横看成岭侧成峰 远近高低各不同

横看成岭侧成峰远近高低各不同
湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学赵国瑞
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”这是宋代诗人苏轼的著名诗名《题西林壁》．其中的“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”表面意思是说，庐山从正面看，它是一道道连绵起伏的山岭；从侧面看，它是一座巍然耸立的险峰．从远处近处高处低处看，庐山呈现出不同的形象．实际的意思是指同一个事物在不同的角度和不同的时间看是不一样的．
同是一枝梅花，有人赞叹它风骨傲霜，有人则感慨它孤寂落寞；同是一块石头，有人觉得它冥顽不化，有人则欣赏它坚韧固守；同样是半杯可乐，悲观的人说：“唉，只有半杯，”乐观的人说：“天啊，还有半杯．”同一种事物，理解缘何不同？其实很简单，人们观察事物的角度不同罢了．
在思维过程中善于改变看问题的角度，往往会收到意想不到的效果．因此我们要善于变换思考方式，尽可能地选择新视角，解决数学问题亦是如此．
例(2010年山东青岛中考题)如图1，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要＿＿枚棋子，摆第n个图案需要＿＿枚棋子．
图1 图2
分析：解答此类问题要充分发挥数形结合的作用，注意从不同角度观察图形．
方法1 将图形分割成六边形
如图2，将图形分割成大小不同的六边形，从里向外，第1个六边形包含的棋子数为6×2-6=6×1，第2个六边形包含的棋子数为6×3-6=6×2，第3个六边形包含的棋子数为6×4-6=6×3，…，第n个六边形包含的棋子数为6(n+1)-6=6n，因此摆第n个图案需要的棋子数为6×1+6×2+6×3+…+6n+1=(1+2+3+…+n)×6+1=n(n+1)×6+1=3n(n+1)+1=3n2+3n+1．
说明：方法1用到了这样一个公式：1+2+3+…+n=n(n+1)，我们把它叫做高斯求和公式．
方法2 将图形分割成三角形
①按如图3的方式将图形分割成六个全等的三角形，每个三角形包含的棋子数为1+2+3+…+n+1=(n+1)(n+2)，六个三角形包含的棋子数为(n+1)(n+2)×6=3(n+1)(n+2)，减去重复的六条边包含的棋子数6(n+1)，得3(n+1)(n+2)-6(n+1)=3n2+3n．由于处于正六边形的中心处的棋子重复计算了6次，减去重复的六条边包含的棋子数后的结果不包含这枚棋子，所以结果应再加上这枚棋子，即第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1．
图3图4
说明：在计算棋子数时要注意正确处理重复部分，既不能多算，也不能漏算．
②按如图4的方式将图形分割成六个全等的三角形，每个三角形包含的棋子数为
1+2+3+…+n=n(n+1)，六个三角形包含的棋子数为n(n+1)×6=3n2+3n．加上正六边形的中心处的棋子，得第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1．
方法3 将图形分割成平行四边形
如图5，将图形分割成三个全等的平行四边形，每个平行四边形包含的棋子数为n(n+1)，3个平行四边形包含的棋子数为3n(n+1)，加上正六边形的中心处的棋子，得第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1．
图5
方法4 将图形分割成菱形
如图6，将图形分割成三个全等的菱形，每个菱形包含的棋子数为(n+1)2，3个菱形包含的棋子数为3(n+1)2，减去重复的三条边包含的棋子数3(n+1)，得3(n+1)2-3(n+1)=3n2+3n．由
于处于正六边形的中心处的棋子重复计算了3次，减去重复的三条边包含的棋子数后的结果不包含这枚棋子，所以结果应再加上这枚棋子，即第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1．
图6
方法5 将图形分割成平行四边形和菱形
①按如图7的方式将图形分割成平行四边形和菱形，则平行四边形包含的棋子数分别为n(n+1)，两个菱形包含的棋子数为(n+1)2和n2，所以第n个图案需要的棋子数为n(n+1)+(n+1)2+n2=3n2+3n+1．
图7
②按如图8的方式将图形分割成平行四边形和菱形，则上面两个平行四边形包含的棋子数n(n+1)，下面两个平行四边形包含的棋子数为(n+1)2，中间菱形包含的棋子数为n2，所以第n个图案需要的棋子数为n(n+1)+(n+1)2+n2=3n2+3n+1．
图8
方法6 将图形分割成菱形和三角形
如图9，将图形分割成两个菱形和两个三角形，则每个菱形包含的棋子数为(n+1)2，每个三角形包含的棋子数为1+2+3+…+n+1=(n+1)(n+2)，两个菱形和两个三角形包含的棋子数为2(n+1)2+(n+1)(n+2)=3n2+7n+4．减去重复的四条边包含的棋子数4(n+1)，得3n2+7n+4-4(n+1)=3n2+3n．由于处于正六边形的中心处的棋子重复计算了4次，减去重复的
四条边包含的棋子数后的结果不包含这枚棋子，所以结果应再加上这枚棋子，即第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1．
图9
方法7 将图形分割成梯形
如图10，将图形分割成梯形，先看中心线上面的梯形，从里向外，第1个梯形的上底和两腰(除去下底的两个顶点)包含的棋子数为3×1-1=2，第2个梯形的上底和两腰(除去下底的两个顶点)包含的棋子数为3×2-1=5，第3个梯形的上底和两腰(除去下底的两个顶点)包含的棋子数为3×3-1=8，…，第n个梯形的上底和两腰(除去下底的两个顶点)包含的棋子数为
3n-1，所以这n个梯形含的棋子数为3×1-1+3×2-1+3×3-1+…+3n-1=(1+2+3+…+n)×3-n=
n(n+1)-n．
图10
由对称性可知，中心线下面n个梯形包含的棋子数也为n(n+1)-n，而中心线包含的棋子数为2n+1．所以第n个图案需要的棋子数为[n(n+1)-n]×2+2n+1=3n2+3n+1．感悟：看似一道普通的“用代数式描述图形规律”题，我们通过从不同的角度进行观察图形、探究图形的构成，不仅体验到了探究数学的乐趣，而且培养了我们的发散思维能力和创新思维，使我们的思维变得更加灵活．。