直接法 法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了
练1:已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线 CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的 直线与y轴交于点B ，设点M是线段AB的中点， 求点M的轨迹方程。
2.定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种 已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。
3.代入法:求次动点，代入次动点得几何条件
这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利用动点P’(x’,y’)是定曲 线F(x,y)=0上的动点,另一动点P(x，y)依赖于P’(x’,y’)，那么可寻 求关系式x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程F(x’,y’)=0中，得到动点P 的轨迹方程.设主动点，
一：建立适当的坐标系， 设 曲线上任一点的坐标，及相关点的坐标
二：限列条件 三：代坐标化列返程 四：化简方程
以上步骤用一句话概括就是:建．设．现．(．限．;)．代．化．. 证明所得方程 可以省略 为所求的曲线方程 .
复习2求轨迹方程的常见方法:
①直接法 ② 定义法
1.直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过建立x, y之间
以上步骤用一句话概括就是:建．设．现．(．限．)．代．化．.
求轨迹方程的常见方法:
①直接法 ② 定义法 ③代入法 ④参数法
求曲线方程的过程中: 1.充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程 可以使过程变得简洁.(数形结合!) 2.有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系 是相当困难的,这时我们要巧妙地借助与它 相关的点来分析,会更容易发现问题中的代 数关系,从而列出方程.(相关点坐标分析法, 代入法)